Phát triển một số bài toán vận dụng cao về ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất làcác học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp bài toán vậndụng cao liên quan đến tìm giá trị lớn n

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU……… 2

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 3

2 NỘI DUNG ……… 3

2.1 Cơ sở lý luận……… 3

2.2 Thực trạng ……… 4

2.3 Giải pháp……… 4

2.4 Hiệu quả……… 30

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 30

3.1 Kết luận 30

3.2 Kiến nghị 30

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất làcác học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp bài toán vậndụng cao liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số thông thường và hàm hợp trên một đoạn Do yêu cầu của kỳ thi đódẫn tới việc các giáo viên phải chuẩn bị tốt hệ thống bài tập vận dụngcao giúp học sinh rèn luyện để kết quả trong các kỳ thi cao nhất làyêu cầu cấp bách hiện nay Với việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà học sinh được làm quen ngay đầuchương trình Giải tích 12 sẽ được phát triển một cách phong phú vàđược giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu Đó là lí

do để tôi chọn đề tài :

“Phát triển một số bài toán vận dụng cao về ứng dụng đạo hàm tìm

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ chocác em học sinh trung học phổ thông khi ôn thi tốt nghiệp THPT cócái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng đạo hàm về giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường và hàm hợp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán

về hàm số và đặc biệt là hàm hợp

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích củatrung học phổ thông đặc biệt là hàm số và hàm số chứa tham số Tuynhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là cácbài toán có thể cô lập được tham số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết vềgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, ứng dụng của đạo hàm để tìmGTLN và GTNN Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơngiản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh củaviệc sử dụng các kiến thức trên từ đó rèn luyện tư duy và kĩ năng đểhọc sinh giải quyết tốt các bài tập vận dụng cao Các ví dụ minh họatrong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi

1.5 Những điểm mới

Với đề tài này có thể giúp giáo viên định hướng và xây dựng hệthống bài tập vận dụng cao với số lượng lớn mà chỉ xuất phát từ ứngdụng của đạo hàm đơn giản

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận.

Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây

+ Sử dụng đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình, tập nghiệm của bất phương trình.

+ Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất trên đoạn đó

+ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục

B1: Tính f x và tìm các điểm '  x x1, , ,2 x mà tại đó n f x  hoặc'  0hàm số f x không xác định.' 

2.3 Giải pháp.

2.3.1 Bài toán liên quan tới đồ thị của đạo hàm cho trước

Bài toán 1 Cho hàm số f x , đồ thị của hàm số   yf x  là đườngcong trong hình bên Giá trị lớn nhất của hàm số g x  f 2x 4x

Ta lập bảng biến thiên của hàm số y g x  .

Từ bảng biến thiên ta có: trên 3;2

;1 2

Đặt   1 3   2020

3

g x  x  x f x  Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên đoạn    3; 3

Xét hàm số g x  2f x   x12 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

x x x

Dựa vào bảng biến thiên ta có: min 3;1 g x  g 1

Vẽ đồ thị hàm số y f x  và Parabol  P y x:  2  x 1 trên cùng hệtrục tọa độ như hình vẽ

+ Ta thấy g x   0 f x  x2  x 1

102

x x x

Biết rằng f  0  f  6 g 0  g 6 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số h x  f x   g x  trên đoạn 0; 6 lần lượt là

Do đó min0;6 h x  h 2

Giả thiết ta có f  0  g 0  f  6  g 6  h 0 h 6

Vậy max0;6 h x  h 6

Bài toán 10 Cho hàm số y f x  có đạo hàm y f x'  liên tục trên

 và có đồ thị của hàm số yf x'  trên đoạn 2;6 như hình vẽ bên

Lập bảng biến thiên của hàm số trên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Ta có :      

1 1

Biết  1 13,  2 6

4

f   f  Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  f3 x  3f x trên đoạn 1;2 bằng

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min ( )[ 3;1] g x g( 1)

f x   x  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y f x .

+) Gọi S S S S lần lượt là diện tích của các hình phẳng1, 2, ,3 4

H1 , H2 , H3 , H 4

H là hình phẳng giới hạn bởi các đường  y f x y' , 0,x 2, x0

H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 y f x y' , 0, x2, x5.

H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y f x y' , 0, x5,x6

Bài toán 1 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình dưới

đây Tìm giá trị lớn nhất của hàm số    2 1 3 2 1

g x f x x  x  x  xtrên đoạn 1;3 

Từ đồ thị ta có   44 4 0

219

Bảng biến thiên:

Hàm số g x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm   x  0 1

Bài toán 5 Cho hàm số yf x  liên tục trên ¡ và có bảng biếnthiên trên đoạn 1;4 như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên đoạn đoạn 1;4 bằng

Bài toán 7 Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau:

Tất cả các giá trị của m để bất phương trình f  x 1 1  m cónghiệm là

Bài toán 13 Cho đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên dưới Hỏi

có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số

  2 2 2 4    

g x x  m x m  f f x đạt giá trị nhỏ nhất ?

Hướng dẫn

Chọn A

Nhận thấy max f x  f 3  f x  f 3   f x   f 3 ,  x ¡ Lại có  f f x     f 3,  x ¡

0 03

00

Vậy có tất cả 6 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 14 Cho đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên dưới Biết rằng m là tham số thực

Để hàm số g x  2f 2x m   f 3x n  x2  2x đạt giá trị nhỏ nhất thìgiá trị của biểu thức T 2m3n bằng

Dấu bằng xảy ra khi

2.4 Hiệu quả của đề tài.

Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa

số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt Khi sử dụng vào các đề ôn tậpcho học sinh thì hệ thống bài tập này đã nâng cao kĩ năng ứng dụngđạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứngdụng đạo hàm và đồ thị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số và để phát triển hệ thống bài tập mới đa dạng sử dụng cho họcsinh ôn thi tốt nghiệp THPT

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021

CAM KẾT KHÔNG COPY

Giáo viên

Hoàng Văn Quang

Danh sách tên sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại

Phát triển một số bài toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2019

2 Báo Toán học và tuổi trẻ

3 Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006

4 Hàm số - Tác giả: Phan Huy Khải - XB năm 2001

5 SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 11 - NC

6 SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12 - NC

7 Các đề thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020