Phân dạng và các phương pháp giải bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trong kỳ thi THPT quốc gia

Mục lụcSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG K

Mục lục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Văn Thọ Chức vụ: Giáo viên

SKKN môn: Toán

Nội dung Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh

2.3.1.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…

2.3.1.3 Một số lưu ý khi giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá

trị

nhỏ nhất của hàm

số………

4444

2.3.2 Các dạng toán và phương pháp giải ………

2.3.2.1 Dạng 1: Xác định giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của

89

khoảng a b ……… ; 

2.3.2.4 Dạng 4: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào bài

toán thực

tế………

2.3.2.5 Dạng 5: Định tham số để giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất

của hàm số thỏa mãn điều kiện cho

trước………

2.3.2.6 Dạng 6: Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan

đến đồ thị của đạo hàm………

2.3.2.7 Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua buổi thảo luận

1113 14

khảo………

15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng

GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C

trở

lên………

21

về các chủ đề liên quan đến hàm số còn yếu, trong đó có nội dung về giá trị lớnnhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) của hàm số Học sinh chưa hình thànhđược kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và năng lực giải bài toán còn hạnchế Trong nhiều năm dạy học học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi Cao đẳng, Đạihọc, tôi nhận thấy rằng kiến thức về GTLN,GTNN của hàm số có một vai tròquan trọng trong chương trình giải tích 12, nó có thể vận dụng trong nhiều nộidung kiến thức khác, ứng dụng được nhiều bài toán trong thực tế Đặc biệt nămhọc 2020- 2021, là năm học thứ năm thực hiện thi trắc nghiệm môn toán trong

kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi nằm trong chương trình lớp 12 vớicác câu hỏi phát huy khả năng vận dụng kiến thức của học sinh và nội dungGTLN,GTNN của hàm số chiếm một số lượng câu đáng kể Mặt khác đây cũng

là năm thứ 2 mà toàn ngành giáo dục gặp rất nhiều khó khăn khi dịch Covid 19bùng phát gây ảnh hưởng trực tiếp đến việc dạy và học của thầy và trò Nội dung

về GTLN,GTNN của hàm số là nội dung quan trọng được đề cập nhiều trong đềthi THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020, đề thi minh họa năm 2019, 2020,

2021 và trong các đề thi thử ở các trường THPT trên toàn quốc với mức độ từ dễđến khó

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác

nhiều chuyên đề về hàm số Trong SKKN này tôi xin chia sẻ chuyên đề : ‘‘Phân dạng và các phương pháp giải bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trong kỳ thi THPT Quốc gia ”.

Phần GTLN,GTNN của hàm số là một nội dung quan trọng, hay trongchương trình giải tích lớp 12 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rấtnhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và học tập Tuy nhiên việcđưa ra hướng tiếp cận, quy lạ về quen và phát triển năng lực giải bài toán liênquan đến nội dung này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho ngườiđọc Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, làm các

em hiểu sâu hơn về bài toán và yêu thích chủ đề về GTLN,GTNN của hàm sốtrong giải tích lớp 12 Qua đó giúp các em học sinh có định hướng và cách nhìn

dễ dàng hơn đối với nội dung, kiến thức về hàm số

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm đượccách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, chuyển phức tạp thành đơn giản đồngthời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản đểhọc sinh có thể giải quyết tốt các bài toán, các dạng toán từ mức độ nhận biếtđến mức độ vận dụng cao về nội dung GTLN,GTNN của hàm số nhằm đạt được

kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia Từ đó giúp các em phát triển năng lựcgiải quyết các bài toán.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chúng tôi tập trung nghiên cứu về định nghĩa GTLN ,GTNN của hàm số;nghiên cứu về quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn,trên khoảng ,ứngdụng GTLN ,GTNN và bài toán thực tế

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như:phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá;phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải; phương phápquy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hởi trắc nghiệmkhách quan

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung số của giải tích

12 Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết dạybài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đếnkhó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tínhtích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắtnhững kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năngvận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lờigiải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt, phát triển năng lực giảiquyết các bài toán Trong quá trình giảng dạy nội dung về GTLN,GTNN củahàm số trong giải tích lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 1 được giao dạy nhóm

ôn tập thi THPT Quốc gia, tôi thấy kỹ năng giải bài toán của học sinh còn yếu,đặc biệt là những bài toán tìm GTLN ,GTNN của hàm số y=f(x) khi biết đồ thị

y=f'(x), bài toán chứa tham số Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toánmột cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khókhăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩnăng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toántrắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra,đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung về GTLN,GTNN của hàm số là nội dung không thể thiếu trong đềthi THPT Quốc gia Trong những năm gần đây, nội dung này được đề cập trong

đề thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giảnđến phức tạp, với nhiều cách tiếp cận Học sinh thường gặp khó khăn khi gặpnhững bài toán chứa tham số hoặc những bài toán thực tế Với tình hình ấy đểgiúp học sinh định hướng tốt hơn và phát triển năng lực trong quá trình giải bàitoán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai tháccác yếu đặc trưng của bài toán để tìm lời giải, học sinh phải được quen với việcđọc hiểu đồ thị Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen,

sinh kiến thức và các giải pháp để hoàn thành tốt nội dung về GTLN và GTNN ,hoàn thành tốt kỳ thi THPT Quốc gia.

2.3 Các biện pháp thực hiện

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ

2.3.1.1 Định nghĩa và nhận xét về GTLN,GTNN của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y f x   xác định trên D.

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:

* Quy tắc chung: (Thường dùng cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x   tìm nghiệm trên D.0

- Lập bảng biến thiên cho hàm số trên D

- Dựa vào bảng biến thiên và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

* Quy tắc riêng: (Dùng cho a;b ) Cho hàm số  y f x   xác định và liên tục trên a;b 

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x   tìm nghiệm trên 0 a,b 

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x 1 2 a, b

- Tính 4 giá trị f a ,f b ,f x ,f x      1 2 So sánh chúng và kết luận

2.3.1.3 Một số lưu ý khi giải các bài toán về GTLN,GTNN của hàm số

+ GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

+ Hàm số liên tục trên đoạn a,b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

+ Nếu hàm sồ f x đồng biến trên   a;b thì

2.3.2 Các dạng toán và phương pháp giải

2.3.2.1 Dạng 1: Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc đồ thị của nó

Trong dạng toán này này giáo viên cần ôn lại các bước tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , khoảng , nửa khoảng [1], giáo viêncần cho học sinh làm quen với nhiều loại hình dạng đồ thị , bảng biến thiên củahàm số, đây là một trong những dạng toán ở mức độ nhận biết hoặc thông hiểu

và rất hay có trong đề thi THPT Quốc gia

Ví dụ 1 : Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên

5 1, 2



 và có đồ thị làđường cong như hình vẽ

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x  trên đoạn

5 1, 2

Hướng dẫn : Đối với dạng toán này Giáo viên hướng dẫn cho học sinh cắt bỏ đồ

thị của các phần không liên quan , chỉ lấy mình đồ thị của đoạn

5 1, 2



  Xem đồthị như 1 chiếc dây thép uốn theo hình dạng là 1 đường cong , trục Oy là thước

đo của cái dây đó Khi đó học sinh dễ dàng tìm được số M = 4 và m = -1

Ví dụ 2 : Cho hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như hình vẽbên Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã chotrên đoạn 1;3 Giá trị của M m là

A 2 B  6 C  5 D  2

Hướng dẫn :

Như ở ví dụ này thì họ đã cắt sẵn đồ thị trên đoạn 1;3 nên dựa vào đồ thị tathấy GTLN của hàm số trên đoạn 1;3 là M  đạt được tại 2 x 1 vàGTNN của hàm số số trên đoạn 1;3là m 4 đạt được tại x 2

2 ( 4) 2

M m

Ví dụ 3 : Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên trên 5;7 như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Ví dụ 4 : Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn [- 2;6] và có đồ thị như hình vẽbên dưới

-3 -4

x = 4 và x=6

Nhận xét : Đây là dạng toán ở mức độ nhận biết tuy nhiên nhiều học sinh học

lực yếu vẫn hay nhầm lẫn giữa giá trị y và biến x , nên khi dạy giáo viên cần phân tích và làm rõ ràng để khi học sinh làm bài tương tự đạt kết quả tốt nhất

2.3.2.2 Dạng 2: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]

Phương pháp giải : Sử dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của

hàm số trên đoạn , ngoài ra với các bài toán trắc nghiệm trong đề thi THPTQuốc gia, giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh sử dụng máy tính để làmbài

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 3 1

x

x x

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.

Bước 2: Nhập  

2 3 1

Nhận xét : Đa số các bài toán ở dạng này ở mức độ thông hiểu nên giáo viên

nên hướng dẫn đồng thời cả hai cách để học sinh dễ dàng tìm ra kết quả trong

các bài toán trắc nghiệm

2.3.2.3 Dạng 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b)

Phương pháp : Với dạng toán này trong một số bài toán ngoài cách sử dụng

quý tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một khoảng ,nửa khoảng giáo viêncũng định hướng cho học sinh thêm một cách sử dụng bất đẳng thức để giảiquyết nhanh hơn Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu hơn và nhận biết, vận dụng vào bàitoán dễ dàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nộidung này

Ví dụ 7 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 ( )

Ví dụ 8 : Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

4 3

miny 2 9

 

C  

3 0;

x

x x

.Vậy  

3 0;

Nhận xét : Qua 2 cách trên thì đích đến cho đáp án bài toán thì cách 1 nhanh

hơn ,tuy nhiên học sinh cần phải biết cách tách hàm số để sử dụng , đây là một trong những vấn đề khó với học sinh có lực học trung bình Do đó với học sinh

3 '

y

y

3

3 9 0

trung bình ta nên định hướng cho học sinh sử dụng quy tắc để làm , còn cách 1 chỉ là để tham khảo.

2.3.2.4 Dạng 4: Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán thực tế

Phương pháp giải của dạng toán này là :

Bước 1 : Sử dụng các yếu tố mà đề bài cho để thiết lập ra một hàm số

Bước 2 : Tiến hành sử dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của

hàm số để giải quyết vấn đề ( thông thường bài toán đưa về tìm GTLN hoặcGTNN trên một khoảng , khoảng này có được là từ điều kiện của việc đặt biến

số )

Ví dụ 9: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S t33t2 2, trong đó

t tính bằng giây và S tính theo mét Chuyển động có vận tốc lớn nhất là

có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kếtquả làm tròn đến hàng phần trăm)?

A 1,01 m3 B 0,96 m3 C 1,33 m3 D 1,51 m3

Hướng dẫn :

y x

2 x

C

D A

D'

B

C' B'

x

3 max

5 30

1,01 27

Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông là x(m) ( 0 x 28)

=> chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 x (m)

Ví dụ 12: Một xưởng in có 15 máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một

kỹ sư, mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, chi phí cài đặt và bảodưỡng cho mỗi máy in cho 1 đợt hàng là 48.000 đồng, chi phí trả cho kỹ sưgiám sát là 24.000 đồng/giờ Đợt hàng này xưởng in nhận 6000 ấn phẩm thì sốmáy in cần sử dụng để chi phí in ít nhất là

A 10 máy B 11 máy C 12 máy D. 9máy

Lời giải :

Gọi x 0 x 15 là số máy in cần sử dụng để in lô hàng.

Chi phí cài đặt và bảo dưỡng là 48000x

x

+

= + (m là tham số thực) thỏa mãn miné ù0;1 y= 3

.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 1

m y

Ví dụ 14 : Cho hàm số  

2 1

nên   5 m 1  m 4

Ví dụ 16 : Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số yx3 3x2m1 trên đoạn

0; 2 là nhỏ nhất Giá trị của m thuộc khoảng nào?

A

3

; 1 2

1 2

m

 

Suy ra min

1 2

1 2

m 

Nhận xét : Với dạng toán này, học sinh phải nắm được tính chất về GTLN và

GTNN của hàm số và sự đổi dấu của đạo hàm Đồng thời hình thành và pháttriển tư duy trừu tượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bàitoán

2.3.2.6 Dạng 6: Bài toán GTLN-GTNN liên quan đến đồ thị đạo hàm

Phương pháp chung của dạng toán này là : Sử dụng các yếu tố mà bài toán

cho về đồ thị hoặc bảng biến thiên của yf x'  và vận dụng các quy tắc tìmGTLN, GTNN của hàm số để tìm ra kết quả của bài toán

Ví dụ 17 :Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên , đồ thị của hàm số

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên [- 1;2] là ( )f 1

Ví dụ 18 : Cho hàm số yf x , hàm số yf x' liên tục trên và có đồ thịnhư hình vẽ bên dưới

Bất phương trình f x  x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi

0; 2

x  khi và chỉ khi

A m f 2  2. B m f  0 C mf  2  2. D mf  0 Lời giải

g x f x  x luôn nghịch biến trên khoảng 0; 2

Bất phương trình f x  x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x 0; 2 khi và chỉ khi lim 0   (0)

2.3.2.7.Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số thông qua buổi thảo luận

Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ

cho từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập

ở các nhóm là tương đương nhau

Nhóm 1: Giải quyết các bài toán vận dụng quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm

số

Nhóm 2: Giải quyết các bài toán thực tế về GTLN,GTNN của hàm số.

Nhóm 3: Giải quyết các bài toán tìm tham số m để GTLN,GTNN của hàm số

thỏa mãn điều kiện cho trước

Nhóm 4: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị của hàm số y= f'(x) để xác địnhxác định GTLN,GTNN của hàm số

Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:

- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm

khác