Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán xét tính đơn điệu của hàm hợp

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có ảnh hưởng tới các ứng dụng khác của đạo hàm như c

3 Kết quả 22

4 Rút kinh nghiệm 22

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 23

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 2

5

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có ảnh hưởng tới các ứng dụng khác của đạo hàm như cực trị của hàm số, tiệm cận của đồ thị hàm số, đồ thị của hàm số, số nghiệmcủa phương trình… Vậy nên nó có một vị trí rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông

Việc giải quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với họcsinh:

- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn

- Thứ hai: Việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo Khi giải bài toán này học sinh phải thường xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan như: Giải phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai,xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi…

- Thứ ba: Thông qua việc giải bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm

số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, khái quát hoá bài toán Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạo mỗi khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giải khác nhau, chọn ra cách giải hay nhất

Tuy nhiên thời gian gần đây xu hướng về hình thức kiểm tra đánh giá đã thay đổi, trong đề thi trắc nghiệm môn toán TNTHPT có rất nhiều bài toán yêu cầu tìm sự đồng biến nghịch biến của các hàm số không cho tường minh biểu thức hàm Việc tư duy và tìm lời giải của dạng toán này là tương đối khó khăn ngay cả với giáo viên Mặt khác do đối tượng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn Bài tập trong sách giáo khoa còn hạn chế và chưa đa dạng, đặc biệt là

không có hề đề cập đến dạng bài tập này

Vì những lí do trên, với mong muốn có một tài liệu tốt để ôn luyện thi

TNTHPT cho học sinh và đồng nghiệp tham khảo tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán xét tính đơn điệu của hàm hợp”.

2020 của Bộ Giáo dục và Đào tạo Từ đó giúp học sinh phát triển tư duy, phát huytính tích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các kiến thức về tính đơn điệucủa hàm số.

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi TNTHPT của trường THPT Đông Sơn 1trong năm học 2020 -2021

4 ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT THỰC TIỄN

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một

số giải pháp như sau:

- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.

- Lựa chọn các câu hỏi, các bài tập cụ thể

- Thực nghiệm sư phạm

II PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

1 Cơ sở lý luận

Dạy toán là dạy hoạt động Toán học Đối với người học, có thể xem việc giảitoán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài tập toán ở hầu hết cácchuyên đề toán THPT là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đượctrong việc giúp người học nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩnăng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giảibài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy và học Toán Trong thực tiễndạy học, bài tập Toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Một bài tập có thểdùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ làm việc với nội dung mới Việc giải bàitập toán cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khảnăng tư duy Từ những kiến thức cơ bản dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nângcao một cách tự nhiên chứ không áp đặt

2 Cơ sở thực tiễn.

Trong quá trình ôn luyện chuyên đề cũng như giải các đề thi thử TNTHPTngoài những bài toán có yêu cầu tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm sốcòn có các bài toán liên phân môn, liên môn mà sau khi đọc đề học sinh không thểhoặc tìm rất chậm ra hướng giải của bài toán Chính vì thế sáng kiến kinh nghiệm :

“Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán xét tính đơn điệu của hàm hợp” giúp

các em làm quen và giải nhanh với các dạng toán trắc nghiệm liên quan đến tính đơnđiệu của hàm số

CHƯƠNG II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

Khi chưa thực hiện đề tài thì thực tế là hầu hết học sinh đều quen cách tư duytheo kiểu thi tự luận và chưa có kĩ năng làm bài trắc nghiệm nên hiệu quả chưa cao,nhiều em không hoàn thành hết bài kiểm tra theo thời gian quy định.

Cụ thể qua khảo sát một bài kiểm tra 45 phút với 25 câu hỏi trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số kết quả làm bài của học sinh như sau:

- Học sinh chưa quen với các tình huống đa dạng trong toán học

- Một số tình huống học sinh không nắm chắc phương pháp giải, không hiểu, khôngkhai thác được các giả thiết

2 Giải pháp toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp

Trong quá trình dạy lớp 12 và ôn thi TNTHPT cho học sinh lớp 12, sáng kiến kinhnghiệm này được áp dụng để dạy cho học sinh theo chủ đề tính đơn điệu của hàm số.Giáo viên tiến hành dạy từ việc hệ thống kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững đến

hệ thống câu hỏi trắc nghiệm Trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm thì xuất phát làcác câu hỏi trong đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi chính thức môn Toáncủa Bộ Giáo dục và Đào tạo sau đó đến các câu hỏi chọn lọc giúp học sinh rèn luyệnkiến thức kĩ năng của chủ đề Từ đó giúp học sinh có kiến thức vững vàng và tạo chocác em phản xạ nhanh, có kĩ năng để có thể giải quyết tốt các bài tập về tính đơn điệucủa các hàm số không cho biểu thức hàm

2.1 Kiến thức học sinh cần nắm vững

1 Định nghĩa : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

* Hàm số y = f x( ) đồng biến trên K nếu x x1 , 2 K x: 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

* Hàm số y = f x( ) nghịch biến trên K nếu x x1 , 2 K x: 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

2 Định lý : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

a) Nếu f x'( ) 0,   x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f x'( ) 0,   x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

3 Định lý mở rộng : Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f x'( ) 0,   x K và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

b) Nếu f x'( ) 0,   x K và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

c) Nếu f x'( ) 0,   x K thì f x( ) không đổi trên K

4 Quy tắc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tính đạo hàm f x'( ) Tìm các điểm x i i(  1, 2, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+ Lập bảng biến thiên + Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

4 Đạo hàm hàm hợp

Nếu yf u u u x ,     y x y u u x 

2.2 BÀI TẬP VẬN DỤNG, LUYỆN TẬP.

PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số yf x 

Dạng toán 1 Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10)

Câu 1: Cho parabol  P : yf x  ax2bx c , a  biết:0  P đi qua M(4;3),  P cắt Ox

tại N(3;0) và Q sao cho INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q

nhỏ hơn 3 Khi đó hàm số f 2x 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây

A 1

; 2

Vì  P đi qua M(4;3)nên 3 16 a 4b c (1)

Mặt khác  P cắt Ox tại N(3;0)suy ra 0 9 a 3b c (2),  P cắt Ox tại Qnên

 ;0 , 3

Theo định lý Viét ta có

3 3

b t

a c t a

INQ

S  IH NQvới Hlà hình chiếu của ;

b I

3 3



Dạng toán 2 Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số yf x  trong bài

toán không chứa tham số.

Câu 2: Cho hàm số yf x  liên tục trên  thỏa mãn f  1  và0

Khi đó ta có    

2

2 2

Dạng toán 3 Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số yf x  trong bài

toán chứa tham số.

Câu 4: Cho hàm số yf x ax3 bx2 cx d , a b c d, , ,   ,a 0 có đồ thị là C Biết

rằng đồ thị  C đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số yf x  cho bởi hình vẽ

Tính giá trị H f  4  f  2

Lời giải Chọn A

Câu 5: Cho hàm số f x ax4 bx3 cx2 dx m , (với a b c d m , , , , R) Hàm số yf x 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

y

1 1

 4

1

Tập nghiệm của phương trình f x  48ax m có số phần tử là:

a 

Từ  1 và  2 suy ra 13

3

b a , c và a d  15a Khi đó:







Vậy tập nghiệm của phương trình f x  48ax m là S 0;3 .

Câu 6: Cho hàm số f x  x4bx3cx2dx m , (với a b c d m , , , , R) Hàm số yf x 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Biết rằng phương trình f x  nx m có 4 nghiệm phân biệt Tìm số các giá trị

nguyên của n

Lời giải Chọn B

Phương trình f x nx m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

(*)có 3 nghiệm phân biệt khác 0

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*)có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi

và chỉ khi n    1; 2; ; 14  

Dạng toán 4 Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f x 

, xét sự biến thiên của hàm yf  x ; yf f x   , yf f f   x   trong bài toán không chứa tham số

Câu 7: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f x  như hình vẽ

dưới đây Hàm số    2 

g x f x  x đồng biến trên khoảng nào?

A 1

;1 2

 

2 2

2

1

0 2

0

1 2

2

x x

x x

Dạng toán 5 Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f x ,  

xét sự biến thiên của hàm yf f x   , yf f f   x   trong bài toán chứa tham số.

Câu 9: C h o h àm số yf x  có đạo h àm trên  Biết đồ t h ị h àm số yf x'  n h ư h ìn h

vẽ.

Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m   2019;2019sao c h o h àm số g x  f x m   đồng biến trên k h oảng  2;0 Số phần tử của

Câu 10: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2  2 x2 mx 5 với x R Số giá

trị nguyên âm của m để hàm số g x  f x 2  x 2 đồng biến trên 1;  là

Lời giải Chọn B

Do m nguyên âm nên m      4; 3; 2; 1 .

Câu 11: Cho hàm số f x có đạo hàm trên    là f x   x 1 x 3 Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn  10; 20 để hàm số  2 

3

yf x  x m đồng biến trên khoảng 0; 2 

Lời giải Chọn A

y f x  x m  x f x  x m Theo đề bài ta có: f x   x 1 x 3

Dạng toán 6 Biết biểu thức hàm số yf x  xét tính đơn điệu của hàm số

= Û

ê = ë

x

g x

x

Bảng xét dấu của hàm số g x'( ) như sau

Vậy hàm số y=g x( ) nghịch biến trên ( - ¥ ;1).

Câu 13: Cho hàm số yf x  có f x'  x x2  1 2 x 3 Hàm số     1 3

5 3

Câu 14: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( ) x 1 x 22, x" Î ¡ Hàm số

PHẦN 3: Biết đồ thị của hàm số yf x' 

Dạng toán 7 Biết đồ thị hàm số yf x  xét tính đơn điệu của hàm số

y g x f x h x trong bài toán không chứa tham số.

Câu 15: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị hàm số yf x  như

hình bên dưới.

Hàm số g x  2f x  x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A    ; 2. B  2; 2 . C 2;4  D 2;  

Lời giải Chọn B

Ta có g x   2f x  2x g x   0 f x  x.

Số nghiệm của phương trình g x  chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 0

 

yf x và đường thẳng d y x:  (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra  

1 2 3

x y

Hỏi hàm số g x   2f x   x 12 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A 3;    B 1;3  C  3;1. D   ;3.

Lời giải Chọn B

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x y

Từ đồ thị ta có f x  x 1 3

x x





3 Kết quả thu được sau khi áp dụng đề tài

Trong năm học 2019 – 2020, tôi đã vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vàocác tiết dạy ôn tập cho học sinh lớp 12 của trường THPT Đông Sơn 1 và đã thu đượcnhững kết quả rất tích cực Tôi nhận thấy các em đã giải quyết tốt hơn và xử lí nhanhhơn các bài toán về tính đơn điệu của hàm số; các em đã tự tin hơn, không còn lúngtúng khi gặp những bài toán về chủ đề này; tạo cho các em niềm say mê học tập, hứngthú tìm tới các tài liệu về hàm số cũng như các chủ đề khác để hoàn thiện hơn; giúpcho nhiều học sinh ngày càng yêu thích bộ môn Toán hơn

Cụ thể qua khảo sát một bài kiểm tra 45 phút với 25 câu hỏi trắc nghiệm về tổhợp xác suất kết quả làm bài của học sinh như sau:

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 KẾT LUẬN

Qua một năm thực hiện đề tài, kết quả lớn nhất thu được là học sinh tự tin hơnkhi giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số Đặc biệt đề tài còn kích thích đượchọc sinh hứng thú tìm tòi thêm bài tập, say mê sáng tạo, phát huy tính tích cực chủđộng đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy lôgíc cho học sinh

Đó chính là động lực thúc đẩy tôi tiếp tục đi sâu nghiên cứu các lĩnh vực củakhoa học phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông nhằm trang bị cho học sinhnhững tri thức khoa học và đạo đức cách mạng góp phần vào công cuộc phát triển đấtnước trong tương lai

Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên trong quá trình hoànthành sáng kiến khó tránh khỏi sai sót trong cách trình bày, cũng như hệ thống các ví

dụ và bài tập còn chưa phong phú, đa dạng, chưa đầy đủ và khoa học Tôi rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và đồng nghiệp để sáng kiến kinhnghiệm được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của cả thầy vàtrò trong nhà trường

2 ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG

Như đã trình bày ở trên, sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng cho nhữngtiết bài tập ôn tập tính đơn điệu của hàm số, cũng như ôn thi TNTHPT tạo tiền đềvững chắc cho các em học sinh học tốt môn Toán ở bậc THPT

Sáng kiến kinh nghiệm này vẫn còn cần thêm thời gian để hoàn thiện hơn và sẽtiếp tục được khai thác, nghiên cứu mở rộng sâu hơn về nội dung, hệ thống câu hỏitrắc nghiệm và phương pháp giảng dạy

3 KIẾN NGHỊ

vấn đề vướng mắc trong quá trình giảng dạy hoặc các chuyên đề quan trọng mà giáoviên thấy tâm đắc và có nhiều ứng dụng trong giảng dạy đặc biệt là về phương phápdạy học.

- Đối với Hội Đồng Khoa Học cấp Sở: Cần tuyên dương những sáng kiến kinh

nghiệm đạt giải cao, có thể đưa lên trang web của Sở Giáo dục để giáo viên cáctrường khác có thể tham khảo, học hỏi kinh nghiệm trong quá trình viết và thực hiệnsáng kiến của mình

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp nhiều học sinh tự tin hơn vớicác bài toán tính đơn điệu của hàm số, có quyết tâm sưu tầm và chinh phục các bàitập trắc nghiệm ôn thi TNTHPT , từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo củacác em trong học tập môn Toán

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn!

Đông sơn, ngày 5 tháng 4 năm 2021

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Lan

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Các đề thi minh họa, tham khảo môn và đề thi chính thức môn toán kỳ thi THPTQuốc Gia 2017; 2018; 2019 của Bộ giáo dục và đào tạo

[2] Các đề thi thử môn toán kỳ thi THPT Quốc Gia 2017; 2018 của trường THPT trêntoàn quốc

[3] Nguồn Internet

[4] Sách giáo khoa Đại số và giải tích 12

[5] Sách bài tập Đại số và giải tích 12

[6] Sách giáo viên Đại số và giải tích 12