Phương pháp giải một số bài toán khoảng cách trong hình không gian lớp 11 thông qua tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng

Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là sự khác nhau giữa hình học phẳng đã được làm quen ở lớp dưới với hình biểu diễn của hình không gian, đặc biệt là khi các bài toán liên qu

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Toán lớp 11 hiện nay, phần hình học không gian làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là sự khác nhau giữa hình học phẳng đã được làm quen ở lớp dưới với hình biểu diễn của hình không gian, đặc biệt là khi các bài toán liên quan đến

“Quan hệ vuông góc” Vì trong hình học phẳng học sinh có cái nhìn trực quan kết hợp với giả thiết, kết luận rồi suy ra lời giải Còn trong không gian học sinh phải dựa trên định nghĩa, định lí và hình biểu diễn để tìm lời giải

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy khi gặp bài toán tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng, giữa hai đường chéo nhau, giữa một đường thẳng

và một mặt phẳng song song, đa số học sinh thường làm bài theo các ví dụ, bài tập

đã làm chứ chưa thành thạo suy nghĩ xem nên vận dụng kiến thức nào để giải quyết bài toán Kĩ năng giải các bài toán này của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài toán hợp lí giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản

Qua thực tế giảng dạy tôi rút ra một số kinh nghiệm nhỏ về việc hướng dẫn học sinh xác định các loại khoảng cách Một thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần có là tìm đúng hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng xác định Qua

những năm giảng dạy tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm và tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp 11A1 trường THCS&THPT Quan Sơn giải một số bài toán khoảng cách trong Hình học không gian thông qua tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng” chỉ với mong muốn học sinh của tôi sẽ yêu thích và

không sợ Hình học không gian nữa

1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài

- Tìm hiểu những nguyên nhân học sinh lớp 11A1 gặp khó khăn khi làm các bài tập khoảng cách trong Hình học không gian, dẫn đến không có hứng thú với Hình học không gian Từ đó phân dạng và hướng dẫn học sinh giải bài tập Khoảng cách trong Hình học không gian một cách nhanh nhất và khoa học nhất

- Nâng cao chất lượng giáo dục đại trà của trường THCS&THPT Quan sơn ở bộ môn Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 11A1 trường THCS&THPT Quan Sơn

- Các phương pháp giải các bài tập Khoảng cách trong không gian

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu, các trang web, bài viết,

….có liên quan

1.4.2 Nghiên cứu thực nghiệm: Tìm hiểu nguyên nhân học sinh gặp khó

khăn khi làm các bài tập về Khoảng cách trong không gian và đưa ra các giải pháp giải bài toán Khoảng cách trong không gian

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu của O trên () Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng () Kí hiệu ( ,( ))d O 

2.1.2 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song.

Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kí hiệu ( ,( ))d   .

* Nhận xét

- M  ,N( ), MN d ( ,( )) 

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.1.3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất

kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu (( );( ))d  

* Nhận xét

- M ( ), N( ), MN d (( );( )) 

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.1.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi

là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu ( , ) d a b

* Nhận xét

+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b Khi đó ( , ) ( ,( ))

d a b d b P

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

( , ) (( ),( ))

d a b d P Q

Như vậy cách xác định các loại khoảng cách trong chương trình Hình học cơ bản

11 quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Vì vậy phần tiếp theo

sẽ đề cập đến cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thuận lợi

- Vấn đề dạy và học môn Toán học đã và đang đổi mới và là một trong những môn có chuyển biến mạnh mẽ về đổi mới phương pháp dạy học

- Đã được tiếp thu các chuyên đề đổi mới do Sở giáo dục và đào tạo tổ chức

- Xây dựng chương trình giáo dục nhà trường về mục tiêu, cấu trúc, kỹ năng phù hợp, sát với thực tế học sinh vùng miền núi, giúp học sinh tiếp thu nhẹ nhàng hơn, không gây ra áp lực cho học sinh

- Được sự quan tâm của Đảng ủy, ban giám hiệu trong việc đổi mới phương pháp dạy học, nhằm nâng cao chất lượng đại trà của nhà trường

2.2.2 Khó khăn

- Nhiều học sinh không nhớ được kiến thức cơ bản về hình học không gian, không nắm được các phương pháp giải bài toán Khoảng cách trong không gian Nhiều học sinh còn tình trạng lười học , không xác định được mục đích học tập nên mất gốc ngay từ đầu nên khi học hình học không gian cảm thấy vô cùng phức tạp

- Học sinh trường THCS&THPT Quan Sơn hơn 90% là người dân tộc thiểu

số, sống ở vùng đặc biệt khó khăn, khả năng tiếp thu các môn tự nhiên trong đó có môn Toán rất yếu nên sinh ra chán nản không có hứng thú học

2 3 Một số giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề nghiên cứu.

Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong

các cách sau:

2.3.1: Tính trực tiếp: Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH Việc

xác định hình chiếu H của O nếu ko có sẵn thì ta làm như sau:

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH   ( H   ) Khi đó ( ,( )) d O  OH

Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc

hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

2.3.2 Sử dụng phép trượt đỉnh

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi 'O , ta quy việc tính ( ,( )) d O  về việc tính ( ',( )) d O 

Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và O, O’   thì

(O;( )) (O';( ))

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và O, O’   (O,

O’ không trùng với I) thì

(O;( )) (O';( )) '



Đặc biệt, nếu O là trung điểm của O’I thì

1 (O;( )) (O';( ))

2

nếu I là trung điểm của OO’ thì (O;( )) d  d(O';( )) .

2.3.3 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó

đều là góc vuông

Tớnh chất Giả sử OABC là tứ diện vuụng tại O (OA OB OB OC OC OA ,  ,  ) và H là hỡnh chiếu của O trờn mặt phẳng (ABC) Khi đú đường cao OH được tớnh

OH OA OB OC

Chứng minh.

Giả sử AH BC D , OH (ABC) OH BC (1)

,

OA OB OA OC   OA BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCOD Trong cỏc tam giỏc vuụng OAD và OBC ta cú

,

OH OA OB OC

Mục tiờu của phương phỏp này là sử dụng cỏc phộp trượt để quy việc tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tớnh khoảng cỏch từ đỉnh của tam diện vuụng đến mặt huyền của nú và vỡ vậy ỏp dụng được tớnh chất trờn

2.3.4 VẬN DỤNG ĐỀ TÀI:

Bài toỏn 1 Khoảng cỏch từ điểm đến mặt phẳng:

Vớ dụ 1 : Tìm khoảng cách từ 1 điểm A tới một mặt phẳng (P) ( A ¿ (P))

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Cạnh bên

SA vuông góc với đáy, SA= a √ 2 Tính khoảng cách:

a, Từ A đến mp (SBD)

b, Từ O đến mp (SCD)

Nhận xét:

B

S

D

C I

K O

J H

Từ hình vẽ và giả thiết của bài toán, học sinh rất khó phát hiện hình chiếu của A lên (SBD) và hình chiếu của O lên ( SCD) Nhng nếu thực hiện theo các bớc tìm hình chiếu đã nêu trên thì bài giải sẽ không còn mấy khó khăn

Lời giải.

a, Tìm hình chiếu của A lên (SBD):

Theo giả thiết:

BD⊥(SAC) ¿ } ¿¿ ⇒( SAC)⊥(SBD) (1)¿

Lại có: (SAC) ¿ (SBD) = SO (2)

: Trong mp (SAC) kẻ AH ¿ SO (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AH ¿ (SBD)

⇒ H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBD)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SBD)

áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông SAO

Ta có:

1

AH2=

1

SA2+

1

AO2=

1 2a2+

2

a2=

5 2a2

a √ 10 5

b, Tính khoảng cách từ O đến (SCD)

Chọn mặt phẳng chứa O và vuông góc với (SCD) là (OIJ) trong đó I, J là trung

điểm CD, SC

Ta có:

( SCD)⊥(OIJ) ¿ } (SCD)∩(OIJ)=IJ ¿ } ¿¿ ⇒OK⊥(SCD) ¿

⇒ K là hình chiếu của O lên (SCD)

⇒ OK là khoảng cách từ O đến (SCD)

áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông OIJ ta có:

1

OK2 =

1

OI2 +

1

OJ2 =

6

a2 ⇒OK=a√6

6

A’ C’

C A

B

H O

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có AA’ vuông góc với mp(ABC) và AA’=

a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a √ 3

Tính khoảng cách từ A đến (A’BC)

Nhận xét : ở đây có nhiều mặt phẳng chứa A nhng để chọn mặt phẳng chứa A và

vuông góc với mp (A’BC) ta phải chú ý tới giả thiết

Từ giả thiết ⇒ ACC’A’ là hình vuông

⇒ AO⊥A'C ¿ } ¿¿ ⇒ A'C⊥(ABC') ¿

hay mặt phẳng chứa A và vuông góc với (A’BC) là (ABC’)

Lời giải.

Ta có:

( ABC')⊥(A'BC) ¿ } ( ABC')∩(A'BC)=BO ¿ } ¿¿ ⇒ AH⊥(A'BC) ¿

⇒ Độ dài AH là khoảng cách từ A đến (A’BC)

áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ABO

Ta có:

1

AH2 =

1

AO2+

1

AB2 =

7 3a2 ⇒ AH= a √ 21

Vớ dụ 3: Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O cạnh

bằng a, SA=a Tớnh khoảng cỏch từ điểm O đến mp(SAB)

Lời giải.

S.ABCD là hỡnh chúp đều nờn SO  (ABCD) Qua O kẻ OI vuụng gúc với AB

 (SOI)  (SAB) Kẻ OH  SI  OH  (SAB)  d(O;(SAB)) = OH

Ta cú: AC = BD = a, OI = \f(a,2 Xột SAO ta cú: SO = SA - AO = \f(a,2

Xột SOI: \f(1,OH = \f(1,SO + \f(1,OI = \f(6,a  OH = a

B’

Vậy: d(O; (SAB)) = a

Bình luận:

1 Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:

- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra d(C;(SAB))

Ta có: \f(, = \f(CA,OA = 2  d(C;(SAB)) = 2a

2 Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC đến (SAB) ta sẽ làm như thế nào:

- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra d(K;(SAB))

Ta có OK∥(SAB)  d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a

Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì

đến mặt bên của khối chóp như sau:

- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra khoảng cách cần tính

Ví dụ 4: (ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình

chữ nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 Tính

khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD)

Lời giải.

H

I O

A D

A’

D’

B

S

D

C

J O

H

I

Gọi O là giao điểm của AC và BD  A’O  (ABCD)

Gọi E là trung điểm của AD  OE  AD, A’E  AD

 gúc A’EO là gúc giữa (ADD’A’) và (ABCD)  gúc A’EO= 60

 A’O = OE.tanA’EO = \f(AB,2.tan60 = \f(a,2

Ta cú B’C ∥(A’BD)

 d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD))

Kẻ CH  BD tại H  CH  (A’BD)  d(C;(A’BD)) = CH

Mà \f(1,CH = \f(1,CB + \f(1,CD = \f(4,3a  CH = \f(a,2

Vậy d(B’;(A’BD)) = \f(a,2

Bỡnh luận: Qua bài tập ta cú thể rỳt ra cỏch tớnh khoảng cỏch từ điểm I nào đú đến

mp() chứa đường cao của khối chúp như sau:

Bước 1: Xỏc định giao tuyến d của mp() và mặt đỏy

Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trờn mặt đỏy thuận lợi nhất, rồi tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mp(), bằng cỏch kẻ MH  d tại M  MH  ()  d(M;()) = MH Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra \f(,

Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa 1 đờng thẳng và 1 mặt phẳng song song.

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tất cả các

cạnh bên bằng a Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD)

Lời giải.

Do AB // CD ¿ } ¿¿ ⇒ AB// (SCD) ¿ Nên khoảng cách giữa AB và (SCD) là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên AB đến (SCD).Gọi I là trung điểm AB

Ta chứng minh đợc: (SOI)  CD ⇒ (SOI) ¿ (SCD)

Vậy mặt phẳng chứa I và vuông góc với (SCD) là (SOI)

Gọi J là trung điểm của CD Ta có:

H O

D A

H S

D

(SOI)⊥(SCD) ¿ } Mà (SCD)∩(SOI)=SJ ¿ } ¿¿ ⇒IH⊥(SCD) ¿

⇒ IH là khoảng cách từ I đến (SCD)

Trong SIJ ta có: 2dtSIJ = SO IJ = IH SJ

⇒ IH =

SO.IJ

a √ 6 3

Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đ-ờng tròn đđ-ờng kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = a

√ 6 Tính khoảng cách từ AD tới mặt phẳng (SBC).

Nhận xét:

Ta có: AD // BC ⇒ AD // (SBC)

Vậy khoảng cách giữa AD và (SBC) bằng khoảng cách từ A đến (SBC)

Để tính khoảng cách từ A đến (SBC) ta đi tìm hình chiếu của A trên (SBC)

Lời giải.

Trong mp (ABCD) kẻ AE⊥BC ¿ } ¿¿ ⇒( SAE)⊥BC (1) ¿

Mà BC ¿ (SBC) (2)

Từ (1) và (2)tacó(SBC)⊥(SAE) ¿ } Mà (SBC)∩(SAE)=SE ¿ } ¿¿ ⇒AH⊥(SBC) ¿

Vậy H là hình chiếu của A lên (SBC)

⇒ AH là khoảng cách từ A đến (SBC)

áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông SAE

1

AH2=

1

SA2+

1

AE2 Vì ABC = 120o ⇒ ABE = 60o

Trong tam giác vuông AEB có: AE = AB.sin60o =

a √ 3 2

Vậy

1

AH2 =

1 (a√6)2 +

1

6a2

⇒ AH2= 6a

a √ 6 3

Nhận xột: Việc tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng giỳp tớnh được khoảng cỏch từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song Và cả 2 loại khoảng cỏch này hỗ trợ cho việc tớnh khoảng cỏch của hai đường thẳng chộo nhau.

Bài toỏn 3 Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau.

Ví dụ7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA

vuông góc với đáy và SA = a Tính khoảng cách giữa AC và SD

Nhận xét:

Hai đờng thẳng AC và SD chéo nhau nhng không vuông góc với nhau nên ta dùng cách tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau bằng cách tính khoảng cách giữa đờng thẳng và mặt phẳng song song

Lời giải

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Dt // AC ⇒ (S, Dt) // AC

Vậy khoảng cách giữa AC và SD bằng khoảng cách giữa AC và (S, Dt)

bằng khoảng cách giữa A và (S, Dt)

Trong mp (ABCD) kẻ AI ¿ Dt

⇒ SI ¿ Dt (Định lí ba đờng vuông góc)

Dt⊥(SAC) ¿ } ¿¿¿ ⇒ (S, Dt) ¿ (SAC) (1)

Lại có: (S, Dt) ¿(SAI)=SI (2)

trong mp(SAI): kẻ AE ¿ SI (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AE ¿ (S, Dt)

Nên E là hình chiếu của A trên (S, Dt)