Khai thác một số tính chất của hình học phẳng vào rèn luyện kỹ năng và hình thành phương pháp giải các dạng toán về modul số phức cho học sinh lớp 12

Lý do chọn đề tài Chủ đề về số phức và các bài toán liên quan là một trong những chủ đề mới, có phần trừu tượng đối với học sinh khi mới tiếp cận; số lượng câu hỏi về phần số phức hằng n

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Chủ đề về số phức và các bài toán liên quan là một trong những chủ đề mới, có phần trừu tượng đối với học sinh khi mới tiếp cận; số lượng câu hỏi về phần số phức hằng năm trong đề thi THPT quốc gia (nay là tốt nghiệp THPT) chiếm với số lượng không ít và nó được phân bổ ở 4 mức độ (nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao), cụ thể trong năm 2019 đề thi có 5 câu số phức (trong đó có 1 VDT, 1 VDC), trong đề minh họa năm 2021 có 6 câu (trong

đó cũng có 1 VDT, 1 VDC) Chính vì vậy, bản thân tôi luôn luôn trăn trở, hết sức quan tâm đầu tư, suy nghĩ để làm sao có được phương pháp giảng dạy chủ

đề này phải đơn giản, giảm bớt khó khăn và tính trừu tượng, đưa vấn đề khó trở

về với những phần kiến thức đã biết, gần gũi

Chủ đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTLN, GTNN) về Modul của số phức là nội dung quan trọng và khó đối với học sinh, các câu hỏi dạng này cũng được khai thác khá nhiều trong các đề thi, kiểm tra thể hiện ở mức vận dụng thấp và vận dụng cao; đặc biệt trong đề thi tốt nghiếp THPT môn Toán thi ở hình thức trắc nghiệm thời gian dành cho mỗi câu trả lời chỉ khoảng 2 phút thì các bài toán cực trị của biểu thức ít được đề cập thì bài toán về GTLN, GTNN về modul số phức luôn được xem là phương án thay thế hợp lý trong việc phát hiện tính sáng tạo trong giải toán cho học sinh

Từ năm 2017 đến nay và các năm tiếp theo Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi môn Toán dưới hình thức trắc nghiệm khách quan nên việc trang bị cho học sinh các kiến thức, kĩ năng để giải bài toán cực trị modul số phức (bài toán vận dụng, vận dụng cao) trong thời gian ngắn một cách chính xác và không phạm sai lầm cũng rất quan trọng

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là:

“Khai thác một số tính chất của hình học phẳng vào rèn luyện kỹ năng và hình thành phương pháp giải các dạng toán về Modul số phức cho học sinh lớp 12”.

Việc giải bài toán số phức nói chung và bài toán cực trị nói riêng thì có nhiều phương pháp giải như: biến đổi đại số, dùng bất đẳng thức thông dụng, hàm số…nhưng trong đề tài Sáng kiến kinh nghiệm này của mình thì tôi chỉ dẫn dắt, định hướng học sinh khai thác tính chất hình học nhằm rèn luyện kĩ năng và hình thành phương pháp giải toán chứ không đặt nặng việc so sánh phương pháp giải nào nhanh hơn, tối ưu hơn Vì thực tế đa phần bài toán giải bằng hình học thì nhanh, dễ tiếp cận và thực hành cho học sinh nhưng nhiều bài toán nếu quan sát kĩ chúng ta dùng đại số thì nhanh hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các phương pháp và rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong việc giải quyết các dạng toán về Modul số phức nhằm hoàn thành bài thi trắc nghiệm khách quan môn Toán đạt kết quả cao

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Xây dựng các phương pháp, phân loại các dạng bài toán modul số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu định tính, định lượng và thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Modul số phức và các tính chất

+ Trong mặt phẳng phức Oxy (Oy là trục ảo; Ox là

trục thực), mỗi số phức z a bi;(a; b     ) được biểu diễn bởi

điểm M(a; b)

+ Mỗi số phức z a bi;(a; b     )được biểu diễn bởi

OM (a; b)  

và modul của số phức z:

2 2

z  a bi  a b OM OM

+ Kết quả:   z ta có:

1 2 1 2

2 2

1) z 0; z 0 z 0; z z 2) z z z z 3) z z

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong quá trình dạy học, việc giải quyết các bài toán vận dụng và vận dụng cao các bài toàn về số phức, đặc biệt là các bài toán về modul số phức thường gặp một số khó khăn sau:

- Bài toán GTLN, GTNN modul số phức là bài toán liên quan đến các bất đẳng thức, mà nói đến bất đẳng thức đa phần là học sinh “ngại” và thấy khó khăn nên lười suy nghĩ nên kết quả học tập không cao;

- Số phức là tập hợp số mới có nhiều dấu hiệu gây trở ngại, trừu tượng đối với học sinh như: mỗi số phức z = x + yi trong đó x, y là số thực và i2 = -1, hoặc thuật ngữ “modul” của số phức z,… nên việc tiếp xúc ban đầu của đa phần học sinh còn lúng túng hoặc khó chịu khi học tập Như vậy, nhiệm vụ của giáo viên phải tìm hiểu đối tượng và giúp học sinh vượt qua trở ngại

- Trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung, và bài toán số phức nói riêng sang bài toán Hình học để nhìn nhận bài toán một cách trực quan, gần gũi hơn thì ở nhiều học sinh còn khá lúng túng Vì vậy, việc giải các bài toán về số phức gây ra nhiều khó khăn cho học sinh

- Thực tế có nhiều tài liệu viết về dùng phương pháp hình học để giải bài toán cực trị số phức nhưng đa phần nhận thấy chưa đầy đủ, còn đơn giản, việc

trình bày còn chưa logic gây khó khăn khi triển khai trong quá trình dạy học cho học sinh

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

Để giúp học sinh vượt qua trở ngại và chuyển đổi, nhìn nhận các bài toán cực trị modul số phức dưới góc độ hình học được tốt thì phải rèn luyện kĩ năng tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

2.3.1 Sử dụng tính chất hình học vào tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức

2.3.1.1 Chuyển đổi ngôn ngữ từ số phức (đại số) sang hình học

+ Nếu điểm M z 1 là điểm biểu diễn số phức z1 và điểm N z 2 là điểm biểu diễn số phức z2 thì z1 z2 OM ON NM z, 1z2 OM ON  2OI

(I là trung điểm MN) Vì vậy, bài toán về số phức có thể nói đồng nhất với bài toán vecto trong mặt phẳng

Từ đó ta có: z1  z2             NM  MN z, 1 z2               OM ON                              2OI

Tương tự: Nếu điểm A, B, C biểu diễn các số phức z1, z2, z3 thì trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức 1 2 3

3

z z z

hay 3OGz1 z2 z3 + Trong mặt phẳng phức gọi M(x; y) biểu diễn số phức z, điểm A(a; b)

biểu diễn số phức z1  a bi, điểm B(c; d) biểu diễn số phức z2  c di Khi đó ta có bảng đẳng thức liên hệ giữa modul số phức z với quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z.

Liên hệ giữa modul các số phức Kết luận tập hợp điểm M x y ; 

z z  z z  MA MB Quỹ tích M là đường trung trực của đoạn AB

   0

z a bi R R  AM R Là đường tròn  C có tâm A a b ;  và bán kính

R

   0

z a bi R R  AM R Là hình tròn  C có tâm I a b ;  và bán kính R

(bao gồm đường tròn và các điểm bên trong)

R  z z R  R AM R

Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm I a b ;  và bán kính lần lượt R1 và R2

z z z z  k  MA MB  k

Nếu AB = 2k

Là đoạn thẳng AB

z z z z  k  MA MB  k

Nếu AB = 2l <2k

Là một elíp có trục lớn 2k và tiêu cự là

1 2 2

F F  l

Một số kĩ thuật biến đổi bài toán về dạng cơ bản ở trên:

1) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết w z z z 1  2 và số phức z thỏa mãn z z 0  a bi R (thêm yếu tố z0)

Từ w z z z 1  2 2

1

w z z

z



2



Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn bán kính 1

0

R z

z

2.3.1.2 Một số ví dụ minh họa rèn luyện kĩ năng cho học sinh

Dạng 1: Quỹ tích là đường thẳng

biểu diễn các số phức ztrên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng Phương trình đường thẳng đó là

A 4x 6y 3 0  B 4x6y 3 0 C 4x 6y 3 0 D 4x6y 3 0

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có z  1 i   z 1 2i nên quỹ tích là đường trung trực của AB với A(-1;1); B(1; -2)  4x 6y 3 0

Câu 4. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i  z 1

A Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x 2y  3 0

B Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x 2y  3 0

C Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 4y  3 0

D Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 4y 3 0 

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi z x yi, x y  , 

Ta có: z 2i  z 1

2.3.2 Sử dụng tính chất hình học vào giải các bài toán tính modul của số phức

Ví dụ 1: Cho ba số phức z1, z2,z3 thỏa mãn

2

1 2 3

1 2

1

2

z z z

z z















Tính giá trị của

biểu thức M z2  z3  z3  z1

A  6 2 3 B  6 2 3 C 6 2 2

2

  D 6 2 2

2

Hướng dẫn giải

Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục

tọa độ của các số phức z1, z2,z3

Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn O;1

1 2

MN z  z 6 2

4



cos

4

MON

Ta có: z3  z1 z z1 3  z1 z z3 1 z12 z z3 1 z z3 2 z z3 1 z2 6 2

2



2

    MOP  1500 NOP  600  NOP đều  NP 1

2 3 1

z z

2

M   

Ví dụ 2: Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z 1 3, z 2 4, z1  z2  5 Gọi A,

B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ Tính diện tích S của OAB với O là gốc tọa độ

A S 12 B S 5 2 C S 6 D 25

2

S 

Hướng dẫn giải

Ta có: z1 OA 3, z2 OB 4, z1  z2 AB 5

OAB

  vuông tại O (vì OA2 OB2 AB2) 1 6

2

OAB

S OA OB

Ví dụ 3: Cho hai số phức z1, z2 thỏa z1 z2  2 5 Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ Biết MN 2 2 Gọi H

là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON Tính

l KH

A l= 41 B l= 5 C l= 3 2 D l= 6 2.

Hướng dẫn giải

cos

MON

OM ON

Vì MON ONH    180  nên  4

cos

5

ONH  Xét tam giác HNK có



2 2 2 cos

HK  NH NK  NH NK KNH



2

OM  ON OM ON ONH

Ví dụ 4: Cho hai số phức z1, z2 có điểm biểu

diễn lần lượt là M1, M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 y2  1 và

1 2 1

z  z  Tính giá trị biểu thức Pz1 z2 A 3

2

P  B P  2 C.

2

2

P  D P  3

Hướng dẫn giải

Ta có M1, M2 cùng thuộc đường tròn tâm O0;0 bán kính R 1

Vì z1  z2  1 nên suy ra M M 1 2 1 Vậy tam giác OM M1 2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Gọi H là trung điểm của M M1 2 thì OH là trung tuyến của tam giác đều

1 2

OM M có cạnh bằng 1 Suy ra 1 3

2

2

Ta có Pz1 z2 OM                           1OM2

2OH

 

2OH

2.

2

Ví dụ 5: Cho hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1  2, z2  3 và nếu gọi M N,

lần lượt là điểm biểu diễn của z iz1 , 2 thì MON   30 , Tính 2 2

1 4 2

Pz  z

A P  5 B P 4 7 C P 3 3 D P 5 2

Pz  iz a  b  a b a b Với

a z  a  b iz  b 

Lại có a 2b2 a2 4 .cos30a b   4b2    4  a 2b  2

Và a 2b2 a2 4 .cos30a b   4b2 28    a 2b  2 7

Vậy P a 2 b a 2b  2.2 7 4 7  Chọn B

y

x

K

H

N M

O

2.3.4 Sử dung tính chất hình học vào giải các bài toán GTLN, GTNN modul số phức

Vấn đề 1 Điểm và đường thẳng Câu 1. Xét các số phức z w, thỏa mãn z+ - 2 2i = -z 4i và w iz= + 1. Giá trị nhỏ nhất của w bằng

A 2.

Câu 2. Xét các số phức z thỏa mãn z= - +z 1 2 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( 1 2 ) 11 2

P= + i z+ + i bằng

A 5.

2

Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn z+ - 1 i = -z 3 i Môđun lớn nhất của số phức 1

w

z

= là

A 2 5.

10

Câu 4. Xét các số phức z thỏa mãn z2 - 2z+ = 5 (z- + 1 2i z)( + - 3 1 i ) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= -z 2 2 + i bằng A 1. B 3.

2 D.

5.

Câu 5. Xét các số phức z thoã mãn z+ 2i = - -z 1 2 i Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện w= + ( 1 i z) + 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=w bằng A 1.

1

.

41

Câu 6. Xét các số phức z w, thỏa mãn z- - 1 3i £ +z 2i và w+ + 1 3i £ w- 2 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= -z w là A 13 1.

2

13 D.

3 26.

13

Vấn đề 2 Điểm và đường tròn Câu 1. Xét các số phức z thỏa mãn - iz+ = 1 1 Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=z. Tính S= 2020 - M+m. A S =2014. B.

2016.

Câu 2. Xét các số phức z thỏa mãn z- - 2 3i = 1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + +z 1 i lần lượt là A 13 2 + và 13 2 - B 13 1 + và

13 1 - C 6 và 4 D 13 4 + và 13 4 -

Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn ( 1 +i z) + - 1 7i = 2. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P=z. Tính S=M- m. A S =2. B S =4. C.

10.

Câu 4. Xét các số phức z w, thỏa mãn (1 ) 2 1

1

i z i

+ + =

- và w iz= Giá trị lớn nhất của biểu thức P= -z w bằng

Câu 5. Xét các số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1 - + = 1 i 1 và z2 = 2 iz1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 2z1 - z2 bằng

Câu 6. Xét các số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và 2 2

z w

z

= + là số thực Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P= + -z 1 i. A Pmax = 2. B.

Câu 7. Xét các số phức z thỏa mãn z ³ 2 Biểu thức P z i

z

+

= đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt tại z1 và z2 Tìm phần ảo a của số phức

Câu 8 Xét các số phức z thỏa mãn z =1. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của 2 .

2

z i P

z

+

=

- Tỉ số M m bằng A 5 3 2.

4

7

10 6 34.

9

9 +

Câu 9 Xét hai số phức z z1 , 2 thay đổi thỏa mãn z1 - z2 =z1 + + -z2 4 2i = 2. Gọi A B,

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

z +z Giá trị của

Câu 10. Xét các số phức z w, thỏa mãn | |z = 5 và w= -( 4 3i z) + - 1 2 i Giá trị nhỏ nhất của | |w bằng

Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z- + 1 2i = 5 và w= + + z 1 i có môđun lớn nhất Số phức z có môđun bằng A 6. B 2 5. C. 3 2.

D 5 2.

Câu 12. Xét các số phức z thỏa mãn z- - 2 4i = 2 2. Trong các số phức w thỏa mãn w z= ( 1 +i) , gọi w1 và w2 lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất Khi đó w1 +w2 bằng

A - + 2 6 i B 2 4 + i C - + 4 12 i D 4 8 + i

Câu 13 Xét các số phức z thỏa z- + 1 2i = 2 5và số phức w thỏa

( 5 10 + i)w= - ( 3 4i z) - 25 i Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 14. Xét các số phức z thỏa mãn z z+ + -z z =z2 Giá trị lớn nhất của biểu thức P= - -z 5 2i bằng

Vấn đề 3 Đường thẳng và đường tròn Câu 1 Xét các số phức z1 thỏa mãn 2 2

z- - z +i = và các số phức z2 thỏa mãn

z - - i = Giá trị nhỏ nhất của P=z1 - z2 bằng A 5. B 2 5.

C 2 5.

5

Câu 2 Gọi ( )C1 là tập hợp các số phức w thỏa mãn w+ - 2 3i £ w- + 3 2 i Gọi ( )C2

là tập hợp các số phức z thỏa mãn z- 2 4 + i £ 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= -w z bằng

A 2 3 1 - B 2 3 1 + C 3 2 1 - D 3 2 1 +

Câu 3 Xét các số thức z thỏa mãn z- 2i £ -z 4i và z- - 3 3i = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P= -z 2 1 + bằngA 5 2 + B 10 C 10 1 + D 13 1 +

Câu 4 Xét các số phức z w, thỏa mãn iz- 2i- 2 £ -z 1 và max{w+ - 2 2 ,i w}£ 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= -z w bằng A 1 .

2

C 9 .

2 5

Câu 5 Xét các số phức z w, thỏa mãn max{ ; 1 } 1.

ïïí

biểu thức P= -z w bằng

A 0. B 1.

-Câu 6 Kí hiệu S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z- 1 = 34 và

z+ +mi = + +z m i (trong đó mÎ ¡ ) Gọi z z1 , 2 là hai số phức thuộc tập hợp S

sao cho z1 - z2 là lớn nhất Khi đó, hãy tính giá trị của biểu thức z1 +z2 A.

Câu 7 Biết số phức z= +x yi x y ; ( Î ¡ ) thỏa mãn đồng thời z- ( 3 4 + i) = 5 và biểu

2

P= +z - z i- đạt giá trị lớn nhất Tính z.A z = 33 B z =50 C.

10

Câu 8 Xét các số phức z thỏa mãn z- - 1 3i = 13. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức 2 2

P= +z - z- i Tổng m M+ bằng A 10. B.

Câu 9 Xét các số phức z= +x yi x y ; ( Î ¡ ) thỏa mãn ( 1 +i z) + - 2 i = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = + +x y 3 bằng A 4. B 4 2. C.

Câu 10 Xét các số phức z thỏa mãn | z+ = + 2 1 2 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= - - |z 1 2 | |i + - -z 3 4 | |i + - -z 5 6 |i được viết dưới dạng a b, với a b là phân số tối giản Giá trị của a b+ bằng A 10. B 11. C 12. D 17.

Câu 11 Xét các số phức z z1 , 2 thoả mãn z1 - - 3 4i = 1, z2 + = 1 z2 - i và 1 2

2

i

là số thực Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 - z2 Tính

P=M+m

Câu 12 Cho z1 là số phức, z2 là số thực thoả mãn z1 - 2i = 1 và 2 1

1

i

-+ là số thực Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z1 - z2 là A 2. B.

Câu 13 Cho z= +x yi (x yÎ ¡, ) là số phức thỏa mãn z+ - 2 3i £ + -z i 2 £ 5. Gọi

,

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P=x2 +y2 + 8x+ 6 y Giá trị M+m

bằng

A 156 2 10.

Vấn đề 4 Đường tròn và đường tròn Câu 1. Xét các số phức z z1 , 2 thỏa mãn z -1 4 = 1 và iz -2 2 = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z1 + 2z2 bằng

Câu 2. Xét các số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1 - 3i+ = 5 2 và iz2 - + 1 2i = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức P= 2iz1 + 3z2 bằng A 313 16 + B 313. C.

Câu 3. Xét các số phức z z1 , 2 thỏa mãn z =1 12 và z2 - - 3 4i = 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z1 - z2 bằng

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z z = 1 và z- 3 + =i m ?

Câu 5. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i- ³ 3 và z- 1 5 £ Gọi

1 , 2

z z Î S lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng ?

A z1 + 2z2 = - 12 2 i B z1 + 2z2 =- + 2 12 i C z1 + 2z2 = - 6 4 i D z1 + 2z2 = 12 4 + i

Câu 6. Xét các số phức z thỏa mãn 1 £ -z 2 + £i 4. Gọi M là giá trị lớn nhất của

2 3

z- + i , m là giá trị nhỏ nhất của z+ - 2 2i Tính M+m. A M+ =m 3. B.

5.

M+ =m C M+ =m 6. D M+ =m 7.

Câu 7 Xét các số phức z thỏa mãn 2 2 5.

ìï + £ ïï

ïïî Giá trị lớn nhất của T = + -z 1 4i

bằng

Câu 8. Xét các số phức z= +x yi x y , ( Î ¡ ) thỏa mãn 1 1 .

ìï - - ³ ïïí

ïïî Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P= +x 2 y Tỉ số M m bằng

A 5.

5

Câu 9. Xét các số phức z= +x yi x y ; ( Î ¡ ) thỏa mãn 1 3 .

ìï - - ³ ïïí

ïïî Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= +x 3y bằng A 5. B 7. C 13.

D 4 3 10 +

Vấn đề 5 Parabol Câu 1 Xét các số phức z a bi a b= + , ( Î ¡ ) thỏa ( ) ( ) 2

4

P=- +a b khi 1 3

2

z- + i đạt giá trị nhỏ nhất A P =4. B P =5.

Câu 2 Xét hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn 2z1 + =i z1 - z1 - 2i và z2 - -i 10 1 = Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 - z2 bằng A 10 1 + B 3 5 1 - C.