Sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình đại số và giải tích lớp 11

Lý do chọn đề tài Dãy số và các bài toán về dãy số là một cơ sở quan trọng để học sinh nắmđược kiến thức của chương trình giải tích THPT.. Trong đó chuyên đề về tìmcông thức SHTQ của dãy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN,

ĐỂ TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ,

TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11.

Người thực hiện: Thiều Minh Tiến Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA, NĂM 2021

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 3

1.1 Cơ sở thực tiễn 3

1.2 Cơ sở khoa học 3

Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ 4

2.1 Phương pháp chung 4

2.2 Dạng toán cho vấn đề nghiên cứu -ứng dụng 4

2.3 Bài toán tìm SHTQ của dãy số dựa vào csc và csn 5

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dãy số và các bài toán về dãy số là một cơ sở quan trọng để học sinh nắmđược kiến thức của chương trình giải tích THPT Dãy số có nhiều cách cho khácnhau, các bài toán về dãy số cũng rất đa dạng Nhưng có lẽ khi biết công thức sốhạng tổng quát của dãy số, chúng ta có được “chiếc chìa khóa” quan trọng nhấtgiúp ta hình dung tốt nhất về dãy số đó cũng như làm cơ sở để giải quyết tốt cácbài toán liên quan tới nó Đáng tiếc điều này không dễ và không phải bao giờcũng làm được

Trong chương trình SGK việc tìm SHTQ của dãy số cũng được đề cập tới,song chỉ dừng lại ở dạng đơn giản nhất thường trực tiếp là CSC hay CSN hay ởdạng yêu cầu chứng minh quy nạp (kết quả SHTQ đã rõ) Với hai mục đích quantrọng của mô hình trường chuyên: ngoài đào tạo kiến thức cho học sinh đáp ứngnhu cầu thi Đại học, còn phải trang bị cho học sinh các kiến thức chuyên sâu củamôn chuyên để làm tiền đề cho các em có thể phát triển tốt hơn sau này, chúng

ta đã xây dựng hệ thống các chuyên đề bổ trợ kiến thức cho học sinh cũng như

có những chuyên đề đặc biệt để bồi dưỡng HSG Trong đó chuyên đề về tìmcông thức SHTQ của dãy số có lẽ đáp ứng cả hai yêu cầu đó, ngoài là dạng toán

cơ bản về dãy số, tìm SHTQ của dãy số cũng hay xuất hiện trong các bài thiHSG các cấp (một ý riêng rẽ cũng có thể là một bước quan trọng trong một vấnđề)

Tuy nhiên các tài liệu viết về chuyên đề này thường không đầy đủ,rời rạc hoặc gây cho học sinh có cảm giác “rất khó” Trên cơ sở chuyên đề đãgiảng dạy trong năm qua, tôi mạnh dạn tập hợp các dạng toán về "Sử dụng cấp

số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trìnhđại số và giải tích lớp 11” để góp phần giúp khắc phục những khó khăn đã nêu

ở trên

Mong được chia sẻ ý kiến với các em học sinh tôi dạy và các quý đồngnghiệp

2 Nhiệm vụ của đề tài

Với những lý do và mục đích đã nêu ở trên thì nhiệm vụ của đề tài là:+ Củng cố kiến thức về dãy số, CSC, CSN, phương pháp chứng minh quynạp trong chương trình lớp 11

+ Xây dựng phương pháp giải cho một lớp các bài tập về tìm công thứcSHTQ của dãy số dạng cơ bản

3 Đối tượng nghiên cứu

Các dãy số được đề cập trong chương trình phổ thông và các dãy số đặcbiệt khác

4 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung, kiến thức về dãy số dành cho đối tượng là học sinh bậc THPT

là rất phong phú và đa dạng Bài viết nhỏ này chỉ đề cập đến một vấn đề rất nhỏ

đó là: Sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy sốtrong chương trình đại số và giải tích lớp 11

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được nghiên cứu trên cơ sở phân tích tính chất các dãy số, liênquan đến quá trình tìm công thức SHTQ của nó, dựa trên việc nghiên cứu sáchgiáo khoa nâng cao lớp 11 hiện hành, các sách tham khảo ôn luyện thi đại học,

và qua việc trực tiếp giảng dạy

NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở thực tiễn

Dãy số và các bài toán về dãy số là một cơ sở quan trọng để học sinh nắmđược kiến thức của chương trình giải tích THPT vì nó là một cơ sở để xây dựngnên khái niệm giới hạn, từ đó đến các khái niệm khác của giải tích Việc tìmđược công thức SHTQ là vấn đề hay đặt ra khi nghiên cứu dãy số

Vì vậy đề tài này cung cấp một số phương pháp tìm công thức SHTQ củadãy số, nhằm trang bị cho các em học sinh kiến thức, phương pháp và kỹ năngcần thiết chuẩn bị tốt cho các kì thi Đại học

Cụ thể đề tài đề cập đến phương pháp chung để giải các bài toán dạng:+ Ứng dụng phép quy nạp tìm công thức SHTQ của dãy số

+ Ứng dụng CSC, CSN tìm công thức SHTQ của một số dãy không phải CSC,CSN

1.2 Cơ sở khoa học

Phương pháp quy nạp toán học

Dãy số và các khái niệm liên quan

Cấp số cộng và cấp số nhân

Một số dãy số đặc biệt khác liên quan đến phương pháp sai phân

Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ 2.1 Phương pháp chung

* Bài toán tổng quát

Cho dãy số (u n).Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (u n).

* Phương pháp

+ Phương pháp quy nạp toán học.

+ Đặt dãy số phụ quy về các dãy số đã biết công thức SHTQ

+ Xét một phương trình liên quan đến tìm công thức SHTQ của dãy số (một sốtài liệu gọi tên là phương trình đặc trưng của dãy số)

2.2 Dạng toán cho vấn đề nghiên cứu -ứng dụng

2.2.1 Khái niệm dãy số

a)Dãy số.Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ¥* được gọi là

một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu

Dãy số ( ) un được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n+1<u n với mọi nÎ ¥*

Chú ý Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Chẳng hạn, dãy số ( ) un với

( )3 n

n

u = - tức là dãy - 3,9, 27,81, - không tăng cũng không giảm.

c)Dãy số bị chặn Dãy số ( ) un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao

cho

Dãy số ( ) un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là

tồn tại các số m M , sao cho

1 2

n n

u u n S

n n

2.3 Bài toán tìm SHTQ của dãy số dựa vào cấp số cộng và số nhân

DẠNG 1.Tìm SHTQ dạng đa thức khi biết các số hạng đầu tiên

Nhận xét Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó.Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau,đặt

Ví dụ 1.1.Cho dãy số   un có dạng khai triển sau

1,-1,-1,1,5,11,19,29,41,55,

Hãy tìm SHTQ của dãy số.

2 9

4 1

5 5

1 4

Trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy

Cho n=1,2,3 thay vào công thức (*) ta được hệ phương trình sau

ta tính được a  1,b  5,c  5.Vậy số hạng tổng quát un  5 n2  5 n  5

Ví dụ 1.2 Cho dãy số   un có dạng khai triển sau 5,-3,11,43,99,185,307,471,

Hãy tìm SHTQ của dãy số

Lời giải :Bảng giá trị ban đầu

Ta thấy hàng 3ukkhông đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba

u n an3bn2 cn d a , 0 (**)Cho n=1,2,3,4 thay vào công thức (**) ta được hệ phương trình

Vậy SHTQ của dãy là un   n3 5 n  1

Bài tập tương tự Với mỗi dãy số sau đây,hãy tìm SHTQ của dãy số

Suy ra   un là CSN với số hạng đầu u1 a và công bội bằng q.

Với 3 trường hợp 1,2 và 3 dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy sốhằng,CSC và CSN Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạngtổng quát.

Trên cơ sở của 3 dãy này ,để giải trường hợp 4 bằng phương pháp đặt một dãy

số mới   vn liên hệ với dãy số   un bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa

được về dãy số   vn mà   vn là dãy số hằng hoặc CSN.

Vấn đề đặt ra là mỗi quan hệ giữa   un và   vn bởi biểu thức nào mới có thể đưa

dãy   vn thành dãy số hằng hoặc CSC,CSN hoặc trường hợp 4.Qua quá trình tìm

tòi ,tác giả đã tìm ra một số dạng sau

Cách 2 Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triển)

Trường hợp 2.Nếu q  thì đặt dãy 1   vn sao cho n n 1 ,

Khi đó dãy   vn lại có DẠNG 1

Ví dụ 1.4.Tìm SHTQ của các dãy   un biết,

Trường hợp 3.Nếu c q  thì 1 , 1 n

u  a u   qu  rq ,đặt dãy un  q vn n ,thay vào

CTTH của dãy   un ta được 1  

q q

và công sai .

r d q



Ví dụ 1.5.Cho dãy   un biết 1 1

11,

Thay vào CTTH ta được

Lời giải

Đặt dãy số   vn sao cho

1

n n

u v

v u

và công sai d  1.

u v

u  



KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Qua những gì tôi đã trình bày, hy vọng phần nào giúp cho các em họcsinh nắm vững hơn về các bài toán về tìm công thức SHTQ của một dãy số, hệthống hóa được các bài toán cùng loại, có các phương pháp đa dạng tiếp cận loạibài toán này, từ đó có thể giúp các em học tập tốt hơn

Như chúng ta đã biết, hiện nay trên thị trường có rất nhiều tài liệu thamkhảo Tuy nhiên, bản thân các em học sinh rất khó lựa chọn cho mình một tàiliệu phù hợp, mang tính hệ thống hóa một vấn đề nào đó Vì vậy qua những ýkiến nhỏ bé của cá nhân tôi được đúc kết qua quá trình nghiên cứu và trong quátrình giảng dạy thực tiễn, hy vọng phần nào giúp các em học sinh có thêm mộttài liệu tham khảo về vấn đề đã được nêu Qua tài liệu này, tôi cũng mong có thểgiúp các em xâu chuỗi các kiến thức, thấy được những ứng dụng đặc sắc củanhững kiến thức dường như đơn giản nhất, tiếp cận tự nghiên cứu, tự sáng tạotrong học tập bộ môn Toán

Các vấn đề được trình bày trong tài liệu này chỉ là ý kiến riêng của cánhân bản thân tôi, nên không tránh khỏi những sai sót và hạn chế Vì vậy tôi rất

mong được sự góp ý chân thành và quý báu của đồng nghiệp,các em học sinhcũng như những ai quan tâm về vấn đề này, để bài viết được hoàn thiện hơn.

2 Kiến nghị

Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thựcphục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sángkiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoahọc của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh

được tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số,

NXB Quốc Gia Hà Nội

[2] Phạm Văn Ga (2016), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi

thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân Nxb Đại học

Quốc Gia Hà Nội

[3] Nguyễn Thành Giáp, Phạm Văn Quốc (2003), Một số Bài toán về dãy số,

Nxb Đà Nẵng

[4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số và ứng dụng, Nxb

Giáo dục

[5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thị Nhung(2003), Phương pháp lượng giác xác

định dãy số và tính giới hạn, Nxb Sư phạm Hà Nội.

[6] Lê Đình Thịnh (2011), Bài toán phương trình sai phân, Nxb Giáo dục.

[7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên ), Đặng Đình Châu,Lê Đình Định,

Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân và một số ứng dụng, Nxb Giáo

dục

[8] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, Nxb Đại

học Quốc Gia Hà Nội

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Lê Đình Sinh

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Thiều Minh Tiến