Sử dụng phương pháp thể tích giải các bài toán về khoảng cách trong không gian giúp học sinh lớp 12 trường THPT nông cống 3 ôn thi tốt nghiệp THPT

Nhận thấy khó khăn học trò đang gặp phải tôi đã nghiên cứu và áp dụng đề tài “Sử dụng phương pháp thể tích giải các bài toán về khoảng cách trong không gian giúp học sinh lớp 12 trường T

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục Bộ giáo dục đặt ra mục tiêu nhiệm vụ đổi mới phương pháp giảng dạy là then chốt Vì vậy để

có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi đã không ngừng suy

nghĩ, đặt mình vào vị trí học trò để tìm tòi, suy nghĩ

Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán, bản thân tôi thấy phần hình học không gian thuộc chương trình hình học 11 học sinh còn lúng túng trong việc suy luận tìm ra phương pháp giải Phần hình học không gian luôn xuất hiện trong các đề thi từ trước đến nay Hiện nay các bài toán liên quan đến hình không gian gần như được xếp mặc định trong các đề thi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao (từ câu 36 trở đi trong đề trắc nghiệm 50 câu hỏi) Thực trạng cho thấy các bài toán về khoảng cách gây ra nhiều khó khăn cho HS đặc biệt là HS trung bình, yếu Nhận thấy khó khăn học trò đang gặp phải tôi đã nghiên cứu và áp

dụng đề tài “Sử dụng phương pháp thể tích giải các bài toán về khoảng cách

trong không gian giúp học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 3 ôn thi tốt

nghiệp THPT” nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp dễ hiểu, dễ áp dụng để các em dễ tiếp thu, tìm tòi, và có động lực nghiên cứu toán học Từ đó

trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số

kỹ năng giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải giải bài toán trắc nghiệm nhanh hơn bằng kiến thức cơ bản đã học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi

Nội dung đề tài rất bổ ích thiết thực, giúp các em học tốt, thi tốt

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho

học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các

kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu đối với các bài toán về khoảng cách trong không gian, các công thức tính thể tích của các hình khối và được thử nghiệm đối với học sinh lớp 12C1, 12C2 năm học 2019 – 2020 và tiếp tục áp dụng đối với HS lớp 12 A2, 12A3 năm học 2020-2021 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số bài toán mà học sinh thường khó khăn trong hướng tiếp cận cũng như trong quá trình giải tnoán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp đối thoại với người học

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Các khái niệm

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

a là MH , với H là hình chiếu của M trên

đường thẳng a

Kí hiệu: d M a( , ) =MH

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng( )a

là MH , với H là hình chiếu của M trên

mặt phẳng ( )a

Kí hiệu: d M( ,( )a =) MH

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song

song là khoảng cách từ một điểm bất kì

thuộc đường này đến đường kia

d a b =d M b =MH M Î a

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )a

song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M

bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng ( )a :

d aéêë a ùúû=d Méêë a ùúû=MH M Î a

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là

khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng

này đến mặt phẳng kia

( ) ( ), ,( ) A,( ) ( ( ), )

déêëa b ùúû=d aéêë b ùúû=déêë b ùúû=AH aÌ a A aÎ

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a b, và cùng vuông góc với mỗi

đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của a b, IJ gọi là

M



M

H a



M

b



M

H a





a

đoạn vuông góc chung của a b,

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng đó

2.1.2 Các công thức tính thể tích của các hình khối thường gặp

+, Thể tích khối chóp:

.

V

S

+, Thể tích khối lăng trụ :

. đ

đ

V

V h S h

S

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi TN THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán về khoảng cách trong không gian luôn xuất hiện Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ

VD, VDC đa số các em học sinh còn lúng túng trong tư duy, phương pháp giải

cũng như trong quá trình giải toán Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết hoặc tâm lý mặc định “khó quá bỏ qua” Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, hướng dẫn các em học sinh có kĩ năng, phương pháp, cách giải kể cả quá trình giải là việc cần thiết Từ đó HS có thể giải nhanh các bài tập dạng trắc nghiệm

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn hướng giải trên cơ sở phân tích bài toán khoảng cách trong không gian

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

2.3.1 Các ví dụ sử dụng phương pháp

a

b

c

J

b J

I





Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc,

AB a AC a  và diện tích tam giác SBC bằng

2 33 6

a

Tính khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Giải:

Ta có thể tích của khối chóp S.ABC là

Suy ra

.

33

S ABC SBC

d A SBC

S

bên với mặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Giải:

Ta có:

3 0

.sin 60

,

0

3 3 cos60

GI a

Suy ra

2 3 6

S 

Vậy

3

2

3

4 3 6

S ABC SBC

a

d A SBC

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SCD

Giải:

Ta tính được

3

.SH

  . .

1

3 2 3

SCD

S ACD SCD

V S

V

d A SCD

 Tính diện tích tam giác SCD:

Ta có:CD a ;

5 2

a

HC HD

Vì SC SD nên gọi E là trung điểmCD :

2

a

SE SC  CE 

2

SCD

7

a

d A SCD

(Có thể dùng công thức Hê-rông kết hợp MTCT để tính diện tích tam giác SCD

)

3

2

a

SD 

, hình chiếu vuông góc của S trên  ABCD là trung điểm cạnh AB

Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD .

Giải:

Ta có:BD a 2 ;

3 2

a

SD 

2

a

SB SH HB 

Dùng công thức Hê-rông kết hợp MTCT:

; 2

2

SBD

SB SD BD

p



Ta tính được

3

.SH

1

3

3

SBD

S ABD SBD

S

V

d A SBD



AB a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC trùng với trung

điểm H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính

khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC A  theo a

Giải:

Ta có:

d B ACC A d B ACA

3

V   A H S  a

ACA

 có:

AC a AA  AH A H  a A C  A H 2 CH2 a 6

Suy ra:

2

15 2

ACA

S  a

.Vậy d B ACC A ,    2 15



AB a BC  a Gọi H M, lần lượt là trung điểm của OA AA¢, Hình chiếu

vuông góc của A¢ lên mặt phẳng ABCD trùng với điểm H Biết góc giữa

cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

CDD C 

Giải:

Ta có:

3

.

2

 

3

;

2

d M CDD C d A CDD C

d A CDC



Xét tam giác CDC ta có: CD a ,

2

a

CCA A A H AH 

2

a

C D  C E ED  C E KD KE 

Suy ra,

2 19 8

S 

19

a

d M CDD C  

cách đều các điểmA B C, , Biết AC2 ,a BC a , góc giữa đường thẳng SB và

mp ABC bằng 600 Tính khoảng cách từ trung điểmM của SCđến mp SAB 

theo a

Giải:

Ta có :  ,   3 MSAB

SAB

V

d M SAB

S



Tam giác ABC vuông tại B 

AB AC  BC  a  a a

Mặt khác :

SAMB

SABC

V

Lại có :

3

V  SH S  SH AB BC  a a a

3

1

Tam giác SHK vuông tại H nên

2

3

SK  SH HK  a  

Do đó :

2

Vậy :  ,   3 39

13

MSAB SAB

d M SAB

S

AB a AD  a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC

tạo với đáy một góc 600 Gọi M N, là trung điểm các cạnh bên SA và SB. Tính

khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng DMN

Giải:

Ta có:  ,   3 SMND

MND

V

d S DMN

S



//

MN AB

AB SAD







Tam giác MND vuông tại M :

2

Mặt khác :

3

SMND

SABD

Vậy  ,   60

31

a

d S DMN 

hợp với BCC B  một góc 300.H, M lần lượt là trung điểm của BC và AB

Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng AHB

Giải:

Góc hợp bởi AB và mặt phẳng BCC B  bằng góc AB B 300

Tam giác ABB vuông có:

0 3

tan 30

AB

BB  a

Ta có:

V  V   AB S  a 

V   AB S  a 

Ta có: AHB vuông tại H nên

2

S  AH B H  

2

;

8

MAHB

AHB









Tam giác SAB có góc SBA  600 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC theo a

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia tỉnh Nam Định 2017-2018)

Giải:

Kẻ SH AB tại H  SH  ABC

Kẻ HK BC tại K  SK BC

Có

2

2

2

a

SK

SK a

h

HB 

;

7

Do đó  ,   . 6 21

7

2.3.2 bài tập tự luyện

Câu 1: [THPT Đặng Thúc Hứa] Cho lăng trụ đều có cạnh đáy

bằng và có thể tích bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

Câu 2: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho khối chóp có thể tích

bằng và đáy ABCD là hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB bằng

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Câu 3: [THPT Đặng Thúc Hứa] Cho lăng trụ đều có cạnh đáy

bằng và có thể tích bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

Câu 4: [THPT TH Cao Nguyên] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều

cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng

Tính cạnh bên

Câu 5: [Sở Hải Dương] Cho lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng , thể tích

bằng Tính độ dài cạnh đáy

.

ABC A B C  

a

3

3 4

a

A C

15 3

a

15

a

d 

15 5

a

15

a

d 

.

S ABCD

3

SB CD 2

2

2

a

.

ABC A B C  

a

3

3 4

a

A C

15 3

a

15

a

d 

15 5

a

15

a

d 

.

S ABC

3

2

a

SA

3

3

a

3 2

a

a

3

4a

Câu 6: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho khối chóp có thể tích

bằng và đáy ABCD là hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB bằng

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Câu 7: [THPT Chuyên Quang Trung] Cho hình chóp có đáy

là hình vuông cạnh , thể tích khối chóp là Tính chiều cao của hính chóp

Câu 8: [Cụm 8 HCM] Khối chóp tam giác đều có thể tích , cạnh đáy

bằng thì chiều cao khối chóp bằng

Câu 9: [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp có đáy là

hình thoi cạnh , Gọi là trung điểm Biết

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Câu 10: [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Cho khối chóp có thể

tích bằng Mặt bên là tam giác đều cạnh và đáy là hình bình

hành Tính theo khoảng cách giữa và

Câu 11: [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình chóp có đáy là

hình thoi cạnh bằng Biết và hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng và bằng Tính

khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 12: [THPT Tiên Lãng] Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và

cạnh đáy đều bằng Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

là:

.

S ABCD

3

SB CD 2

2

2

a

.

3

2

V  a

2a 3

6

a

6 3

a

3

3

a

.

 120 , 0  45 0

6

5

3

4

6

a

.

S ABCD

3

a

3

a

2 3

a

.

2a 3 BAD 120  SAB SAD

SBC ABCD 45

3

h a

2 2 3

a

h 

2 2

h a

3 2 2

a

h 

A B C D

Câu 13: [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Hình chóp có đáy

Tính khoảng cách từ đến

Câu 14: [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Cho hình lăng trụ có đáy

là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

trùng với trọng tâm của tam giác Biết thể tích của khối lăng trụ là

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

Câu 15: [THPT chuyên KHTN lần 1] Cho khối đa diện đều mặt có thể tích

là và diện tích của mỗi mặt của nó là Khi đó tổng khoảng cách từ một

điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng

Câu 16: [THPT HÀM LONG] Cho hình chóp có đáy là hình vuông

cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáy Khoảng cách từ đến mặt phẳng là

Câu 17: [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Cho hình chóp có đáy là hình

vuông cạnh , Hình chiếu vuông góc của lên mặt là

trung điểm của đoạn Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách giữa

hai đường và theo

6

3

2

2

6

a

.

,

B BA 3 ; a BC 4 , a SBC  ABC. SB 6 ; a SBC  60 

B SAC.

19 57

57

19

a

17 57

57

57

a

.

ABC A B C  

ABC

3 3 4

a

AA BC

4

3

4

2

3

a

n

V

V S

3V

S

nV S

.

S ABCD

a SAB

21

7

14

21

3

a

.

S ABCD

a

17 2

a

SD 

.

3

5

5

5

7

a

Câu 18: [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình chóp đều có thể tích bằng

, mặt bên tạo với đáy một góc Khi đó khoảng cách từ đến mặt

là

Câu 19: [THPT Tiên Du 1] Cho khối mặt đều có thể tích và diện

tích mỗi mặt của nó bằng Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm nằm

trong đến các mặt của nó bằng

Câu 20: [THPT Thuận Thành 2] Cho hình lăng trụ đứng có đáy

là tam giác cân đỉnh , đường thẳng tạo với mặt phẳng một

góc và Gọi lần lượt là trung điểm

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Câu 21: [THPT Quế Vân 2] Cho lăng trụ có đáy là hình

chữ nhật , Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng

trùng với giao điểm và Góc giữa hai mặt phẳng và

bằng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

A

Câu 22: [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp có đáy là

hình thoi cạnh , Gọi là trung điểm Biết

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Câu 23: [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình chóp có đáy là

hình thoi cạnh bằng Biết và hai mặt phẳng và

.

S ABC

3 3

24

a

SBC

2

2

a

3

a

3 4

2

a

S

 H

3

4

V

V S

3V

V S

.

ABC A B C  

60 ABAA a M N P, , BB CC BC ,  ,

15

5

5

5

15

a

1 1 1 1

ABCD A B C D ABCD



3

2

6

4

3

a

.

 120 , 0  45 0

6

5

3

4

6

a

.

2a 3 BAD 120  SAB SAD

cùng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng và bằng Tính

khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 24: [THPT TH Cao Nguyên] Cho hình chóp có đáy là hình

vuông cạnh , , hình chiếu vuông góc của lên mặt là

trung điểm của đoạn Tính chiều cao của khối chóp theo

Câu 25: [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho tứ diện có thể tích bằng

Hai cạnh đối và tạo với nhau góc Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng và

Câu 26: [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Cho hình tứ diện có vuông góc

với , vuông góc với , vuông góc với ; biết , ,

, với Gọi , tương ứng là trung điểm của hai cạnh ,

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

Câu 27: [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Cho hình chóp có đáy là tam giác

đều cạnh , là trung điểm Biết là tam giác đều và mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

SBC ABCD 45

3

h a

2 2 3

a

h 

2 2

h a

3 2 2

a

h 

.

S ABCD

a

17 2

a

SD 

3

7

5

5

5

a

x

2

 ,  3

3

EFGH EF

12

24 29.

29

a

29

a

29

a

29

a

d 

.

S ABC

SAB

6 13

7

13

7

13

a

Câu 28: [Sở Nam Định 2018]Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình

bình hành Thể tích của khối chóp S ABCD. bằng 3 a3 Biết diện tích của tam

giác SAD bằng 2 a2 Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SAD.

A h a . B

9 4

a

h 

C

3 2

a

h 

D

4 9

a

h 

Câu 29: [Sở Nam Định 2018]Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác

vuông,ABAC a Tam giác SAB có ABS  60 và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC

theo a

A

21 7

a

d 

B d a 3 C d 2a 3 D

3 2

a

d 

Câu 30: [Sở Nam Định 2018]Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a; SAABCD và SA 2a Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt

phẳng SCD

A

5 5

a

d 

4 5 5

a

d 

D

2 5 5

a

d 

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn

thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy

nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã

hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học

lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị

động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao được

chất lượng giáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh

cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà

trường

Trong năm học 2019 – 2020 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho

lớp 12C1, 12C2 không áp dụng cho lớp 12C3 Sau khi kết thúc kỳ thi THPT

Quốc gia năm 2020 kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12C1 có 91% học sinh giải

được các bài toán về khoảng cách trong không gian, lớp 12B2 có 87% học sinh

giải được các bài toán về khoảng cách trong không gian trong khi lớp 12C3 chỉ

có 31,33% Năm học 2020 – 2021 tôi tiếp tục áp dụng vào lớp 12A2 và 12A3

kết quả bước đầu tại kỳ thi thử do Sở GD&ĐT Thanh Hóa ra đề học sinh tại 2

lớp đều làm tốt phần khoảng cách (đạt trên 90%)