Khai thác bài tập số 4 trang 25, sách giáo khoa hình học 12 chương trình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

Bài tập 4 ở trang 25, sách giáo khoa hình học 10 chương 1 là một ví dụ điển hình choviệc khai thác một bài toán trong sách giáo khoa để có thêm phương pháp giảitoán hình học 12 đó là “Ph

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

CÓ THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NHẰM TẠO

HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH

Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng

Nội dung Trang

1.Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung nghiên cứu 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.1.1.Một số công thức thường gặp trong hình phẳng 3

2.1.2 Kiến thức cơ bản về thể tích khối đa diện 4

2.1.2.1 Khái niệm về thể tích khối đa diện 4

2.1.2.2 Một số công thức tính thể tích khối đa diện 4

2.2 Thực trạng của đề tài 4

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Bài toán mở đầu 5

2.3.2 Tính tỉ số thể tích các khối đa diện 7

2.3.2.1.Tỉ số thể tích khối chóp .7

2.3.2.2 Tỉ số thể tích khối lăng trụ 10

2.3.3.Tính thể tích các khối đa diện 11

2.3.4 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 13

2.3.5 Tính diện tích đa giác 16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

3 Kết luận, kiến nghị 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

Tài liệu tham khảo……… 19

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Khai thác tài liệu để phục vụ công việc giảng dạy là một việc làm thường

xuyên của giáo viên góp phần nâng cao chất lượng trong mỗi bài giảng Trongcác học liệu phục vụ giảng dạy và học tập thì sách giáo khoa là một trong nhữnghọc liệu quan trọng nhất Các bài tập trong sách giáo nói chung và sách giáokhoa môn toán nói riêng thường được chọn lọc rất cô đọng ở mỗi dạng toán và

ẩn chứa trong đó nhiều nội dung quan trọng mà càng suy ngẫm càng thấy hay,càng khám phá cho ta thêm nhiều vấn đề mới, từ đó thêm được công cụ để giảiquyết các dạng toán liên quan khác một cách gọn gàng hơn, tinh tế hơn Bài tập

4 ở trang 25, sách giáo khoa hình học 10 chương 1 là một ví dụ điển hình choviệc khai thác một bài toán trong sách giáo khoa để có thêm phương pháp giảitoán hình học 12 đó là “Phương pháp tỉ số thể tích”

Trong thực tế giảng dạy môn Hình học lớp 12 ta thấy: Có nhiều bài toántính thể tích tưởng như rất khó rất phức tạp, vì cần tính độ dài đường cao và diệntích đáy nhưng chỉ vài kỹ thuật áp dụng phương pháp tỉ số thể tích thì ta nhanhchóng giải quyết bài toán rất “đẹp” một cách bất ngờ Sử dụng thành thạo

“Phương pháp tỉ số thể tích” ấy nhiều khi biến những bài phức tạp thành nhữngbài rất quen thuộc với cách giải ngắn gọn và dễ hiểu Đặc biệt các kỹ thuật đó rấtphù hợp với cách làm những dạng toán thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốcgia những năm 2017, 2018, 2019 hay kì thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 và 2021này

Chính vì vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Khai thácbài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để cóthêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh”, vớimục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng một bài toán trong sáchgiáo khoa làm công cụ để giải các dạng toán như: Tính thể tích và tỉ số thể tíchcác khối đa diện; tính khoảng cách; tính diện tích đa giác Đặc biệt có thể giúphọc sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung học phổ thôngQuốc gia trước đây hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông hiện nay

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác bài tập số 4 trang 25, Sáchgiáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để giải các dạng toán như: Tínhthể tích và tỉ số thể tích các khối đa diện; tính khoảng cách; tính diện tích đa giác

Biết vận dụng “ Phương pháp tỉ số thể tích” vào giải các bài tập hình họcliên quan đến tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng và các dạng toán khác liên quan như tính diện tích đa giác Từ đó rènluyện cách nhìn đa chiều của học sinh về một bài toán, một công thức hay mộttính chất của toán học, góp phần nâng cao nhãn quan toán học cho học sinh

Từ đó góp phần cải thiện, nâng cao chất lượng dạy học môn toán ởtrường Trung học phổ thông Đồng thời cũng giúp học sinh ôn luyện tốt kiếnthức chuẩn bị cho các kỳ thi như thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như

kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường Đại học của nước ta

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tàilà:

- Nghiên cứu cách khai thác một bài tập trong sách giáo khoa

- Các bài tập về tính thể tích khối đa diện; tỉ số thể tích khối đa diện; cácbài tập tính khoảng cách; các bài tập tính diện tích đa giác trong chươngtrình toán Trung học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phươngpháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:

-Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

-Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiếnvới đồng nghiệp về nội dung Thể tích khối đa diện

-Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

-Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Cơ sở lý luận

Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết

hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo

nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân

lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn

mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán

về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triểnnguồn nhân lực

Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thểhiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc

đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm

vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đínhgiúp cho học sinh lớp 12 biết khai thác một bài toán trong sách giáo khoa từ đóhọc sinh có thể tự mình “khám phá” ra một “công cụ” mới đó là “Phương pháp

tỉ số thể tích” để áp dụng tính thể tích khối đa diện và các dạng toán khác như:Tính tỉ số thể thích khối đa diện, tính khoảng cách, tính diện tích đa giác nhằmtạo hứng thú học toán cho học sinh Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn

bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia trước đây hay

kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông hiện nay

Để khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản học sinh cần nắm vững kiến thức như “Các hệ thức lượng trongtam giác” học ở cấp 2 và ở môn Hình học lớp 10; kiến thức ở chương I trongsách giáo khoa Hình học 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục Việt Nam năm 2009như sau:

2.1.1 Một số công thức thường gặp trong hình phẳng

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH:

Hệ thức lượng trong tam giác bất kì

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c AB c BC a CA b ,  ,  

1; ;2 3

d d d lần lượt là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với BC CA AB; ; ; bán

kính đường tròn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p.

Diện tích hình vuông: S a2 với a là độ dài cạnh hình vuông.

Diện tích hình chữ nhật S ab với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là m, n và độ dài đường cao là h:  

1 2

2.1.2 Kiến thức cơ bản về thể tích khối đa diện

2.1.2.1 Khái niệm về thể tích khối đa diện

Thể tích mỗi khối đa diện (H) là số dương xác định V (H) sao cho các tính chất sau đây thỏa mãn

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V (H) = 1

b) Nếu hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 )bằng nhau thì V(H1 ) V(H2 )

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 )

thì:

(H) ( )H (H )

V V V [2]

2.1.2.2 Một số công thức tính thể tích khối đa diện

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c là V abc

Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là V B h.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là

1 3

11 cùng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác là học sinh có thể làmđược Nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện và tạo hứng thú trong quá trình học

bộ môn Toán và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôinghiên cứu và viết đề tài: “Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoaHình học 12 chương trình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạohứng thú học toán cho học sinh”

“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toáncho học sinh” cho ta phương pháp tỉ số thể tích để giải các bài toán tính thể tíchkhối đa diện một cách dễ hiểu hơn, ngoài ra có thể áp dụng tính khoảng cách,tính diện tích đa giác, phù hợp với các đối tượng học sinh có học lực trung bìnhtrở lên

“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toáncho học sinh” kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của họcsinh

“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toáncho học sinh” giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được “vẻđẹp’’ tiềm ẩn của toán học

“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toán

cho học sinh” có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học, tự bồi dưỡng trithức – một con đường tiết kiệm, kinh tế nhất để học tập tốt.

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề

2.3.1 Bài toán mở đầu

Ta xét bài toán sau:

Bài toán 1: (Bài 4, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản, trang25)

Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S Chứng minh rằng

' ' '

Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC)

Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC)

S

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:

Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A 1 A 2 …A n (n 3), trên đoạn

thẳng SA 1 lấy điểm A 1 ’ không trùng với A 1 Khi đó ta có:

Bài toán 3: Cắt khối chóp S A A A Bởi một mặt phẳng 1 2 n  song song với đáy

và cắt cạnh SA tại điểm M thỏa mãn 1 1

SM k

SA  Khi đó  chia khối chóp ban đầu thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V' và

3

'

V

k

V  ( V là thể tích khối đa diện ban đầu) (3) [3]

Bài toán 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Mặt phẳng  cắt các

cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại M, N, P sao cho ' , ' , '

Bài toán 5: Xét mặt phẳng  cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ lần lượt tại Q, P, N, M sao cho ' , '

DD  BB  Khi đó:

Sau đây ta sẽ xét một số ứng dụng của Bài toán 1:

2.3.2 Tính tỉ số thể tích các khối đa diện

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. , có đáy ABCD là hình bình hành Gọi A, B,

C, D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích củahai khối chóp S A B C D.     và S ABCD.

S A B C D

S ABCD

V V

[9]

Lời giải

D' C'

B' A'

B A

S

Gọi I MNCD, Q PI AD.

Kẻ DH//BC (HIM)

và DK//AC(K IP )

1 3

Ta có:

1

ANCD DACN ABCD DABC

V V DB 

1 10

H

Q P

M

N

D

C B

A

A

3 4

V

2 3

Khối chóp B A B C.    và khối lăng trụ

có chung đáy và chung chiều cao

.

1 3

Ví dụ 5 Cho lăng trụ đứng ABC A B C   , M là trung điểm CC Mặt phẳng

 ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V là thể tích khối lăng1trụ chứa đỉnh C và V là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số 2 12

2 5 [6]

C

B A

M

C'

B' A'

C

B A

2.3.3 Tính thể tích các khối đa diện

Ví dụ 6 Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 5a3 Trên các cạnh SB, SC

lần lượt lấy các điểm M và N sao cho SM  3MB, SN  4NC(tham khảo hìnhvẽ) Tính thể tích V của khối chóp A MNCB.

S

Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân tại B, AC2a,

SA ABC và SA a Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho

1 3

3 2

Chú ý: Ở đây nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm khi áp dụng công thức tỉ số thể tích

cho hình chóp tứ giác, dẫn đến chọn A là sai.

2.3.4 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúng ta biết rằng các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặtphẳng thì khó khăn nhất là xác định được chân đường cao Tuy nhiên khó khănnày có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối

đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện Sau đây

ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ:

O

E F

C D

B A

S

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC =

4 ( )

34 cm D

5 34 ( )

Nên BCD cân tại B,

gọi I là trung điểm của CD

Ví dụ 10 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 900,

AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD)

S

Ta có

.

SH SA a

HB AB a 

2 3

Ví dụ 11 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam

giác vuông tại A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính khoảng cách Từ A đến

a

[3]

Lời giải:

Theo giả thiết ta có A’H  (ABC)

Tam giác ABC vuông tại A

A'

C B

1 2

'.

' ' '

13

A ABC ABC A B C

V

V  Suy ra

3 3 ' ' ' ' ' '

' '

3( ',( ' ')) A BCC B

Vì ABA H'  A B' ' A H'  A B H' ' vuông tại A’

Suy ra B’H = a23a2 2a BB '  BB H' cân tại B’ Gọi K là trung điểm của BH, ta có B K' BH

( ',( ' '))

14 14

2.3.5 Tính diện tích đa giác

Thông thường để tính diện tích đa giác phẳng, chúng ta có thể quy về việctính diện tích tam giác theo công thức

1 2

S  ah

, trong đó h là chiều cao và a là

độ dài cạnh đáy Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ở hình học không gian, việctính diện tích của các đa giác phẳng nếu như chúng ta tính trực tiếp theo côngthức thì sẽ gặp nhiều khó khăn Để giảm bớt độ phức tạp trong tình huống này,chúng ta có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện Taxét ví dụ sau:

Ví dụ 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng

1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính diện tích tam giác AMN

Ta có AMN cân tại A nên AI MN

và theo giả thiết (AMN)  (SBC)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2017-2018 và tiếp tục bổ sung,hoàn thiện vào năm học 2020- 2021 Kết quả thu được là rất khả quan Sau đây

là kết quả kiểm nghiệm:

- Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm ở lớp 12A3):

O

C

B A

S