Hãy viết tất cả các ước của c Dạng 10: Chữ số tận cùng của một tích hay một luỹ thừa a Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết tới một hay nhiều chữ [r]
Trang 1SỐ TỰ NHIÊN Trang
Dạng 2: Viết số tự nhiên thoả mãn yêu cầu nào đó 7
Dạng 3: Xác định trong số cho trước các chữ số;
số chục với chữ số hàng chục; số trăm với chữ số hàng trăm… 8
Dạng 8: Tìm số ( Tìm số nguyên tố x khi biết một số điều kiện nào đó). 17
Dạng 9: Bài toán liên quan về số các ước
Dạng 10: Chữ số tận cùng của một tích hay một luỹ thừa 19
Dạng 12: Chứng minh chia hết đối với 1 biểu thức số 22
Dạng 13: Chứng minh chia hết đối với 1 biểu thức chứa chữ 24
Dạng 14: Tìm điều kiện để bài toán chia hết 1 số hoặc 1 biểu thức 26
Trang 2SỐ NGUYÊN Trang
Dạng 3 : Bài toán sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng 39
Trang 3PHÂN SỐ Trang
Trang 4I SỐ TỰ NHIÊN
2.2.1 Kiến thức cơ bản cần ghi nhớ:
+) Các phép toán trên tập hợp N: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia, phép luỹ thừa
+) Thứ tự thực hiện các phép toán
+) Các dấu hiệu chia hết
+) Tính chất chia hết của một tổng
+) Ước và bội, ƯC và BC, ƯCLN và BCNN
+) Số nguyên tố và hợp số
2.2.2.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Toán tập hợp
- Để viết một tập hợp thường có hai cách:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
- Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B
+) Ví dụ
Bài 1[trang 6-sgk]
Viết tập hợp A các số tự nhiên lớn hơn 8 và nhỏ hơn 14 bằng hai cách, sau đó điền
kí hiệu thích hợp vào ô vuông:
12 A 16 A
Bài giải:
A= {9; 10; 11; 12; 13}
Hoặc A= { x N / 7 < x < 12}
12 A 16 A +) Một số bài tập tương tự
Bài 2[trang 6-sgk]
Viết tập hợp các chữ cái trong từ “ TOÁN HỌC”
Bài 3[trang 6-sgk]
Cho hai tập hợp:
Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông:
x A y B b A b B
Bài 4[ trang 6-sgk]
Nhìn các hình 3, 4, 5, viết tập hợp A, B, M, H
Trang 5A 2 B C
M
Bài 5[trang 6-sgk]
a) Một năm gồm bốn quý Viết tập hợp A các tháng của quý hai trong năm b) Viết tạp hợp B các tháng (dương lịch) có 30 ngày
Bài 6[trang 7-sgk]
a) Viết số tự nhiên liền sau mỗi số:
17; 99; a (với a N).
b) Viết số tự nhiên liền trước mỗi số:
35; 1000; b ( với b N*)
Bài 7[trang 8-sgk]
Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:
a) A = {x N/ 12<x<16};
b) B = { xN*/ x<5};
c) C = {x N/ 13 x 15}
Bài 8[trang8-sgk]
Viết tập hợp A các số tự nhiên không vượt quá 5 bằng hai cách Biểu diễn trên tia
số các phần tử của tập hợp A
Bài 9[trang 8-sgk]
Điền vào ô trống để hai số ở mỗi dòng là hai số tự nhiên liên tiếp tăng dần:
….,8 a,…
Bài 10[trang 8 – sgk]
Điền vào chỗ trống để ba số ở mỗi dòng là ba số tự nhiên liên tiếp giảm dần:
…,4600,…
…, …, a
Bài 16[trang 13- sgk]
Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử?
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà x – 8 = 12
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 7 = 7
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x.0 = 0
d) Tập hợp D các số tự nhiên x mà x.0 =3
Bài 17[trang 13-sgk]
26
15
1
a b vởsách
bút
Trang 6Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
a) Tập hợp A các số tự nhiên không vượt quá 20
b) Tập hợp B các số tự nhiên lớn hơn 5 nhưng nhỏ hơn 6
Bài 18[trang 13-sgk]
Cho A = {0} Có thể nói rằng A là tập hợp rỗng hay không?
Bài 19[trang 13-sgk]
Viết tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn 10, tập hợp B các số tự nhiên nhỏ hơn 5, rồi dùng kí hiệu để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp trên.
Bài 20[trang 13-sgk]
Cho tập hợp A = {15; 24} Điền kí hiệu , hoặc = vào ô cho đúng:
a) 15 A; b) {15} A; c){15; 24} A
Bài 21[trang 14-sgk]
Tập hợp A = {8; 9; 10;…;20} có 20 – 8 + 1 = 13 (phần tử)
Tổng quát: Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b – a + 1 phần tử
Hãy tính số phần tử của tập hợp sau: B= {10; 11; 12;…;99}
Bài 22[trang 14-sgk]
Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8; số lẻ là số tự nhiên có chữ
số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 Hai số chẵn (lẻ) liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị a) Viết tập hợp C các số chẵn nhỏ hơn 10
b) Viết tập hợp L các số lẻ lớn hơn 10 nhưng nhỏ hơn 20
c) Viết tập hợp A ba số chẵn liên tiếp, trong đó số nhỏ nhất là 18
d) Viết tập hợp B bốn số lẻ liên tiếp, trong đó số lớn nhất là 31
Bài 23[trang 14- sgk]
Tập hợp C = {8; 10; 12;…; 30} có ( 30 – 8): 2+1 (phần tử)
Tổng quát
- Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có ( b – a) : 2+ 1 phần tử
- Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có ( n – m) : 2 + 1 phần tử
Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
D = {21; 23; 25;…;99)
E = {32; 34; 36;…;96}
Bài 24[trang 14-sgk]
Cho A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10
B là tập hợp các số chẵn
N* là tập hợp các số tự nhiên khác 0
Dùng kí hiệu để thể hiện quan hệ của mỗi tập hợp trên với tập hợp N các số tự
nhiên
Bài 25[trang 14-sgk]
Cho bảng sau ( theo Niên giám năm 1999):
( nghìn km2)
( nghìn km2)
Trang 7Bru – nây
Cam – pu – chia
In – đô – nê – xi – a
Lào
Ma – lai – xi - a
6 181 1919 237 330
Mi – an – ma Phi – lip – pin Thái Lan Việt Nam Xin – ga - po
677 300 513 331 1 Viết tập hợp A bốn nước có diện tích lớn nhất, viết tập hợp B ba nước có diện tích nhỏ nhất
Dạng 2: Viết số tự nhiên thoả mãn yêu cầu nào đó
Với mười chữ số sau ta ghi được mọi số tự nhiên
Chữ
Đọc
Bài 13 ( trang 10/ SGK T6-1)
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là A = abcd
Vì A là số có 4 chữ số nên a 0mà A là số tự nhiên nhỏ nhất nên a cũng phải là chữ số tự nhiên nhỏ nhất, mà a 0 và nhỏ nhất thì chỉ có a = 1 là thoả mãn
Mặt khác A là số tự nhiên có 4 chữ số mà bài không yêu cầu là 4 chữ số phải khác nhau nên có thể b=c=d và là chữ số tự nhiên nhỏ nhất
Như vậy chỉ có b = c = d = 0 là nhỏ nhất
vậy số tự nhiên cần tìm là 1000
- Bài tập 13 b ( trang 10-SGK L6-T1)
Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau (Đ/S: 1023)
- Bài 11a ( Trang 10-SGK L6-T1)
Trang 8Viết các số tự nhiên có số chục là 135 chữ số hàng đơn vị là 7
(Đ/S: 1357)
- Bài 14 ( Trang 10-SGK L6-T1)
Dùng ba chữ số 0,1,2 hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ
số khác nhau
(Đ/S: 102, 120, 201, 210)
Dạng 3: Xác định trong số cho trước các chữ số; số chục với chữ số hàng chục;
số trăm với chữ số hàng trăm…
Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị ở một hàng thì làm thành một đơn vị ở hàng liền trước nó Mỗi chữ số trong một số ở những vị trí khác nhau có những giá trị khác nhau
Bài 11 b ( Trang 10-SGK L6-T1)
Điền vào bảng
Chữ số hàng chục 1425
2307
Giải
Chữ số hàng chục
- Bài 12 ( Trang 10-SGK L6-T1)
Viết tập hợp các chữ số của số 2000
(Đ/S: A={0;2})
Dạng 4: Đọc, viết các số La Mã
Trang 9a) Chữ số La Mã gồm bảy kí hiệu
b) Giá trị số La Mã là tổng giá trị các chữ số của nó ( viết từ lớn đến nhỏ), trừ 6 trường hợp đặc biệt:
Các chữ số La Mã ở các vị trí khác nhau vẫn có giá trị như nhau
Ta viết các số La Mã từ 1 đến 10 như sau: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X
Nếu thêm vào bên trái mỗi số trên:
- Một chữ số X ta được các số La Mã từ 11 đến 20: XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX
- Hai chữ số X ta được các số La Mã từ 21 đến 30: XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX
+ Phương pháp
- Ta cần nắm vững cách gọi các số La Mã với giá trị tương ứng trong hệ thập phân
- Nắm vững quy tắc viết số La Mã
Bài 15 (Trang 10- SGK L6-T1)
a) Đọc các số La Mã sau
b) Viết các số sau bằng chữ số La Mã
a)
Giải
XIV
Trang 10- Ta có IV có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 4
- Trước IV có một chữ số X có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 10 Vây số XIV có thể đọc được là 14: Mười bốn
XXVI
- Ta có VI có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 6
- Trước VI có hai chữ số X có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 20 Vậy số XXVI có thể đọc được là 26: Hai mươi sáu
b)
17
-Nếu thêm một chữ số X bên trái chữ số La Mã từ 1 đến 10 ta được một số mới có giá trị tương ứng từ 11 đến 20
-Mà 17 = 10 + 7
Vậy 17 ta có thể viết được bằng số La Mã là: XVII
25
- Nếu thêm hai chữ số XX vào bên trái chữ số La Mã từ 1 đến 10 thì ta được một số mới có giá trị tương ứng là từ 21 đến 31
- Mà: 25 = 20 + 5
Vậy ta có thể viết được số 25 bằng số La Mã là: XXV
- Bài 15 c ( Trang 10-SGK L6-T1)
Cho chín que diêm được sắp xếp như trên hình 8 Hãy chuyển chỗ một que diêm để được kết quả đúng
Dạng 5: So sánh hai luỹ thừa
a) Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ
- Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( >1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn
Nếu m > n thì a m > a n ( a > 1 )
Trang 11- Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0 ) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn
Nếu a > b thì an > bn ( n > 0) b) Ngoài ra, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dung tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân ( a < b thì ac < bc với c > 0 )
*) Ví dụ 1:
So sánh 1619 và 825, số nào lớn hơn?
Giải:
Ta thấy các cơ số 8 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta tìm cách đưa 1619 và 825 về luỹ thừa cùng cơ số 2
16 19 = ( 2 4 ) 19 = 2 76
8 25 = ( 2 3 ) 25 = 2 75
Vì: 276 > 275 nên 1619 > 825
*) Ví dụ 2:
So sánh hai số sau: 23 3 và
2
2
3
Giải:
Xét số mũ của số: 23 3 , ta có:
=
3
2
Suy ra 233 = > =8 8 8 4 2 12 > 2 10 vậy > = = > =
3
3
Nhận xét:
- Lời giải bài toán trên là rất ngắn gọn vì đã biết cách sử dụng hai tính chất sau:
i Nếu > x1 x2 > 0 thì > , với a >1
x
a 1 a x2
ii Nếu a > b > 1 thì > với x > 0 a x b x
- Hoàn toàn sai lầm nếu biền đổi:
3
3
Mà viết đúng phải là: 23 3 =2 3 8 c) Một số bài tập:
◙ So sánh các số sau số nào lớn hơn ?
1) 5 36 và 11 24
2) 3 n và 2 n ( n N*)
3) 199 20 và 2003 15 4) 21 15 và 27 5.49 8
◙ So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?
72 45 - 72 44và 72 44-72 43
+) Bài tập tương tự
Bài 65[trang 29-sgk]
Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?
Trang 12a) 23 và 32; b) 24 và 42;
Bài 66[trang 29-sgk]
Đố: Ta biết 112= 121; 1112 = 12321
Hãy dự đoán: 11112 bằng bao nhiêu? Kiểm tra lại dự đoán đó
Bài 80[trang 33 –sgk]
Điền vào ô vuông các dấu thích hợp ( =, < , >):
12 1 13 12 - 02 (0+1)2 02 + 12
22 1 + 3 23 32 – 12 (1 +2)2 12 + 22
32 1 + 3 +5 33 62 – 32 (2 +3)2 22 + 32
43 102 - 62
Dạng 6: Nhận biết số nguyên tố
+ Phương pháp:
-Để biết một số có phải là số nguyên tố hay không trước tiên số đó phải là số
tự nhiên lớn hơn 1
-Nếu thoả mãn điều kiện đó thì ta đi kiểm tra các ước của số đó
- Ta xét xem ngoài ước là 1 và chính nó ra số đó còn có thêm ước nào khác không?
- Trước hết ta sử dụng các dấu hiệu chia hết ( dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 11) để kiểm tra số đó, nếu số đó không có 1 trong các dấu hiệu chia hết trên thì ta tiến hành chia số đó cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn
+ Nếu có 1 phép chia hết thì số đó không nguyên tố + Nếu chia số đó đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có dư thì số đó là số nguyên tố
Bài tập
- Bài 115 ( Trang 47-SGK L6-T1)
Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
Trang 13312, 213, 435, 417, 3311, 67.
Giải
312
Ta thấy 312 tận cùng là 23122
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 312 còn có ước là 2
vậy 312 là hợp số
213
Ta thấy 213 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 3 = 6 3
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 213 còn có ước là 3
vậy 213 là hợp số
435
Ta thấy 435 có số tận cùng là 5 4355
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 435 còn có ước là 5
Vậy 435 là hợp số
417
Ta có tổng các chữ số của số 427 là: 4+1+7=12 3
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 417 còn có ước là 3
vậy 417 là hợp số
3311
Ta có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là:
(3+1)-(3+1)=0 11
vậy 3311 11 như vậy ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 3311 còn có ước là 11 vậy 3311 là hợp số
67
Ta lấy 67 chia lần lượt cho các số nguyên tố:
67 : 2 = 33 +
2 1
67 : 3 = 22 +
3 1
Trang 1467 : 5 =13 +
5 2
67 : 7 = 9 +
7 4
67 : 11 = 6 +
11 1
Ta thấy 67 chia 11 được thương là 6 < 11 và vẫn còn số dư là
11 1
67 là số nguyên tố
- Bài toán tương tự:
Bài 116/tr47 SGK Toán 6-tập 1:
Gọi P là tập hợp các số nguyên tố Điền kí hiệu , hoặc vào ô trống cho
đúng
83 P 91 P 15 N P N
Đáp án: 83 P ; 91 P ( vì 91=7.13) ; 15 N ; P N.
Bài 117/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Dùng bảng số nguyên tố ở cuối sách, tìm các số nguyên tố trong các số sau: 117; 131; 313; 469; 647
Đáp án: Dùng bảng số nguyên tố (nhỏ hơn 1000) ở cuối SGK Toán 6-tập 1/tr128
các số nguyên tố trong các số đã cho là: 131; 313; 647
Bài 118/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Tổng( hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a, 3 2 4 + 6 7 ; b, 7 9 11 13 – 2 3 4 7 ;
c, 3 5 7 + 11 13 17 ; d, 16354 + 67541
Bài 119/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Thay chữ số vào dấu * để được hợp số: ; 1 * 9 *
Trang 15Bài 120/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Thay chữ số vào dấu * để được số nguyên tố: 5 * ; 9 *
Dạng 7: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Phương pháp:
Để phân tích một số tự nhiên A lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố ta viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố
A = a b …c
Trong đó a, b, …, c là ngững số nguyên tố
, , …, N và , , …, 1.
Trong cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên
tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Bài toán:
Bài 125/tr50 SGK Toán 6- tập 1:
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
Lời giải:
Ta có thể phân tích 60 ra thừa số nguyên tố theo cột dọc
60 5
12 3
4 2
2 2 1
Trang 16Do đó 60 = 2 2 3 5 = 22 3 5
- Bài tập tương tự
Bài 126/tr50 SGK Toán 6-tập 1: An phân tích các số 120, 306, 567 ra thừa số
nguyên tố như sau:
120 = 2 3 4 5
306 = 2 3 51
567 = 92 7
An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm không đúng
Bài 127/tr50 SGK Toán 6-tập 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi
cho biết mỗi số đó chia hết cho các số nguyên tố nào?
Dạng 8: Tìm số ( Tìm số nguyên tố x khi biết một số điều kiện nào đó).
Phương pháp: Gồm 3 bước
- Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa những điều kiện đã biết với những điều kiện chưa biết để thiết lập phương trình, hệ phương trình (nếu có)
- Bước 2: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Sử dụng phương pháp lí luận, Định nghĩa về số nguyên tố và các định
lí cơ bản về số nguyên tố để biện luận cho bài toán
- Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời
So sánh kết quả với điều kiện của ẩn để đi đến kết quả của bài toán
Bài toán:
Bài 121/tr47 SGK Toán 6- tập 1:
a, Tìm số tự nhiên k để 3k là số nguyên tố
Lời giải:
+) k = 0 3k = 3 0 = 0 : không là số nguyên tố.
Trang 17+) k = 1 3k = 3 1 = 3 : là số nguyên tố.
+) k 2 3k luôn là hợp số.
Vậy k = 1
Bài toán tương tự:
Bài 121/tr47 SGK Toán 6-tập 1.
a) Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố
b) Tìm số tự nhiên k để 7.k là số nguyên tố
Bài 123/tr47 SGK Toán 6-tập 1.
Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà bình phương của nó không vượt quá a, tức là p2 a;
Bài 132/tr50 SGK Toán 6-tập 1.
a) Tâm có 28 viên bi Tâm muốn xếp số bi đó vào các túi sao cho số bi ở các túi đều bằng nhau Hỏi Tâm có thể xếp 28 viên bi đó vào mấy túi? ( kể cả trường hợp xếp vào một túi)
Dạng 9: Bài toán liên quan về số các ước và tính tổng các ước của một số
Phương pháp
Để tính số lượng các ước của m (m>1) ta xét dạng phân tích của m ra thừa số nguyên tố
Nếu m a x thì m có x+1 ước
Nếu m a b x ythì m có (x + 1).(y + 1) ước
Nếu m a b x y c zthì m có (x + 1).(y + 1).(z +1) ước
Để tính tổng các ước của m:
Nếu m a b x y c z thì tổng các ước của m là:
( )
m