TÝnh vËn tèc cña can« khi n íc yªn lÆng, biÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/h.[r]
Trang 1kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút
Phần A: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)
Từ câu 1 đến câu 8, hãy chọn phơng án đúng và viết chữ cái đứng trớc phơng án
đó vào bài làm.
Câu 1: Giá trị của biểu thức
3 2 2
là:
Câu 2: Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số
2
1
3
=
?
Câu 3: Trong các phơng trình sau đây, phơng trình nào có hai nghiệm dơng ?
x - 5x 1 0- =
Câu 4: Hàm số
y= 2012 m x 2013-
là hàm số bậc nhất khi:
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi đờng thẳng
1
3
với trục Ox là:
Câu 6: Cho hình nón có bán kính đờng tròn đáy bằng 2cm, độ dài đờng sinh bằng đờng kính đờng tròn đáy Thể tích của hình nón đó là:
A
3
4 3 cmp B 16 3 cmp 3 C 8 3 cmp 3
D
3
8 3 cm 3 p
Câu 7: Biết
3
5
, khi đó giá trị của biểu thức A=sin cosa a là:
A
8
25
8
5 8
Câu 8: Cho đờng tròn tâm O bán kính 10 cm, một dây cung cách tâm O một khoảng là 5 cm Độ dài của dây cung đó là:
Phần B: tự luận (8,0 điểm) Bài 1: (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A= 27- 2 3 2 48- +3 75
b) Giải phơng trình: x4- 3x2- 6x 8- =0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x ; x1 2 thỏa mãn điều kiện 2
x - 2x +x x =- 12
Trang 2Bài 3: (1,0 điểm) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km Một canô xuôi dòng
từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến khi
về đến bến A hết tất cả 5 giờ 40 phút Tính vận tốc của canô khi n ớc yên lặng, biết vận tốc của dòng nớc là 4 km/h
Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O), hai đờng cao BE, CF
lần lợt cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai E’ và F’
a) Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn
b) Chứng minh EF // E’F’
c) Khi B và C cố định, A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn Chứng minh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A
- Hết -
-Hớng dẫn đáp án biểu điểm
Phần A: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)
Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm
Phần b: tự LUậN (8,0 điểm)
Bài 1: (1,5 điểm)
b) x4 =3x2+6x 8+
( 2 )2 ( )2
0,5 đ
* Nếu x2- = +1 x 3
2
Phơng trình có nghiệm là:
x
2
±
=
0,25 đ
Trang 2/2
Trang 3* Nếu x2- =- -1 x 3Û x2+ + =x 2 0
D = - =- < phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là
x
2
±
=
0,25 đ
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Với m = 3 ta đợc phơng trình: x2- 2x=0 0,25 đ
ộ = ờ
ờ = ở
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S={0; 2} 0,25 đ b) Để phơng trình có nghiệm Û D ³' 0Û -4 m³ 0Û mÊ 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
ùù
-ùợ
0,25 đ
Theo bài ra ta có:
2
x - 2x +x x =- 12Û x (x +x ) 2x- =- 12
Kết hợp với (1) x1=- 2 ; x2=4 0,25 đ
Kết hợp với (2) m=- 5 (TMĐK) 0,25 đ
Bài 3: (1,0 điểm)
Đổi 40 phút =
2
3 giờ ; 5 giờ 40 phút =
17
3 giờ
Gọi vận tốc của canô khi nớc yên lặng là x (km/h ; x > 4)
0,25 đ
Ca nô đi xuôi với vận tốc là x + 4, hết thời gian là
48
x+4
Ca nô đi ngợc với vận tốc là x - 4, hết thời gian là
48
x 4
-0,25 đ
Ta có phơng trình:
2
4 x 5
ộ = ờ
Û ờ
ờ =-ờ
Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện
Vậy vận tốc của canô khi nớc yên lặng là 20km/h
0,25 đ
Bài 4: (3,0 điểm)
Trang 4
K
H
E'
E
F F'
O
A
a) Xét tứ giác BCEF có E, F cùng nhìn BC dới một góc bằng 90O tứ giác
b) Ta có: BCFã =BEFã
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
mà BCFã =BE 'F'ã
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BF’)
0,5 đ
BEFã =BE 'F'ã
Mà BEF ; BE 'F'ã ã
là hai góc ở vị trí đồng vị nên EF//E’F’
0,5 đ
c) Gọi H là giao điểm của BE và CF H là trực tâm ABC
Xét tứ giác AEHF có ã ã O O O
AEH AFH+ =90 +90 =180 tứ giác AEHF nội
tiếp đờng tròn đờng kính AH
Do đó bán kính của đờng tròn ngoại tiếp AEF có độ dài bằng
AH 2
0,25 đ
Kẻ đờng kính CK của (O) K cố định
Ta có ã O
KBC=90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) KB BC
Mà AH BC (do H là trực tâm) BK // AH
Tơng tự AK // BH
Suy ra tứ giác AHBK là hình bình hành
0,5 đ
AH = BK (không đổi)
Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF luôn không đổi 0,25 đ
Bài 5: (1,0 điểm)
Ta có
Theo BĐT Cô si:
2x 1 x
-³ +
- A³ +3 2 2
0,25 đ
Đẳng thức xảy ra
ù -ớù
ù < <
-Vậy GTNN của A là 3 2 2+
0,25 đ
Trang 4/2