Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2012-2013
Đề chính thức
Môn thi: TOÁN Ngày thi: 14 / 6 / 2012 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức D = 1 1
ab ab :1a b 2ab 1 ab
với a > 0 , b > 0 , ab1 a) Rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a = 2 3
2
Bài 2: (2điểm)
a) Giải phương trình: x 1 4 x 3
b) Giải hệ phương trình: 2 2
x y xy 7
Bài 3: (2điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số
2
1
y x 2
và đường thẳng (d)
có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 )
a) Viết phương trình đường thẳng (d)
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) Tìm giá trị của m để x13x32 32
Bài 4: (3điểm)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E, dây DE không đi qua tâm O) Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh: AB2 = AD AE
c) Chứng minh:
AK AD AE
Bài 5: (1điểm)
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn:
1 1 1
0
ab c . Chứng minh rằng 2 2 2
ab bc ac
3
c a b
Trang 2-HẾT -Đáp án:
Câu 1: a) Với a > 0 , b > 0 , ab1
- Rút gọn D =
ab
a b a
1
2 2
:
1 1
a b ab ab
2
a a
b) a =
2
2 2 2 3
1
2 3
( ) ( ) a
Vậy D =
2 2 3 2 3 2 2 3 2 4 3 6 3 2
2 3
Câu 2:
a) ĐK: x 1 x 1 4 x 3
x 1 4 x 2 x 1 4 x 9 x 1 4 x 3 x x 3x 4 9 6x x
x =
13
x y xy 7
x y 10
Đặt x + y = a ; xy = b x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
Ta có:
2
2
a b 7 a 2a 24 0 a 4;a 3
a b 7
a 2b 10 a b 7
x y 4
xy 3
a 4; b 3
a 6;b 13 x y 6
xy 13
2
2
3 1
4 3 0
6 13 0
t ;t
t t
Vo ânghieäm
Câu 3:
a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ), ta có:
2 = m.0 + b b = 2 Do đó (d) có dạng y = mx + 2
b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình
2
1
y x 2
= mx + 2 x2 – 2mx – 4 = 0
'
= (-m)2 – 1 (-4) = m2 + 4 > 0 Vì '> 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m c) x1 , x2 là hai hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình x2 – 2mx – 4 = 0
Áp dụng hệ thức Viét ta có : x1 + x2 = 2m , x1 x2 = - 4
x x x x 3x x x x 32
(2m)3 – 3 (-4).2m = 32 8m3 + 16m – 32 = 0 m3 + 2m – 4 = 0
m 1 m m 4 0 m 1 0 m 1
( Vì m2 + m + 4 > 0 )
Trang 3Câu 4:
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn
Chỉ ra được: OAC OHA OBA 90 0
A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh: AB2 = AD AE :
Xét: ABD và ABE ; Ta có: BAE (góc chung)
AEB ABD (cùng chắn cung BD của đ/tròn (O)) Nên ABDAEB (gg)
AB AD
AE AB AB2 = AD.AE (1)
c) Chứng minh:
AK AD AE :
Ta có:
1 1 AD AE
AD AE AD.AE
Mà AD + AE = (AH – HD) + ( AH + EH) = (AH – HD) + ( AH + HD) (Vì EH = HD) = 2AH
AD AE AD.AE
Mà: AB2 = AD.AE (Cmt)
AC2 = AD.AE ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) => AB = AC)
1 1 2AH
AD AE AC (3)
Ta lại có:
2 2AH
AK AK.AH (4)
Từ D vẽ DM vuông góc với OB tại M, cắt BC tại N
Xét tứ giác ODMH
Có:
0 0
OHD = 90 Cmt
OMD = 90
OHD = OMD = 90
Trang 4 HOM = HDM ( chắn cung HM )
Mà HOM = BCH (chắn HB Của đường tròn đường kính AO)
HDM = BCH
Hay: HDN = NCH
Xét ACK à AHCv
Ta có: CAH (góc chung) (a)
Lại có : CHD = CND (chắn cung CD của CDMH nội tiếp )
Mà: CBA = CND (đồng vị của ED//AB ( Vì cùng vuông góc với OB)) CHD = CBA
Và: BCA = CBA ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) AB = AC) => ABCcân tại A)
CHD = BCA Hay: CHA = KCA (b)
2
AC AK
= AC = AH.AK
AH AC
AD AE AH.AK
Từ (4) và (5)
AK AD AE .
Câu 5: Ta có
2
ab bc ac
ab bc ac
(1) Đặt ab = x , bc = y , ac = z xyz = (abc)2 Khi đó (1) trở thành
x y z xyz
và x + y + z = ab + bc + ac
Từ
1 1 1 bc ac ab
0
a b c abc
x + y + z = ab + bc + ac = 0
Vì x + y + z = 0 nên x3 +y3 + z3 = 3xyz Nên
x y z xyz
=
3xyz
3 xyz
Cách khác:
1 1 1 3
1
a b c abc
ab bc ac abc abc abc 1 1 1
ab bc ac 3