SKKN khai thác một số bài toán gốc nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀIKHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN GỐC NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10Lĩnh vực: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN... SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀIKHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN GỐC NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN

CHO HỌC SINH LỚP 10Lĩnh vực: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀIKHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN GỐC NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN

CHO HỌC SINH LỚP 10Lĩnh vực: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN Người thực hiện: TRƯƠN XUÂN SƠN

Tổ: TOÁN - TIN – VP

Nghệ An, 3/2021

MỤC LỤC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI……… 1

II NỘI DUNG……… 2

II.1 Từ một bài toán đơn giản đến việc tìm tòi và ứng dụng nó trong giải toán 2

II.1.1 Bài toán cơ bản 1……… 2

II.1.2 Bài toán cơ bản 2……….… 7

III.1.3.Bài toán cơ bản 3……… 12

II.2 Một vài kinh nghiệm đúc kết qua việc dạy học sinh khai thác bài toán gốc nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10 17

III KẾT LUẬN 16

III.1 Đối với giáo viên……… ….16

III.2 Đối với học sinh……… 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 18

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học là một trong nhữngluận điểm cơ bản của đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo đã được Đạihội Đại biểu toàn quốc của Đảng lần thứ XI chỉ rõ đó là tiếp tục đổi mới mạnh mẽphương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động,sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; Tập trung dạy cho họcsinh cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự học, tựcập nhật kiến thức và đổi mới tri thức, kỹ năng nhằm phát triển năng lực cho họcsinh Môn Toán trong trường phổ thông cũng là một môn học như các môn họckhác nhưng là môn học có tiềm năng rất phong phú trong việc khai thác và pháttriển năng lực toán học cho học sinh

Thực trạng dạy học môn Toán trong những năm gần đây cho thấy nhiều giáoviên chỉ làm công tác truyền lại những vấn đề, điều có sẵn trong sách giáo khoa,trong tài liệu tham khảo mà chưa quan tâm nhiều về việc rèn luyện kỹ năng giải bàitập toán thông qua việc khai thác một số bài toán gốc cơ bản Nhiều giáo viên khidạy chỉ làm nhiệm vụ cung cấp cho cho học sinh các công thức, các khái niệm, đểlàm sao các em vận dụng và nhớ một cách máy móc, thuộc lòng là được Điều đókhông phù hợp với xu thế đổi mới cách dạy, cách học của Bộ giáo dục và đào tạo

đề ra hiện nay Vì thế rất nhiều học sinh, chẳng hạn như đội ngũ học sinh khá giỏikhi đi thi gặp đúng bài, đúng dạng(một cách dễ thấy) thì làm được Còn nếu thay

đổi giả thiết, tổng quát lên một chút thì không làm được Đặc biệt là trong chương

trình môn Toán lớp 10 hiện hành phần vectơ, bất đẳng thức, luôn là một vấn đềquan trọng và khó Thế nên rất nhiều học sinh khi gặp các bài toán thuộc loại đóthường bỡ ngỡ, không làm được như trong các kỳ thi học sinh giỏi ? Tại sao cóđiều đó, là do giáo viên chưa thực sự quan tâm đến nó, chưa đổi mới, chưa biếtkhai thác tiềm năng vốn có của sách giáo khoa, chưa đọc được ý đồ của người viếtsách Với lý do đó, tôi cũng suy nghĩ rất nhiều làm thế nào để bản thân các em họcsinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi không xem thường các kiến thức của bài học, bàitập sách giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình cũng không e ngại kiếnthức của mình Đây là vấn đề cần đặt ra? Trong phạm vi bài viết này bản thân tôicũng không có tham vọng lớn mà chỉ có một mong muốn là trao đổi với đồngnghiệp một số kinh nghiệm nhỏ từ việc khai thác tiềm năng sách giáo khoa qua đề

tài "Khai thác một số bài toán gốc nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10"

Qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10 ởtrường trung học phổ thông Tuy nhiên, vì kiến thức còn hạn hẹp, vì khuôn khổ bàiviết, do đó bản kinh nghiệm còn nhiều hạn chế Tôi thành thật mong nhận sự traođổi góp ý của độc giả để bản thân ngày một tốt hơn

II NỘI DUNG

II.1 Từ một số bài toán đơn giản đến việc tìm tòi và ứng dụng nó trong giải toán.

II.1.1 Bài toán cơ bản 1 Cho G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

GA GB  GC 0

(I) (SGK Hình học 10, tr 11-NXBGD) Chứng minh:

Gọi M là trung điểm BC

 G là trọng tâm tam giác ABC

Nhận xét 1: Như vậy để chứng minh bài toán trên ta biểu thị GA qua 2 vectơ

GB, GC. 

Chúng ta nhận thấy G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc miền trongtam giác ABC, vì thế G chia diện tích tam giác ABC thành 3 phần bằng nhau códiện tích là S1, S2, S3 lần lượt là diện tích tam giác GBC, GCA, GAB và bằng

ABC

1

S

3 Vì vậy từ (I)  S GA1 S GB 2 S GC3 0

Điều này cho ta liên tưởng giả

sử G là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác ABC Khi đó ta có thể vận dụngphương pháp chứng minh bài toán gốc trên để chứng minh cho bài toán sau, quaviệc biểu thị một vectơ qua hai vectơ khác

Bài 1: Cho ABC, M thuộc miền trong tam giác Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tíchtam giác MBC, MAC, MAB

Chứng minh rằng: S MA1 S MB2 S MC3 0 (1)

Giải: Như vậy để chứng minh bài toán 1, ta vận dụng phương pháp biểu thị một

vectơ qua hai vectơ còn lại

G

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu A, C lên BM

Nhật xét 2: Ở bài 1 kết quả không phụ thuộc vào điểm M, do đó ta thay M bởi I làtâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tamgiác ABC thì học sinh có thể sử dụng bài toán 1 để giải bài toán sau

Bài 2: Cho ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đặt BC = c, BC = a,

CA = b Chứng minh rằng aIA bIB cIC 0

Nhận xét 3: Nếu ta nhìn các cạnh dưới "góc độ" góc, thì ta lại có bài toán sau.

Bài 3: Cho ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đặt AB = c, BC = a,

CA = b Chứng minh rằng: IA sin A IB sin BIC sin C0

Nhận xét 4: Ta thấy vị trí M thuộc miền trong tam giác, vậy ABC nhọn thì tâm Ođường tròn ngoại tiếp ABC thuộc miền trong Do đó, ta có bài toán mới

Bài 4: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Gọi O là tâm đường tròn ngoại

tiếp ABC Chứng minh rằng: OAsin2A OBsin2B OCsin2C 0  

(4)Nhận xét 5: Từ kết quả bài 2, nếu ta bình phương vô hướng (2) khi đó xuất hiện

IA.IB, IB.IC, IC.IA

Ta lại có bài toán mới sau

Bài 5: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp

 a(a + b + c) IA2 + b(a + b + c) IB2 + c(a + b + c) IC2 = abc (a + b + c)

 aIA2 + bIB2 + cIC2 = abc

 IA2 IB2 IC2 1

bc  ca  ab 

Nhận xét 6: Từ công thức (2) nếu ta thay I bởi M bất thì ta luôn có

Dễ thấy dấu "=" xảy ra  M  I Từ đó ta có thể vận dụng giải bài toán sau:

Bài 6: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng tồn tại duy

nhất điểm M sao cho aMA2 + bMB2 + cMC2  abc (6)

đường tròn nội tiếp ABC Vậy M duy nhất

Nhận xét 7: Cũng bài toán 6, ta có thể phát biểu dưới dạng khác Nhằm rèn luyệnnăng lực sáng tạo trong toán học cho học sinh từ đó quy lạ về quen sau

+ bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Nhận xét 8: Qua dạng bài toán trên, nếu biết vận dụng linh hoạt kết hợp các bàitoán lại, thì ta có thể vận dụng giải các bài toán tương tự sau, nhưng ở mức độ caohơn

Bài 8: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c, nội tiếp đường tròn (O; 1).

Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có

a2(b2 + c2 - a2) MA + b2 (c2 + a2 - b2) MB + c2 (a2 + b2 - c2) MC  a2b2c2

Và OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC

 MA = OA MA =               OA MA                                                                        OA.MA                OA(OA                              OM)   (1 OA.OM)

(****)Dấu bằng xảy ra của (****) khi và chỉ khi OA,MA  cùng hướng

Ta có: a2 (b2 + c2 - a2) MA = 2abc sin2A MA  2abcsin2A(1 - OA.MA 

), tương tựcho 2 trường hợp còn lại

Ta suy ra

VT  2abc (sin2A + sin2B + sin2C) - 2abc OM(OAsin 2A OBsin 2B OCsin 2C) 

= 2abc 4sinA sinB sinC = a2b2c2

Mấu chốt của bài toán này, là xuất hiện a2(b2 + c2 - a2) = 2abc cosA.sinA, O là tâmđường tròn ngoại tiếp ABC nhọn Do đó, ta liên tưởng và vận dụng bài 4

Nhận xét 9: Từ bài toán trên có sự xuất hiện a2(b2 + c2 - a2) khi đó ta nghĩ ngay đếncosA Do vậy, nếu biết kết hợp với cách giải bài toán 1, ta có thể vận dụng giải bàitoán sau

Bài 9: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Gọi H là trực tâm ABC

Giải sơ lược: Tương tự bài toán 1.

Kéo dài AH, BH cắt BC, AC lần lượt tại A1, B1

II.1.2 Bài toán cơ bản 2: Chứng minh rằng nếu a 0 ,b 0 thì

a3 b3 ab(ab).(II) Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Chứng minh.

Cách 1: (II)  a3  a2bb3  ab2  0

0 ) ( ) (

0 ) )(

(

0 ) ( ) ( 2

2 2

2 2

b a b a

b a b b a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Cách 2:

Ta có:a3 b3  (ab)(a2 b2  ab)  (ab)( 2ab ab) ab(ab)

( vìa2 b2 2ab



 ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

Nhận xét 1: Vì a, b là hai số dương nên, từ (II) ta có thể suy ra một bất đẳng thức mới

Hướng dẫn: Bất đẳng thức (1) giải được nhờ việc áp dụng nhận xét 1, ba lần

Bài 2: Cho a, b, c là ba số thực không âm Chứng minh rằng

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét 2: Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên Tuy nhiên nếu như người GV không biết khai thác,vận dụng bài toán trên dưới nhiều khía cạnh thì liệubài toán trên giải được đối với HS không phải dễ chút nào Và ở bài toán sau đây, chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1 Talại có bài toán sau dưới góc độ khác

1 1

3 3

Chứng minh.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1

2

4 4 3 3

b a b a

Áp dụng bất đẳng thức (II) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Bài 4: Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:

Suy ra 2(a3 + b3 + c3) ≥ bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

abc c

b a

3 1 1 1

3 3

3    (2)

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 5: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:

a b

a b b ab a

) 2 )(

3 ( 5

2

3 3

3 3

3

c cb

b c

5

2

3 3

a ac

c a







 2 3

5

2

3 3

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bài 6: Chứng minh rằng với ba số dương a, b, c bất kì ta có

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 7: Cho x, y, z là ba số thực dương và xyz =1 Chứng minh rằng

9 9 2

z x x z z

x z

9 9 6

3 3 6

9 9 6

3 3 6

9

2

z y x x x z z

x z z

z y y

z y y

y x x

y x

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz = 3 (2)

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y =z =1

Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

abc c abc a c abc b b abc a

1 1

1 1

3 2

3 3

abc

b c

abc

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét 3: Nếu ở bài toán trên chứng ta cộng điều kiện nữa abc=1 ta có bài toán mới sau đây

Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương và abc=1 Chứng minh rằng

3 13 3 13 3 13 1

a b  b c  a c   Nhận xét 4: Nếu ta lại đặt a3 = x; b3 = y; c3 = z Ta lại có bài toán mới sau

Bài 10: Cho x, y, z là ba số thực dương và xyz = 1 Chứng minh rằng

1

1

1 1

1 1

Nhận xét 5: Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1 Ta lại có bài toán mới khó hơn

Bài 11: Cho x, y, z là ba số thực dương Chứng minh rằng

1 1

1 1

xyz xyz

x z xyz z y xzy y

a b ab b c bc a c ca  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c

Nhận xét 6: Việc chứng minh các bài 10, 11, 12 không khó, nếu biết sử dụng linh hoạt các bài toán tương tự bài 8 Nếu HS không biết vận dụng bài 9 (tức vận dụng bài toán 1)

Bài 13: Chứng minh rằng  b a  c b  a c b ab ca c

3 3

3

Trong đó a, b, c là các số thực dương

b b

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 14: (bài toán tổng quát)

Cho a1, a2, ,an là các số thực không âm, nN* Chứng minh rằng

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an

Áp dụng bất đẳng thức (II) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau

Nhận xét 8: Từ những ví dụ minh hoạ thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên bằng nhiều cách nhiều hướng khác nhau Biết nhìn nhận vấn đề trong nhiều hướng khác nhau Để làm được điều đó ắt hẳn người Giáo viên phải tìm mọi cách hướng dẫn khai thác các ứng dụng của nó dưới nhiều góc độ Chẳng hạn ta có bài toán cơ bản sau đây.

III.1.3 Bài toán cơ bản 3: Chứng minh rằng nếu a 0 ,b 0 thì

a4 b4 ab(a2 b2 ).(III) Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Chứng minh.

(III)  a4 b4  a3b ab3  0

0 ) (

) (

0 ) )(

)(

(

0 ) ( ) (

2 2

2

2 2

3 3

a

b ab a b a b

a

b a b b a

a

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 1: (bài toán tổng quát).

Cho a1, a2,….,an là các số thực không âm, nN* Chứng minh rằng

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an

Áp dụng bất đẳng thức (III) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các

bất đẳng thức sau.

Bài 2: Cho hai số dương a, b Chứng minh rằng a b

a

b b b

a a

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bài 4: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng b a c b a c b ab ca c

a b

a

1 1

b c

b

1 1

c a

c

1 1

4

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

3 3

3 2

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b

và áp dụng kết quả Bài 9 ta được  b a  b c  a c b ac ba c

3 3

3

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

12 4 8 12

16 16 12

4 8 12

16 16 12

4 8 12

16 16

2 2

2

z y x x x z z

x z z

z y y

z y y

y x x

y x

Chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức (III) ta có  x4 4  y4 4 x12y4 x4y12

4 12 4 8 12

16 16

12 4 8 12 4 16 16

16 4 12 4 12 16 16

2

) (

2 2

x y y x x

y x

y y x x x y x

x x y y x y x

16 16 2

y z z y y

z y

16 16 2

z x x z z

x z

Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Bài 6: Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

  1 1 1 3 ( 2 2 2 )

3 3 3 5 5

c b a c b

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a13 b13 c13 abc3 (2)

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét 1: Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằngmột bất đẳng thức a5 b5  (ab)a2b2 (IV) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thứcnày quả thật không khó Tuy nhiên, nêu người thầy biết khai thác bài toán cơ bảntrên thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc làm đơn giản Cũngchính vì thế việc vận dụng chính bài toán này, và nhìn nó dưới góc độ “biệnchứng” thì ta lại có một bài toán mới

Bài 7: Các số dương x, y, z có tích bằng 1 Chứng minh rằng:

1 5 5

5 5

yz y

yz y

xy x

xy

.Chứng minh:

áp dụng (IV), ta có: x5y5 xy (xy)x2y2xy

z y x

z xy

y x y

x y x xy

xy y

1 )

5

5