SKKN ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG

Số câu hỏi ở mức vận dụng và vận dụng caocủa chương này cũng luôn mang đến cho giáo viên và học sinh những sự quan tâmđặc biệt, trong đó phải kể đến các bài toán chứa tham số.. Các năm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ

CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y f x m( ; ) THƯỜNG GẶP

TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3

=====  =====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ

CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y f x m( ; ) THƯỜNG GẶP

TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Tên tác giả : Nguyễn Văn Bản

Tổ bộ môn : Toán - Tin Năm thực hiện : 2020 - 2021

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của SKKN 2

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

2.1 Cơ sở lí luận 3

2.1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 3

2.1.2 Cực trị của hàm số 4

2.1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4

2.1.4 Đồ thị hàm số y f x( ) 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Các giải pháp thực hiện 5

2.3.1 Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số y f x m( ; ) đơn điệu trên một khoảng cho trước 5

2.3.2 Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( ; ) có n điểm cực trị 23

2.3.3 Bài toán: Cho hàm số y f x m( ; ) Tìm m để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn a b;  thỏa mãn một điều kiện cho trước 33

III KẾT LUẬN 41

3.1 Kết luận 41

3.2 Kiến nghị 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lí do chọn đề tài

Để phát triển các năng lực toán học cho học sịnh, đặc biệt là học sinh lớp 12giúp các em có một kết quả cao nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG Tác giảnhận thấy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chươngtrình giải tích lớp 12 là nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng trong bộ môntoán, điều này được thể hiện thông qua việc kiến thức của chương này luôn chiếmtỉ lệ cao nhất trong đề thi THPT.QG Số câu hỏi ở mức vận dụng và vận dụng caocủa chương này cũng luôn mang đến cho giáo viên và học sinh những sự quan tâmđặc biệt, trong đó phải kể đến các bài toán chứa tham số

Qua quá trình giảng dạy tại trường THPT Tân Kỳ 3, tác giả nhận thấy nộidung của chương này luôn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, việc học tốt

và nắm vững kiến thức của chương này sẽ tạo đà cho việc học tập các chương khácrất tốt Các năm dạy học ôn thi tốt nghiệp THPT QG tác giả rút ra được một điều làcần phải bồi dưỡng cũng như phát triển năng lực tư duy kết hợp phân tích trựcquan và suy luận logic để giải quyết một số bài toán trong chương 1 giải tích lớp

12 Các dạng toán chứa tham số luôn được giáo viên và học sinh qua tâm tìm hiểu,đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi ôn thi vào các trường đại học

Trong kỳ thi THPT QG hàng năm thì các câu hỏi ở mức vận dụng, vận dụngcao ở chương ứng dụng đạo hàm chiếm tỉ lệ cao, trong đó các bài toán chứa tham

Từ những lý do nêu trên, cùng sự nghiên cứu của tác giả kết hợp sự chia sẻ kinhnghiệm của các đồng nghiệp là giáo viên cốt cán tỉnh nghệ an Tác giả đã đúc rút đượcnhững kinh nghiệm quý báu thành đề tài “Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa

dụng trong giảng dạy ôn thi THPT QG tại trường THPT Tân Kỳ 3

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong đề tài tác giả nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triểnnăng lực tư duy của học sinh thông qua các bài toán liên quan đến khảo sát hàm sốtrong chương trình giải tích lớp 12 với mục đích như sau

tương đương của bài toán giúp học sinh lĩnh hội kiến thức khó trở nên đơn giảnhơn

hiệu của bài toán đó

trường hợp có thể xảy ra của các bài toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu, sốcực trị của hàm số, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x m( ; )

học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục,

rèn luyện phẩm chất, năng lực học sinh về nhiều mặt.

-tin trường THPT Tân Kỳ 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh.

- Học sinh thi tốt nghiệp THPT QG để xét Đại học.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ

sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển nănglực của học sinh

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích các định hướng của

từng bài toán, sử dụng các kinh nghiệm của bản thân để giúp học sinh phát triểnnăng lực phân tích, tổng hợp

- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với

giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Trong đề tài này tác giả đã nêu lên được sự kết hợp trực quan đồ thị và lập

luận có lý giúp học sinh dệ hiểu và nắm vững bản chất của các bài toán chứa tham

cực trị; bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Phân tích được các dấu hiệu của từng bài toán và đưa ra được nhiều định

hướng khác nhau giúp học sinh dễ dàng tìm ra hướng giải quyết bài toán

- Sử dụng mô hình năng lực giải quyết vấn đề toán học để phân tích và định

hướng giúp học sinh phát triển các năng lực đọc hiểu dữ liệu câu hỏi; năng lực suyluận toán học; năng lực thực hiện tính toán; năng lực vận dụng kiến thức vào thựctiễn giải quyết vấn đề toán học

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

+ Nếu f x '( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu f x '( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

( f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K)

c Đồ thị hàm số đơn điệu

2.1.2 Cực trị của hàm số

a Định nghĩa

Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên khoảng a b;  và điểm x0 a b; .+ Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x( )  f x( ) 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì tanói hàm số yf x( ) đạt cực đại tại x0

+ Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x( )  f x( ) 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì tanói hàm số yf x( ) đạt cực tiểu tại x0

b Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý:

Giả sử hàm số yf x( )liên tục trên khoảng K  (x0  h x; 0 h) và có đạo hàm trên K

hoặc trên K\ x0 , với h 0.

+ Nếu f x '( ) 0 trên khoảng x0  h x; 0 và f x '( ) 0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0 là

+ Nếu f x '( ) 0 trên khoảng x0  h x; 0 và f x '( ) 0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0 là

2.1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a Định nghĩa

với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x( ) 0 M.

Kí hiệu M max ( ).D f x

với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x( ) 0 m.

Do đó đồ thị hàm số y f x( ) được suy ra từ đồ thị hàm số yf x( )như sau:

Đồ thị hàm số yf x( ) Đồ thị hàm số y f x( )

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT

Tân Kỳ 3: Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy và học các bài toánvận dụng cao trong chương hàm số dẫn đến kết quả thấp

- Về phía giáo viên: Đa phần các đồng nghiệp tại trường THPT Tân Kỳ 3 rất

ít khi dạy các bài toán ở mức vận dụng và vận dụng cao, một phần vì năng lực họcsinh đại trà quá thấp một phần vì khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu dạy học.Điều đó tạo nên một tâm lý e ngại khi gặp phải các bài toán khó, lâu dài dẫn đếnviệc giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học gặp nhiều khó khăn

- Về phía học sinh: Sự tiếp cận các dạng toán vận dụng và vận dụng cao còn

ít, tài liệu hướng dẫn chưa có dẫn đến kết quả học tập và thi chưa cao Cụ thể kếtquả thi THPT QG năm 2019: Điểm trung bình môn toán của lớn 12A1 trong kỳ thi

TN THPT QG năm 2018 - 2019 là 6.5 điểm ( thống kê điểm toán TN THPT 2018

Điểm 8.6 8.4 8.2 7.8 7.4 7.2 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 6.0 5.6 4.8 4.6 4.2 3.6 Tần

2.3.1a Hàm số y f x m( ; ) đồng biến trên khoảng a b; 

Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.

Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách giải các bài toán xét sự đồng biến, nghịch

( ; )

yf x m đồng biến trên khoảng a b;  Bài toán tìm điều kiện của tham số m để

Sau khi tiếp cận câu hỏi thì học sinh sẽ có những suy nghị nảy sinh nhiều địnhhướng khác nhau Nhưng có một vấn đề đặt ra là phương pháp giải cho bài toánnày có giống như các dạng đã gặp không? Hay có cách nào khác để giải quyết bàitoán này nữa không?

Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán.

Sau khi đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài toán, giáo viên tiếptục đặt câu hỏi cho học sinh

Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương của bài toán tìm điều kiện của

tham số m để hàm số yf x m( ; ) đồng biến trên khoảng a b; ?

+ Ở bước này học sinh sẽ trình bày được điều kiện tương đương là

f x m   x a b

+ Đến đây giáo viên tiếp tục phân tích, nếu tìm được đạo hàm của hàm số

( ; )

y f x m thì chúng ta sẽ sử dụng điều kiện tương tự Và đặt câu hỏi 3

Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy được đạo hàm của hàm số

y f x m  f x m để tính đạo hàm Khi tìm được đạo hàm thì chúng

ta đã quy về bài toán quen y' 0;   x ( ; ).a b

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.

 f x m f x m'( ; ) ( ; ) 0,   x ( ; ).a b 

'( ; ) 0

( ; ) 0 '( ; ) 0

Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán

thiên sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán.

2.3.1b Hàm số y f x m( ; ) nghịch biến trên khoảng a b; 

Phân tích tương tự bài toán đồng biến ta có:

Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là '( ; ) 0 , ( ; ).

sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán

Các trường hợp đơn điệu trên a b;  , (  ;b , a ;  , a ;  ,  ;b Ta phân tích tương tự.

đồ thị hàm số y f x( ) không đơn điệu trên 1;5

Nên yf x( )không đổi dấu trên khoảng 1;5

2

(1;5) 13

3

m x x x

x m

m m

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng  1

Chọn đáp án: B

Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến

3

m x x x

x m

m m

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng  1

Từ bảng biến thiên suy ra

Từ bảng biến thiên suy ra

(1) 0

m f

3

m m

3

m m

m m

Nhận xét: Mỗi cách làm có một ưu điểm nhất định, các em cần nhận định được

những dấu hiệu của hàm số phù hợp để định hướng cách giải nhanh

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

m x

m x

Từ bảng biến thiên suy ra

Chọn đáp án: C

Nhận xét: Nếu f x '( ) 0nhẩm được nghiệm các em nên chọn cách lập bảng biếnthiên, đây là cách phân tích dễ hiểu nhất

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

5 5 2 5( 1) 8

A 2. B 0. C 4. D 1.

Lời giải: Đặt f x( ) x5  5x2  5(m 1)x 8

giải bài toán này, mà dung cách 1

Ta có xlim ( )   f x   nên hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng   ;1  '( ) 0

m m

Nhận xét: Khi nhận định được giải bài toán theo cách 1 hoặc 2 thì các em cần

x x x

Từ bảng biên thiên suy ra

Chọn đáp án: D

Nhận xét: Bài toán này chúng ta có thể làm bằng ba cách, nhưng các em cần nhận

định các dấu hiệu để giảm bớt các lập luận thừa

Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Ta có bảng biến thiên

( )

f x  0  0  ( )

 

Từ bảng biến thiên suy ra

(0) 0

m f

1 0 3

m m

2 2 3 0

3

0 3

Nhận xét: Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì đạo hàm luôn khác

Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

Nhận xét: Khi phân tích bài toán chúng ta cần nắm vựng phương pháp cho bài

Ví dụ 8: Cho hàm số 2

Ta thấy f x'( ) 0,   x 2;3 nên hàm số f x( ) nghịch biến trên 2;3 

Suy ra yêu cầu của bài toán  f x   ( ) 0, x 2;3  f(3) 0 

Tuy nhiên ta phát hiện thấy f x'( ) 0,   x 2;3 nên chỉ xảy ra trường hợp 1

Do đó khi giải một bài toán ngoài nắm vựng phương pháp, chúng ta còn phải phântích bài toán để phát hiện ra những điều kiện để bài toán trở nên ngắn gọn hơn

Để hàm số y f t( ) đồng biến trên 0;1  f(0) 0   1 0  luôn đúng

Nhận xét:Bài toán này đạo hàm tìm được nghiệm nên ta sử dụng bảng biến thiên

Ví dụ 10: Cho hàm số y ln(mx)  x 2 , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

e

m 

Chọn đáp án: A

Nhận xét: Đối với hàm số lôgarít chúng ta cần chú ý tới điều kiện xác định Ở bài

toán này ta nhận thấy f x '( ) 0 nên bài toán chỉ xảy ra một trường hợp

Bài 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yx3  3x2 m 4

Bài 5: Cho hàm số yx3  mx 1 Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao

A 3. B 1. C 9. D 10.

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

1

x m y

Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 2 1

Bài 13: Cho hàm số y x2  2x  2 x m , trong đó m là tham số thực Gọi

A 2019. B 2018. C 2020. D 4041.

Bài 14: Cho hàm số y x2   3 2x m 2  5m , tìm tất cả các giá trị của tham

A m    ;0  B m 1; 4 

C m    ; 2  C m 3;  .

Bài 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  5;5 để hàm

Bài 18: Cho hàm số ye xe2x m , giá trị lớn nhất của tham số m để hàm sốđã cho đồng biến trên 1; 2 là

A e. B e e 2 C e2 D 2.

Bài 19: Cho hàm số y ln(3 ) 4x  x2 m , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc khoảng  100;100 để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 1;e2 ?

A 101. B 102. C 103. D 100.

Bài 20: Cho hàm số 3

A 7. B 4. C 6. D.5.

2.3.2 Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( ; ) có n điểm cực trị.

2.3.2a Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.

Câu hỏi 1: Các em đã biết cách giải các bài toán tìm các điểm cực trị của hàm

số yf x( ) ; tìm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( ; ) có n điểm cực trị

được giải như thế nào?

+ Ở bước này, sau khi tiếp nhận câu hỏi thì học sinh sẽ có nhiều hướng giảiquyết Nhưng sẽ làm nảy sinh trong học sinh các vấn đề tư duy: Dạng toán này đãgặp hay chưa? Phương pháp giải hiện tại có giải được hay không? Nếu không thì

có hướng giải quyết khác không?

Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán

Khi học sinh đang phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh

Câu hỏi 2: Em hãy nhắc lại điều kiện để hàm số f x( ; m) có n điểm cực trị?+ Ở bước này học sinh sẽ nhớ lại được điều kiện tương đương của bài toán

( ; m)

+ Đối với học sinh yếu hơn thì giáo viên có thể gợi mở: Nhắc lại điều kiện đủ

để hàm số có cực trị

+ Phân tích: Giáo viên phân tích, nếu bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thì chúng

Câu hỏi 3: Em hãy khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số y f x m( ; )

+ Ở bước này học sinh sẽ có hai định hướng:

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán

+ Bài toán này thoạt nhìn hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối làm cho chúng ta

+ Ngoài cách giải trên chúng ta còn có thể sử dụng đồ thị hoặc bẳng biếnthiên để tìm điều kiện tương đương của bài toán

Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên

bảng biến thiên, từ đó phân tích và đưa ra các điều kiện tương đương của bài toán

x x

Từ bảng biến thiên suy ra

0

m m

Nhận xét: Các em cần nắm vững phương pháp và nhận ra các dấu hiệu để đinh

hướng nhanh lời giải của bài toán Ngoài hai cách trên các em có thể sử dụng phépsuy đồ thị để giải nhan bài toán này

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

x x x