SKKN phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT

Trong số những bài toán hình học không gian của đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, học sinh giỏi các tỉnh/thành phố có nhiều bài toán được khái quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa t

MỤC LỤC Trang

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

III Đối tượng nghiên cứu

IV Kế hoạch nghiên cứu

V Phương pháp nghiên cứu

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng

II Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra

III Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả

3

3

3 3

IV Cơ sở lý luận

1 Năng lực toán học

2 Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học

sinh 3 Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện

được

3

3

5 5

V Nội dung đề tài

1 Khái quát hóa bài toán hình học phẳng thành bài toán hình

học không gian

1.1 Khái quát hóa bài toán liên quan đến trọng tâm, trực tâm, tỷ

số thể tích, tâm tỷ cự …

1.2 Khái quát hóa bài toán liên quan đến quỹ tích

2 Tương tự hóa bài toán hình học không gian thành bài toán mới 2.1.

Tương tự hóa bài toán bằng cách thay đổi giả thiết 2.2 Tương tự hóa

bài toán bằng cách hoán đổi giữa giả thiết và kết luận

3 Phát triển bài toán hình học tổng hợp thành bài toán

mới 3.1 Phát triển thành bài toán hình học giải tích

3.2 Phát triển thành bài toán số phức

3.3 Phát triển thành bài toán hình học không gian

4 Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện

PHẦN III KẾT LUẬN

I Những kết luận

II Những kiến nghị đề xuất

Danh mục tài liệu tham khảo

51

51 51

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính

cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi luôn tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học Bản thân nhận thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá những điều chưa biết Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực toán học đòi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh Dạy học dựa trên phát triển năng lực (trong đó có dạy học dựa trên phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học) là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy và học.

Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý

và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng

Trong số những bài toán hình học không gian của đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, học sinh giỏi các tỉnh/thành phố có nhiều bài toán được khái quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài toán đơn giản, nhưng những bài toán đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình: “Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài toán hình học không gian trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố

Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học Đặc biệt, đối với học sinh lớp 11 và lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT năm

2021, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.

1

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 11 và lớp 12 THPT

Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT

IV KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khác nhau để hoàn thiện dần Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp trong quá trình học tập, giải quyết các bài toán hình học không gian Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy, Cô môn Toán trong tổ, ngoài trường và trên các diễn đàn toán học

Đề tài được thực hiện trong năm học 2020-2021 với kế hoạch cụ thể

5 Từ 16/1/2021

đến 30/1/2021

Dạy thử nghiệm tại các lớp 12A, 12D, 12E trường THPT Đặng Thúc Hứa

Thống kê các kết quả thử nghiệm

6 Từ 1/2/2021

đến 6/3/2021

Dạy thử nghiệm tại các lớp 11 và 12 trường THPT huyện Thanh Chương

Thống kê các kết quả thử nghiệm

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan đến bài toán hình học không gian, phát triển bài toán thành các bài toán mới, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

Giảng dạy tại các lớp 11 và lớp 12 trường THPT Đặng Thúc Hứa Phối

hợp với giáo viên môn Toán trường THPT trong huyện Thanh Chương, trong tỉnh Nghệ An để dạy thử nghiệm tại các lớp 11 và lớp 12.

2

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG

Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn

về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực tư duy và lập luận toán học, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán

Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa bàn huyện Thanh Chương về nội dung hình học không gian, chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán dạng này

II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học, giải quyết được các vấn đề đặt ra

và 50% trong số đó biết cách tìm tòi, xây dựng những bài toán tương tự, bài toán mới

Trong các kỳ thi thử TN THPT trên toàn quốc có 90% học sinh các lớp được dạy thử nghiệm có thể giải quyết những bài toán hình học không gian III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ Đề tài là tài liệu tham khảo ôn thi TN THPT, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố cho các học sinh đang học lớp 11 và lớp 12 THPT Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho giáo viên Toán ở trường THPT

Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán IV CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Năng lực toán học

Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng

và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp

ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động

Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận

3

nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa

và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện

1.1 Năng lực tư duy toán học

Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn

1.2 Năng lực lập luận toán học

Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng

2 Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh.

2.2 Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm” Phương pháp

dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề

2.3 Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực

Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác

2.4 Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học

Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định đối với môn Toán; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả

3 Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được trong năng lực tư duy và lập luận toán học

Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch

Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi kết luận

Giải thích và điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương tiện toán học

V NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong các đề thi thử TN THPT, học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố có nhiều bài toán được khái quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài toán đơn giản, nhưng những bài toán đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết

Ví dụ 1: [ Câu 45 – THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) lần 1 năm 2020] Cho

hình chóp S ABC có SA vuông góc với ( ), ABC AB AC   3, 2   3, 2 3, 2 và 0 BAC   3, 2

60 Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A lên cạnh SB SC , Tính bán

SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A Biết góc giữa hai mặt phẳng ( )

SAC và ( ) SAB bằng 0 30 Thể tích V của khối chóp S ABC bằng

Ví dụ 3: [Câu 47 – Khối THPT chuyên Đại học Vinh lần 1 năm 2018] Trong

không gian Oxyz, cho hai điểm A B (10;6; 2), (5;10; 9)     và mặt phẳng ( ) : 2 2 12 0

x y z

 x y z             3, 2 Điểm M di động trên mặt phẳng ( )  x y z sao cho MA MB , luôn tạo với

( )  x y z các góc bằng nhau Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn ( )  cố định Hoành độ của tâm đường tròn ( )  bằng A – 4 B 9 2C 2 D 10 Ví dụ 4: [Câu

5.b HSG lớp 11 vòng 2 năm 2020 - trường THPT Đặng Thúc Hứa] Cho tứ diện đều ABCD

có trọng tâm G, cạnh AB a   3, 2 O ; là tâm của tam giác BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( ) BCD Gọi H K L , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của M

lên các mặt phẳng ( ),( ),( ) ACD ABD ABC Chứng minh đường thẳng GM luôn đi qua trọng tâm E của tam giác HKL Ví dụ 5: [ Câu 3 HSG lớp 11 vòng 4 năm học

, , , Gọi , , , m m m m a b c d là độ dài các đường trọng tuyến kẻ từ các đỉnh A B C

D , , , và R là khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh đó và thỏa mãn 3( ) 16 m m m m R

a b c d               3, 2 Chứng minh rằng AB CD BC AD CA BD   3, 2   3, 2   3, 2 , , ( trọng tuyến của

tứ diện là đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện)

Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh ở nội dung hình học không gian, nhiều giáo viên gặp khó khăn khi lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11, 12 không biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích, lập luận của giáo viên, bạn bè

Trong đề tài này việc phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học dựa trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến bản chất bên trong

Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, tương tự hóa,

Cho tam giác ABC có trọng

tâm G và M là trung điểm của

cạnh BC.

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và E

là trọng tâm của tam giác BCD Gọi M N,

lần lượt là trung điểm của AB CD ,

Định nghĩa 1: Ba đường

trung tuyến đồng quy tại trọng

tâm G.

Định nghĩa 1: Bốn đường đường trọng

tuyến đồng quy tại trọng tâm G của tứ diện.                        

GY: Bài toán trong không gian

Tính chất 1: Do M N, lần lượt là trung điểm của AB CD , nên

               GA GB GM 2 ,       3, 2                GC GD GN 2       3, 2                          , ta

Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên GA GB GC GD               3, 2 0     

         suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng MN

sao cho biểu thức 2 2 2 2 T MA MB MC MD   3, 2             đạt giá trị nhỏ nhất Bài tập áp dụng 1.2: Cho tứ diện ABCD có AB CD c   3, 2   3, 2 AD BC b , ,   3, 2   3, 2 AC BD a ,   3, 2   3, 2

các đường trọng tuyến AA BB ', ' cắt nhau tại trọng tâm G của tứ diện Biết AA'

và BB ' vuông góc với nhau, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A 2 2 2 a b c       3, 2 3 B 2 a c b 3   3, 2 C 2 2 ( ) 3 a b c       3, 2 D 2 2 a c ac       3, 2 3

cầu ( ) S Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD , các đường thẳng AG BG CG DG

, , , lần lượt cắt mặt cầu ( ) S tại các điểm thứ hai A B C D ', ', ', ' Chứng minh ' ' ' '

V V ABCD A B C D 

Bài toán 2: Các đường cao của tứ diện bất kỳ có đồng quy tại một điểm không?

Cho tam giác ABC Cho tứ diện ABCD bất kỳ.

Ba đường cao đồng

quy tại trực tâm H

Điều kiện cần và đủ để các đường cao của tứ diện đồng quy tại một điểm ( gọi là tứ diện trực tâm) là:

a) Các cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau b) Một đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt này

c) Tổng bình phương của các cạnh chéo nhau thì bằng nhau

d) Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh chéo nhau thì bằng nhau.

GY: Bài toán trong không gian

Gọi E K, lần lượt là hình chiếu của A B, lên ( ) BCD và ( ) ACD và H là giao điểm của AE và BK.

       ( )( ) ( )( ) 0                3, 2        ( )( ) ( )( ) 0    3, 2        ( )( ) ( )( ) 0      , ( )   CB AB AC CB CD BD CB AD AD BC ( ) ( ) 0 2 0 d) Gọi P Q R S , , ,

lần lượt là trung điểm của CD AB AC BD , , , Áp dụng công thức tính độ dài

đường trung tuyến trong tam giác và áp dụng câu c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Cho tam giác ABC có R r, lần

lượt là bán kính đường tròn ngoại

tiếp và nội tiếp tam giác

Cho tứ diện ABCD có R r, lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp

tứ diện

Chứng minh: R r 2  2 Chứng minh: R r 3  2

GY: Bài toán trong không gian

Gọi A B C D ', ', ', ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD ACD ABD ABC , , , và G O I , , lần lượt là trọng tâm, tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Gọi R ' là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A B C D ' ' ' ', khi đó R R   3, 2 3 ' và

R r '  2 Do đó R r 3 ,  2 dấu bằng xảy ra khiABCD là tứ diện đều 🖎 Để khái quát

bài toán trong hình học phẳng sang bài toán trong hình

9

học không gian học sinh phải nắm vững phép vị tự và các tính chất.

Bài toán 4:

Cho tam giác ABC vuông tại

A có đường cao AH.

  3, 2        

2 2 2 2

OH OA OB OC Tính chất 2: (ĐL

OAB OAC OBC ABC S S S S                           3, 2

Tính chất 3: H là trực tâm của tam giác

ABC.

GY: Bài toán trong không gian

Tính chất 1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên cạnh AB Tam giác OAB

vuông tại O, có đường cao OK; tam giác OKC vuông tại O, có 1 1 1 1 1 1

đường cao OH Do đó 2 2 2 2 2 2

  3, 2       3, 2        

OH OK OC OA OB OC Tính chất 2: 2 2 2 1 4 ABC S CK AB       3, 2   3, 2 1 2 2 2 ( )

4OC OK AB    

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 4

  3, 2           3, 2         OC OA OB OK AB S S S             OAB OBC OCA

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa độ dài đường cao của tam giác vuông trong hình học phẳng thành độ dài đường cao của tam diện vuông trong hình học không gian

phẳng ( ) OAB Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ( ) ABC 1 1 1

1

OH OA OB OC

Biết 2 2 2 2

  3, 2         Chứng minh tam giác OAB vuông tại O

OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi R r, lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp hình chóp O ABC ; V là thể tích khối chóp O ABC

và h là chiều cao của khối chóp O ABC kẻ từ đỉnh O Giá trị nhỏ nhất

10

V h r ( )

R hr

A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 3 2 Bài tập áp dụng 4.3: Cho tứ diện gần đều

ABCD có đường cao AH H BCD ,( ( ))  , H1 là trực tâm của tam giác BCD, O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh rằng O1 là trung điểm của đoạn thẳng 1 HH

GY: Bài toán trong không gian

CD cắt cạnh AB tại E Gọi  x y z  , lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng ( ) P với các mặt phẳng ( ) BCD và ( ) ACD Giá trị biểu thức T   3, 2     cos( )  x y z  bằng

A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 6 Bài tập áp dụng 5.2: [HSG Bắc Ninh -

2019] Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH Mặt phẳng ( ) P chứa cạnh AH

cắt các cạnh BC CD BD , , lần lượt tại M N P , , Gọi  x y z   , , lần lượt là góc tạo bởi

AM AN AP , , với mặt phẳng ( ) BCD Chứng minh rằng 2 2 2 tan tan tan 12  x y z          

  3, 2

Bài toán 6:

11

Cho tam giác ABC

vuông tại A có đường cao

AH.

Cho đa giác 1 2 A A An nằm trên mặt phẳng

( ) P và có diện tích S, đa giác ' ' '

1 2 A A An là hình chiếu vuông góc của đa giác 1 2 A A An lên

mặt phẳng ( ) Q Đa giác ' ' '

1 2 A A An có diện tích S ' , góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q bằng .

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa định lý hình chiếu trong

hình học phẳng thành định lý hình chiếu trong hình học không gian Bài tập áp

dụng 6.1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân 0

AB AC a BAC BB a   3, 2   3, 2   3, 2   3, 2 , 120 , ' Gọi M là trung điểm của CC ' Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ' ) AB M và ( ) ABC Giá trị cos bằng

A 10 10 B 3 3 C 30 10 D 3 6 Bài toán 7:

Cho tam giác OAB , một đường

GY: Bài toán trong không gian

Cho tam giác ABC , M là điểm

thuộc cạnh BC Qua M kẻ các

đường thẳng song song với AB

AC , , chúng cắt các cạnh AC AB ,

lần lượt tại B C', ' Chứng minh

rằng khi M thay đổi thì biểu thức

MB MC ' '

AB AC     là hằng số.

Cho hình chóp S ABC , M là điểm nằm trong tam giác ABC Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA

SB SC , , , chúng cắt các mặt phẳng

( ), SBC ( ), SCA ( ) SAB lần lượt tại A

B C ', ', ' Chứng minh rằng khi M thay đổi thì biểu thức MA MB MC ' ' '

Bài tập áp dụng 8.1: [HSG Cụm trường Cầu Giấy – Hà Nội 2020] Cho hình

chóp S ABC , M là điểm nằm trong tam giác ABC Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA SB SC , , , chúng cắt các mặt phẳng ( ), SBC ( ), SCA ( ) SAB lần

lượt tại A B C ', ', ' Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

SA SB SC T

MA MB MC   3, 2         bằng

' ' '

A 3 3 B 3 C 6 3 D 6 Bài tập áp dụng 8.2: [HSG THPT Lê Hồng

Phong 2020, HSG Gia Lai 2020] Cho điểm M nằm trong tứ diện ABCD Các đường thẳng MA MB BC MD , , , lần lượt cắt ( ),( ),( ),( ) BCD ACD ABD ABC tại A B', ', C D', ' thỏa MA MB MC MD

Cho tam giác ABC M là điểm

bất kỳ trong tam giác Gọi A B C ',

', ' lần lượt là hình chiếu của M lên

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái quát tính chất tỷ số diện tích trong hình

học phẳng sang tính chất tỷ số thể tích trong hình học không gian Bài tập áp

Gọi , , , a b c d k k k k lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng ( ),( ),( ),(

) BCD CDA ABD ABC Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 MA MB MC MD k k k k k k k k k k k k              2                     a b a c a d b c b d c d Bài

toán 10:

a) Nếu điểm M thuộc đường

thuộc đường thẳng AB.

b) Nếu có điểm O thỏa mãn

GY: Bài toán trong không gian

a) Do M thuộc mặt phẳng ( ) ABC nên có 2 số x y, sao cho

       ( )( ) ( )( ) 0            3, 2 x y z 1 , vì vậy OM xOA yOB zOC   3, 2        

Bài tập áp dụng 10.1: Cho tứ diện SABC có trọng tâm G Mặt phẳng ( )

P bất kỳ đi qua G , cắt các cạnh SA SB SC , , lần lượt tại A B C ', ', ' Giá trị của

A 3 B 4 C 5 D 6 Bài toán 11:

Cho tam giác ABC có M là

điểm bất kỳ trong tam giác

AB AC AD        ( )( ) ( )( ) 0    3, 2                ( )( ) ( )( ) 0    3, 2         Bài toán 12:

Cho tam giác đều ABC và M

là một điểm thay đổi nhưng luôn

nằm trong tam giác ABC Gọi A B

C ', ', ' là các điểm đối xứng của M

lần lượt qua BC CA AB , ,

Cho tứ diện đều ABCD và M là một điểm thay đổi nhưng luôn nằm trong tứ diện ABCD Gọi 1 1 1 1 A B C D , , , lần lượt

là hình chiếu của M lên các mặt phẳng

( ),( ),( ),( ) BCD ACD ABD ABC Gọi

Chứng minh rằng khi M thay đổi

trọng tâm của tam giác A B C ' ' '

GY: Bài toán trong không gian

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD Gọi AE BF CK DI , , , là đường cao của tứ diện Ta có AE BF CK DI   3, 2   3, 2   3, 2

toán 13:

Cho tam giác ABC có O H

G M , , , lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp của tam giác

ABC , trực tâm của tam giác

ABC , trọng tâm tam giác ABC,

trung điểm cạnh BC Đường cao

AK cắt đường tròn ngoại tiếp tại

E.

Cho tứ diện trực tâm ABCD có O H G I ,

, , lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , trực tâm của tứ diện ABCD , trọng tâm tứ diện ABCD, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Đường cao AK cắt mặt cầu ngoại tiếp tại

E A1 đối xứng với A qua trọng tâm G.

GY: Bài toán trong không gian

a) Xét phép vị tự tâm G, tỷ số k   3, 2   1, ( , 1) 1 : V A A G k  3, 2    biến tứ diện

ABCD thành tứ diện trực tâm 1 1 1 1 A B C D

1 1 ' '

3 3

Ta có G là trung điểm của BB1 và 1

GA GA GA A   3, 2   3, 2   là trọng tâm của tam giác BB A1 1   A B1 1 và CD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường Do

ABCD là tứ diện trực tâm và 1 1 A B AB / / nên tứ giác ACB D 1 1 là hình thoi Vì vậy

AC AD 1 1   3, 2 , tương tự ta có A B AC AD 1 1 1   3, 2   3, 2 Do đó 1 AO BCD ( ),     , ( )   tương tự 1

1 1 B O ACD C O ABD D O ABC O ( ), ( ), ( )     , ( )       , ( )       , ( )     là trực tâm của tứ diện          

1 1 1 1 A B C D , hay ( , 1) : , V H O G k  3, 2    do đó GO GH   3, 2  

b) Tứ giác AHAO1 là hình bình hành 1     3, 2 AH OA

c) Gọi A2 đối xứng với A qua tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 1 ' 3

Theo Định lý Menelaus ta có 2 H A A , ', thẳng hàng và 2 HA HA   3, 2 , do E thuộc đường tròn đường kính AA2 và AK là đường cao của tứ diện ABCD nên AE EA     , ( )   2

và AK KA '     , ( )   Vì vậy theo Định lý Thales KE KH   3, 2 2 🖎 Đây là một bài toán khó.

Để khái quát bài toán trong hình học phẳng sang bài toán trong hình học

không gian học sinh cần nắm vững cách chứng minh bài toán trong hình học phẳng, tính chất trọng tâm, trực tâm của tứ diện, tính chất của phép vị tự

BB ', CC ', DD ' đồng quy tại trực tâm H nằm trong tứ diện Các đường thẳng AA

BB CC DD ', ', ', ' cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD lần lượt tại

1 1 1 1 A B C D , , , Giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài toán 14:

Cho điểm M nằm trong tam

giác nhọn ABC Dựng các véctơ

của tam giác A B C ' ' '.

Chứng minh: M là trọng tâm của tứ diện A B C D ' ' ' '.

GY: Bài toán trong không gian

                                                                          1 1 ([ , ] [ , ] [ , ]) ([ , ]-[ , ] [ , ]

[ , ])

  3, 2             3, 2         BD BC CA DB DA BC BA BD CA BC CA DB DA BC BA 2 2

                                                 

1 1

([ , - ] [ , ]) ([ , ] [ , ])

  3, 2         3, 2     BD CA DA BC BA CA BD CD BC BC

2 2

                        

              Do đó MA MB MC MD ' ' ' ' 0               3, 2 1

[ , ] '

2   3, 2     3, 2   DC DB MA

🖎 Đây là một bài toán khó Để khái quát bài toán trong hình học phẳng sang bài toán trong hình học không gian học sinh cần nắm vững tính chất của bài toán trong hình học phẳng và lý thuyết tích có hướng của hai vectơ trong không gian

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái quát tính chất tâm tỷ cự trong hình học phẳng thành tính chất tâm tỷ cự trong hình học không gian.

19

Bài toán 15:

Gọi O là tâm của tam giác đều

ABC M là điểm bất kỳ trên cạnh

BC Gọi B C', ' lần lượt là hình

chiếu của M lên các cạnh AB AC ,

.

Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm

G, cạnh AB a   3, 2 O ; là tâm của tam giác

BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( ) BCD Gọi H K L , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng ( ),( ),( ) ACD ABD ABC .

Cách 1: Độ dài đường cao của tứ diện ABCD là a AO BB CC DD h   3, 2   3, 2   3, 2

  3, 2   3, 2 Độ dài đường cao trong tam giác BCD là

Do E là trọng tâm của tam giác HKL nên ta có 3ME MH MK ML   3, 2             

Tam giác BCD đều tâm O Qua M dựng các đường thẳng song song

với các cạnh BC CD DB , , Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta chứng minh

quát tính chất trong hình học phẳng sang tính chất trong hình học không gian

1.2 Khái quát hóa bài toán liên quan đến quỹ tích

Bài toán 1:

Cho đoạn thẳng AB có độ dài

bằng a Tìm tập hợp các điểm M

sao cho MA b MB   3, 2 với b 1. 1

Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng

a Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA

b MB   3, 2 với b 1. 1

21 Tập hợp các điểm M là đường

tròn Apollonius Cho mặt phẳng ( ) P và hai điểm A

B, thỏa mãn d A P b d B P ( ,( )) ( ,( ))

  3, 2 Biết tập hợp các điểm M trên mặt phẳng ( ) P sao cho các đường thẳng

MA MB , cùng tạo với ( ) P các góc bằng nhau là một đường tròn bán kính R, tìm

R.

GY: Bài toán trong không gian

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A B, lên mặt phẳng ( ), P

tính độ dài HK a   3, 2 , khi đó tan tan   AMH BMK   3, 2 d A P d B P ( ,( )) ( ,( ))

       ( )( ) ( )( ) 0    3, 2

MH MK

       ( )( ) ( )( ) 0    3, 2 MH b MK

         , khi đó 2Gọi I là điểm thỏa mãn 2 IH b IK   3, 2 a ab IK IH b b   3, 2   3, 2     2 2

,

1 1

A B (5; 5; 1), (0;9;6)   và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0 P x y z           3, 2 Biết tập hợp các điểm M trên mặt phẳng ( ) P sao cho các đường thẳng MA MB , cùng tạo với ( ) P

các góc bằng nhau là một đường tròn bán kính R, tìm R

A R   3, 2 2 B R   3, 2 6 C R   3, 2 4 D R   3, 2 3 Bài tập áp dụng 1.2: Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A B (5; 4; 4), ( 2; 1; 8)     và mặt phẳng ( ) : 2

2 3 0 P x y z             3, 2 Biết tập hợp các điểm M trên mặt phẳng ( ) P sao cho các

Cho đường thẳng     và hai

điểm A B, thuộc cùng một nửa

mặt phẳng bờ là đường thẳng    

Tìm điểm M trên đường thẳng    

sao cho T MA MB   3, 2     nhỏ nhất.

Cho mặt phẳng ( ) P và hai điểm A

B, thuộc cùng một không gian bờ là mặt phẳng ( ) P Tìm điểm M trên mặt phẳng ( ) P sao cho T MA MB   3, 2     nhỏ nhất.

GY: Bài toán trong không gian

Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( ) P Mọi điểm M bất kỳ trên mặt phẳng ( ) P ta có T MA MB MA MB A B   3, 2       3, 2      2 ' ' (không đổi) Do đó min ' T

A B   3, 2 đạt được khi M A B , ', thẳng hàng hay { } ' ( ) M A B P   3, 2 

A B (5; 4; 4), ( 2; 8; 1)     và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0 P x y z             3, 2 Điểm M di động trên mặt phẳng ( ) P Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MA MB   3, 2     bằng

A 6 2 B 9 2 C 6 D 9 Bài tập áp dụng 2.2: Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz, cho hai điểm A B (5; 1;5), (6; 6; 3)       và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0 P x y z

ngoài đường tròn ( ) C thỏa mãn

IA kR   3, 2 Tìm điểm M trên đường

tròn ( ) C sao cho P MA k MB   3, 2    

nhỏ nhất.

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính

R và hai điểm A B, nằm ngoài mặt cầu

(S) thỏa mãn IA kR   3, 2 Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho P MA k MB   3, 2    

nhỏ nhất.

GY: Bài toán trong không gian

           ( )( ) ( )( ) 0      3, 2 Khi đó P MA kMB k MA MB k A   3, 2       3, 2      2 ( ' ) 'B Vì vậy min

' P k A B   3, 2 đạt được khi A M B ', , thẳng hàng hay { } ' ( ) M A B S   3, 2 

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái quát bài toán trong hình học phẳng sang bài toán trong hình học không gian Từ bài toán hình học phẳng sáng tạo thành bài toán mới về số phức Từ bài toán hình học không gian tổng hợp sáng tạo thành bài toán mới thuộc hình học giải tích trong không gian

A B (4; 0; 0), (3;2;1) và mặt cầu 2 2 2 ( ) : 4 S x y z           3, 2 Điểm M di động trên mặt cầu (S) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA MB   3, 2     2 bằng

A 3 B 4 C 6 D 2 3 Bài tập áp dụng 3.2: Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz, cho hai điểm A B (0;9; 0), (6; 4; 3) và mặt cầu 2 2 2 ( ) : 9 S x y z           3, 2

Điểm M a b c ( ; ; ) thuộc mặt cầu (S) sao cho P MA MB   3, 2     3 đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị biểu thức T a b c   3, 2         bằng

A T   3, 2   3 B T   3, 2 1 C T   3, 2 3 D T   3, 2 5 Bài toán 4:

Cho     ABC Tìm điểm M sao

cho T MA MB MC   3, 2         nhỏ nhất

( Bài toán về điểm Toricenli).

Cho tứ diện ABCD có AB CD   3, 2 ,

AC BD BC AD   3, 2   3, 2 , Tìm điểm M sao cho T MA MB MC MD   3, 2             nhỏ nhất.

24

GY: Bài toán trong không gian

Tứ diện gần đều có trọng tâm trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Ta có GA GB GC GD   3, 2   3, 2   3, 2 Do đó

Vì vậy min 4 T GA   3, 2 đạt được khi M trùng với trọng tâm G

🖎 Đây là một bài toán khái quát chưa triệt để, khi tứ diện ABCD là tứ diện gần đều Việc chứng minh của hai bài toán không có sự liên hệ với nhau, bài toán trong mặt phẳng sử dụng phép quay để giải quyết, trong khi bài toán trong không gian sử dụng tính chất tích vô hướng và sự đặc biệt của tứ diện gần đều

Bài toán 5:

Cho tam giác ABC Tìm

đường thẳng     đi qua đỉnh A sao

cho T d B m d C   3, 2             ( , ) ( , )

lớn nhất và hai điểm B C, thuộc

cùng nửa mặt phẳng bờ là đường

thẳng     .

Cho tứ diện ABCD Tìm mặt phẳng

( ) P đi qua đỉnh A sao cho T d B P m d

C P n d D P   3, 2         ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) lớn nhất và ba điểm B C D , , thuộc cùng một nửa không gian bờ là mặt phẳng

( ) P

GY: Bài toán trong không gian

                   , khi đó Xác định điểm J sao cho JB mJC nJD           3, 2 0

T d B P m d C P n d D P m n d J P m n JK   3, 2           3, 2                  ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) (1) ( ,( )) (1 ) , trong đó K là hình chiếu của J lên mặt phẳng ( ) P

Do đó max (1 ) T m n JA   3, 2         đạt được khi K A  hay mặt phẳng ( ) P đi qua A, vuông góc với JA

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái quát bài toán trong hình học

25

phẳng sang bài toán trong hình học không gian Từ bài toán hình học không

gian tổng hợp sáng tạo thành bài toán mới thuộc hình học giải tích trong không gian

điểm A B C D (1; 3; 0), (3; 3; 2), (3; 0;1), (1; 1; 2)           Mặt phẳng ( ) P đi qua đỉnh A

sao cho ba điểm B C D , , thuộc cùng một nửa không gian bờ là mặt phẳng ( ) P

Giá trị lớn nhất của biểu thức T d B P d C P d D P   3, 2         ( ,( )) 2 ( ,( )) 3 ( ,( )) bằng

A T   3, 2 3 6 B T   3, 2 18 C T   3, 2 6 6 D T   3, 2 6 Bài tập áp dụng 5.2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A B C D ( 1;1;1), ( 1; 5;0), (0;

3;1), (2;1;3)         Mặt phẳng ( ): 0 P ax by cz m               3, 2 ( , , , ; a b c m   a và m là hai số nguyên tố cùng nhau) đi qua đỉnh A sao cho ba điểm B C D , , thuộc cùng một nửa không gian bờ là mặt phẳng ( ) P và biểu thức T d B P d C P d D P   3, 2         ( ,( )) ( ,( )) 3 ( ,( )) đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị biểu thức abc m     bằng

A 7 B 1   C 5 D T   3, 2 4 2 Tương tự hóa bài toán hình học không gian thành bài toán mới 2.1 Tương tự hóa bài toán bằng cách

thay đổi giả thiết

Bài toán gốc 1: Cho hình chóp S

GY: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC Do AB AC AB SA ,     , ( )       , ( )  

nên AB SAC AB SC ( )     , ( )         , ( )   Vì vậy SC AH SC BH ,     , ( )       , ( )   , do đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBC bằng góc giữa hai đường thẳng AH BH , và bằng góc

đề đặt ra học sinh cần áp dụng bài toán gốc

🖎 Từ các bài toán mới này sáng tạo thành bài toán tương tự bằng cách

thay đổi cách hỏi, thay hỏi góc giữa hai mặt phẳng bằng tỷ số thể tích giữa hai khối đa diện.

26

Bài toán tương tự 1.1: Cho hình

chóp

S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

2 , a cạnh bên SA vuông góc với đáy và

SA a   3, 2 3 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng

( ) SAC và ( ) SBC

của A lên SC Dựng điểm E thuộc đường thẳng BC sao cho     AEC vuông tại A.

Do AE AC AE SA ,     , ( )       , ( )   nên AE SAC AE SC ( )     , ( )         , ( )   Vì vậy SC AH SC EH ,     , ( )       , ( )   , do

đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBC bằng góc giữa hai đường thẳng AH

🖎 Từ bài toán này sáng tạo bài toán tương tự bằng cách thay đổi cách hỏi

“Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 , a cạnh bên SAvuông góc với đáy và SA a   3, 2 3 Gọi 2 ( ) P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC Mặt phẳng ( ) P chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích V V ”

1 2 V V, (V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S ) Tính tỷ số 1

đường thẳng BC sao cho     AEC vuông tại A Do AE AC AE SA ,     , ( )       , ( )   nên AE SAC

AE SC ( )     , ( )         , ( )   Vì vậy SC AH SC EH ,     , ( )       , ( )   , do đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC

và ( ) SBC bằng góc giữa hai đường thẳng AH EH , và bằng góc AHE

Bài toán tương tự 1.3: Cho hình

chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân

tại 0 A BAC AB a , 120 , 2    3, 2   3, 2 , cạnh

bên SA

vuông góc với đáy và SA a   3, 2 3 2 Tính

góc

giữa hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBC

GY: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC Dựng điểm E thuộc đường thẳng BC sao cho     AEC vuông tại A Do AE AC AE SA ,     , ( )       , ( )   nên AE SAC

AE SC ( )     , ( )         , ( )   Vì vậy SC AH SC EH ,     , ( )       , ( )   , do đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC

và ( ) SBC bằng góc giữa hai đường thẳng AH EH , và bằng góc AHE

🖎 Từ bài toán này sáng tạo bài toán tương tự bằng cách thay đổi cách hỏi

“ Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC Mặt phẳng ( ) P chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích 1 2 V V, (V1 là thể tích khối đa diện V V ”

chứa đỉnh S ) Tính tỷ số 1

2

Bài toán tương tự 1.4: Cho hình

chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

AE SD ( )     , ( )         , ( )   Vì vậy SD AH SD EH ,     , ( )       , ( )   , do đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAD

và ( ) SCD bằng góc giữa hai đường thẳng AH EH , và bằng góc AHE

0   ADE AE AD ADE a 45 tan 2   3, 2     3, 2   3, 2

🖎 Từ bài toán này sáng tạo bài toán tương tự bằng cách thay đổi cách hỏi

“ Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SD Mặt phẳng ( ) P chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích 1 2 V V, (V1 là thể tích khối đa diện V V ”

chứa đỉnh S ) Tính tỷ số 1

2

đáy lớn AB a   3, 2 2 , đáy nhỏ BC a   3, 2 , các cạnh bên AB CD a   3, 2   3, 2 Trên nửa

đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD lấy điểm S (không trung với

A) Mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A và vuông góc với SD cắt các cạnh SB,

SC, SD lần lượt tại B C D ', ', '

a) Chứng minh tứ giác AB C D ' ' ' nội tiếp được đường tròn

b) Khi điểm S di động trên tia At, chứng minh đường thẳng C D' ' luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán tương tự 1.5: Cho

hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình thoi cạnh 2 , a 0 BAD 120 ,   3, 2 cạnh

bên SA vuông góc với đáy và

SA a   3, 2 3 2 Tính góc giữa hai mặt

phẳng ( ) SAD và ( ) SCD

GY: Gọi H là hình chiếu vuông

góc của A lên SD Dựng điểm F thuộc đường thẳng CD sao cho     AFD vuông tại

A Do AF AD AF SA ,     , ( )       , ( )   nên AF SAD AF SD ( )     , ( )         , ( )   Vì vậy SD AH SD FH ,     , ( )       , ( )   ,

do đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAD và ( ) SCD bằng góc giữa hai đường thẳng

🖎 Từ bài toán này sáng tạo bài toán tương tự bằng cách thay đổi cách hỏi

“ Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SD Mặt phẳng ( ) P chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích 1 2 V V, (V1 là thể tích khối đa diện V V ”