Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 4 phan văn tân

HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN4.1 Khái niệm • Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số >1 đại lượng ngẫu nhiên • Khi đó ta n

Trang 1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Phan Văn Tân

Bộ mô Khí tượng

Trang 2

CHƯƠNG 4 HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

4.1 Khái niệm

• Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số (>1) đại lượng ngẫu nhiên

• Khi đó ta nói có một “hệ các đại lượng ngẫu nhiên”

• Các tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được

mô tả hết bởi những tính chất của các đại lượng ngẫu nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan

hệ tương hỗ giữa các đại lượng ngẫu nhiên của hệ

• Giả sử xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, khi đó mỗi cặp giá trị có thể của X và Y được xem như các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng

Trang 3

4.1 Khái niệm

• Tương tự, nếu có ba đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z khi đó mỗi bộ ba giá trị có thể của X, Y, Z sẽ là các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều

• Nếu có đồng thời n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn

thì bộ n giá trị có thể (x1, x2,…, xn) của X1, X2,…,Xn là

tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều

• Vì vậy, có thể xem hệ các đại lượng ngẫu nhiên như là biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu nhiên

• Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần là rời rạc ta có

hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại ta có hệ các đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Trang 4

4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân bố xác suất

• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều lànhững đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với

Trang 5

• Nhận thấy: Các sự kiện (X=xi) xung khắc, (Y=yj) xung khắc

• Î Các sự kiện (X=xi)(Y=yj) là nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc nên Σpij = 1

• (X=xi)=Σj (X=xi)(Y=yj) Î P(X=xi)=P(Σj (X=xi)(Y=yj))=pi≡pi•

• (Y=yj)=Σi (X=xi)(Y=yj) Î P(Y=yj)=P(Σi (X=xi)(Y=yj))=qj≡p•j

ij q p

∑

Trang 6

• Ví dụ 1: Gieo đồng thời một đồng tiền và một con xúc xắc Gọi X

và Y lần lượt là kết quả nhận được của việc gieo đó; X={S, N}, Y={1,2,3,4,5,6} Hãy lập bảng phân bố xác suất của hệ (X,Y)

• Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)=…=P(Y=6)=1/6

• P(X=xi, Y=yj)=(1/2)*(1/6)=1/12

1/61/121/125

1/61/121/126

11/6

1/61/6

1/6

∑

1/21/12

1/121/12

1/12N

1/21/12

1/121/12

1/12S

∑4

32

1

Y X

Trang 7

• Ví dụ 2: Tìm luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên X, Y khi biết phân bố đồng thời của chúng được cho bởi

0.06

x2

0.200.30

0.360.48

0.16q

Trang 8

4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục Hàm phân bố xác suất

• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều lànhững đại lượng ngẫu nhiên liên tục

• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y)

là hàm của hai đối số (x,y) được xác định bởi F(x,y)=P(X<x, Y<y)

• Ý nghĩa hình học của hàm phân bố:

x

y M(X,Y)

đỉnh trên bên phải

tại điểm có tọa độ

(x,y)

(x,y)

Trang 9

1 x F x

F y

,(

),(

,(

),(

0)

,(

lim

0)

,()

,(lim

0)

,(

),(lim

x F

y F

y x F

y x y x

),()

,(

),()

,(

2 1

2

2 1

2

y x F y

x F i y

y x F y

x F i

NÕu

th x

NÕu

1 1

1)2)

3)

4)

),()

,()

,

5)

Trang 10

Chứng minh:

)()

,()

,(

),(

• Sự kiện (X<+ ∞ , Y<y) = (X<+ ∞ )(Y<y) = (Y<y)

• Î F(+ ∞ ,y) = P(X<+ ∞ ,Y<y) = P(Y<y) = F2(y)

Trang 11

,(

),(

2)

0)

,(

lim

0)

,()

,(lim

0)

,(

),(lim

x F

y F

y x F

y x y x

3)

Trang 12

Chứng minh:

• Vì (x1<x2) nên (X<x2)=(X<x1)+(x1≤ X<x2) (tổng hai sự kiện xung khắc)

• Î (X<x2, Y<y)=(X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)

• F(x2,y)=P(X<x2,Y<y)=P((X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)) =

P(X<x1,Y<y) + P(x1≤ X<x2,Y<y)

= F(x1,y)+ P(x1≤ X<x2,Y<y) ≥ F(x1,y)

• Tương tự đối với trường hợp 2

),

()

,(

),()

,(

2 1

2

2 1

2

y x F y

x F i y

y x F y

x F i

NÕu

th x

NÕu

1 1

4)

Trang 13

, ( )

, ( α X β δ Y γ F β γ F α γ F β δ F α δ

5)

δγ

Trang 14

4.3 Mật độ xác suất

• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều lànhững đại lượng ngẫu nhiên liên tục

• Định nghĩa: Hàm mật độ phân bố xác suất của hệ hai đại lượng

ngẫu nhiên (X,Y) là đạo hàm riêng cấp hai của hàm phân bố xác suất đồng thời F(x,y), ký hiệu là f(x,y)

y x

F y

,(

2

Trang 15

x x+Δx y

Δ

Δ +

<

Δ +

Y y x x

X x

P

y

x

) ,

( lim

0

) , ( )

,

(

) , ( )

, (

) ,

( )

, (

f y

x

y x

F

y x

y x F y

x x

F y

y x F y

y x x

Δ

+ Δ

+

− Δ +

− Δ + Δ

Một cách tổng quát, xác suất của điểm

ngẫu nhiên (X,Y) rơi vào một miền D nào

x f D

Y X

Trang 16

• Tính chất:

0)

,(x y ≥

f

1) Tính chất này suy ra từ ý nghĩa của hàm mật độ

1 )

x f

D

dxdy y

x f D

Y X

⇒ F(x, y) x y f (x, y)dxdy Lấy giới hạn khi x→+∞, y→+∞ và để ý

đến tính chất 2) của hàm phân bố ta được

1)

,()

x f F

∫ ∫

∞ +

=

= +∞

=

y x

dxdy y

x f y

F y

F

dxdy y

x f x

F x

F

) , ( )

, (

) (

) , ( )

, ( )

f y

F

dy y x f x

f x

F

) , ( )

( )

(

) , ( )

( )

(

2 2

1 1

Đạo hàm hai vế

ta được:

Trang 17

• Các ví dụ:

• Ví dụ 1: Hệ đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phân bố xác suất

Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào miền chữ nhật

ABCD, với tọa độ của các đỉnh

• Giải:

)1,1(),1,3(),0,3(),0,1

A

) 1

)(

1 (

1 )

,

y x

f

+ +

=

π

= +

x

ABCD Y

X

P

) 1

)(

1 (

1 ))

( ) ,

dy

) 4 3

( 1

1 1

0

2 2

12

1

= π π π

) 0 1

)(

4 3

Trang 18

• Các ví dụ:

• Ví dụ 2: Hệ (X,Y) có mật độ phân bố xác suất được cho bởi

• Tính các mật độ phân bố riêng f1(x) và f2(y)

90

14

96

1)

,

(

2 2

y

x khi

y

x khi y

x

Trang 19

9 0

1 4

9 6

1 )

,

(

2 2

y x

khi

y x

khi y

−

3 0

3

9 9

2 6

1 )

(

2 9

1 2

9 1 2 1

2

x khi

x khi x

dy x

3

9 9

2 )

(

2

1

x khi

x x

2

4 2

1 )

(

2

y khi

y y

Tương tự

Trang 20

4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên

• Trong thực tế có thể xét đồng thời nhiều hơn hai đại lượng ngẫu nhiên, chẳng hạn 3, 4,… đại lượng ngẫu nhiên

• Để tiện trình bày ta gọi đó là hệ n đại lượng ngẫu nhiên (n≥2)

• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)

• Hệ này có thể được xem như một vector ngẫu nhiên n chiều

• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ n đại lượng ngẫu nhiên

(X1, X2, …, Xn) là hàm của n đối số (x1, x2, , xn) được xác định bởi F(x1, x2, , xn)=P(X1<x1, X2<x2, , Xn<xn)

• Định nghĩa: Nếu hàm F(x1, x2, , xn) tồn tại đạo hàm bậc n thì hệ

(X1, X2, …, Xn) có hàm mật độ xác suất được xác định bởi

x

x x

x

F x

x x

,

( )

, , ,

(

2 1

2

1 2

1

Trang 21

• Có thể suy ra rằng

• F(+∞, , xi, ,+∞)=P(X1<+∞, , Xi<xi, , Xn<+∞)=Fi(xi), i=1,2, ,n được gọi là hàm phân bố riêng của Xi

• Hàm mật độ riêng của Xi cũng có thể nhận được bằng cách đạo hàm Fi(xi) theo xi hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời:

n i

i n

• Đối với một hệ đại lượng ngẫu nhiên, từ phân bố đồng thời

ta có thể xác định được các phân bố riêng của từng đại lượng ngẫu nhiên thành phần

• Từ các phân bố riêng ta có thể xác định được các đặc trưng

riêng của chúng, như kỳ vọng, phương sai,…

Trang 22

• Mỗi bộ gồm m (m<n) đại lượng ngẫu nhiên lấy từ hệ n đại lượng

ngẫu nhiên ban đầu được gọi là một hệ con của hệ ban đầu

• Hàm phân bố và hàm mật độ xác suất của hệ con này có thể nhận được từ phân bố và mật độ đồng thời của hệ ban đầu

• Ví dụ: Phân bố của hệ con (X1, X2,…,Xm):

• F1,2, ,m(x1, , xm)=F(x1, , xm,+∞, ,+∞)=

= P(X1<x1, , Xm<xm, Xm+1<+∞, , Xn<+∞)

m

m m

m

x x

x

F x

,

( )

, ,

(

1

2 1 , ,

2 ,

1 1

n m

Trang 23

• Đối với mỗi hệ con gồm hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần

khác nhau bất kỳ ta có phân bố đồng thời được xác định bởi

, (

) , ,

, (

) ,

n k

j k

j

dx dx

x x

x f x

Trang 24

4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên

• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)

• Ký hiệu hệ này như một vector ngẫu nhiên n chiều

Trang 25

• Trong đó

n j

dx x

f x X

, 1 (

, )

( )

( ]

[ ]

n j

dx x

f m

x m

X M

X D

j j

• Ngoài các đặc trưng riêng, khi xét hệ các đại lượng ngẫu

nhiên vấn đề quan trọng hơn là xét mối quan hệ giữa chúng

• Mối quan hệ này được đặc trưng bởi mômen tương quan

giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên thành phần

Trang 26

• Định nghĩa: Mômen tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X,

Y là đại lượng được ký hiệu bởi μxy và được xác định bởi

]) [

])(

[ [( X M X Y M Y

M

μ

)) ,

( (

) )(

(

j i

ij

i j

ij y

j x

i xy

y Y

x X

P p

p m

y m

Y M Y

M

Y M Y

X M X

](

[ [(

]) [

])(

[ [(

Trang 27

• Đối với mỗi cặp hai đại lượng (Xj, Xk) của hệ (X1, X2,…, Xn) ta có

n k

j X

M X

X M X

x x

jk ≡ μ j k = [( − [ ])( − [ ])], , = 1,2, ,

μ

n k

j dx dx x

x f

m x

Tập hợp các mômen tương quan μjk lập thành

một ma trận gọi là ma trận tương quan

Trang 28

n

n n

jk

μ μ

μ

μ μ

μ

μ μ

2 22

21

1 12

11

kj j

j k

k

k k

j j

jk

X M X

M

X M X

[ [(

])]

[ ])(

[ [(

2

]) [

[(

])]

[ ])(

[ [(

j

j x x

j j

j

j j

jj

D X

M X

M

X M X

Î Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận là

phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần

Trang 29

• Hệ số tương quan: Từ định nghĩa mômen tương quan giữa hai đại

lượng ngẫu nhiên (X,Y) ta thấy:

• Thứ nguyên của μxy bằng tích thứ nguyên của X và thứ nguyên

của Y Do đó không thể so sánh mối quan hệ giữa các cặp đại

lượng ngẫu nhiên khác nhau Î Vô thứ nguyên hóa ??

• Định nghĩa: Hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên

(X,Y) là số vô thứ nguyên ρxy được xác định bởi

y x

xy y

x

xy y

x

xy

D D

Y M Y

X M X

M

σσ

x xy

x xx

D D

X M X

μ

yx xy

yx

Do

Trang 30

• Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn), hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ (Xj,Xk) được xác định bởi

n

n n

jk

P

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

2 22

21

1 12

11

Tập hợp các hệ số tương quan này lập

thành ma trận tương quan chuNn hóa

n k

j X

D X

D

X M X

M

k j

jk k

j

k k

j j

] [

])]

[ ])(

μρ

Ta có:

n

j D

D

n k

j

j j

j

jj jj

jk j

k

kj k

j

jk jk

, , 2 , 1 ,

1

, , 2 , 1 ,

μρ

ρσ

σ

μσ

σ

μρ

Ma trận tương quan chuNn hóa

là ma trận đối xứng có các phần

tử trên đường chéo chính bằng 1

Trang 31

CHƯƠN G 4 HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN

• Với hệ hai đại lượng ngẫu nhiên: X1≡X, X2≡Y

Ta có:

])]

[])(

12

2 1 22

21

12 11

σμ

μ

σμ

12 22

1 det

2

2 2

2 1

21 12

2 2

2 1 2

1

21 2

1

12

2 2

2 1

2 2

2 1

21 12

2 2

2 1 21

12

2 2

2 1 2

2 21

12

2 1

σ

ρρσ

σσ

σ

μσ

σ

μσ

σ

σσ

μ

μσ

σμ

μσ

σσ

μ

μσ

1

−

Trang 32

Ý nghĩa của hệ số tương quan:

• Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên

• Trị tuyệt đối của hệ số tương quan càng lớn thì mối quan hệ đócàng chặt chẽ

• Hệ số tương quan bằng 0 khi hai biến không tương quan với nhau

• Hệ số tương quan dương khi hai biến có quan hệ đồng biến

• Hệ số tương quan âm khi hai biến có quan hệ nghịch biến

1

Trang 33

• Tóm tắt: Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn:

n k

j X

M X

X M X

1

2

2 2 21

1 12

2 1

2 22

21

1 12

11

n

n n

nn n

n

n n

jk

σμ

μ

μσ

μ

μμ

σ

μμ

μ

μμ

μ

μμ

Ma trận tương quan

chuẩn hóa

n k

j

kj k

j

jk

jk = = ρ , , = 1 , 2 , ,

σσ

μρ

2 21

1 12

n n

n n jk

P

ρρ

ρ

Trang 34

4.6 Phân bố có điều kiện

• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) Giả sử X và Y là những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Î (X,Y) là hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

• X = {x1, x2, …, xn,… }, Y = {y1, y2, …, ym,… }

• Định nghĩa: Xác suất của sự kiện X=xj khi cho trước (hoặc đã biết trước) sự kiện Y=yk đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và ký hiệu là p(xj/yk)=P(X=xj/Y=yk)

• Tương tự, xác suất của sự kiện Y=yk khi cho trước (hoặc đã biết trước) sự kiện X=xj đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và

ký hiệu là p(yk/xj)=P(Y=yk/X=xj)

Trang 35

• Từ công thức nhân xác suất

• Ta có pjk=P(X=xj,Y=yk)≡p(xj,yk) là xác suất đồng thời của các sựkiện X=xj và Y=yk, tức (X=xj,Y=yk) = (X=xj)(Y=yk)

• pj=P(X=xj)≡p(xj), pk=P(Y=yk)≡p(yk)

• P((X=xj)(Y=yk))=P(X=xj)P(Y=yk/X=xj)=P(Y=yk)P(X=xj/Y=yk)

• Hay p(xj,yk)=p(xj)p(yk/xj)=p(yk)p(xj/yk)

• Vì p(xj)=Σkp(xj,yk)≡pj•, p(yk)=Σjp(xj,yk)≡p•k nên

) / ( ) ( )

/ ( ) ( )

k j j

k

j k

j

p

p y

x p

y x

p x

p

y x

p x

y p

p

p y

x p

y x

p y

p

y x

p y

x p

),

(

),

()

(

),

()

/(

),(

),

()

(

),

()

/(

Trang 36

j

p

p y

x p

y x

p x

y p

p

p y

x p

y x

p y

x p

) , (

) ,

( )

/ (

) , (

) ,

( )

/ (

1 )

, (

) ,

( )

/ (

1 )

, (

) ,

( )

/ (

x p

y x

p x

y p

p

p y

x p

y x

p y

x p

• Các sự kiện (X=x j /Y=y k ) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc

• Các sự kiện (Y=y j /X=x j ) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc

• Ta có

Trang 37

• Ví dụ: Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có phân bố xác suất

được cho trong bảng sau Hãy xác định phân bố có điều kiện của

X khi Y=y1

0.16 0.18

0.06

y2

0.2 0.3

Trang 38

• N ếu hệ (X,Y) là hệ đại lượng ngẫu nhiên liên tục có mật độ xác

suất đồng thời f(x,y)

• Định nghĩa: Mật độ phân bố có điều kiện của X với điều kiện

Y=y là hàm ký hiệu bởi f(x/y) và được xác định bởi

)(

),

()

/

(

2 y f

y x

f y

),

()

/

(

1 x f

y x

f x

2

tương ứng là các mật độ riêng của X và Y

Trang 39

• Ta có

1 )

,

( )

(

1 )

(

) ,

( )

dx y

f

y x

f dx

y x f

)()/()

()/()

,(x y f y x f1 x f x y f2 y

1 )

,

( )

(

1 )

(

) ,

( )

dx x

f

y x

f dy

x y f

0)

/(

0)

y x f

y x

f y

x

f

),(

),

()

y x

f x

y

f

),(

),

()

/(

Trang 40

• Ví dụ: Tìm phân bố có điều kiện của X và Y của hệ (X,Y) có mật

độ đồng thời cho bởi

2

2 2

0

1)

,

(

r y

x khi

r y

x

khi r

y x

2 2

2

y

r dx

r

dx y x f y

f ta

y r

2 2

2

/ 1 )

/ (

y r

x khi

y r

x

khi y

r r

y r

r y

2 2

0 2

1 )

/

(

x r

y khi

x r

y

khi x

r x

y f

Tương tự

Tiêu đề	Lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 4
Tác giả	Phan Văn Tân
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Xác suất và thống kê toán học
Thể loại	Bài giảng

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	559,81 KB