Đồ án tốt nghiệp công nghệ thông tin xây dựng bài toán ghép đôi không trọng số

Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện tại có tại website, tồn taị một cạnh có hướng nối từ trang

ĐẠI HỌC KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

- -ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

TÊN ĐỀ TÀIXÂY DỰNG BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI KHÔNG TRỌNG SỐ

Họ và tên:

Chuyên nghành: Công nghệ thông tin Lớp: cntt

Khoá: 2016-2020 Hướng dẫn: Tiến sỹ

Hà Nội, 12/2020

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan: Đồ án tốt nghiệp “ Xây dựng bài toán ghép đôi không trọng số “ này là công trình nghiên cứu của cá nhân em, được thực hiện trên cơ

sở nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng , dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Phạm Minh Hoàn , Trường Đại học Kinh tế quốc dân

Em xin chịu trách nhiệm về lời cam đoan này

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2020 Tác giả

LỜI CÁM ƠN

Để hoàn thành bài nghiên cứu này, em xin chân thành cám ơn Trường Đại học Kinh tế quốc dân, Phòng đào tạo, các thầy, cô giáo giảng dạy lóp Công nghệ thông tin 58B đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, tận tình giảng dạy và giúp đỡ em trong thời gian theo học tại trường

Đặc biêt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Minh Hoàn, người

đã dành nhiều thời gian, tam huyết hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đồ án

Mặc dù đã cố gắng hết sức hoàn thiện luận văn, tuy nhiên chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý quý báu của quý thầy cô và các bạn

Xin trân trọng cám ơn !

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2020

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay việc giải quyết các bài toán lớn cho hệ thống đòi hỏi

sự hợp tác chặt chẽ giữa các chuyên gia trong các lĩnh vực chuyên

môn, như các chuyên gia Toán, Toán ứng dụng và các chuyên gia Tin

học, kỹ sư lập trình Việc thiết lập được một mô hình hợp lý, phản ánh

đƣợc bản chất của bài toán thực tế đồng thời khả thi về phương diện

tính toán luôn là điều đáng được quan tâm

Đặc biệt trong các chuyên ngành liên quan thì toán học là chuyên

ngành rất được quan tâm, một trong số đó là Lý thuyết đồ thị Đồ thị

biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được

biểu diễn bằng đồ thị Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể

được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các

trang web hiện tại có tại website, tồn taị một cạnh có hướng nối từ

trang A tới trang B khi và chỉ khi A có chứa 1 liên kết tới B Do vậy, sự

phát triển của các thuật toán xử l đồ thị là một trong các mối quan tâm

chính của khoa học máy tính

Mặc dù Lý thuyết đồ thị đã được khoa học phát triển từ rất lâu

nhưng có nhiều ứng dụng hiện đại , đặc biệt là các thuật toán trên đồ thị

đã có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như : Mạng máy

tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hoá, Kinh tế học Những ý tưởng cơ bản

của lý thuyết đồ thị được nhà toán học Thụy sỹ Leonhard Euler đưa ra

từ thế kỷ 18 Ông đã dùng lý thuyết đồ thị để giải quyết bài toán cầu

Konigsberg nổi tiếng

Đồ thị cũng được dùng để giải nhiều bài toán thuộc những lĩnh

vực rất khác nhau như : người ta có thể dùng đồ thị để biểu diễn sự

cạnh tranh của các loài trong môi trường sinh thái, dùng đồ thị biểu

diễn ai có ảnh hưởng đến ai trong một tổ chức nào đó và cũng có thể

dùng đồ thị để giải các bài toán như bài toán tính số các tổ hợp khác

nhau của các chuyến xe giữa hai thành phố trong một mạng giao thông,

bài toán đi tham quan tất cả các phố của một thành phố sao cho mỗi

phố đi qua đúng một lần, hay bài toán tìm số màu cần thiết để tô các

vùng khác nhau của một bản đồ, Đồ thị với các trọng số được gán cho

các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm

đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông, bài

toán phân công lao động sao cho tổng lợi nhuận thu được là lớn nhất

Đặc biệt, nhiều bài toán trong thực tế sử dụng mô hình đồ thị và các

thuật toán trên đồ thị được giải quyết rất hiệu quả như: bài toán điều

hành taxi, bài toán xếp lớp học theo tín chỉ có thể đưa về mô hình bài

toán tìm bộ ghép cực đại trên đồ thị và sử dụng các thuật toán tương

ứng

Chính vì đồ thị có thể được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán

thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau một cách dễ dàng và phổ biến như vậy

nên đồ thị giữ một vai trò hết sức quan trọng trong cuộc sống, đặc biệt

là trong lĩnh vực công nghệ thông tin, dựa vào đồ thị và các thuật toán

trên đồ thị người ta có thể xây dựng nên các phần mềm hữu ích giải các

bài toán thực tế một cách nhanh chóng và tối ưu

Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của

giảng viên hướng dẫn, tôi đã chọn nội dung nghiên cứu về ―Bài toán

ghép đôi không trọng số trên đồ thị, ứng dụng giải một số bài toán

trong thực tế.” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình Báo cáo

được bố cục thành 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết đồ thị và độ phức tạp thuật toán

Chương 3: Ứng dụng bài toán ghép đôi trong thực tế

CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ VÀ ĐỘ PHỨC TẠP

Định lý: giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng với m cạnh, khi đó tổng tất cả các

bậc đỉnh trong V sẽ bằng 2m:

Đối với đồ thị có hướng G = (V, E) Xét một cung e ϵ E, nếu e = (u, v) thì ta nói u nối tới v và v nối từ u, cung e là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v Đỉnh u khi đó được gọi là đỉnh đầu, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung e

Với mỗi đỉnh v trong đồ thị có hướng, ta định nghĩa : Bán bậc ra của v ký hiệu deg+(v) là số cung đi ra khỏi nó; bán bậc vào ký hiệu deg(-v) là số cung đi vào đỉnh đó

Định lý: giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng với m cung, khi đó tổng tất cả các

Như vậy, theo định nghĩa trên, trong một đơn đồ thị không thể có

các cặp cạnh nối cùng một cặp đỉnh (do E là tập hợp nên không thể có

2 cặp trùng nhau), các cạnh đều không phân biệt thứ tự nên cạnh [u,v]

và cạnh [v,u] đều được coi là một cạnh duy nhất, điều này phù hợp với

việc biểu diễn các con đường 2 chiều, và hiển nhiên là không có cặp

[u,u] nào đó trong E

Ví dụ

a) Đơn đồ thị vô hướng b) Không phải đơn đồ c) Không phải đơn đồ thị vô

thị vô hướng do có các hướng do có cạnh nối mộtcặp cạnh nối cùng một đỉnh với chính nó

cặp đỉnh

Tuy nhiên, trên thực tế, cũng có thể trong một hệ thống giao

thông vẫn tồn tại nhiều con đường đi nối cùng hai địa điểm, hoặc cũng

có thể có một con đường để đi từ một địa điểm nào đó rồi lại quay về

chính nó (đây có thể là một con đường nội bộ của một trung tâm mua

sắm, …) Khi đó, tính chất của đơn đồ thị vô hướng nhất định nghĩa

trên không cho phép n biểu diễn được hệ thống giao thông trong

trường hợp này Muốn vậy, ta phải dùng một loại đồ thị tổng quát hơn,

đó là: đa đồ thị vô hướng

e

- Các cạnh nối cùng một cặp đỉnh được gọi là các cạnh song song

- Các cạnh nối từ một đỉnh với chính nó được gọi là khuyên

chất vô hướng (hai chiều) của các cạnh Trong thực tế, cũng có khi ta

phải chú trọng đến tính có hướng của các cạnh nối này (chẳng hạn như

biểu diễn các con đường một chiều) Từ đó, ta có thêm loại đồ thị: Đơn

đồ thị có hướng và đa đồ thị có hướng Về cơ bản, hai loại này cũng

tương tự như hai loại mà ta định nghĩa ở trên, chỉ thêm sự khác biệt là

a) Đơn đồ thị có b) Không phải đơn đồ thị c) Không phải đơn đồ thị có

nối một cung nối cùng một cặp đỉnh với chính nó.

đỉnh

Định nghĩa 4:

Đa đồ thị có hướng là một bộ G = <V, E>, trong đó

- V ≠ là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị

- E là một họ các cặp cạnh thứ tự của V gọi là các cung

Các cung nối cùng một cặp đỉnh được gọi là các cung song song

Ví dụ

e1

e

a) Đa đồ thị có hướng: e1 và e2 là các b) Đa đồ thị có hướng: e

là cung song song khuyên

Định nghĩa 5:

Hình 6: Đơn đồ thị vô hướng

+ Cho đồ thị vô hướng G = <V,E>

- Hai đỉnh u và v của đồ thị được gọi là kề nhau nếu (u,v) là một cạnh của

đồ thị

- Nếu e = (u,v) là cạnh của đồ thị thì ta nói cạnh này là liên thuộc với hai

đỉnh u và v Cạnh được nói là nối đỉnh u và v Đỉnh u và v được gọi là

đỉnh đầu của cạnh e

+ Cho đồ thị vô hướng G = <V,E> Bậc của đỉnh v trong đồ thị, kí hiệu

là deg(v), là số cạnh liên thuộc với n Đỉnh có bậc 0 được gọi là đỉnh cô

- Bậc của các đỉnh:

- deg(1) = 3 deg(2) = 4 deg(3) = 1

- deg(4) = 3 deg(5) = 3 deg(6) = 0

- Đỉnh 3 là đỉnh treo

- Đỉnh 6 là đỉnh cô lập

+ Cho G = <V,E> là đồ thị vô hướng Khi đó ta có tổng số bậc của các

đỉnh của đồ thị sẽ bằng hai lần số cạnh của n Nói cách khác, ta có:

∑deg (v) =2|E|

vV

-Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ là một

số chẵn

+ Cho đồ thị có hướng G = <V,E>

- Hai đỉnh u và v của đồ thị được gọi là kề nhau nếu (u,v) là một cung

của đồ thị

- Nếu e=(u,v) là cung của đồ thị thì ta nói cung này đi ra khỏi đỉnh u

và đi vào đỉnh v Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu của cung e và đỉnh v

được gọi là đỉnh cuối của cung e

+ Cho đồ thị có hướng G=<V,E>

- Bán bậc ra của đỉnh v trong đồ thị, ký hiệu là deg+(v), là số cạnh đi

ra khỏi v

- Bán bậc vào của đỉnh v trong đồ thị, ký hiệu là deg- (v), là số cạnh

vào v

- Bán bậc ra: deg+(1)=2 deg+(2)=2 deg+(3)=1

deg+(4)=1 deg+(5)=2 deg+(6)=2

- Bán bậc vào: deg-(1)=1 deg-(2)=2 deg-(3)=2

deg-(4)=2 deg-(1)=2 deg-(1)=1

Tương tự như đồ thị vô hướng, đối với đồ thị có hướng ta cũng

có kết quả gần tương tự về bậc của các đỉnh của đồ thị

+ Cho G = <V,E> là đồ thị có hướng Tổng bán bậc ra của các đỉnh

bằng tổng bán bậc vào của các đỉnh và bằng số cạnh của đồ thị

∑deg+(v)=deg-(v)=|E|

vV vV

+ Đồ thị vô hướng G = <V,E> được gọi là liên thông nếu luôn tìm

được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của n

1.1.3 Biểu diễn đồ thị trên máy tính

Lý thuyết đồ thị được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác

nhau Để sử dụng được đồ thị hiệu quả và nhanh chóng hơn, chúng ta

phải biểu diễn và xử lý được đồ thị với máy tính Cách biểu diễn thông

thường bằng hình vẽ và mô tả tập hợp sẽ không phải hợp với cách thức

lưu trữ dữ liệu và xử lý trên máy tính Chúng ta phải tìm một cấu trúc

dữ liệu thích hợp để biểu diễn đồ thị trên máy tính

Có nhiều phương pháp khác nhau để biểu diễn đồ thị trên máy tính

Sau đây chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu một số phương pháp thông dụng

1.1.3.1 Danh sách cạnh

Trong trường hợp đồ thị có n đỉnh, m cạnh, ta có thể biểu diễn đồ thị

dưới dạng danh sách cạnh, trong cách biểu diễn này, người ta liệt kê tất

cả các cạnh của đồ thị trong một danh sách, mỗi phần tử của danh sách

là một cặp (u, v) tương ứng với một cạnh của đồ thị (Trong trường hợp

đồ thị có hướng thì mỗi cặp (u, v) tương ứng với một cung, u là đỉnh

đầu và v là đỉnh cuối của cung) Danh sách được lưu trong bộ nhớ dưới

dạng mảng hoặc danh sách móc nối

Ví dụ với đồ thị dưới đây:

Ví dụ biểu diễn đồ thị danh sách cạnh

Ưu điểm của danh sách cạnh:

• Trong trường hợp đồ thị thưa (có số cạnh tương đối nhỏ: chẳng hạn

m < 6n), cách biểu diễn bằng danh sách cạnh sẽ tiết kiệm được không

gian lưu trữ, bởi nó chỉ cần 2m ô nhớ để lưu danh sách cạnh

• Trong một số trường hợp, ta phải xét tất cả các cạnh của đồ thị thì cài đặt

trên danh sách cạnh làm cho việc duyệt các cạnh dễ dàng hơn (Thuật

toán Kruskal chẳng hạn)

Nhược điểm của danh sách cạnh:

• Nhược điểm cơ bản của danh sách cạnh là khi ta cần duyệt tất cả các

đỉnh kề với đỉnh v nào đó của đồ thị, thì chẳng có cách nào khác là phải

Sử dụng danh sách liền kề để biểu diễn đồ thị không có cạnh bội.

Danh sách này chỉ rõ các đỉnh nối với mỗi đỉnh của đồ thị

Ví dụ biểu diễn đồ thị danh sách liền kề

Ưu điểm của danh sách kề:

• Đối với danh sách kề, việc duyệt tất cả các đỉnh kề với một đỉnh v cho

trước là hết sức dễ dàng, cái tên "danh sách kề" đã cho thấy rõ điều

này Việc duyệt tất cả các cạnh cũng đơn giản vì một cạnh thực ra là nối

một đỉnh với một đỉnh khác kề n

Nhược điểm của danh sách kề

• Về lý thuyết, so với hai phương pháp biểu diễn trên, danh sách kề tốt

hơn hẳn Chỉ có điều, trong trường hợp cụ thể mà ma trận kề hay danh

sách cạnh không thể hiện nhược điểm thì ta nên dùng ma trận kề (hay

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị đơn trong đó |V| = n và các đỉnh

được liệt kê tuỳ v1,…,vn Ma trận liền kề A của G ứng với danh sách

1 Đối với đồ thị vô hướng G, thì ma trận liền kề tương ứng là ma

trận đối xứng (aij = aji), điều này không đúng với đồ thị có hướng

2 Nếu G là đồ thị vô hướng và A là ma trận liền kề tương ứng thìtrên ma trận A:Tổng các số trên hàng i = Tổng các số trên cột i =Bậc của đỉnh i = deg(i)

3 Nếu G là đồ thị có hướng và A là ma trận liền kề tương ứng thìtrên ma trận A:

• Tổng các số trên hàng i = Bán bậc ra của đỉnh i = deg+(i)

• Tổng các số trên cột i = Bán bậc vào của đỉnh i = deg-(i) Trong trường hợp G là đơn đồ thị, ta có thể biểu diễn ma trận liền kề A tương ứng là các phần tử logic.Aij = TRUE nếu (i, j) E và aij = FALSE

nếu (i, j) ∉ E

Ưu điểm của ma trận liền kề:

• Đơn giản, trực quan, dễ cài đặt trên máy tính

• Để kiểm tra xem hai đỉnh (u, v) của đồ thị có kề nhau haykhông, ta

chỉ việc kiểm tra bằng một phép so sánh: auv ≠ 0

Nhược điểm của ma trận liền kề:

• Bất kể số cạnh của đồ thị là nhiều hay ít, ma trận liền kềluôn luôn đòi

hỏi n2 ô nhớ để lưu các phần tử ma trận, điều đó gây lãng phí bộ nhớ

dẫn tới việc không thể biểu diễn được đồ thị với số đỉnh lớn

Với một đỉnh u bất kỳ của đồ thị, nhiều khi ta phải xét tất cả các đỉnh v khác kề với nó, hoặc xét tất cả các cạnh liên thuộc với n Trên ma trận

liền kề việc đó được thực hiện bằng cách xét tất cả các đỉnh v và kiểm

tra điều kiện auv ≠ 0 Như vậy, ngay cả khi đỉnh u là đỉnh cô lập (không

V3 e 8

kề với đỉnh nào) hoặc đỉnh treo (chỉ kề với 1 đỉnh) ta cũng buộc phải

xét tất cả các đỉnh và kiểm tra điều kiện trên dẫn tới lãng phí thời gian

1.1.3.4 Ma trận liên thuộc

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng, v1, v2, vn là tập các

đỉnh còn e1, e2, , em là tập các cạnh của nó Khi đó ma trận liên thuộc

theo thứ tự trên của V và E là ma trận M = [mij] trong đ :

mij = 1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi

mij = 0 nếu cạnh ej không nối với

Ví dụ biểu diễn đồ thị ma trận liên thuộc

1.2 Độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán

1.2.1 Định nghĩa thuật toán

Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước, mỗi bước mô tả chính

xác các phép toán hoặc hành động cần thực hiện để cho ta lời giải của

bài toán

- Thao tác, hay còn gọi là tác vụ, phép toán ( Operation ) hay

lệnh (Command), chỉ thị (Instruction) là một hành động cần được thực

hiện bởi cơ chế thực hiện thuật toán

Mỗi thao tác biến đổi bài toán từ một trạng thái trước (hay trạng

thái nhập) sang trạng thái sau (hay trạng thái xuất).Thực tế mỗi thao tác

thường sử dụng một số đối tượng trong trạng thái nhập (các đối tượng

nhập )và sản sinh ra các đối tượng mới trong trạng thái xuất (các đối

tượng xuất) Quan hệ giữa 2 trạng thái xuất và nhập cho thấy tác động

của thao tác Dãy các thao tác của thuật toán nối tiếp nhau nhằm biến

đổi bài toán từ trạng thái ban đầu đến trạng thái kết quả

Mỗi thao tác có thể phân tích thành các thao tác đơn giản hơn

Trình tự thực hiện các thao tác phải được xác định rõ ràng trong thuật

toán Cùng một tập hợp thao tác nhưng xếp đặt theo trình tự khác nhau

sẽ cho kết quả khác nhau

1.2.2 Phân tích độ phức tạp của thuật toán

Trong khi giải một bài toán có thể có một số giải thuật khác

nhau, vấn đề là cần phải đánh giá các giải thuật đó để lựa chọn một giải

thuật tốt nhất Thông thường người ta căn cứ vào các tiêu chuẩn sau: