Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác và sáng tạo bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về lôgarit và lũy thừa

Thực tếcho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức,các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọngnhiều về việ

STT CHỮ CÁI VIẾT TẮT/

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài 2

PHẦN II NỘI DUNG 3

2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 3

2.1.1 Cơ sở lí luận 3

2.1.2 Cơ sở thực tiễn 4

2.2 Giải pháp thực hiện 4

2.2.1 Khai thác và sáng tạo bài toán xuất phát từ kết quả các bài toán bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN không chứa hàm mũ và lôgarit 4

2.2.2 Khai thác và sáng tạo bài toán tìm GTLN, GTNN về lôgarit và lũy thừa dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit 22

2.2.3 Thực nghiệm sư phạm 35

PHẦN III KẾT LUẬN 38

3.1 Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau: 38

3.2 Hướng phát triển của đề tài: 38

3.3 Một số kinh nghiệm rút ra 38

3.3.1 Đối với giáo viên 38

3.3.2 Đối với học sinh 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí do chọn đề tài

Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thểchất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghềnghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng,truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành,vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyếnkhích học tập suốt đời

Trong quá trình dạy học toán ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức vàphát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên Thực tếcho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức,các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọngnhiều về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy vàsáng tạo cho học sinh Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trựctiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó Học sinhchỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗichúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn Chính vì vậy việc bồi dưỡng,phát triển tư duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinhphổ thông Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khảnăng nhìn nhận, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệthống cao

Mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 nói chung và mônToán nói riêng là phát triển phẩm chất và năng lực cho học sinh, trong đó năng lực

tư duy và sáng tạo đóng vai trò rất quan trọng

Trong chương trình Giải tích 12 THPT hiện hành, chủ đề về hàm số mũ,hàm số lũy thừa và hàm số lôgarit là một trong những chủ đề trọng tâm, đa dạng,

có tính ứng dụng thực tiễn khá cao Đặc biệt các bài toán về bất đẳng thức, giá trịlớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến chủ đề này gây không ít khó khăn cho người học;các bài toán loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12

và kỳ thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng của đề thi Để học tốt chủ đề nàyngười học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều

kỹ năng giải, có tư duy độc lập và tư duy sáng tạo Vì vậy, trong quá trình dạy học,nếu người dạy biết cách khai thác và sáng tạo ra các bài toán về giá trị lớn nhât, giátrị nhỏ nhất liên quan đến lôgarit và lũy thừa từ những kiến thức cơ bản, bài tậpđơn giản thì không những giúp các em học tập có hiệu quả mà còn tạo hứng thúhọc tập cho các em học sinh, và còn góp phần quan trọng trong việc rèn luyện vàbồi dưỡng tư duy sáng tạo cho người học

Từ những ý tưởng và những lý do nêu trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài

nghiên cứu: ‘‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác

1.2 Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài

Thứ nhất, đề tài đã trình bày cơ sở lí luận và thực tiễn về vấn đề phát triển

năng lực tư duy cho học sinh thông qua khai thác và sáng tạo ra bài toán tìm bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về lôgarit và lũy thừa

Thứ hai, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

về loogarit và lũy thừa dựa vào các kết quả về bất đẳng thức và GTLN, GTNN củabiểu thức không chứa hàm số mũ, lôgarit

Thứ ba, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

về lôgarit và lũy thừa dựa vào tính đơn điệu của hàm số lôgarit và hàm số mũ

PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

2.1.1 Cơ sở lí luận

a Khái niệm về tư duy

Theo từ điển tiếng Việt “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh nhữngthuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng

”(Hoàng Phê1998) Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184) cho rằng: “tư duy là giaiđoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vậtbằng các hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lí, Đối tượng của tư duy lànhững hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Các thao tác tư duy chủ yếu gồm: phân tích,

tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ” (dẫn theo Trần Mạnh Sang, Nguyễn Văn Thái Bình, Tạp chí giáo dục, số đặc biệt, kỳ 1, tháng 5/2020 tr 111-116)

b Năng lực tư duy và sự phát triển của năng lực tư duy

Thế nào là năng lực?

“Năng lực là đặc điểm thuộc tính tâm lý riêng của từng người, là tổ hợp

thuộc tính phản ánh các quan hệ tác động và khách thể bởi chủ thể Năng lực khácvới tri thức và kỹ năng, kỹ xảo Năng lực là đặc điểm tâm lí ở người, tạo thành cácđiều kiện quy định tốc độ, chiều sâu, cường độ của việc lĩnh hội tri thức, kỹ năng,

kỹ xảo”(PGS.TS Đinh Thị Kim Thoa)

Năng lực chính là khả năng nhận thức và vận dụng kiến thức, kỹ năng, thái

độ trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống

Thế nào là năng lực tư duy?

Có thể hiểu năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện,

trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải quyết vấn đề, xử lí vàtình cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vàothực tiễn

Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán , một trong những

biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện đượctương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng vàkhác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả củaviệc quan sát”(Bộ GD-ĐT, 2018)

Thế nào là phát triển năng lực tư duy?

Có thể nói, phát triển năng lực tư duy HS chính là hình thành và rèn luyệncho HS 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển chohọc sinh các thao tác của tư duy(phân tích, so sánh, suy luận, tổng hợp, khát quát,đánh giá, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa); các phẩm chất của tư duy(tính linh hoạt,

kỹ năng của tư duy(kỹ năng tư duy phê phán, kỹ năng tư duy đối thoại, kỹ năng tưduy sáng tạo, kỹ năng tư duy giải quyết vấn đề).

Từ các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất quen thuộc, HS có thể tự tìmlời giải cho các bài toán tương tự, tìm ra được sự khác nhau giữa các bài toán, vàcao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới

2.1.2 Cơ sở thực tiễn

Qua thực tiễn dạy học, chúng tôi thấy:

- Học sinh THPT còn yếu Toán là do kiến thức bị hổng từ các cấp dưới,thêm vào đó chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong quá trình học tập;

- Học sinh học tập vẫn còn thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập,sáng tạo của bản thân;

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tậpphù hợp, chưa chủ động, tích cực để tham gia vào các hoạt động học tập để lĩnhhội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn chưa cao;

- Nhiều học sinh khi học tập giải bài tập Toán, chỉ quan tâm đến kết quả bàitoán đúng hay sai, hoặc là hài lòng với lời giải của mình; ít tìm tòi lời giải khác,không khai thác để phát triển bài toán, sáng tạo ra bài toán mới nên không phát huyđược nhiều tính tích cực, độc lập và sáng tạo của bản thân

- Trong quá trình dạy học luyện tập ở trường phổ thông, không ít Giáo viênchỉ chữa bài tập đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, chưathực sự chú trọng để khai thác, phát triển và sáng tạo ra bài toán mới Do đó khôngphát huiy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành và phát triển năng lực

tư duy cho học sinh

2.2 Giải pháp thực hiện

Để phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác và phát triển năng lực tư duy

cho học sinh, trong quá trình dạy học luyện tập hoặc dạy học bài tập toán, giáoviên luôn chú trọng định hướng để học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bàitoán, khai thác và phát triển để sáng tạo ra nhiều bài toán mới từ bài toán đã cho Trong phạm vi đề tài, chúng tôi lựa chọn việc khai thác và sáng tạo các bàitoán tìm GTLN, GTNN về lôgarit và lũy thừa

2.2.1 Khai thác và sáng tạo bài toán xuất phát từ kết quả các bài toán bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN không chứa hàm mũ và lôgarit

Bài toán 1: Cho 3 số thực x y z , , 1 thỏa mãn x y z  4 Tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của biểu thức T xyz

Lời giải:

-Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

64,

Lập bảng biến thiên hàm số suy ra f  1 f 3 x  x2 3xf y f y 0

Từ giả thiết ta lại có x 4 y z 2 Xét hàm số g x   x2 3 ,x x1;2

có giá trị nhỏ nhất là 2 tại x 2

Suy ra giá trị nhỏ nhất của f y là 2 tại   x2;y z 1

Nhận xét 1: Với giả thiết bài toán 1 đã cho, biểu thức T xyz đạt giá trịnhỏ nhất bằng 2 Suy ra biểu thức loga xyzloga xloga yloga z đạt giá trị nhỏnhất là log 2a Chọn x y z a, , , những số thích hợp thì ta sẽ tạo ra được nhiều bàitoán từ bài toán đã cho

Chọn x 3a y9 ,b z27 ,c a3 ta được bài toán:

Bài toán 1.1: Cho 3 số thực không âm a b c, , thỏa mãn 32 9 27 4

Nhận xét: Khái quát hóa bài toán 1 ta được bài toán tổng quát:

Bài toán 1.2: Cho 3 số thực x y z , , 1 thỏa mãn x y z a a    3 Tìmgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T xyz

Suy ra giá trị nhỏ nhất của f y là   a  2 tại x a  2;y z 1.

Nhận xét: Tương tự bài toán 1.1, từ bài toán 1.2 biểu thức T xyz đạt giátrị nhỏ nhất bằng a  2, do đó biểu thức logc xyzlogc xlogc ylogc z đạt giátrị nhỏ nhất là logca  2 Chọn x y z a c, , , , những số thích hợp thì ta cũng sẽ được

nhiều bài toán từ bài toán đã cho Chẳng hạn:

Thay x y z c, , , lần lượt bới các số , , ,b b b b ta được bài toán: x y z

Bài toán 1.3: Cho 3 số thực không âm x y, ,z thỏa mãn:

Nhận xét: Bài toán 1.3.1 là nội dung chính của bài toán vận dụng cao trong

đề thi thử TNTHPT lần 1 năm 2020 của trườngTHPT chuyên Bắc Giang, bài toán

có nội dung như sau:

Bài toán: Cho 3 số thực không âm x y, ,z thỏa mãn:

6 C 5

1log 2020

1log 2018

Trong bài toán 1.3.1, đặt 5x a,5y b,5z c bài toán:

Bài toán 1.3.2: Cho 3 số thực a b, ,c thỏa mãn a b , ,c 1 và a b 2 c3 2020.Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức 1log5 1log5 1log5

-Tìm giá trị lớn nhất: Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:

a2log20192020b2log20202019 log  20202019 log 20192020  a b 2 Suy ra

Do đó a2 b2 log20202019 a b 2 log20202019 a b  log20202019, dấu

‘‘=’’ xảy ra khi b0;a log20202019 Suy ra m  log20202019

Từ đó suy ra m  log20202019,M  log20192020 log 20202019.

Nhận xét 2: Khái quát hóa bài toán 2 khi thay2019 bởi số thực n 1 ta được bàitoán tổng quát:

Bài toán 2.1: Cho số thực x y, thỏa mãn x y , 1 và logn xlogn1y1n1 

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

P logn x  logn y. Tìm M, m

Đáp số: m logn1n,M  lognn1 logn1n

Tiếp tục khái quát hóa khi thay hệ số 1 trong giả thiết và trước các số

1

logm x, logm y trong P bởi các số l q r l, ,  1; ,q r 0 ta được bài toán tổngquát:

Bài toán 2.2: Cho số thực x y, thỏa mãn x y , 1 và logn xlogn1 y l n l  , 1 

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ ý tưởng đó ta xét các trường hợp đặc biệt, chẳng hạn M ax2  by2  bz2

Vì vai trò y, z như nhau nên dự đoán min P đạt được  y z . Do đó ta có đánh

a m p n a

+ Chọn a 0 1, x log2a, ylog2b', zlog '2c ,b c 28

Bài toán 3.1 Cho , ,a b c  thỏa mãn: 1 log2a 1 log log2b 2clogbc2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

P log a28log b28log c (Trích từ đề thi thử THPT lần 4, năm 2020 trường THPT Chuyên Hưng Yên).

Lời giải: Đặt xlog ,2a y log ,2b zlog 2c Vì , ,a b c 1 x y z, , 0.

Khi đó giả thiết log2a 1 log2blog2clogbc2trở thành

1 7

7

157

15

y z xy

2

2

a P

+ Nhận xét: Khái quát hóa bằng cách đặt

xlog ,n a ylog b,n z logn c a b c , , 1 với n là hằng số lớn hơn 1 và áp dụng

công thức log bc log b log ;n n n log1 log n.c

+ Nhận xét: Từ kết quả bài toán 3.1, 3.3, ta có GTNN của P x 2 28y2 28z2

Đặc biệt hóa (*) khi 1, 3 ta được:

b) Tương tự câu a)

c) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho lần lượt 2 số và 3 số dương ta có:

Đẳng thức xảy ra khi a b 1,c3 và các hoán vị.

e) Chứng minh tương tự câu d), dấu đẳng thức xảy ra khi a b 3,c1 và cáchoán vị

Đẳng thức xảy ra khi a b 3,c1 và các hoán vị.

Nhận xét: Từ các kết quả có được, ta mũ hóa các số để được các bài toán về hàm

Đặt a2 ,x b3 ,x c4 , ,x a b c2;16  x1;2 Kết hợp Kq 4.5 ta được bài

a b c  ab c   a b c  a b c   a b cĐặt xlog ,3a ylog ,3b zlog3c , ,a b c1;3  x y z, , 0;1 Kết hợp Kq 4.2.2

ta được bài toán:

Bài toán 4.6: Cho số thực , , x y z0;1 thỏa mãn 3x3y z 1 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức:T (3x 3y 3 ) 3z  x 3y 3z

ĐS: maxT=35

2

Nhận xét 5: Xuất phát từ điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ẩn :x

Chọn m, n bất kỳ ta được lớp rất nhiều bài toán:

+ Chọn m n 1 và thay xlog ,a b ylogb cvào (*) với lưu ý

+ Chọn m1,n3. và thay thay xlog ,a b ylogb c vào (**) ta được bài toán:

Bài toán 5.4: Cho các số thực dương a b c, , khác 1 thỏa mãn:

Theo nhận xét trên ta có min 5;max 1.

x P

x P

loga blogb c2loga c2loga b2log c.loga b c2loga b2logb c loga b 6loga b1

ta được bài toán:

Bài toán 5.5: Cho các số thực dương a b c, , khác 1 thỏa mãn:

loga b logb c 2loga c 2loga b 2log c.loga b c 2loga b 2logb c loga b 6loga b 1.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Plog3a blog 3b c

Đấp số: Theo nhận xét trên ta có min 1;max 5

Với x y , 0 : x3  y3  1 GTNN của 2

1

x y P

4 2

a b c a ab ac T

a b c a ab ac

+ Thay , ,a b c lần lượt bởi các số log ,log ,log a b b c c a và áp dụng công thức

log loga b b clog c,log loga b c c alog ,log log b log bb a c a a  c ta có bài toán:

Bài toán 6.1: Cho các số thực , ,a b c  thỏa mãn 1 log3a blog3b c log 3c a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

Bài toán 6.2: Cho các số thực , ,a b c  thỏa mãn : 1 log3a blog3b clog 3c a

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

t t

Thay , ,a b c lần lượt bởi các số log ,log ,loga b b c c a và áp dụng công thức

log loga b b clog c,log loga b c c alog ,log log b log bb a c a a  c ta có bài toán:

Bài toán 6.3: Cho , ,a b c  thỏa mãn: 1 log3a blog3b clog 3c a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

.(log log )(log log c)

Bài toán 7.1: Cho các số thực ,x y thoả mãn x1,y x và

2 2 2 23

y x

y x x

P  x  y IM với I3;1và M x y thuộc miền nghiệm của hệ  , 

(*), nhận thấy điểm I không thuộc miền nghiệm của hệ (*), do đó P nhỏ nhất khi M

là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng :y 2x1.

Nhận xét: Tuy cách giải 2 phức tạp hơn cách giải 1, nhưng từ cách giải đó cho ta

cơ sở lựa chọn biểu thức P một cách nhanh nhất để tồn tại giá trị nhỏ nhất Từ đó ta

đề xuất bài toán tổng quát của bài toán 5.2 như sau:

Bài toán7.3: Cho các số thực ,x y thoả mãn các điều kiện:x1,y x và