Tiếp cận phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn thông qua mối liên hệvới hàm sốbậc nhất, bậc hai một ẩn

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Cơ sở lí luận của vấn đề

1.1 Hàm số bậc nhất a Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng yaxb (a0) b Sự biến thiên

 Với a > 0 hàm số đồng biến trên R

 Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R

- c Đồ thị Đồ thị của hàm số y axb (a0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục hoành tại b;0

  và trục tung tại B   0; b x y y = ax + b a > 0

1.2 Hàm số bậc hai a Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y  ax 2  bx  c a (  0 ) b Sự biến thiên:

- + c Đồ thị : Đồ thị hàm số là một đường Parabol có đỉnh là điểm ;

(  = b 2 – 4ac), có trục đối xứng là đường thẳng

  a Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi nhận thấy rằng các tính chất của hàm số và đồ thị của chúng chưa được nhấn mạnh đầy đủ trong mối liên hệ với các phương trình và bất phương trình, đặc biệt là khi xét đến điều kiện x, y, a > 0 Việc làm rõ mối quan hệ này sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học và ứng dụng của chúng trong thực tiễn.

Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu mối quan hệ giữa hàm số và phương trình, bất phương trình do cách dạy, cách học và nội dung sách giáo khoa chưa phù hợp Điều này dẫn đến việc các em thiếu kỹ năng và sự sáng tạo trong việc áp dụng tính chất hàm số vào giải toán, thường xuyên đặt câu hỏi “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?” và có xu hướng né tránh hoặc sử dụng một cách máy móc, thiếu chính xác.

Việc giải phương trình và bất phương trình ở lớp 10 chủ yếu tập trung vào phép biến đổi tương đương, trong khi lớp 12 mới được học cách giải thông qua tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Sự kết hợp giữa hai phương pháp này thường khiến học sinh lúng túng và dẫn đến sai kết quả Để khắc phục những hạn chế này, giáo viên cần áp dụng các phương pháp dạy học đổi mới nhằm giúp học sinh cải thiện khả năng giải toán.

Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Thông qua việc đặt câu hỏi, tôi hỗ trợ học sinh nắm vững các kết quả giải và biện luận phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn theo cách tự nhiên, không phụ thuộc vào công thức máy móc Tôi cung cấp các ví dụ cụ thể với phương pháp giải đơn giản, giúp học sinh nhận ra lợi ích của việc áp dụng hàm số Bên cạnh đó, tôi đưa ra nhận xét trước và sau mỗi bài giải để học sinh có thể trả lời câu hỏi "Tại sao lại nghĩ và làm được như vậy?".

3.1 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận phương trình có dạng ax b 0 Dựa vào đồ thị của hàm số f x    ax  b , ta có kết quả sau:

* Nếu a0 thì hàm số f(x) trở thành hàm hằng Đồ thị của hàm số yb là đường thẳng cùng phương với trục hoành

+ Trường hợp 1: b0 Đường thẳng y b chính là trục hoành nên phương trình ax b 0 có tập nghiệm là

+ Trường hợp 2: b0 Đường thẳng y b và trục hoành không có điểm chung nào nên phương trình 0 ax b vô nghiệm

* Nếu a0 thì đường thẳng y axb luôn cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ b x a Do đó phương trình ax b 0 có duy nhất một nghiệm b x a

3.2 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận phương trình có dạng

* Nếu a0 Khi đó phương trình trở thành bx c 0, kết quả như đã chứng minh ở trên

* Nếu a0 Xét đồ thị hàm số bậc hai f x    ax 2  bx  c P  

Đỉnh của parabol (P) có thể được xác định thông qua đồ thị, cho thấy rằng luôn tồn tại một giá trị d thuộc R sao cho parabol (P) cắt hoặc tiếp xúc với đường thẳng y = d Điều này đảm bảo rằng phương trình ax² + bx + c = d luôn có nghiệm x₁ và x₂ Theo định lý Viet, ta có mối quan hệ giữa các nghiệm x₁ và x₂ với hệ số b.

Gọi I x y  I ; I  là đỉnh của parabol (P) Rõ rãng parabol (P) có trục đối xứng là đường thẳng x x I Do đó 1 2

Tiếp theo, dựa vào vị trí tương đối của parabol (P) và trục hoành ta có các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Nếu parabol (P) và trục hoành không có điểm chung

       thì phương trình ax 2 bx c 0 vô nghiệm

+ Trường hợp 2: Nếu parabol (P) tiếp xúc với trục hoành tại một điểm có hành độ x 0 0 0 0

       thì phương trình ax 2 bx c 0 có nghiệm kép 0

+ Trường hợp 3: Nếu parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x 1 , 2 0 0 0

 thì phương trình ax 2 bx c 0 có hai nghiệm phân biệt

3.3 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận bất phương trình có dạng

* Nếu a0, ta xét hai trường hợp

+ Trường hợp 1: b0 Đường thẳng y b nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

+ Trường hợp 2: b0 Đường thẳng y b nằm hoàn toàn phía dưới hoặc trùng với trục hoành nên bất phương trình vô nghiệm

* Nếu a0 Phần đường thẳng y axb nằm phía trên trục hoành tương ứng với b x a Do đó tập nghiệm của bất phương trình là b; a

* Nếu a0 Phần đường thẳng y axb nằm phía trên trục hoành tương ứng với b x a Do đó tập nghiệm của bất phương trình là ; b a

  Tương tự với các dạng còn lại: ax b 0;ax b 0;ax b 0.

3.4 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận bất phương trình có dạng

* Nếu a0 thì bất phương trình có dạng bx c 0, tượng tự như trên

Nếu a khác 0, đồ thị của hàm số f(x) = ax² + bx + c sẽ có các hoành độ của những điểm nằm phía trên trục hoành Những hoành độ này chính là các nghiệm của bất phương trình tương ứng.

Trong trường hợp a < 0 và tung độ đỉnh của parabol (P) là y < 0 hoặc y = 0, toàn bộ parabol (P) nằm dưới trục hoành hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành tại đỉnh I, phần còn lại của (P) đều nằm phía dưới trục hoành Vì vậy, bất phương trình ax² + bx + c > 0 vô nghiệm.

Trong trường hợp 2, khi a > 0 và tung độ đỉnh của parabol (P) là yI ≥ 0, toàn bộ parabol (P) sẽ nằm phía trên trục hoành hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành tại đỉnh I Điều này dẫn đến việc bất phương trình sẽ nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực.

+ Trường hợp 3: a0 và parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 x 2 thì phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành tương ứng với

1 2 x  x x Do đó tập nghiệm của phương trình là  x x 1 ; 2 

+ Trường hợp 4: a0 và parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 x 2 thì phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành tương ứng với

1 2 x  x x x Do đó tập nghiệm của phương trình là   ; x 1    x 2 ;  

Tương tự với các dạng còn lại :ax 2 bx c 0;ax 2 bx c 0;

Thông qua phương pháp này, học sinh không chỉ nắm vững kiến thức về hàm số mà còn có thể tiếp thu bài mới qua mối liên hệ với kiến thức cũ Điều này giúp học sinh giải quyết các bài toán tìm tham số liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình dựa vào đồ thị của các hàm số mà không bị giới hạn trong các phép biến đổi đại số thông thường Để giải toán hiệu quả, học sinh nên kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ nhằm biến đổi về các dạng hàm số quen thuộc, đồng thời tìm điều kiện đúng của ẩn phụ và áp dụng kiến thức hình học giải tích để giải quyết các bài toán khó liên quan đến tìm tham số.

3.5 Phương pháp giải bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số có thể quy về bậc nhất một ẩn

Nhận xét: Nghiệm của phương trình f x    g m   là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f x   và đường thẳng y  g m  

+ Phương trình f x    g m   có nghiệm  đường thẳng y  g m   và đồ thị hàm số y  f x   có ít nhất một điểm chung

+ Số nghiệm phương trình f x    g m  là số giao điểm của đường thẳng

  y  g m và đồ thị hàm số y  f x  

Tùy thuộc vào phương trình, bất phương trình và các điều kiện của bài toán, việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp là rất quan trọng Tôi đã áp dụng 4 phương pháp để hướng dẫn học sinh, trong đó có kèm theo các ví dụ minh họa giải bằng hai cách: cách giải đại số thông thường và cách giải dựa vào hàm số Điều này giúp học sinh nhận thấy ưu điểm và sự tự nhiên trong lời giải của bài toán khi sử dụng phương pháp hàm số, đồng thời một số ví dụ chỉ có thể được giải hiệu quả bằng phương pháp này.

 Tìm cách biến đổi vế trái phương trình, bất phương trình về dạng:

  f x  ax  b và vế phải phương trình về dạng g m  

 Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để giải

Lưu ý: Hàm số f x    ax  b có đồ thị là 1 đường thẳng Nên ta có kết quả sau:

         + Các trường hợp khác ta dựa vào đồ thị để suy ra

Ví dụ 1 : Cho hàm số f x     2 m  1  x  3 m  2 Tìm m để phương trình f x    0 có nghiệm x    0;1

2 1 0 m    m 2 thì phương trình trở thành 7

2 0 (vô lý) Do đó phương trình vô nghiệm

+ Nếu 1 m 2 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất 3 2

Phương trình đã cho có nghiệm  

3 m 3 là giá trị cần tìm

Cách 2: (Giải bằng phương pháp đồ thị)

Ta có đồ thị hàm số y  f x   trên   0;1 là một đoạn thẳng AB với A  0; f   0  và

Phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [0;1] nếu và chỉ nếu đoạn thẳng AB cắt trục hoành, tức là các điểm đầu mút A và B nằm ở hai phía của trục hoành, có thể nằm trên trục Ox.

Ví dụ 2 : Tìm m để mọi x    1; 2 đều là nghiệm của bất phương trình

2 1 0 m    m 2 thì bất phương trình (1) trở thành 7

20 (luôn đúng với mọi x) Do đó 1 m 2 là một giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là 3 2

   Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x    1; 2  khi và chỉ khi

   thỏa mãn yêu cầu bài toán

Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là 3 2

    Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x    1; 2  khi và chỉ khi

    thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kết hợp cả 3 trường hợp ta có 1

   là giá trị cần tìm

Cách 2: (Giải bằng phương pháp đồ thị)

Mọi x    1; 2  đều là nghiệm của bất phương trình f x     0 đồ thị của hàm số

  y  f x trên đoạn [1;2] nằm trên trục hoành  hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm trên trục hoành

   là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 : Tìm m để bất phương trình m  2 x  1   2 x  1 có tập nghiệm là [1;)

Bất phương trình tương đương với  2 m  2  x   m 1

+ Với m1 thì bất phương trình vô nghiệm do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Với m1 bất phương trình tương đương với 1

Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [1;) thì 1

+ Với m1 bất phương trình tương đương với 1

 suy ra m1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy m3 là giá trị cần tìm

Cách 2: (cách giải bằng đồ thị)

Bất phương trình tương đương với  2 m  2  x    m 1 0

Hàm số f x     2 m  2  x   m 1 có đồ thị là một đường thẳng

Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [1;) thì   1 0

Vậy m3 là giá trị cần tìm

Sử dụng phương pháp đại số thông thường để giải các ví dụ trên có thể khiến học sinh gặp khó khăn với điều kiện và sai sót, làm cho bài toán trở nên phức tạp Ngược lại, giải bằng phương pháp đồ thị mang lại sự ngắn gọn và tự nhiên cho bài giải.

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình mx 4 0 nghiệm đúng với mọi x  8

Bài 2: Tìm m để bất phương trình m x 2  m x (   1) 2( x   1) 0 nghiệm đúng với mọi x    2;1 

 Tìm cách biến đổi vế trái phương trình, bất phương trình về dạng:

  2 f x ax bxc và vế phải phương trình về dạng y  g m  

 Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để giải

Lưu ý: Hàm số f x    ax 2  bx  c a   0  có đồ thị là parabol có đỉnh I Nên ta có kết quả sau:

+ Bất phương trình ax 2  bx   c 0  a  0  nghiệm đúng với mọi

+ Bất phương trình ax 2  bx   c 0  a  0  nghiệm đúng với mọi

+ Các trường hợp khác ta dựa vào đồ thị để suy ra

Ví dụ 1 : Tìm m để mọi x    1;1  đều là nghiệm của bất phương trình

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 4

Suy ra mọi x    1;1  đều là nghiệm của bất phương trình (1) khi và chỉ khi  1;1  4 ; 2 1 4 3

Kết hợp với điều kiện 1 m 2 ta có m7 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 4

Suy ra mọi x    1;1  đều là nghiệm của bất phương trình (1) khi và chỉ khi  1;1  2; 4 1 4 2

Kết hợp với điều kiện 1 m 2 ta có m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với 1 m 2 ta có bất phương trình (1) 3 x 2

  nên 1 m 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy m   ( ; 3] [7;) là giá trị cần tìm

Cách 2: Xét hàm số f x    3 x 2  2  m  5  x  m 2  2 m  8 Đồ thị của hàm số này là 1 parabol có bề lõm hướng lên trên

Do đó mọi x    1;1  đều là nghiệm của bất phương trình (1)

Vậy m   ( ; 3] [7;) là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 : Tìm m để bất phương trình x 2    1 3 m x   3 m   2 0 nghiệm đúng với mọi x mà x  2

Cách 1: Bất phương trình tương đương  x  1  x  3 m  2   0

Tam thức bậc hai có 2 nghiệm x1;x3m2

1 m 3 là giá trị thỏa mãn

Xét 3m   2 1 m 1thì f x        0 x 1 x 3 m  2 Điều kiện là 3m    2 2 m 0 Do đó 0 m 1 là giá trị thỏa mãn

Kết hợp các trường hợp trên ta có 4

0 m 3 là giá trị cần tìm

Cách 2: Đồ thị hàm số f x    x 2    1 3 m x   3 m  2 là parabol có đỉnh

Bất phương trình f x    0 nghiệm đúng với mọi x  2 khi và chỉ khi

0 m 3 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 : Tìm m để mọi x   0;   đều là nghiệm của bất phương trình

+ TH1: m1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán;

+ TH2: m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán;

Nếu m 2   1 0 m 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là

Do đó, điều kiện của bài toán là 1 2 3

Suy ra, 3   m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nếu 1  m 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là 3 3

Do đó điều kiện của bài toán không được thỏa mãn

Kết hợp các trường hợp ta có m     3; 1  là giá trị cần tìm

Với m1 không thỏa mãn ycbt; m 1 thỏa mãn ycbt

Với m 1, đồ thị của hàm số f x     m 2  1  x 2  8 mx   9 m 2 có đỉnh là

Mọi x   0;   đều là nghiệm của bất phương trình

Kết hợp các trường hợp ta có m     3; 1  là giá trị cần tìm

Sau đây ta xét tới một số ví dụ mà cần sử dụng bảng biến thiên của hàm số, bài toán mới được giải quyết hiệu quả

Ví dụ 4 : Tìm m để phương trình    x 2 x 6 4xm có bốn nghiệm phân biệt

Từ bảng biến thiên ta có

Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số ( )f x cắt đường thẳng ym tại bốn điểm phân biệt 49

12 m 4 là giá trị cần tìm

Khi đối mặt với bài toán liên quan đến phương trình có thể cô lập, việc sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên là phương pháp hiệu quả để tìm ra nghiệm.

Ví dụ 5 : Tìm m để phương trình x 2 mx 2 2x1 có hai nghiệm phân biệt

 Phương trình đã cho có hai nghiệm (*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1

 2 đồ thị hàm số f x    3 x 2  (4  m x )  1 trên 1 ;

  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

6 2 1 m    m thì hàm số đồng biến trên 1

  nên m1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có bảng biến thiên x 1

Suy ra đồ thị hàm số f x    3 x 2  (4  m x )  1 trên 1 ;

  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Vậy 9 m 2 là giá trị cần tìm

Ngoài ra, các bài toán về hệ bất phương trình có chứa tham số cũng được giải quyết gọn nhẹ hơn bằng phương pháp này

Ví dụ 6 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm

Cách 1: Ta có bất phương trình x 2 3x    2 0 1 x 2

Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:

Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S

Tức là bất phương trình f x    mx 2  2 2  m  1  x  5 m   3 0 (2) đúng với mọi xS

 m0 tam thức f x   có hệ số a  m , biệt thức   ' m 2  m 1

 nên f x    0,   x , suy ra 1 5 m 2 (không thỏa mãn)

   ta có: a0 và f x   có hai nghiệm phân biệt

  ta có: a0 và f x   có hai nghiệm phân biệt

Từ đó, ta thấy (2) đúng với  x S 1 m 2

Vậy 1 m 2 là những giá trị cần tìm

Cách 2: Đặt f x    x 2  3 x  2; g x    mx 2  2 2  m  1  x  5 m  3 Đồ thị của hàm số y  f x   là parabol có bề lõm hướng lên và cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 1, 2

         Vậy 1 m 2 là những giá trị cần tìm

Ví dụ 7: Tìm điều kiện có nghiệm của hệ:

Ta có (1) có nghiệm  x y ;  là tọa độ các điểm thuộc nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng :d x  y 2 0, lấy phần chứa gốc tọa độ

Ta có (3) là phương trình đường tròn tâm I   1; 2 , bán kính R  m  1  m   1 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn có điểm chung với d

Vậy 1 m 2 là giá trị cần tìm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình 2 x 2   2 m  1  x  m 2  2 m   2 0 nghiệm đúng với mọi 1

Bài 2: Tìm m để bất phương trình  m  1  x 2  2 x    m 1 0 nghiệm đúng với mọi 0. x 

Bài 3: Tìm m để bất phương trình x 2   3  m x   2 m   3 0 nghiệm đúng với mọi 4. x 

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để bất phương trình 2x m 5x có nghiệm

 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình có dạng f t m   ,  0

Để tìm điều kiện "chặt" của ẩn phụ thỏa mãn các ràng buộc của bài toán và điều kiện của ẩn ban đầu, có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số Việc này giúp xác định miền giá trị của hàm số theo ẩn mới, từ đó đưa ra điều kiện cho ẩn phụ.

 Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f t m   , để giải tương tự ở phương pháp 1 và 2

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 2 2 3 0

 bất phương trình trở thành mt2m 3 0

0 t 2 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x (0; ) khi và chỉ khi bất phương trình f t    mt  2 m   3 0 đúng với mọi 1

Vậy 3 m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình  2 x  1  2   m x 2   x 1 (1) có nghiệm

1 2 4 4 x   x x    nên 3 t 2 Phương trình (1) trở thành 4t 2     3 m t 4t 2   t 3 m (1')

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (1') có nghiệm 3 t 2

 đồ thị hàm số f t     4 t 2   t 3 trên [ 3 ; )

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 12 3 m 2

Ví dụ 3 : Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 2 1 (2) có nghiệm

Chia cả hai vế cho x1 ta có

Xét hàm số f t     3 t 2  2 t trên [0;1) , ta có 1

0 1 Phương trình (2) có nghiệm  phương trình (2') có nghiệm t[0;1)

 đồ thị hàm số f t     3 t 2  2 t trên [0;1) cắt đường thẳng ym 1 1 m 3

Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi 1

Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ, đối với các bài toán không chứa tham số, có thể không cần nêu điều kiện của ẩn phụ Tuy nhiên, với các bài toán có tham số, việc nêu điều kiện "chặt" cho ẩn phụ là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của nghiệm.

Ví dụ 4 : Cho phương trình x 4 4x 3 3x 2 14x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm

Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t 1

 Đồ thị hàm số y  t 2  7 t  m trên    1;  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Ta có bảng biến thiên x 1 7 y 8 m m Suy ra điều kiện để phương trình có nghiệm là m0

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

Nhận xét: 4x 3 2x  2 (2x x 2 1) và x0 không là nghiệm của phương trình Với x0 ta viết lại phương trình

Nhận thấy mỗi t  4 2cho ta 2 nghiệm thực của x0 Vì vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thì phương trình (**) phải có 1 nghiệm thực

Xét hàm số f t     t 2 3 t trên  4 2;   Ta có b ảng biến thiên: t

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9 m 4 hoặc m 23 2 4 thoả mãn yêu cầu bài toán

Dạng tổng quát của bài toán trên là: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước af x( )bg x( )c f x g x( ) ( ) 0

Đối với các bài toán dạng này, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho f(x), g(x) hoặc f(x)g(x) để chuyển đổi về phương trình bậc hai Sau đó, chúng ta sẽ áp dụng hàm số để giải quyết vấn đề Hãy xem xét cách đặt khác dưới đây:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2x 2 1 ta có

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 4 1 3 1   *

Khi đó phương trình (*) trở thành 2 t  3 t 2  m   1 Để phương trình (*) có nghiệm thực x1thì phương trình (1) có nghiệm thực 0 t 1

Xét hàm số f t    2 t  3 t 2 trên  0;1  Ta có bảng biến thiên: t

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi 1

   Cách khác: ĐK x1 Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4 x 2 1 đặt 4 1 4 2

Khi giải quyết các bài toán có tham số, việc chọn điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ là rất quan trọng Điều này giúp xác định hàm số trên miền nhất định, từ đó xác định được điều kiện cho tham số để đáp ứng yêu cầu của đề bài.

Việc lựa chọn ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc, ta có thể đặt như sau: Đặt 4 1

 , tuy nhiên lúc đó điều kiện của ẩn phụ sẽ thay đổi theo

  Từ đó ta lại được một hàm số mới với tập xác định tương ứng

Bài 1: Cho bất phương trình 4 2 2 2

  Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x0

Bài 2: Tìm m để mx 4  2 mx 3  4 x 2  2 mx   m 0,   x

Bài 3: Tìm m để phương trìnhx 4 4x 3 3x 2 14x m 0 có nghiệm

Cho hàm số y  f x   xác định trên D

 Bất phương trình f x    k ( f x    k ) có nghiệm trên D max  

D f x k) với điều kiện tồn tại max  

 Bất phương trình f x    k ( f x    k ) nghiệm đúng với x  D min  

D f x k) với điều kiện tồn tại max  

Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

Từ đó ta có: max f x    f     2 10

Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm 10 3 m 2 5m

      là giá trị cần tìm

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình x x   2   m x    1 2 0 nghiệm đúng với mọi x

Bất phương trình tương đương với  x  1  2  m x    1 1 0

Với x1 ta có bất phương trình luôn đúng với mọi m

Bất phương trình trở thành

Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x 1 khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi

  , do đó m2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy m2 là giá trị cần tìm

Bài 1: Tìm m để bất phương trìn 2x 2 3x 2 5m8x2x 2 nghiệm đúng với mọi x

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x1

3 x 1 m x 1 2 x 1 (HD : Chia hai vế phương trình cho x 1 0) Bài 3 : Tìm m để x x   2  x  4  x  6   m ,   x

Bài 4 : Tìm m để bất phương trình  1  2 x  3  x    m  2 x 2  5 x  3  có nghiệm với mọi 1

Bài 5 : Tìm m để bất phương trình x 2  x m 2 có nghiệm

3.6 Thiết kế giáo án dạy học phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số bậc nhất và bậc hai một ẩn

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

- Hiểu được cách giải và biện luận phương trình ax b 0 và phương trình

Kết quả đạt được

Mẫu thực nghiệm được chọn có ảnh hưởng lớn đến kết quả thực nghiệm sư phạm, với các lớp có sĩ số, điều kiện dạy học và chất lượng học tập tương đương Kích thước và chất lượng mẫu đã đáp ứng yêu cầu của thực nghiệm Kết quả được so sánh giữa lớp thực nghiệm, sử dụng bài giảng từ chuyên đề, và lớp đối chứng, giữ nguyên điều kiện và nội dung hiện có.

4.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm

Qua quan sát giờ học ở các lớp thực nghiệm và đối chứng, tôi nhận thấy rằng các lớp đối chứng dù có đổi mới trong phương pháp dạy học nhưng chưa có sự chuyển biến rõ rệt Học sinh trả lời câu hỏi và làm bài tập, nhưng thiếu hứng thú và kết quả chưa cao Ngược lại, ở các lớp thực nghiệm, học sinh rất tập trung và sôi nổi trong việc phát biểu, thể hiện sự nhiệt tình và chủ động trong quá trình học.

Số lượng và chất lượng câu trả lời của học sinh vượt trội so với lớp đối chứng Trong quá trình kiểm tra bài cũ và củng cố kiến thức, học sinh thể hiện sự hào hứng và tích cực khi trả lời câu hỏi từ giáo viên Kết quả giải các bài toán liên quan đến phương trình và bất phương trình ở dạng bậc nhất, bậc hai có chứa tham số đạt được kết quả tốt.

4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Bài kiểm tra đánh giá kết quả thực nghiệm (Thời gian 30 phút)

Bài 1 (5 điểm): Tìm m để phương trình x 2 mx 2 2x1 có hai nghiệm phân biệt

Bài 2 (5 điểm): Tìm m để bất phương trình x 2    1 3 m x   3 m   2 0 nghiệm đúng với mọi x mà x  2

40 Đáp án và thang điểm bài kiểm tra

Câu Đáp án Thang điểm

 Phương trình đã cho có hai nghiệm (*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1

  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

6 2 1 m    m thì hàm số đồng biến trên

  nên m1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có bảng biến thiên x 1

Suy ra đồ thị hàm số f x    3 x 2  (4  m x )  1 trên 1 ;

  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 1 4

Vậy 9 m2 là giá trị cần tìm

2 Đồ thị hàm số f x    x 2    1 3 m x   3 m  2 là parabol có đỉnh

Bất phương trình f x    0 nghiệm đúng với mọi x  2 khi và chỉ khi

0 m 3 là giá trị cần tìm

Qua bài kiểm tra đánh giá, chúng tôi đã tiến hành thống kê, tính toán và thu được các bảng số liệu sau:

Bảng phân phối tần số các điểm số của bài kiểm tra sau thực nghiệm

Kết quả nghiên cứu cho thấy giả thuyết đã được kiểm chứng: học sinh nhóm TN có kết quả làm bài cao hơn so với nhóm ĐC Điều này chứng tỏ rằng việc dạy học phương trình và bất phương trình thông qua mối liên hệ với hàm số ở học sinh khối 10 đã giúp nâng cao hiệu quả làm bài tập của các em.