SKKN ứng dụng phương pháp phân chia và lắp ghép đểtính thểtích khối đa diện

Trong chương trình toán học phổ thông nói chung và chương trình toán 12 nói riêng, phần kiến thức về khối đa diện là phần kiến thức khó, đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy trừu tượng cao

1

PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán Việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT theo chương trình phổ thông mới năm 2018 yêu cầu mỗi giáo viên trong quá trình dạy học cần phát triển được năng lực đặc thù bộ môn như tư duy và lập luận toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, mô hình hóa toán học, sử dụng công cụ và phương tiện toán học Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Dạy giải bài tập toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh Đối với học sinh yêu cầu có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu nhất Trong việc dạy giải bài tập Toán việc quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện

kỹ năng giải Toán, là phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập theo chủ đề Trong chương trình toán học phổ thông nói chung và chương trình toán 12 nói riêng, phần kiến thức về khối đa diện là phần kiến thức khó, đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy trừu tượng cao và muốn giải quyết những bài tập phần này các em không chỉ hiểu về mặt kiến thức mà còn phải có kỹ năng vận dụng, vẽ hình, phân chia, lắp ghép mới có thể hoàn thành được các bài tập Tuy nhiên trong quá trình dạy học phần này nếu mỗi giáo viên biết tìm cho mình một hướng đi phù hợp để dẫn dắt các em vào chuỗi hoạt động học tập từ dễ đến khó,

từ đơn giản đến phức tạp sẽ giúp các em hình thành kiến thức và phát triển năng lực một cách nhẹ nhàng hơn Để đạt được điều đó mỗi giáo viên cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy, thay vì truyền thụ kiến thức cho các em thì giáo viên cần tạo ra tình huống để các em được hoạt động, từ đó giúp các em chiếm lĩnh tri thức Bên cạnh đó, yêu cầu đổi mới trong kiểm tra đánh giá theo chương trình phổ thông mới đòi hỏi phải phát huy được năng lực người học mà cụ thể với phần bài tập về khối đa diện ngoài biết cách nhận dạng một khối đa diện còn phải biết tính thể tích, không chỉ là tính theo công thức thể tích thuần túy như thể tích khối chóp, khối lăng trụ mà còn phải biết phân chia, lắp ghép để tính được thể tích các khối phức tạp, đa hình dạng

Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp

phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện”

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo

+) Nghiên cứu sự phát triển, sáng tạo trong phương pháp phân chia và lắp ghép

để tính thể tích khối đa diện

2

+) Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán phần thể tích khối đa diện cho học sinh, cho giáo viên khi dạy học theo chủ đề, ôn thi tốt nghiệp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học các nội dung Hình Học 12 – phần thể tích khối đa diện

1.4 Giới hạn của đề tài

Đề tài tập trung và nghiên cứu các phương pháp và kĩ thuật phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện

1.5 Phương pháp nghiên cứu

+) Phương pháp nghiên cứu lí luận

+) Phương pháp điều tra quan sát

+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.6 Bố cục của đề tài SKKN

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương

Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Ứng dụng của phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể

tích khối đa diện

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

1.7 Thời gian thực hiện

Năm học 2020-2021

3

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lí luận

Trong chương trình hình học lớp 12, chương I giới thiệu về khối đa diện

và thể tích khối đa diện, đây là chương nối tiếp với phần hình học không gian tổng hợp đã học ở lớp 11 Thực tế chương này về mặt kiến thức có tính chất hàn lâm hơn phần kiến thức phía trước vì sự đa dạng về hình thù của khối đa diện, hơn nữa khái niệm thể tích cũng là khái niệm trìu tượng, học sinh làm bài tập theo hình thức máy móc mà không hiểu được bản chất của vấn đề Trong khái niệm thể tích khối đa diện, sách giáo khoa xây dựng theo phương pháp lắp ghép

các khối đa diện, cụ thể là: “Nếu khối đa diện  H được phân chia thành hai khối đa diện  H1 và  H2 thì      

V V V ”, thế nhưng trong quá trình giảng

dạy giáo viên vẫn chưa khai thác hết được ý nghĩa của khái niệm này dẫn đến quá trình dạy học bài tập sẽ rời rạc, thiếu tính liên kết dẫn dắt và gây ra sự khó hiểu cho học sinh trong quá trình học tập cũng như sự thiếu liền mạch trong tiết dạy của giáo viên Vấn đề này sách giáo khoa tuy không đề cập cụ thể nhưng một số ví dụ và bài tập đã thể hiện điều đó (làm rõ hơn ở mục 2.2.1), nếu giáo viên hệ thống và xây dựng nên thành phương pháp để cho học sinh vận dụng thì

sẽ tạo ra một phương pháp giải toán hiệu quả hơn

1.2 Cơ sở thực tiễn

Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, tôi sử dụng phương pháp điều tra nghiên cứu bằng cách tiến hành thăm dò 20 giáo viên dạy các trường THPT trong khu vực lận cận với nội dung:

- Câu hỏi 1: Giáo viên có quan tâm đến bài toán “ứng dụng phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện không?

- Câu hỏi 2: Giáo viên có sử dụng phương pháp phân chia và lắp ghép vào bài toán tính thể tích khối đa diện trong quá trình dạy học không?

- Câu hỏi 3: Giáo viên nhận thấy quá trình dạy học có sử dụng phương pháp phân chia và lắp ghép có hiệu quả hơn so với không sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép?

Kết quả tôi thu thập được:

10 giáo viên trả lời hiệu quả hơn 50%

6 giáo viên trả lời hiệu quả như nhau 30%

4 giáo viên trả lời không hiệu quả bằng 20%

+) Học sinh có trí tưởng tượng không gian chưa tốt

+) Do đặc thù môn học có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu và sử dụng các kiến thức hình học không gian là vấn đề khó đối với học sinh

+) Học sinh quen với hình học phẳng nên dễ nhầm lẫn khi sử dụng các tính chất trong hình học phẳng mà không đúng trong hình học không gian

+) Vẫn còn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưa chăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập

+) Do giáo viên chưa có phương pháp phù hợp với năng lực của học sinh

Từ những vấn đề đã đưa ra ở trên cho thấy việc xây dựng và phổ biến đề tài là rất cấp thiết, sẽ đáp ứng được rất nhiều yêu cầu trong quá trình dạy học

1.3 Mục tiêu của đề tài

- Xây dựng các phương pháp tính thể tích đơn giản, hiệu quả hơn

- Giúp học sinh hệ thống hóa được mạch kiến thức, phát triển năng lực tư duy

- Giúp giáo viên hình thành các bài toán tương tự, các bài toán mới, khái quát hóa vấn đề từ đó xây dựng được chủ đề khối đa diện hoàn chỉnh hơn

Chương 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

2.1 Một số kiến thức cơ bản

a) Khái niệm về khối đa diện, những lưu ý khi phân chia lắp ghép khối đa diện +) Hình đa diện là hình không gian được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn các tính chất:

- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

+) Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả phần hình đó

+) Lưu ý khi phân chia và lắp ghép khối đa diện:

5

- Nếu khối đa diện  H là hợp của hai khối đa diện  H1 ,  H2 sao cho  H1 và

 H2 không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện

 H thành hai khối đa diện  H1 và  H2 , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện

 H1 và  H2 với nhau để được khối đa diện  H

- Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện b) Các công thức tính thể tích của khối đa diện và lưu ý

+) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h là: V Bh

+) Thể tích khối chóp có diện tích đáy B, chiều có hlà: 1

b) Gọi khối đa diện  H là phần còn lại của khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' sau khi cắt

bỏ đi khối chóp C ABFE. Tính tỉ số thể tích của  H và của khối chóp C C E F ' ' ' Lời giải:

Nhận xét:

+) Đối với câu a) thực chất chúng ta đã phân chia khối lăng trụ thành ba khối chóp C C A B C EFB A ' ' '; ' ' và C ABFE. có thể tích bằng nhau, do đó để tính được thể tích khối C ABFE. thì cần phải tính qua thể tích hai khối C C A B ' ' 'và

+) Đối với câu b) rõ ràng không có công thức nào để trực tiếp tính thể tích cho

nó mà phải tính gián tiếp thông qua khối chóp C ABFE.

Như vậy có thể hình dung phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích một khối đa diện giống như một cách làm gián tiếp

Bài 2 (Bài tập 2-sgk-trang 25-Hình học 12)

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy rằng không có công thức tính thể tích cho khối bát diện đều nên để tính thể tích khối bát diện đều cạnh acần phân chia thành hai khối chóp đều có thể tích bằng nhau

Xét khối bát diện đều SABCDS' ta có:

' 2

SABCDS S ABCD

Gọi O là tâm đáy ABCD

S' O

7

Bài 3 (Bài tập 3-sgk-trang 25-Hình học 12)

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB D' '

Lời giải:

Gọi V là thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' '

Chia khối hộp thành các khối tứ diện

ABCB ACDD A AB D C CB D và ACB D' '

Xét các khối tứ diện

ABCB ACDD A AB D C CB D , mỗi khối

này có diện tích mặt đáy bằng nửa diện tích

đáy của khối hộp và chiều cao bằng chiều

cao của khối hộp nên thể tích mỗi khối

ABCD A B C D ACB D

ghép chúng lại để được thể tích khối lớn, còn trong bài 3 thì ngược lại để tính

thể tích khối nhỏ từ khối ban đầu chúng ta chia nhỏ và trừ đi thể tích các khối đã

biết thì được thể tích khối cần tính Có thể gọi cách giải trong bài 2 là phương pháp lắp ghép và cách giải trong bài 3 là phương pháp phân chia, các bài toán tiếp theo đề tài sẽ làm rõ vấn đề này hơn

Bài 4 (Bài tập 10-sgk-trang 27- Hình học 12)

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích khối tứ diện A BB C' '

b) Mặt phẳng đi qua A B' ' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích hình chóp C A B FE' ' '

C' B'

8

b) Cách 1: Tính trực tiếp

Ta có EFvà A B' 'lần lượt là giao tuyến của

A B FE' ' với hai mặt đáy ABC , A B C' ' 'song

song với nhau nên EF||A B' ' ||AB

Do đó hình chóp C A B FE' ' ' có đáy là hình

thang cân

Gọi Plà trọng tâm tam giác ABC và M N, lần

lượt là trung điểm của AB A B, ' '

2 3

tan

6

a MP MNP

'

3 2.

P H

+) Đây là bài toán rất hay đòi hỏi tư duy sáng tạo của học sinh

+) Ở câu a) có thể thấy khối tứ diện A BB C' ' có được bằng cách sử dụng hai mặt phẳng A BC'  và CA B' 'để chia khối lăng trụ ban đầu thành ba khối tứ diện trong đó tính được hai khối liên quan

+) Ở câu b) nhận thấy rằng nếu học sinh khá giỏi có thể phán đoán và dùng cách tính trực tiếp để tính thể tích khối chóp C A B FE' ' ' nhưng như thế thì khá dài Với cách giải thứ hai ta sử dụng cách ghép thể tích khối cần tính với một khối chóp để sử dụng công thức tỉ số thể tích và đưa ra một cách giải dễ hiểu và ngắn gọn hơn Ngoài phương pháp lắp ghép khối đa diện, với bài toán này cũng có thể giải theo phương pháp phân chia khối đa diện, xin được trình bày ở bài toán đề xuất phía sau

+) Như vậy trong quá trình dạy học ngoài dạy cho cách em cách giải toán trực tiếp cần phát triển năng lực giải theo tư duy phân chia và lắp ghép khối đa diện

để tạo ra nhiều hướng giải cho một bài toán

Bài 5 (Bài tập 11-sgk-trang 27-Hình học 12)

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh

'

BB và DD' Mặt phẳng CEF chia khối hộp trên thành hai khối đa diện Tính tỉ

số thể tích hai khối đa diện đó

I

F

E M

10

Phân tích: Việc xác định thiết diện của hình hộp sẽ dẫn đến hướng giải cho bài toán Nếu dựng thiết diện theo quan hệ song song sẽ nghĩ đến dùng phép biến hình, nếu dựng theo giao điểm đường và mặt sẽ hướng đến phương pháp phân chia lắp ghép

Lời giải:

Cách 1: (Sử dụng phép biến hình)

Gọi O là tâm hình hộp, khi đó Olà trung

điểm A C' nên cũng là trung điểm của EF,

do đó tứ giác A ECF' là hình bình hành

Suy ra A E CF A F CE' || , ' ||

Mặt khác các mặt phẳng AA B B' ' và

CC D D' ' ; ADD A' 'và BCC B' ' là các

cặp mặt phẳng song song nên giao với mặt

phẳng CEFlà các đường thẳng song song

hayCEF  AA B B' ' A E' ;

CEF  CC D D' ' CF

Gọi  H là hình đa diện có các đỉnh A B C D A E F, , , , ', , và  H' là đa diện còn lại

Phép đối xứng tâm O biến các đỉnh A B C D A E F, , , , ', , tương ứng thành các đỉnh

V

V  Cách 2: Sử dụng phương pháp lắp ghép

TrênBCC B' ' gọi M CEB C' ', trên CDD C' 'gọi NCFC D' '

Suy ra MNlà giao tuyến của CEFvà A B C D' ' ' '

Chứng minh tương tự ta cũng có NA' ||B D' ', suy ra M A N, ', thẳng hàng, hay mặt phẳng CEFcắt AA' tại điểm A'

Gọi  H' là khối đa diện có các đỉnh là A B C D E C F', ', ', ', , ,

Gọi V là thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' '

Suy ra CEFchia khối hộp thành hai phần có tỉ số thể tích của chúng bằng 1 Cách 3: Sử dụng phương pháp phân chia

Gọi V là thể tích khối hộp

D' A'

D A

C' B'

C B

F E

A'

D A

C

A' A

C B

vẫn hoàn toàn giải quyết được bài toán một cách tương tự

+) Với cách giải thứ hai và thứ ba bài toán có vẻ tự nhiên hơn, trong quá trình giảng dạy giáo viên dễ dàng dẫn dắt học sinh tìm ra hướng giải hơn, đây cũng chính là ưu điểm của phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện trong bài toán tính thể tích khối đa diện

Bài 6 (Bài tập 12-sgk-trang 27-Hình học 12)

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M là trung điểm cạnh A B' ',

N là trung điểm cạnh BC

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN

b) Mặt phẳng DMN chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi

 H là khối đa diện chứa đỉnh A,  H' là khối đa diện còn lại Tính tỉ số  

a) Ta có: N là trung điểm của BCnên

Trên ABCD gọi EDNAB, trên

ABB A' ' gọi H F, lần lượt là giao của EM

với các đường BB'và AA', trên ADD A' '

gọi K DFA D' '

Khi đó DMNcắt hình lập phương theo

thiết diện là ngũ giác DNHMK

Chia khối đa diện  H thành các khối chóp D A MK D A ABHM D BHN ' ; ' ;

D A

C' B'

B

được thể tích của chúng Với cách 2 thì khối đa diện  H được chia nhỏ thành ba khối chóp D A MK D A ABHM D BHN ' ; ' ; và các khối này đều dễ dàng tính được thể tích của chúng Như vậy, với phương pháp phân chia và lắp ghép này chúng ta

có thể tính được rất nhiều khối đa diện bất kì

Nhận xét chung mục 2.2.1:

+) Qua mục này đề tài hướng đến việc làm rõ hai phương pháp cụ thể là phương pháp phân chia và phương pháp lắp ghép trong phương pháp chung phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện Hiểu theo một nghĩa nào đó thì phương pháp phân chia là cần tính thể tích một khối đa diện  H chúng ta chia nhỏ khối

 H thành những khối tính được thể tích rồi cộng các kết quả lại với nhau và phương pháp lắp ghép là bổ sung vào khối  H các khối đa diện có thể tính được thể tính và tổng thể tích của chúng, khi đó thể tích khối  H bằng tổng thể tích trừ đi thể tích các khối đã biết

+) Trong quá trình giảng dạy nếu giáo viên hình thành thêm được cho học sinh phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện này sẽ rèn luyện thêm tư duy giải toán chủ đề thể tích khối đa diện Bởi vậy phương pháp này đã được áp dụng vào các đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi tốt nghiệp và đề học sinh giỏi những năm gần đây Mục tiếp theo của đề tài sẽ đề cập và làm rõ vấn

đề hơn

2.2.2 Phân tích các bài toán trong các đề thi thpt quốc gia và đề thi tốt nghiệp

Bài 1 (Trích đề thi tốt nghiệp năm học 2019-2020 lần 1 mã đề 101)

Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy Gọi M , N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S đối xứng với S qua O Thể tích

a

C

3

10 14 81

a

D

3

2 14 81

a

Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải tuy nhiên ở đây đề tài xin trình bày một cách giải theo phương pháp phân chia và lắp ghép

15

Lời giải:

Gọi E F, lần lượt là trọng tâm các tam

giác SABvà SBC Gọi K H, lần lượt là

trung điểm các cạnh ABvà BC Dễ thấy

tứ giác tạo bởi trọng tâm của bốn mặt

bên hình chóp S ABCD. là một hình bình

hành, ảnh của hình bình hành này qua

phép vị tự tâm Otỉ số 2 là tứ giác MNPQ

nên MNPQ cũng là hình bình hành và

MNPQ || ABCD Gọi Ilà tâm của

MNPQ thì ISO Gọi Jlà trung điểm

Bài 2 (Trích đề tham khảo lần 2-BGD-năm học 2019-2020)

Cho hình hộp ABCD A B C D     có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 Gọi

F M

N P

Q

J

Bài 3 (Trích đề thi thpt quốc gia năm học 2016-2017, mã đề 101) Cho tứ

diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh

,

AB BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V Tính V

a

3

13 2 216

a

3

2 18

F E

Q

P

E N

17

Gọi P Q, lần lượt là giao điểm của EM và AD, EN và CD

Vì M D, lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và BE nên P là trọng tâm tam giác ABE Tương tự Q cũng là trọng tâm tam giác BCE

9

E DPQ

E BMN E BMN

V V

lưu ý thêm về định lí giao tuyến của ba mặt phẳng: “Giao tuyến của ba mặt

phẳng hoặc đồng quy hoặc đôi một song song”

Bài 4 (Trích đề thi thử trường THPT Diễn Châu 4 lần 2-2020)

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a 2và cạnh bên bằng 2a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trọng tâm các mặt bên SAB SBC SCD SDA Thể tích , , ,

khối đa diện lồi có các đỉnh là A B C D M N P Q, , , , , , , bằng

a

C

3

34 3 81

a

D

3

41 3 81

38 3 81

F

G Q

M

A B

D

C S

18

EF

81

GH dadien BEMN

2.2.3 Phân tích bài toán trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Bài 1 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An-lớp 12-năm học 2020-2021)

Cho hình lăng trụ ABC A B C. 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và

a) Gọi Olà hình chiếu của điểm Blên mặt phẳng

A B C1 1 1 Theo giả thiết BA1BB1BC1a 3 nên

Olà tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời cũng là

trọng tâm tam giác A B C1 1 1

Ta có : CC1 ||BB1 CC1 ||ABB A1 1

 , 1 1   1 , 1 1   1 , 1 1 

Gọi M là trung điểm A B1 1C M1  3OM

D A

+) Điểm đặc biệt để có thể nghĩ đến hướng giải cho bài toán là mặt phẳng

G G G1 2 3 song song với mặt phẳng A B C1 1 1 từ đó việc sử dụng phương pháp phân chia sẽ dễ hơn là nghĩ đến phương pháp lắp ghép

2.3 Phát triển, xây dựng các phương pháp, kĩ thuật mới để phân chia

và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện

2.3.1 Khối đa diện chia bởi một mặt phẳng

Đặt vấn đề: Để xây dựng các bài toán mới tôi tập trung nghiên cứu theo hướng các khối đa diện là các khối quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ sau khi đã chia bởi một mặt phẳng yêu cầu tính thể tích các khối đã được chia nhỏ

Bài toán gốc 1: Cho khối chóp S ABC. , trên các cạnh SA SB SC, , lần lượt lấy các điểm A B C', ', ' sao cho SA' k SA SB1 ; ' k SB SC2 ; ' k SC3 ; 0 k k k1 , 2 , 3  1 Gọi V là thể tích khối chóp S ABC. Tính thể tích các khối chóp S A B C ' ' 'và khối đa diện

Phát triển bài toán 1:

+) Bài toán đề xuất 1: Cho hình chóp S ABC. có thể tích là V Một mặt phẳng

  đi qua đỉnh Scắt hai cạnh AB AC, lần lượt tại M N, sao cho

B'

C'

21

Phân tích: Có thể hình dung có một mặt

phẳng quay quanh điểm Svà cắt hai cạnh

bất kì của khối chóp, khi đó dễ dàng tính

khối chóp có đáy là tứ giác bằng phương

pháp phân chia khối đa diện

AM kAB  k Mặt phẳng   qua M, song song với các cạnh BC và AD

cắt các cạnh AC CD DB, , lần lượt tại N P Q, , Tính thể tích hai phần của khối tứ diện bị chia bởi mặt phẳng  

Lời giải:

Chia khối tứ diện ABCDthành hai khối ABCQ

và ACDQ bởi mặt phẳng ACQ

Theo tính chất song song ta dễ dàng thấy được

S

A

B

C M

22

+) Ngoài cách phương pháp phân chia như trên cũng có thể phân chia khối đa diện chưa đỉnh A thành các khối AMNQ ANPQ ADPQ, , sẽ cho cách tính ngắn gọn hơn Sau đây là một số bài toán vận dụng

Một số bài toán vận dụng từ bài toán gốc 1:

Bài 1. Cho tứ diện , và là các điểm thuộc các cạnh và sao cho , , là mặt phẳng qua và song song với Kí hiệu và là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện bởi mặt phẳng , trong đó, chứa điểm , chứa điểm ; và lần lượt là thể tích của và Tính tỉ số

Bài 2 (Trích đề thi thử THPT Kinh Môn-Hải Dương-lần 2-2020) Cho tứ

diện ABCD Mặt phẳng   song song với AB và CD cắt các cạnh

+) Thông thường trong giả thiết bài toán chỉ cho giả thiết k k k1, 2, 3 kết hợp với điều kiện đặc biệt của tứ giác và k4được mặc định tìm theo các giả thiết đó Tuy nhiên bài toán trên tác giả chỉ xét ở mức độ đơn giản để mục đích tìm hướng giải quyết vấn đề chứ không đặt nặng kĩ thuật biến đổi nên ngay từ đầu cho tất cả các giá trị k k k k1, 2, 3, 4

+) Do không có công thức tính tỉ số thể tích cho khối chóp tứ giác nên khi gặp bài toán dạng này cần phải khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác

4

5

5 4

3 4

4 3

Một số bài toán vận dụng bài toán gốc 2:

Bài 1. Cho hình chópS ABCD. có đáy ABCD là hình hình bình hành và thể tích khối chóp S ABCD. bằng 18 Biết điểm M N, lần lượt là trung điểm củaSA SB, Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng

N

Q

P

cân tại C, góc BCD 120  Có SA (ABCD) và SAa Mặt phẳng đi qua A

vuông góc với SC cắt SB SC SD, , lần lượt tại M N P, , Thể tích khối chóp

a

3

3 12

a

Bài toán gốc 3 Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Trên các cạnh AA BB CC', ', ' lần lượt lấy các điểm M N P, , sao cho AM k AA BN1 '; k BB CP2 '; k CC3 '; 0  k 1 Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ chia bởi mặt phẳng MNP

Phân tích: Với bài toán 3, phương pháp phân chia khối đa diện sẽ là cách giải hiệu quả cho bài toán

M

N

P

25

Nhận xét: +) Ngoài phương pháp phân chia khối đa diện chúng ta vẫn có thể giải theo phương pháp lắp ghép khối đa diện bằng cách gọi giao điểm các đường thẳng MN MP NP, , với các cạnh đáy của khối lăng trụ và từ đó tạo thêm các hình chóp phía ngoài lăng trụ

+) Đặc biệt hóa bài toán gốc 3 ta thu được các bài toán sau

Bài toán đề xuất 1 Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' có thể tích là V Một mặt phẳng   đi qua điểm A cắt các cạnh BB CC', ' lần lượt tại N P, sao cho

Bài toán đề xuất 3 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có thể tích V Một mặt phẳng  

chứa cạnhAB, cắt các cạnh A C' ' và B C' ' lần lượt tại M N, sao cho C M' kC A' '

0  k 1 Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ chia bởi mặt phẳng  

Nhận xét: Bài 4 (Bài tập 10-sgk-trang 27- Hình học 12) trong mục 2.2.1 là một trường hợp riêng của bài toán này Ở bài này đề tài không trình bày lại phương pháp lắp ghép như đã sử dụng giải bài trên mà sử dụng phương pháp phân chia

B

B'

C' A'

P