Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi THPT QG

Trong chương trình toán THPT, chiều biến thiên và cực trị của hàm sốđược hoàn thiện trong SGK lớp 12 chương I, thông qua bài toán đạo hàm.. Nộidung này là bài toán “ cứng” trong đề thi T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

NĂM HỌC 2020-2021

I Đặt vấn đề

Theo chủ trương của Bộ giáo dục & đào tạo, kì thi THPT quốc gia môntoán đã và đang sử dụng hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớntrong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏihọc sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình

tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trắcnghiệm trung bình khoảng 1,8 phút Trong đó câu dễ khoảng 3 phút, câu khókhoảng 1 phút, nhanh hơn nhiều so với yêu cầu đánh giá cũ

Trong chương trình toán THPT, chiều biến thiên và cực trị của hàm sốđược hoàn thiện trong SGK lớp 12 chương I, thông qua bài toán đạo hàm Nộidung này là bài toán “ cứng” trong đề thi THPT quốc gia, đặc biệt chiều biếnthiên và cực trị của hàm ẩn là một trong những câu khó của đề thi

Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơbản về chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn, đồng thời biết vận dụng một cáchlinh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài

" Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi

THPT QG"

Bằng kiến thức cơ bản về đạo hàm, việc xét dấu của đạo hàm giúp họcsinh phát triển khả năng phân tích tổng hợp về chiều biến thiên và cực trị củahàm ẩn, từ đó học sinh hiểu bài, nhớ lâu, thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng,học tủ, phù hợp với tâm sinh lí học sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ

lí thuyết hàn lâm

II Giải quyết vấn đề

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1.1 Quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đạo hàm của hàm hợp

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên K

a) f x '  0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến trên K

b) f x '  0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K

Quy tắc

+ Tính f x'  , giải phương trình f x '  0 tìm nghiệm

+ Lập bảng xét dấu f x '  0.

+ Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Định lí 2 Tìm m để hàm số y f x m ,  đơn điệu trên khoảng (a,b)

a) Để hàm số đồng biến trên khoảng a, b thì f x'    0, x a b, .b) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a, b thì f x'    0, x a b, 

1.3 Các định lý về điều kiện đủ về cực trị của hàm số

Quy tắc

+) Tính f x' 

+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó f x  hoặc ' 0 0 f x ' 

không xác định)

+) Lập bảng xét dấu f x'  dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn là một nội dung mới lạ đối với họcsinh THPT

Học sinh còn bở ngỡ, lúng túng và mất khá nhiều thời gian khi gặp dạngtoán này

3 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

Bài toán 1 Xét chiều biến thiên của hàm ẩn

1.1 Cho biểu thức f x'  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f u x   1.2 Cho bảng biến thiên của f x'  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

 

f u x 

1.3 Cho đồ thị f x' Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f u x  

1.4 Cho đồ thị f x'  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f u x   g x 

1.5 Cho biểu thức f x m Tìm m để hàm số' ,  f u x   đơn điệu trênkhoảngK

Bài toán 2 Xét cực trị của hàm ẩn

2.1 Cho bảng biến thiên của hàm số f x Hỏi số điểm cực trị của hàm 

số f u x  

2.2 Cho đồ thị của hàm số f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số 

 

f u x 

2.3 Cho biểu thức f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số '  f u x  

2.4 Cho đồ thị của hàm số f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số' 

 

f u x 

2.5 Cho biểu thức f x m ,  Tìm m để hàm số f u x   có k điểm cựctrị.

2.6 Cho biểu thức f x m' ,  Tìm m để hàm số f u x   có k điểm cựctrị

2.7 Cho đồ thị f x  Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x m  , 

4 Các bài toán minh họa

Bài toán 1 xét chiều biến thiên của hàm ẩn

1.1 Cho biểu thức f x'  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f u x  

Bài tập 1 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'   x 12x2  2x với

Ta thấy 2;  3; Chọn D

Bài tập 2 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'  x x  1 2 x 2 với

x x

4

45

24

nghiem boi chan n

Vậy hàm số g x  đồng biến trên khoảng 6;6 Chọn B.

1.2 Cho bảng biến thiên của f x'  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

- Xét dấu g x'  ( dựa vào dấu của f x' )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

82

- Xét dấu g x'  (dựa vào dấu của f x' )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

biến trên khoảng 2 2 ;4 a  Loại A, B, D và chọn C.

Bài tập 8 Minh họa 2019 Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như 

- Xét dấu f x ' 2 (dựa vào dấu của f x Suy ra dấu của '  g x' 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

Bài tập 9 Cho hàm số y f x  liên

- Xét dấu g x'  (dựa vào dấu của f x'  )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

Hướng dẫn

- Tìm nghiệm của f x' 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g x 

- Tìm nghiệm của g x' 

- Xét dấu g x'  (dựa vào dấu của f x' )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

x   -3 -2 -1 0 1 2 3 

 

'

g x - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 +

Từ bảng xét dấu và đối chiếu các đáp án, ta chọn D

Bài tập 11 Cho hàm số yf x  liên tục trên

- Xét dấu g x (dựa vào dấu của '  f x )' 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

Từ bảng xét dấu và đối chiếu các đáp án, ta chọn D

1.4 Cho đồ thị của f x'  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

f u x  g x

Bài tập 12 Cho hàm số yf x có đạo hàm

liên tục trên và có đồ thị hàm số f x như ' 

Số nghiệm của phương trình g x  bằng số '  0

giao điểm của đồ thị hàm số yf x'  và đường

- Nhận xét về dấu của g x'  dựa vào sự

tương giao của các đồ thị

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

Giải

Hàm số g x  f 3 x đồng biến trên khoảng 3; phải có

đồng biến trên khoảng 4;

4; phải có  g x'    0, x 4 2x 8 f x' 2  8x m    0, x 4

2 2

Bài toán 2 Xét cực trị của hàm ẩn.

2.1 Cho bảng biến thiên của hàm số f x  Hỏi số điểm cực trị của hàm số

- Xét dấu g x'  (dựa vào dấu của f x' )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

2

55

82

- Suy ra số cực trị nhiều nhất của hàm số g x   f x  .

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số yf x  có 1 điểm cực tiểu x 3

nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số yf x  cắt trục hoành tại nhiềunhất 2 điểm có hoành độ dương

Do đó đồ thị hàm số yf x  cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm hay hàm

số y f x  có nhiều nhất 3 cực trị

Suy ra hàm số g x   f x  có nhiều nhất 7 điểm cực trị Chọn B.

Bài tập 18 ( Câu 44 đề tốt nghiệp 2020 Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn

0, 218 1,045

t t t t

Vậy số điểm cực trị của hàm số g x  là 9 Chọn B.

2.2 Cho đồ thị f x  Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x  

Bài tập 19 Cho hàm số y f x  liên tục

trên  và có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số g x  f x 2  3x có bao nhiêu

điểm cực tiểu?

Vậy g x  f x 2  3x có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu Chọn B

Bài tập 20 Cho hàm số y f x  liên tục

trên  và có đồ thị như hình vẽ bên

 

yf x

- Từ đó suy ra cách xác định đồ thị hàm số g x    f x    4

- Dựa vào đồ thị suy ra số điểm cực trị của hàm số g x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận

2.3 Cho biểu thức f x '   Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x  

Bài tập 21 Cho hàm số y  f x ( ) có đạo hàm f x'   x1 x 1 2 x 2với mọi x   Hàm số g x  f x 2  4x2 có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài tập 22 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'   x 1 x12 x2 4

với mọi x   Hàm số g x  f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

- Tìm nghiệm của f x' 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g x 

- Tìm nghiệm của g x' 

- Xét dấu g x'  (dựa vào dấu của f x'  )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

- Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số chẵn f x   suy ra số điểm cực trị

- Đối chiếu các đáp án và kết luận

f x chỉ đổi dấu qua các nghiệm x1,x2.

 hàm số f x có 3 điêm cực trị trong đó có 2 điểm cực trị dương là  x 1và

A 5 2

4 m . B

52

- Xét dấu g x'  (dựa vào dấu của f x' )

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

Hướng dẫn

- Nhận xét về tính chẵn, lẻ của các hàm số yf x  và đồ thị của hàm số đó.

- Suy ra điều kiện về số giao điểm đồ thị hàm số y f x  với trục hoành ứng với phần bên phải trục tung.

S P

2

0 3

m m

m m

- Từ đó tìm m theo số nghiệm của phương trình f x '  0

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

- Từ đó tìm m theo số nghiệm của phương trình f x '  0

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.

2.7 Cho đồ thị hàm số f x   Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x  

Bài tập 29 Hình vẽ dưới đây là đồ thị  C của hàm số y f x  biết rằng

x  x và x 2 là các điểm cực trị của hàm số đó

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

Để hàm số y f x  1 m có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số

 C' :g x  f x  1 m phải cắt trục Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm

TH1: Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x  1 lên trên Khi đó 3 0 0

m m m

Do m nguyên dương suy ra m3,4,5 .

Vậy có ba giá trị m nguyên dương Chọn C

Bài tập 30 Cho hàm số yf x  có đồ thị như

nghiệm của phương trình g x  '  0

Đối chiếu với các đáp án, ta Chọn A.

Nhận xét: có thể giải bài tập trên bằng cách sau;

Đồ thị của hàm số g x  f x m   được suy ra từ đồ thị  C của hàm số

5 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài tập 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  x x2  4 2 x 9 với

  Hỏi hàm số g x  f x 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây

Bài tập 7 Cho hàm số f x có đạo hàm  f x'  x x  123x4 mx3 1 với

  Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x  f x 2 đồng biến trên khoảng 0;

Bài tập 8 Cho hàm số yf x( ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau

C KẾT LUẬN

Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡđồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoànthành và sau khi dạy xong chuyên đề này cho học sinh lớp 12C1 năm học 2019– 2020 tôi đã thu được một số kết quả sau :

- Các em học sinh tham gia học tập tích cực hơn, tạo cho các em tâm lýkhông sợ khó khi gặp những bài tập dạng này

- Tạo được niềm vui, kích thích hứng thú học tập cho học sinh bằng chínhviệc ôn tập, định hướng và giải bài tập

-Khi tôi tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh thì kếtquả đạt được là trên 80% học sinh đạt yêu cầu

- Đã đưa ra một số bài tập áp dụng theo các mức độ khó, dễ khác nhau phùhợp với nhiều đối tượng học sinh Đề tài là một tài liệu tham khảo tốt cho họcsinh và đồng nghiệp

- Với lớp 12C1 trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2019 –

2020 có nhiều em đạt điểm cao môn Toán trong đó có một điểm 10

Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều song nội dung đề tài là không thể tránhkhỏi thiếu sót, rất kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp Những góp ý đó sẽ là cơ sở để tôi hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu của này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nam Đàn, ngày 05/03 /2021

Người thực hiện

NGUYỄN VĂN HẠNH

Tài liệu tham khảo

1 Đề thi THPT Quốc gia năm 2015

Trên cổng thông tin của Bộ giáo dục và đào tạo

2 Đề thi THPT Quốc gia năm 2016

3 Đề thi minh hoạ và thử nghiệm 2017của Bộ GD&ĐT

4 Đề thi THPT Quốc gia năm 2017

5 Đề thi tham khảo năm 2018 của Bộ GD&ĐT

6 Đề thi THPT Quốc gia năm 2018

7 Đề thi tham khảo năm 2019 của Bộ GD&ĐT

8 Đề thi THPT Quốc gia năm 2019

9 Đề thi THPT Quốc gia năm 2020