Một sốgiải pháp giúp học sinh phát huy khảnăng giải bài toán tỉ số thể tích

Trăn trở trước thực trạng đó, chúng tôi đã chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán tỉ số thể tích” làm đối tượng nghiên cứu, nhằm giúp học sinh nhìn

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hình học không gian có một vị trí đặc biệt quan trọng, các bài toán về hình học không gian được khai thác, sử dụng nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi THPT quốc gia Đặc biệt là đối với học sinh khối 12 thì các bài toán như: tính thể tích khối đa diện; tính tỉ số thể tích các khối đa diện; tìm điều kiện để thể tích khối đa diện đạt GTLN,GTNN; các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến thể tích khối đa diện luôn xuất hiện trong các kỳ thi và chiếm tỉ trọng lớn trong phần hình học Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy rằng phần lớn học sinh còn gặp khó khăn và rất lúng túng khi gặp các dạng bài toán trên bởi các lí do sau:

- Để giải các bài toán trên cần huy động lượng lớn kiến thức lớn hình học không gian cả chương trình lớp 11 và lớp 12

- Học sinh chưa phân loại được các dạng toán thường gặp, không hình dung

ra cách giải các dạng toán, chưa nắm rõ các dấu hiệu bản chất của bài toán

- Cách định hướng và giải quyết các dạng toán còn hạn chế, theo kiểu “được bài nào xào bài đó” nên học sinh thiếu chủ động và linh hoạt khi vận dụng vào các bài toán khác

- Các tài liệu viết về các dạng toán trên chưa đáp ứng được thực tế giảng dạy với nhiều đối tượng học sinh, và chưa phù hợp với đổi mới trong đánh giá và kiểm tra hiện nay

Trăn trở trước thực trạng đó, chúng tôi đã chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán tỉ số thể tích” làm đối tượng nghiên

cứu, nhằm giúp học sinh nhìn thấy nguồn gốc bài toán để từ đó biết cách định hướng và giải quyết hiệu quả những bài toán mới, vấn đề mới liên quan đến thể tích khối đa diện thông qua việc vận dụng bài toán tỉ số thể tích

Trong đề tài này chúng tôi tập trung khai thác hai bài toán cơ bản về tỉ số thể tích của khối chóp và khối lăng trụ trong sách giáo khoa hình học 12 cơ bản, và từ

2

đó chúng tôi đưa ra các giải pháp mới để giúp học sinh tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện hiệu quả, nhanh chóng đáp ứng được vấn đề đổi mới trong đánh giá kiểm tra Mặc dù đây là một đề tài mà nhiều tác giả

đã khai thác ,nhưng các giải pháp mà chúng tôi đưa ra ở đây được xây dựng một cách có hệ thống, khoa học trên nền tảng các bài toán gốc phù hợp với nhiều đối tượng học sinh đảm bảo tính mới và thiết thực trong giai đoạn hiện nay Các giải pháp giúp các em có thể tiếp cận dần và phát huy khả năng vận dụng tốt các dạng bài toán về thể tích; giúp học sinh phát huy khả năng tự học,tự nghiên cứu, khơi dậy tình yêu Toán học cho học sinh

Qua thực tiễn áp dụng tại Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, không ngừng chia

sẻ trao đổi với đồng nghiệp trong và ngoài trường, những giải pháp chúng tôi đưa

ra đã đem lại kết quả thiết thực và rõ nét, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học,đem lại kết quả cao qua các kì thi học sinh giỏi, kì thi THPT quốc gia trong những năm gần đây

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Phát triển năng lực tư duy độc lập và sáng tạo của học sinh

- Giúp học sinh phát huy tốt khả năng tự học, tự tìm tòi nghiên cứu

- Hoàn thiện thêm cách giải các bài toán về thể tích khối đa diện

3 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan

b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

- Qua thực tiễn giảng dạy và sự góp ý của đồng nghiệp

- Khảo sát thực tiễn từ học sinh

c) Phương pháp quan sát, điều tra:

- Qua điều tra, sát hạch cách vận dụng kiến thức của học sinh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 12, bồi dưỡng HSG qua các năm ở Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

5 Thời gian nghiên cứu

Đề tài được nghiên cứu và thử nghiệm trong các năm học: 2019 - 2020 và

2020 - 2021

ở việc xác định chiều cao và diện tích đáy nên học sinh gặp rất nhiều trở ngại trong quá trình định hướng cách giải các dạng toán đó

Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu chúng tôi thấy rằng việc vận dụng tỉ

số thể tích để giải các bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện thường cho lời giải ngắn gọn, hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 thì đều có thể vận dụng tốt

Với mong muốn giúp học sinh có thêm những giải pháp mới khi sử dụng bài toán tỉ số thể tích và giúp học sinh rèn luyện phương pháp tự học và phát huy năng lực sáng tạo của bản thân, chúng tôi đề xuất các giải pháp trên cở sở khai thác và

phát triển những bài toán cơ bản trong sách giáo khoa:

1.1.1 Bài toán 1 (BT4 – SGK - Hình học cơ bản 12)

Cho hình chóp tam giác S ABC Trên các đoạn SA, SB , SC lần lượt lấy các

điểm A , B , C  khác S Khi đó: .

H

A'

C' B'

H'

1.1.2 Bài toán 2 (Ví dụ trang 24 – SGK - Hình học cơ bản 12)

Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    có thể

Chứng minh: Gọi M  , N lần lượt là hình

chiếu của M, N lên mặt phẳng  P

C

B A

M' N'

N

M

I

1.2 Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu

Trong kì thi THPT quốc gia từ năm học 2016 - 2017 đến nay, môn Toán được chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, trong các đề thi luôn xuất hiện các câu hỏi liên quan đến bài toán thể tích khối đa diện ở mức độ vận dụng, vận dụng cao đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn Qua quá trình điều tra khảo sát kết quả học sinh trong trong kì thi THPT quốc gia, chúng tôi nắm bắt được rất ít các em làm được những dạng bài toán đó, còn hầu hết các em đều khoanh chừng đáp án

Thực tế trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu từ các đồng nghiệp, chúng tôi nhận thấy đối với các bài toán hình học không gian nói chung và các dạng toán liên quan đến thể tích khối đa diện nói riêng, thì học sinh thường gặp khó khăn khi định hướng cách giải

Cụ thể, chúng tôi tiến hành khảo sát chất lượng học sinh ở lớp 12A1 (gồm 40 học sinh) và lớp 12A2 (gồm 42 học sinh) tại Trường THPT Nguyễn Đức Mậu thông qua bài kiểm tra viết trong khoảng thời gian 45 phút và nắm bắt được kết quả như sau:

1.2.1 Đề bài kiểm tra

Câu 1: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích

bằng 77 Mặt phẳng ( ) đi qua A cắt SC tại trung điểm N , cắt SB tại điểm M

sao cho 6

7

SM

SB  , và cắt SD tại điểm P

a) Tính thể tích của khối SAMN

b) Tính thể tích của khối SAMNP

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh 2a , gọi M là trung điểm của

6

1.2.2 Kết quả thu được

+) Tại lớp 12A1:

Câu 1:

- Số học sinh giải quyết được ý a) là: 40/40

- Số học sinh giải quyết trọn vẹn ý b) là: 5/40 (cả 5 em đều dùng cách kẻ đường phụ để tính tỉ số SP

SD; còn cả 35 em đều dừng lại ở bước tách khối SAMNP

thành 2 khối và lập tỉ số thể tích của 2 khối đó với khối SABCD )

Câu 2:

- Số học sinh giải quyết được ý a) là: 40/40

- Số học sinh giải quyết được ý b) là: 10/40 (hầu hết các em đều làm theo cách phân chia khối ABCDMNP thành 2 khối chóp ABMNC và ADPNC và áp dụng

tính chiều cao và diện tích đáy để tính thể tích nên làm dài và không đủ thời gian, chỉ 2/40 em biết áp dụng tỉ số thể tích của hình hộp nên ngắn gọn và nhanh)

+) Tại lớp 12A2:

Câu 1:

- Số học sinh giải quyết được ý a) là: 42/42

- Số học sinh giải quyết được ý b) là: 4/42 (4 học sinh này cũng dùng cách kẻ đường phụ để tính tỉ số SP

SD; 38 học sinh còn lại đều dừng lại ở bước tách khối

Câu 2:

- Số học sinh giải quyết được ý a) là: 42/42

- Số học sinh giải quyết được ý b) là 9/42 (các em đều làm theo cách phân

chia khối ABCDMNP thành 2 khối chóp ABMNC và ADPNC và áp dụng tính

chiều cao và diện tích đáy để tính thể tích nên làm dài và không đủ thời gian, 0/42

em biết áp dụng tỉ số thể tích của hình hộp)

Như vậy, kết quả khảo sát của hai lớp là tương đương nhau Ngoài việc khảo sát trực tiếp tại hai lớp trên và trong quá trình giảng dạy khối 12 các năm qua chúng tôi thấy rằng việc giải quyết câu 1b và câu 2b là khá phức tạp đối với đại

đa số học sinh, hoặc các em giải quyết dài dòng và như vậy sẽ mất rất nhiều thời gian nếu làm bài thi trắc nghiệm

Từ kết quả bài kiểm tra và tìm hiểu qua học sinh và đồng nghiệp, chúng tôi nhận thấy rằng đa số học sinh đã nắm được bài toán cơ bản về tỉ số thể tích khối chóp tam giác, tuy nhiên việc vận dụng nó vào những bài toán mới thì học sinh còn

đã có để giải quyết vấn đề và đặc biệt là những bài toán vận dụng tỉ số thể tích khối hộp thì còn rất hạn chế

Hơn nữa qua những tiết dự giờ đồng nghiệp chúng tôi thấy rằng một số giáo viên khi giảng dạy chưa có sự định hướng cách giải toán, chưa cung cấp thêm cho học sinh một số phương pháp, cách thức tiếp cận vấn đề phù hợp, do đó các em thiếu đi sự tự tin trong việc định hướng, phát hiện và giải quyết vấn đề, nhất là các bài toán về hình học không gian nói chung và bài toán thể tích nói riêng

Từ việc đánh giá và phân tích kết quả thu được sau khi khảo sát, chúng tôi nhận thấy cần phải có những giải pháp để khắc phục thực trạng trên, thôi thúc chúng tôi nghiên cứu tìm tòi để đưa ra các giải pháp phù hợp với việc đổi mới trong quá trình dạy và học, phù hợp với đổi mới trong đánh giá kiểm tra hiện nay

Đó là “Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán tỉ số thể tích”

II MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH

Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, các bài toán về hình học không gian nói chung và bài toán về tính thể tích khối đa diện nói riêng luôn gây khó khăn cho học sinh và rất nhiều học sinh rất e ngại hoặc bỏ qua khi gặp các bài toán dạng này Để giúp cho học sinh có hướng giải cũng như phát huy được khả năng của mình khi giải quyết các bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện, chúng tôi

đề xuất một số giải pháp Trong mỗi giải pháp, chúng tôi xây dựng một số bài toán tổng quát và đưa ra các ví dụ cụ thể Ở mỗi ví dụ đó, chúng tôi phân tích, định hướng phương pháp giải đồng thời đưa ra các cách giải khác nhau để từ đó thấy được các giải pháp mà đề tài đưa ra là hiệu quả

2.1 Giải pháp 1: Vận dụng Bài toán 1 để giải quyết các bài toán về tính thể tích và tỉ số thể tích của khối chóp

Bài toán 1 (BT4 – SGK - Hình học cơ bản 12) Cho hình chóp tam giác S ABC

Trên các đoạn SA, SB , SC lần lượt lấy các điểm A , B , C khác S Khi đó:

 + Hai khối đa diện  H và H  có cùng mặt đáy và diện tích đáy bằng nhau, 

chiều cao lần lượt là h và h thì ( )

( )

H H

ABBC , a AD2a,SA(ABCD) và SA2a Gọi M , N lần lượt là trung

điểm của SA và SD Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a

nên việc xác định chiều cao khá khó

- Nhưng nếu sử dụng Bài toán 1 thì bài

toán được giải quyết đơn giản qua các bước:

+) Phân chia khối đa diện S MNCB thành

2 khối SMNC và SMCB ;

+) Tính thể tích khối đa diện S ABC VÀ S ACD

+) Áp dụng Bài toán 1

Lời giải 1:

Do SAABCD nên SA AD Mặt khác AB AD nên AD // SAB ,   1

Ta có M , N lần lượt là trung điểm của SA và SD nên MN // AD ,  2

Từ (1) và (2) suy ra MN SAB nên BCNM  SAB

Trong mp SAB , kẻ SH  BM tại H thì SH BCNM

Trong ABM vuông tại A có ABa, AM a nên BM a 2

D

C B

A S

Ta có: V A MNPQ. 2V APMQ (do MNPQ là hình thoi)

Mà V APMQV BPMQ (do AB MQ ) nên //

- Giải bài toán theo cách trên yêu cầu học sinh cần phải nắm vững kiến thức

về khoảng cách và tỉ số diện tích, mà đây cũng là yếu điểm đối với học sinh đại trà

Ví dụ 3: Cho hình tứ diện SABC có thể tích bằng V Gọi V  là thể tích của khối

đa diện có các đỉnh là A B C M N P  , , , , , với A B C M N P  , , , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB SC AB BC CA, , , , , Tính tỉ số V

V



Phân tích: Đây là một bài toán về tỉ số thể tích khối chóp tam giác nên học sinh áp

dụng Bài toán 1 thì sẽ có ngay kết quả bài toán

Phân tích: Do khối chóp này không đặc biệt nên nếu tính thể tích bằng cách xác

định chiều cao và tính diện tích đáy thì sẽ là bài toán khó đối với học sinh vì việc

xác định chiều cao khá phúc tạp Tuy nhiên nếu biết vận dụng Bài toán 1 đưa về

thiết lập tỉ số thể tích của khối chóp cần tính và khối chóp đặc biệt thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều

B'

P

C' A'

B S

11

Lời giải:

Trên cạnh SB SC lần lượt lấy hai điểm , B C,  sao cho SBSC3

Khi đó các tam giác SAB SAC SB C, ,   là

các tam giác đều có cạnh bằng 3

Bình luận: Khi ta lấy các điểm B C, 

sao cho S AB C   là khối tứ diện đều thì

việc tính thể tích của nó rất đơn giản, đồng thời sử dụng Bài toán 1 thì việc tính

Phân tích: Để giải bài toán này học sinh cần phải:

- Tìm thiết diện của mặt phẳng   với hình chóp để xác định được khối

S ABC chia thành 2 khối SKBE và KBEAC

- Áp dụng Bài toán 1 để thiết lập tỉ số của 2 khối SKBE và S ABC , từ đó suy

ra tỉ số thể tích hai khối KBEAC và S ABC

Lời giải:

trung điểm của BC SC ,

Trên mp ABC , qua B  

dựng đường thẳng song

song với AI , cắt AC tại

D

Trên mp SAC , gọi   E là

giao điểm của KD và SA

S

12

nên BDKSC Mặt phẳng BDK chia hình chóp  S ABC thành hai phẩn là SKBE và KBEAC

Trên mặt phẳng SCD , ta có K , A lần lượt là trung điểm của các cạnh  CS CD,

SKBE KBEAC

Phân tích:

- Học sinh biết phân chia các khối đa diện NPQDCM thành 2 khối NPQDC

và NPMC ; khối ANCD thành 2 khối APNQ và NPQDC

- Áp dụng Bài toán 1 để thiết lập các tỉ số thể tích của các khối ANCD và

từ đó biểu diễn thể tích 2 khối NPQDC và NPMC

qua thể tích khối ABCD

I N

P

M

C

D B

A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  BA D 60

và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Góc giữa hai mặt phẳng  SBD và 

Mặt phẳng MND chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện có 

đỉnh S có thể tích là V , khối đa diện còn lại có thể tích 1 V Tính tỉ số 2 1

2

V V

Phân tích:

- Học sinh cần xác định được V1 là thể tích của khối SADFKN , V2 là thể tích của khối KFBNDC

- Cần phải lập tỉ số thể tích của các khối MKFB và MNCD ; MNCD và

khối SADFKN theo V SABCD

14

Lời giải:

Gọi O ACBD, FDM AB ,

Ta có: BA D 60 nên tam giác

ADB là tam giác đều

Khi sử dụng Bài toán 1 để giải quyết các bài toán về tính thể tích khối chóp

hoặc các bài toán về tỉ số thể tích liên quan đến khối chóp, chúng tôi nhận thấy rằng nếu đáy của khối chóp là hình bình hành thì có thể có thể giải quyết nhanh

hơn, đặc biệt là với các bài toán trắc nghiệm Từ đó, chúng tôi phát triển và xây

dựng một số bài toán sau:

Bài toán 1.1 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt

phẳng không qua S cắt các cạnh SA, SB , SC , SD lần lượt tại A , B , C , D

Đặt SA a

 ,

SB b

(1) và (2) suy ra a   c b d

2 Ta có: V SA B C D' ' ' 'V SA B C' ' 'V SA C D' ' ';

12

SABC SACD SABCD

Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi C  là trung điểm của SC Mặt .phẳng  P qua AC và vuông góc SC cắt SB , SD lần lượt tại B , D Gọi V , 1 V 2

lần lượt là thể tích hai khối chóp S AB C D    và S ABCD. Tính tỉ số 1

A'

S

D

C B

A

khá dài nhưng khi áp dụng Bài toán 1.1 để tính thể tích khối chóp S AB C D    thì

ta không phải tách thành hai khối chóp đồng thời tính được các tỉ số SB SD', '

dẽ dàng

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a cạnh bên ,

của A lần lượt trên SB SD Mặt phẳng , AB D   cắt SC tại  C Tính thể tích của khối AB C D ABCD ' ' '

Lời giải 1:

17

Ta có: SB ABCD,  SBA45

 SAB vuông cân tại ASA a

Mặt khác SABvuông cân tại A có AB là

đường cao  B là trung điểm SB

SAD

 vuông cân tại A có AD là đường

cao  D là trung điểm SD

Vì hình chóp S ABCD là hình chóp có đáyABCD là hình vuông nên áp

dụng Bài toán 1.1 để giải bài toán này

O

D A

S

B'

18

Ta có: SB ABCD,  SBA45  SAB vuông cân tại ASA a

Mặt khác SABvuông cân tại A có AB là đường cao  B là trung điểm SB

Lời bình: Qua hai lời giải trên ta thấy ngay hiệu quả khi áp dụng Bài toán 1.1

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 2 .Hai điểm M,N lần lượt thuộc cạnh SB , SD sao cho SM SN k0 k 1

O

N

C B

A S

S AMKN

k V

k

2

Nhận xét: Từ lời giải 1, ta thấy khi sử dụng Bài toán 1 để tìm giá trị k thì việc

giải quyết khá phức tạp và dài dòng Nhưng vận dụng Bài toán 1.1 thì việc tìm tỉ

S ABC S ADC S ABD S BCD

F E

N D

C B

A S

 

 Do 0x y;  nên 01 3 1 1

x x

23

4 3 1

x x

3

V Việc giải quyết khá dài dòng và phức tạp, nhưng nếu sử

dụng Bài toán 1.1 thì kết quả bài toán được tìm ra rất nhanh và dễ dàng

đây tiếp tục khẳng định hiệu quả của Bài toán 1.1 khi cần có nhanh kết quả cho

các bài toán trắc nghiệm

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a , tâm của .đáy là O Gọi M N, tương ứng là trung điểm các cạnh SA SC, Gọi E là giao điểm

S AEF

V

Ví dụ 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích

là V Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1

 đạt giá trị nhỏ nhất

SABC SADC

V V

Trong Bài toán 1.1, nếu SA' SB' SC' SD' k

SA  SB  SC  SD  , khi đó ta có bài toán mới:

Bài toán 1.2: (Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng)

Cho hình chóp S ABCD , cắt các cạnh SA SB SC SD, , , của hình chóp bởi một mặt

phẳng không đi qua S và song song với đáy

tại các điểm A B C D, , ,  sao cho:

A'

S

D

C B

A