Tu giac Toan chung minh tinh tians cuc tri

Dùa vµo ®Þnh nghÜa h×nh thang vµ c¸c tÝnh chÊt cña h×nh thang ®Ó tÝnh to¸n theo yªu cÇu bµi to¸n.. 2..[r]

Chuyên đề:

Tứ giác Toán chứng minh, tính toán; cực trị

A- Kiến thức

I Nội dung về tứ giác trong chơng trình toán THCS.

1.1 Nội dung toán học về tứ giác

+ Khái niệm tứ giác và các tứ giác dạng đặc biệt của nó (hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)

+ Định nghĩa, tính chất, định lí, dấu hiệu nhận biết của các tứ giác đặc biệt

1.2 Vấn đề tứ giác đợc trình bày trong chơng trình THCS

Nội dung toán về tứ giác đợc trình bày trong SGK lớp 8 bậc THCS

Chơng I:

+ Tứ giác

+ Hình thang, hình thang cân

+ Hình bình hành và dạng đặc biệt của nó (hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)

II Tứ giác và các dạng đặc biệt của nó

1 Tứ giác

1.1 Định nghĩa

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng thẳng

Các tứ giác đợc nghiên cứu trong

chơng trình là tứ giác lồi, đó là tứ

giác luôn nằm trong một nửa mặt

phẳng bờ là đờng thẳng bất kì cạnh

nào của tứ giác

1.2 Tổng các góc trong một tứ

giác

Vẽ tứ giác ABCD

Định lí: Tông các góc của một tứ giác bằng 360°

2 Hình thang, hình thang cân.

D

C

B A

D

C

B A

Dựa vào tổng ba góc trong một tam giác

ta tính đợc

^

A +^B+^ C+ ^ D=360 °

1

2.1 Hình thang

a) Định nghĩa: Hình thang là hình có hai cạnh đối song song

Tứ giác ABCD có : AB // CD nên nó là hình thang

B A

b) Nhận xét:

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên

song song thì hai cạnh bên bằng nhau,

hai cạnh đáy bằng nhau

- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy

bằng nhau thì hai cạnh bên song song

và bằng nhau

2.2 Hình thang vuông

Trên hình ta thấy hình thang ABCD có

AB // CD, D  ˆ 90

nên khi đó A  ˆ 90 Ta gọi ABCD là hình thang vuông

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

2.3 Hình thang cân

a) Định nghĩa: Hình thang cân là

hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)

⇔

¿

AB // CD

^

C=^ D , hoac \{ ^ A

¿

{

¿

b) Dấu hiêụ nhận biết

D

C

B A

B A

B A

2

Định lí 3: Trong hình thang có hai đờng chéo bằng nhau là hình thang cân.

Từ đó ta có dấu hiệu nhận biết hình thang cân nh sau:

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

Hình thang có hai đờng chéo bằng nhau là hình thang cân

2.4 Đờng trung bình của tam giác, hình thang

a) Đờng trung bình của tam giác

Định lí 1: Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song

với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

F E

A

Trong Δ ABC có AD = DB, DE // BC ⇔ AE = EC

Định lí 2: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và

bằng nửa cạnh ấy

Trong Δ ABC có AD = DB, AE = EC ⇒DE=1

2BC và DE // BC

b) Định lí đờng trung bình của hình thang

Định lí 3: Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của hình thang và song

song với cạnh đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai

F E

B A

Trong hình thang ABCD có AE = ED, EF // AB, EF // CD ⇒ BF = FC

Định lí 4: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng

nửa tổng hai đáy

3

Trong hình thang ABCD có: EF=1

3 Hình bình hành

a Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

B A

b Tính chất

Định lí: Trong hình bình hành thì:

Các cạnh đối bằng nhau

- Các góc đối bằng nhau

Hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng

c Dấu hiệu nhận biết

1 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

2 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

3 Tứ giác có các cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

4 Tứ giác có hai góc đối song song là hình bình hành

5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng là hình bình hành

4 Hình chữ nhật

a) Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông

b) Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai

đờng chéo cắt nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng

c) Dấu hiệu nhận biết:

1 Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

2 Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

3 Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

4 Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Tứ giác ABCD là hình bình hành

⇔

AB // CD

AD // BC

¿ {

D

C

B A

Ta có: ^A= ^B=^ C=^ D=90 °

4

5 Hình thoi

a) Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

b) Tính chất: Hình thoi có các tính chất của hình bình hành

Định lí: Trong hình thoi có:

Hai đờng chéo vuông góc với nhau

Hai đờng chéo là đờng phân giác của các góc của hình bình hành

c) Dấu hiệu nhận biết

1 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

3 Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc

4 Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc là hình thoi

6 Hình vuông

a) Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng

nhau

Tứ giác ABCD là hình vuông

⇔

^

A=^B=^ C=^ D=90 °

AB=BC=CD=DA

¿ {

b) Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình

thoi

c) Dấu hiệu nhận biết:

1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc với nhau là hình vuông

3 Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc là hình vuông

4 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

5 Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau là hình vuông

C D

ABCD là hình thoi

⇔ AB = BC = CD = DA

5

B – Bài tập : Toán chứng minh và tính toán

I tính toán, Chứng minh hình thang

1.Ph ơng pháp:

1.1 Chứng minh hình thang

a) Chứng minh tứ giác là hình thang:

Để chứng minh một tứ giác là hình thang ta chứng minh nó có hai cạnh đối song song

b) Chứng minh một hình thang là hình thang vuông

Để chứng minh một hình thang là hình thang vuông ta chứng minh nó có một góc bằng 900

c) Chứng minh một hình thang là hình thang cân

Để chứng minh một hình thang là hình thang cân ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

(1) Chứng minh nó có hai góc kề đáy bằng nhau

(2) chứng minh nó có hai đờng chéo bằng nhau

1.2 Tính toán với hình thang

Dựa vào định nghĩa hình thang và các tính chất của hình thang để tính toán theo yêu cầu bài toán

2 Các ví dụ:

VD 1( Bài 9 trang 71 SGK _Toán 8 tập 1):

Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D Chứng minh rằng ABCD là hình thang

*) Tóm tắt

GT Tứ giác ABCD, BC = CD

BD là tia phân giác góc D

KL ABCD là hình thang

D A

Giải:

BCD có BC = CD ⇒ BCD là tam giác cân ⇒ góc C D B = góc CBD

(1)

Theo giả thiết BD là phân giác góc D ⇒ góc CDB = góc CBD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: góc CBD = góc BDA ⇒ BC // AD ⇒ tứ giác ABCD

là hình thang ¿¿

¿

VD2 (Bài 15 trang 75 SGK_ toán 8 tập 1)

6

Cho tam giác ABC cân tại A Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các

điểm D và E sao cho AD = AE

a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng góc A = 500

*)Tóm tắt:

GT ABC, AB = AC

D AB, E AC

AD = AE, góc A = 500

KL a BDEC là hình thang cân

b Tính các góc của hình thang

A

D E

Giải

a) Theo giả thiết ta có: AE = AD ⇒  ADE cân tại A ⇒ góc AED = góc ADE Mà trong  ADE có A +D+E = 1800 Suy ra: A E D = (1800

-E A D ) / 2 (1)

Theo giả thiết: ABC cân tại A ⇒ A C B= A BC mà trong ABC có:

A + B+C=¿ 1800 ⇒ A C B = (1800 - E A D ) / 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A E D = A C B ⇒ DE // CB ( Có cặp góc đồng vị bằng nhau) Suy ra: tứ giác BDEC là hình thang

Mặt khác: hình thang BDEC có E C B=D B C (vì ABC cân tại A ) ⇒ Hình

thang BDEC là hình thang cân (ĐPCM)

b) Trong ABC có: A +B+C=¿ 1800 mà A = 500 ⇒ A C B= A BC =

650 hay E C B=D B C = 650

Vì CE // BD nên C E D+E C B=¿ 1800

E D B+D B C = 1800

Mà E C B=D B C = 650

Suy ra: C E D=E D B = 1150

3 Các bài tập:

- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 16 (trang 75), bài 17 (Trang 75), bài

18 ( Trang 75), bài 19( trang 75)

- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 11( trang 62), bài 14 (trang 62), bài 19 (trang 62)…

II Tính toán, chứng minh hình bình hành và các dạng

đặc biệt của nó:

1 Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình bình hành:

1.1 Phơng pháp:

7

- Để tính toán trong hình bình hành ta phải nắm vững định nghĩa hình bình hành, tính chất của hình bình hành và tính chất của tứ giác

- Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Chứng minh nó có các cạnh đối song song

Chứng minh nó có các cạnh đối bằng nhau

Chứng minh nó có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Chứng minh nó có các góc đối bằng nhau

Chứng minh nó có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng

1.2 Ví Dụ:

Ví Dụ 1 ( bài 48 trang93_SGK_Toán 8_Tập1):

Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC,

CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

*) Tóm tắt:

E AB, AE = EB

F BC, BF = FC

G DC, CG = GD

H AD, DH = HA

KL Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Giải:

Trong ABD có: AE = EB

DH = HA

Suy ra: HE là đờng trung bình của ABD

⇒ HE = BD/2 và HE//BD (1)

Trong BCD có: BF = FC

CG = GD

Suy ra: FG là đờng trung bình của BCD ⇒ FG = BD/2 và FG

//BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: HE = FG và HE//FG ⇒ Tứ giác EFGH là hình bình hành ( Theo cách (3))

Ví Dụ 2 ( Bài 79 trang 68 _ SBT_Toán 8_ Tập 1)

Tính các góc của hình bình hành ABCD, biết:

a A = 1100

b A − B = 200

Giải

a Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

A

B

G H

E

F

110

8

A=C

B=D

Suy ra: C = 1100

B=D = 1800 - 1100 = 700

Vậy trong hình bình hành ABCD có : A=C = 1100 , B=D = 700

b Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

A +B = 1800 mà theo giải thiết có A − B = 200 Suy ra

A = 1000 , B = 800

Suy ra A=C = 1000 , B=D = 800

Vậy trong hình bình hành ABCD có : A=C = 1000 ,

B=D = 800

1.3 Các bài tập:

- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 45 (trang 92), bài 47 (trang 93)

- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 75 (trang 68), bài 76 ( trang 68), bài 83 (trang 69), bài 84 (trang 69)

2 Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

2.1 Phơng pháp:

- Để tính toán trong hình chữ nhật ta phải nắm vững định nghĩa hình chữ nhật, các tính chất của hình chữ nhật, các định lý liên quan đến tính toán…

- Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Chứng minh nó có ba góc vuông

Chứng minh nó là hình thang cân và có 1 góc vuông

Chứng minh nó là hình bình hành và có 1 góc vuông

Chứng minh nó là hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau

2.2 Ví Dụ:

Ví Dụ 1 ( Bài 115 trang 72_SBT_Toán 8_Tập 1)

Cho tam giác ABC cân tại A, các đờng trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

*) Tóm tắt:

GT ABC cân tại A

BM, CN là đờng trung tuyến

BM giao CN tại G

D đối xứng với G qua M

E đối xứng với G qua N

KL Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Giải:

M N

G E

D A

9

D đối xứng với G qua M ⇒ GD = 2GM

G là trọng tâm của ABC ⇒ BG = 2 GM

Suy ra BG = GD

Chứng minh tơng tự ta có: CG = GE

Tứ giác BEDC có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng nên là hình bình hành (1)

Mặt khác : trung tuyến CN và BM là hai trung tuyến xuất phát từ hai đáy bằng nhau của tam giác cân nên CN = BM suy ra CG = GB ⇒ EC = BD (2)

Từ (1) và (2) Suy ra : tứ giác BEDC là hình chữ nhật ( Theo cách (4)) ĐPCM

Ví Dụ 2 ( Bài 116 trang 72_SBT_Toán 8_Tập 1)

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến BD Biết

HD = 2 cm, HB = 6 cm Tính các độ dài AD, AB ( làm tròn đến hàng đơn vị)

*) Tóm tắt:

GT ABCD là hình chữ nhật

HD = 2 cm, HB = 6 cm

KL AD =? , AB = ?

( làm tròn đến hàng đơn vị)

Giải

Kẻ đờng chéo AC cắt BD tại O

Ta có: AC = BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 (cm)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên : OA = OB = OC = OD = AC/2 = 4 (cm)

Ta có OH = OD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Vì AH BD và OH = DH = 2 cm ⇒ Tam giác AOD cân tại A

⇒ OA = AD = 4(cm)

áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABD ta có:

BD2 = AB2 + AD2 ⇒ AB2 = BD2- AD2 = 82 – 42 = 48 ⇒ AB = √48

7 (cm)

Vậy AD = 4 cm, AB 7 cm

2.3 Các bài tập :

- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 61 (trang 99), bài 64 (trang 100), bài

65 (trang 100), bài 76 (trang 106)

- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 114 (trang 72)

3 Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình thoi

O

H

1

3.1 Phơng pháp:

- Để chứng minh một tứ giác là hình thoi ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Chứng minh nó có 4 cạnh bằng nhau

Chứng minh nó là hình bình hành và có hai cạnh kề bằng nhau

Chứng minh nó là hình bình hành và có hai đờng chéo vuông góc với nhau Chứng minh nó là hình bình hành và có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc

3.2 Ví Dụ:

Ví Dụ 1 ( bài 75 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các

đỉnh của một hình thoi

GT ABCD là hình chữ nhật

E AB, AE = EB

F BC, BF = FC

G DC, CG = GD

H AD, DH = HA

KL EFGH là hình thoi

Giải:

Theo giả thiết có: AE = EB

DH = HA

Suy ra: EH là đờng trung bình của tam giác

ABD ⇒ EH = BD/2 và EH//BD (1)

Chứng minh tơng tự có: FG = BD/2 và FG//BD (2)

Từ (1), (2) Suy ra: EH = FG và EH // FG (*)

Theo giả thiết có: AE = EB

BF = FC

Suy ra: EF là đờng trung bình của tam giác ABC ⇒

EF = AC/2 và EF //AC (3)

Chứng minh tơng tự có: HG = AC/2 và HG // AC (4)

Từ (3) và (4) Suy ra: EF = HG và EF//HG (**)

Từ (*) và (**) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( theo cách (1) hoặc (2) hoặc (3) chứng minh hình bình hành)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên có: AC = BD (5)

Từ (1), (3), (5) suy ra: EH = EF mà EH và EF là hai cạnh kề của hình bình hành EFGH nên theo cách chứng minh (2) suy ra: EFGH là hình thoi

Ví Dụ 2 ( bài 74 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)

C D

E H

G

F

1

Hai đờng chéo của một hình thoi bằng 8 cm và 10cm Cạnh của hình thoi bằng

giá trị nào trong các giá trị sau:

(A) 6cm (B) √41 cm (C) √164 cm (D) 9cm

Giải

Vì đờng chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đ-ờng nên OA = AC / 2 = 10 / 2 = 5cm

OD = BD /2 = 8/ 2 = 4cm

áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AOD có:

AD2 = AO2 + OD2 = 52 +42 = 41 ⇒ AD = √41 cm

Vậy đáp án (B) là đáp án đúng

3.3 Các bài tập

- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 77 (trang 106)

- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 135 (trang 74), bài 136 (trang 74), 137

(trang 74), bài 138( trang 74), bài 140 (trang 74), bài 142 (trang 75)

4 Tính toán, chứng minh một tứ giác là hình vuông

4.1 Phơng pháp

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông ta có thể sử dụng một trong các

cách sau:

Chứng minh nó là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau

Chứng minh nó là hình chữ nhật và có hai đờng chéo vuông góc với nhau

Chứng minh nó là hình chữ nhật và có một đờng chéo là đờng phân giác của

một góc

Chứng minh nó là hình thoi và có một góc vuông

Chứng minh nó là hình thoi và có hai đờng chéo bằng nhau

4.2 Ví Dụ:

Ví Dụ 1 ( bài 144 trang 75_SBT_Toán 8_Tập1)

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đờng phân giác AD Gọi M, N theo thứ

tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh rằng tứ giác

AMDN là hình vuông

*) Tóm tắt:

GT ABC, B A C = 900

AD là phân giác trong

DN AC, DM AB

KL Tứ giác AMDN là hình vuông

Giải

Tứ giác AMDN có: B A C = 900

D M A = 900

O 8 10 A

C

B

D N M

1

D N A = 900

Suy ra: AMDN là hình chữ nhật ( theo cách (1) chứng minh hình chữ nhật)

Hình chữ nhật AMDN có đờng chéo AD đồng thời là đờng phân giác Suy ra AMDN là hình vuông ( theo cách (3)) ĐPCM

Ví Dụ 2 ( bài 79 trang 108_SGK_Toán 8_Tập1)

Một hình vuông có cạnh bằng 3cm Đờng chéo của hình vuông đó bằng:

6cm, √18 cm, 5cm hay 4cm?

Giải

áp đụng định lí Pitago cho tam giác vuông ta có: đờng chéo bình phơng bằng tổng bình phơng hai cạnh góc vuông ⇒ áp dụng vào đây có 32 + 32 = 18

⇒ đờng chéo hình vuông đã cho là √18 cm

4.3 Các bài tập

- Bài tập trong SGK_Toán 8_Tập 1: bài 82 (trang 108) , bài 84 ( trang 109), bài 85 (trang 109), bài 86 (trang 109)

- Bài tập trong SBT_Toán 8_Tập 1: bài 145 (trang 75), bài 146 (trang 75), 147 (trang 75), bài 148( trang 75), bài 150 (trang 75), bài 152 (trang 76)

III Những bài toán tính toán, chứng minh hỗn hợp các dạng đặc biệt của tứ giác:

Dạng toán tính toán:

Cách làm:

+ áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 ° , tổng các góc

trong một tứ giác bằng 360 °

+ Dựa vào định lí pitago trong tam giác vuông để tính các cạnh, các góc

Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo vuông góc, AB = 8cm, BC =

7cm, AD = 4cm Tính độ dài CD

Gt Cho ABCD, AB = 8cm

BC = 7cm, AD = 4cm

Kl CD = ?

Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có:

OC 2 +OD 2 +OB 2 +OA 2 =BC 2 +AD 2

¿72+42=65

1