Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối... Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây và năm 2020 gọi là kì

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ…… ……….…

II NỘI DUNG ……….……….

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …….…………

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ………

3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………

3.1 Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số………

3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối

3.3 Các dạng bài toán ………

Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho hàm số y f x ………

Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của f x  ……

Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho đồ thị ………

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ………

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ………

Tài liệu tham khảo ………

1 1 1

5 5

5

5 6

6

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Mỗi giáo viên dạy toán ở trường THPT luôn trăn trở, suy nghĩ tìm mọi biện pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh những kiến thức cơ bản cốt lõi nhất để giúp

15

31 30 30 22

các em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ năng và làm bài thi một cách trôi chảy, giúp

học sinh luyện thi vào các trường Đại học có kết quả tốt nhất

Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây và năm 2020 gọi là kì thi Tốt nghiệp THPT, bài toán tìm cực trị của hàm số là một dạng bài toán thường gặp trong các đề thi THPT quốc gia môn Toán với các mức độ từ dễ đến khó, trong

đó bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện trongcác đề thi tương đối khó Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất, phân loại các bài toán cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trongquá trình giải bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, biết khai thác các giả thiết của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy, biết phân loại theo các dạng toán để tìm phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán

Với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học

ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài toán về cực trị của hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trôi chảy, có đáp án chính xác và nhanh thông qua việc biết phân loại bài toán và tìm phương pháp giải, tôi đã chọn đề tài

"

Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối"

Trong đề tài này tôi không có tham vọng nêu ra phương pháp để giải được tất

cả các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chỉ mạnh dạn nêulên một số phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy và ônthi cho học sinh Coi đó là kinh nghiệm qua một số ví dụ minh hoạ, với mongmuốn góp phần tạo ra và phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu quả caohơn qua các bài giảng

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

1.1 Cực trị của hàm số

a Định nghĩa

Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (có thể a là   ; b là

) và điểm x0( ; )a b

+) Nếu tồn tại số h  sao cho 0 f x   f x 0 với mọi x(x0  h x; 0 h) và x x 0

thì ta nói hàm số y f x( ) đạt cực đại tại x0.

+) Nếu tồn tại số h  sao cho 0 f x   f x 0 với mọi x(x0  h x; 0 h) và x x 0

thì ta nói hàm số y f x( ) đạt cực tiểu tại x0.

* Chú ý

+) Nếu hàm sốyf x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f x( )0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

của hàm số, kí hiệu là fCÐ(f CT), còn điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

+) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực

đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của

+) Nếu f x  trên khoảng '  0 (x0  h x; )0 và '( ) 0f x  trên ( ;x x0 0h) thì x0 là

một điểm cực đại của hàm số y f x( )

+) Nếu f x   trên khoảng 0 (x0  h x; )0 và f x( ) 0 trên ( ;x x0 0h) thì x0 là

một điểm cực tiểu của hàm số y f x( )

Minh họa bằng bảng biến thiến

nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0.

* Định lí 3: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

K  x  h x h với h  Khi đó:0

+) Nếu f x 0 0, f x0  thì 0 x0 là điểm cực tiểu.

+) Nếu f x 0 0, f x0  thì 0 x0 là điểm cực đại.

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

1.3 Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách vẽ đồ thị của các hàm số đó

+> Gọi  C là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của 1  C

+> Gọi C là phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía dưới trục hoành của 2  C qua trục Ox

+> Vậy đồ thị hàm số y  f x  gồm  C và 1 C2

Nhận xét: Đồ thị hàm số y  f x  luôn nằm trên trục hoành

+> Gọi  C là phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của 1  C

+> Gọi C là phần đồ thị đối xứng với 2  C qua trục Oy 1

+> Từ đồ thị  C của hàm số 1 yf x  h x  ta suy ra đồ thị C của hàm số2

y h x  f x

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Với xu thế giáo dục phát triển năng lực học sinh một cách toàn diện, và đổimới thi cử, đánh giá của ngành giáo dục, đặc biệt là việc thi và đánh giá năng lựchọc sinh bằng phương pháp thi trắc nghiệm Yêu cầu số lượng câu hỏi lớn, nộidung thi phủ rộng cả chương trình học Vì vậy việc làm phong phú hệ thống câuhỏi và bài tập là điều hết sức cần thiết Với bài toán tìm cực trị của hàm số khi xuấthiện trong các đề thi ở mức độ 1 và mức độ 2 học sinh thường đi theo các bước củaquy tắc tìm cực trị của hàm số, nhưng với những bài toán tìm cực trị của hàm số ởmức độ khó hơn nếu chỉ áp dụng quy tắc tìm cực trị thì học sinh thường lúng túng,cách giải quyết vấn đề dài dòng, mất thời gian Trong nhiều trường hợp bài làm sẽrơi vào bế tắc không giải được Đặc biệt các bài toán tìm cực trị của hàm số chứadấu giá trị tuyệt đối và điều đó càng bất lợi khi các bài kiểm tra thi cử dưới dạngtrắc nghiệm: số lượng câu hỏi nhiều, thời gian làm bài bị rút ngắn lại

Chính vì lẽ đó tôi đã tìm tòi nghiên cứu để phân loại các bài toán tìm cực trịcủa hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và áp dụng các phương pháp đó vào giảngdạy ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay và bồi dưỡng họcsinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh Dưới đây là một sốphương pháp cụ thể

3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

3.1 Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số

+> Số điểm cực trị của hàm đa thức yf x  bằng tổng số nghiệm đơn và

số nghiệm bội lẻ của phương trình f x  0

+> Số điểm cực trị của hàm số yf x  bằng 2 lần số điểm cực trị dươngcủa hàm số yf x  cộng với 1

+> Số điểm cực trị của hàm số y  f x  bằng tổng số điểm cực trị của hàm

số y f x  với số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình f x    0

3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số yf u x   

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số u u x   và y f x 

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x với u x 

Bài toán 1.1: Sử dụng các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị.

+> Giải phương trình f x  0 Xét xem các nghiệm x i i  1,2, ,n của phương trình là nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn.

+> Sử dụng các tính chất ở mục 3.1 để kết luận

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  có f x   x 1 2 x1 x 23 Số điểm cực trịcủa hàm số yf x  là

Lời giải Chọn B

+> x  là nghiệm bội 2 nên 1 f x  không đổi dấu khi qua x 1

+> x  là nghiệm đơn và 1 x  là nghiệm bội 3 2  f x  đổi dấu khi qua 2 điểm x1;x2 nên hàm số y f x  có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực trị dương

Do f x  f x  khi x  và hàm 0 yf x là hàm chẵn nên hàm số y f x 

có 3 điểm cực trị

Ví dụ 2 Cho hàm số y f x  có f x  x x3  4 x1 4 x 33 Số điểm cựctrị của hàm số yf x  là.

A 4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn D

Ta có

 

01

33

x x

f x

x x

Lời giải Chọn B

Mà f x  f x  nếu x  và 0 yf x  là hàm số chẵn nên hàm số yf x 

có 1 điểm cực trị x  0

Ví dụ 4 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  x3 3x 4x2  1 x21

.Hàm số y  f x  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

Bảng biến thiên của hàm số y f x 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm sốy f x  có 5 điểm cực trị và phương trình

  0

f x  có tối đa 6 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số y f x  có tối đa 5 6 11  điểm cực trị

A. 6 B 7 C. 8 D. 9

Lời giải Chọn C

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm số yf x  nên hàm số

Do x  là nghiệm bội 2 và 3 x  là nghiệm đơn âm nên hàm số 2 yf x( ) có 2

điểm cực trị dương khi phương trình mx2  2m 1x 5 0có hai nghiệm dương phân biệt

m m

Ví dụ 6 Cho hàm số y f x liên tục trên  , biết f x  x x  3 x12 và

Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số y f x  có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm

số y f x  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Khi đó ta có

0

603

020

m

m m

Bài toán 1.2: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên kết hợp với các tính

chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số yf u x   

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số u u x   và yf x 

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x với u x và   u

với f u 

Trong đó:

+> a1, a2, …, a n1, a n a1 a2  a n1a n là các điểm biên của tập xác định

D, là các điểm cực trị của hàm số u u x   (Nếu uu x  thì còn có thêm nghiệm của phương trình u x  , hay   0 u u x  thì còn có thêm số 0)

+> Ở dòng thứ 2 ta điền các giá trị u i u a i ,i1,n

Trên mỗi khoảng u u i; i1

hoặc u i1;u iđiền các số b1, b2, …, b k , trong đó b1, b2, …, b k là các điểm mà tại

đó f x  , f x  không xác định; là các điểm cực trị của hàm số yf x  Có thể dùng mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của hàm số u u x  

+> Ở dòng 3 xét chiều biến thiên của hàm số g f u x    dựa vào bảng biến thiên yf x  bằng cách hoán đổi u đóng vai trò của x và f u  đóng vai trò

của f x 

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g f u x    để kết luận (Kết hợp với các tính chất 3.1 để có kết luận thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra)

Ví dụ 7 Cho hàm số y f x  có f x  x21 x x   3 x 23 Số điểm cựctiểu của hàm số yf x  là

A 4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn B.

Đặt u x  x

Bảng biến thiên của hàm số y u x  

Ta có:

01

23

x x

x x

Bảng biến thiên của hàm số yf x 

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x  thì hàm số y f x  có 3 điểm cực tiểu

Ví dụ 8 Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  , có f x'  x2  1

Hàm số y f x 2  2

có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Lời giải Chọn D.

Đặt u x  x2 2

Bảng biến thiên của hàm số y u x  

Bảng biến thiên của hàm số y f x 

Bảng biến thiên của hàm số yf x 2  2

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x 2 2

thì hàm số yf x 2  2

có 4 điểm cực tiểu

Ví dụ 9 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có

Bảng biến thiên của hàm số y u x  

Bảng biến thiên của hàm số y f x 

Bảng biến thiên của yf x 3 2x2 5x 3

Dựa vào bảng biến thiên của yf x 3 2x25x 3

Đồ thị hàm số y g x   f x  2019 2020 có được từ đồ thị hàm số yf x 

bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số yf x 

sang phải 2019 đơn vị và lên trên

2020 đơn vị Suy ra bảng biến thiên của hàm số y g x  .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y g x   f x  20192020 suy ra hàm số

Mà  x4 2x2  2 x2  12  11,   nên dựa vào bảng xét dấu của x f x 

biến thiên của hàm số y h x   suy ra hàm số y h x   có 3 điểm cực trị

Ta có (0) 15 ( 2) 0h  f   nên phương trình h x   0 có hai nghiệm đơn và 1nghiệm bội chẵn Vậy y g x ( )h x  có 5 cực trị

Ví dụ 3 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu hàm số

biến thiên của hàm số yf x 

Bảng biến thiên của hàm số y f x 2  4x3

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x 2  4x3

Bảng biến thiên của hàm số y u x  

Bảng biến thiên của hàm số yf x 22x 3 2 

Dựa vào bảng biến thiên của yf x 22x 3 2 

lên trên 2021 đơn vị thì số điểm cực trị

không thay đổi)

Ví dụ 5 Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  và có bảng xét dấu của

 

f x

như sau:

Xét hàm số g x  e2f x  x 1 1 2f x  x 1 Gọi S là tập hợp các điểm cực trị của

hàm số y g  2 x

Tổng giá trị tất cả các phần tử của S là

Lời giải Chọn A

2

2 2

12

Bảng biến thiên của hàm số y g x  

Bảng biến thiên của hàm số u x   2 x

Bản

g biến thiên ta thấy hàm số y g  2 x

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y g  2 x có 5 điểm cực trị

Hàm số đạt cực trị tại các điểm tương ứng với

Suy ra S 0;1;2;3;4 Vậy tổng các phần tử của S bằng 10

Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho đồ thị

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  là một hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số yf x 2  2 x

là

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị của hàm số y f x  ta có bảng biến thiên

Đặt u x  x2  2 x

Ta có:

2 2

Bảng biến thiên của hàm số y u x  

Bảng biến thiên của hàm số yf x 2  2 x

Vậy hàm số yf x 2  2 x

có 7 điểm cực trị

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x  Hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Do đó  *

012

x x x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số yg x 

có 3 điểm cực trị và phương trình g x   0 có tối đa bốn nghiệm Vậy hàm số

 

y g x có tối đa 3 4 7  điểm cực trị

Ví dụ 3 Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ

Bảng biến thiên của hàm số y f  x2  4x6 1 

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f  x2  4x6 1 

suy ra hàm số

y  f x  x 

có tối đa 5 điểm cực đại

Ví dụ 4 Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị như hình bên

Số điểm cực trị của hàm số y f  x2 2x  1

là

A 19 B 10 C 20 D 9

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị của hàm số y f x  ta có bảng biến thiên

Bảng biến thiên của hàm số y f  x2 2 x  1

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f  x2 2x  1

Bảng biến thiên của hàm số yf f x   2021

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay

và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh, tôi

đã tích lũy được một số kinh nghiệm rèn luyện cho học sinh biết sử dụng các dấuhiệu giải toán về cực trị của hàm số; biết ghép bảng biến thiên để giải các bài toán

về hàm hợp, đặc biệt tôi đã áp dụng cụ thể trong bài toán tìm cực trị của hàm sốhợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cụ thể trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụngphương pháp này ở lớp 12C1, tôi thấy các em học sinh tiếp thu bài tốt hơn, nắmbắt vấn đề nhanh hơn và đi đến kết quả chính xác hơn Kết quả thi THPT QG trongnăm học 2018 – 2019 điểm trung bình môn Toán lớp 12C1 là 8,17 điểm, có nhiều

em đạt điểm từ 9 trở lên, có em đạt điểm 9,8 Phương pháp này còn kích thích khảnăng tư duy, tìm tòi sáng tạo của học sinh sao cho đạt kết quả nhanh nhất

Đây thực sự là một tài liệu hữu ích đã được tôi kiểm chứng thực tế và chokết quả tốt

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trong đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến một số phương pháp giải nhanh trongbài toán tìm cực trị mà tôi và các đồng nghiệp đã vận dụng Tuy nhiên trong quátrình giải các bài toán tìm cực trị nói riêng và các bài toán về hàm số nói chung,không có một phương pháp nào là duy nhất và tuyệt đối Mà nó cần sự bổ trợ củanhiều phương pháp, nhiều cách giải và sự vận dụng một cách nhuần nhuyễn, khéo