Bài này có một nửa dễ một nũa khó. Tính thể tích thì dễ nhưng tính khoảng cách thì hơi khó. Có 2 lựa chọn phương pháp giải cho bài toán này : Phương pháp tọa độ và phương pháp dùng hình[r]
Trang 1Tặng các em học sinh lớp 11B1
Câu 1: Cho hàm số y x 4 2(m1)x2 m2(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
1 Với m = 0 ta có hàm số : y x 4 2x2
Phần này nếu các em đủ liều để thi đại học thì tự giải nhé
2 Câu hỏi phụ này dễ
Đây là hình cho cả 2 trường hợp (a>0 và a<0), dĩ nhiên bài này chỉ cần dùng hình thứ nhất
Giải này:
+) TXĐ: D = R
+) y 4x3 4(m1)x4 (x x2 m1)
+) Cho
2
2
0
0 4 ( 1) 0
1
x
+) Trước hết để hàm số có 3 cực thì m 1 (*)
+) Gọi A là điểm cực đại và B,C là hai điểm cực tiểu Khi đó ta dễ dàng tính được
A m B m m m C m m m
Trang 2 1; 2 2 1 1; 2 2 1
+) Do ABC cân tại A nên muốn nó vuông thì phải vuông tại A, suy ra AB AC . 0
(m 1) m 1 0 m m( 1)(m 3m 3) 0 m 1;m 0
+) Kết hợp với (*) ta được m 0
Câu 2: Giải phương trình 3 sin 2xcos 2x2cosx1
Bài này cũng quá dễ, xem nhé :
3 sin 2xcos 2x2cosx1 3 sin 2xcos 2x 1 2cosx0
2
2 3 sin cosx x 2cos x 2cosx 0 2cos ( 3 sinx x cosx 1) 0
cos 0 cos 0
1 sin( )
3 sin cos 1
6 2
x x
x
2
3
k l Z
Câu 3: Giải hệ
1 2
Bài này hơi khó một chút, có tới 2 cách để giải bài toán này:
Cách 1: Hơi dài em cố gắng theo dõi nhé
+) Trước hết biến đổi hệ như sau
2
1
2
1
2
(Khó không? Mục tiêu của việc biến đổi là làm suất hiện hai đại lượng x y và xy )
Bây giờ ta đặt
x y S
xy P
điều kiện S24P (*) Khi đó hệ trở thành
( 3 ) 3( 2 ) 9 22 0 3 9 22 3 ( 2) 0
( 2)( 11) 3 ( 2) 0 ( 2)( 11 3 ) 0
Trang 3Thay pt dưới vào pt trên hệ trở thành
2
21 ( 2)( 2) 0 (1)
1 (2) 2
2
(Phù… Ngon roài nhá)
Tiếp nè: Từ (1) suy ra S = 2 hoặc P=21/2 Bây giờ ta xét 2 trường hợp
TH1: Nếu S 2thay vào (2) ta được
3 4
P
thõa mãn (*)
Khi đó ta có hệ
2 3 4
x y xy
( Chỗ này giải lấy thôi nhờ) có hai nghiệm là
3 1
;
2 2
và
1 3
;
2 2
TH2: Nếu
21 2
P
thay vào (2) ta được PT:
0 2
S S
( May quá pt này vô nghiệm) Nhớ, đừng quên ghi đáp số của bài toán nhé
Cách 2: Ngắn hơn nhưng không phải ai cũng hiểu được Cách này ta dùng phương pháp hàm số
Vấn đề là biến đổi như thế nào để có hàm số, em xem nhé(tất nhiên cách này không dùng cho học sinh chưa học lớp 12)
Thầy biến đổi hệ như sau
1 2
( 3 3 1) (12 12) ( 3 3 1) (12 12)
1
(1)
Từ (2) ta suy ra
Bây giờ ta xét hàm f t( ) t3 12t trên tập
3 3
;
2 2
D
Ta có f t( ) 3 t212 0 t2 cả hai nghiệm này đều không nằm trong đoạn
3 3
;
2 2
mà
nằm ở hai bên, tức là trên đoạn
3 3
;
2 2
đạo hàm mang dấu âm Cho nên hàm số nghịch biến
Mà em dễ thấy Vế trái của (1) chính là f x ( 1) còn Vế phải chính là f y ( 1) Do đó (1)
Trang 4đúng khi và chỉ khi x1 y 1 y x 2 (3)
Thay (3) vào (2) ta có
2
Còn lại em hỉu rồi chứ?
Câu 4: Tính tích phân
3
2 1
1 ln x 1
x
Bài này rễ thôi nhưng vì các em chưa học đến nên thầy không rải
Câu5: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của S lên (ABC) là
điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB Góc giữa SC và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a
Bài này có một nửa dễ một nũa khó Tính thể tích thì dễ nhưng tính khoảng cách thì hơi khó
Có 2 lựa chọn phương pháp giải cho bài toán này : Phương pháp tọa độ và phương pháp dùng hình không gian lớp 11 Ta sẽ đi nghiên cứu cả 2 phương pháp nhé
Cách 1: Phương pháp tọa độ
Để giải bằng phương pháp này tất nhiên ta phải chọn một hệ tọa độ không gian Oxyz rồi Trong hình chưa có sẵn vì vậy ta phải vẽ thêm hình để tọa ra hệ tọa độ
+) Việc tính thể tích không cần dùng phương pháp tọa độ Tính như sau:
Tính CH bằng định lý côsin :
2
2 cos
CH BH BC BH BC B CH
Tính SH bằng hệ thức trong tam giác vuông :
.tan 60
3
a
Tính thể tích của khối chóp S.ABC bằng công thức :
.
S ABC
+) Việc tính khoảng cách giữa SA và BC ta sẽ dùng phương pháp tọa độ như sau:
Trang 5Sau khi chọn hệ trục tọa độ (hình vẽ) thì ta có:
(0;0;0)
21 (0;0; )
3
a S
,
2 ( ;0;0) 3
a
A
( ;0;0)
3
a
B
a
HI
và
3 2
a
IC
nên
3 ( ; ;0)
6 2
a a
C
Suy ra :
;0;
SA
,
3
; ;0
2 2
a a
BC
và , 23 7; 21; 2 3
6
a
SA BC
Gọi
là mặt phẳng chứa SA và song song với BC, lúc đó
đi qua
2 ( ;0;0) 3
a
A
và nhận véc tơ n 3 7; 21 2 3
làm VTPT Do vậy nó có dạng : 3 7x 21y 2 3z2a 7 0
Khoảng cách giữa SA và BC bằng khoảng cách từ B đến
và bằng
7 2 7 42
8
63 21 12
Cách 2: Dùng hình học lớp 11 để tính khoảng cách giữa SA và BC
+) Việc tính thể tích của khối chóp S.ABC được thực hiện như cách 1
Tính CH bằng định lý côsin :
2
2 cos
Tính SH bằng hệ thức trong tam giác vuông :
.tan 60
3
a
Tính thể tích của khối chóp S.ABC bằng công thức :
.
S ABC
+) Tính khoảng cách giữa SA và BC
Quan sát hình vẽ ta thấy khoảng cách giữa SA và BC chính là SM Em có hiểu được không?Nếu không hiểu để thầy giải thích nhé:
SA (đơn giản, em thừa sức để làm việc đó)
hay cũng chính là khoảng cách từ S đến mp(BCD) Như vậy mục tiêu bây giờ là dựng và tính được khoảng cách từ S đến mp(BCD)
vì BC vuông góc với (SHK)
trước khi dựng hình chiếu này thì ta đi tìm giao tuyến của 2 mp Rất dễ dàng ta thấy giao tuyến chính là EK
nhé, bây giờ ta tính SM là Oke.
Trang 6Để tính được SM ta dùng tam giác đồng dạng thôi nhẩy, quan sát hình là em biết thầy muốn nói gì rồi: MSE đồng dạng với HKE suy ra
MS
Như vậy ta cần phải tính HK,SE và KE
Trước khi tính em cần phải nhớ mình đã có những gì rồi, em hay quên điều này lắm đấy? ta đã
có cái này đây em này:
21 3
a
SH
và
3 2
a
AI
Biết AI tính ngay được HK thôi nhẩy:
HK
Để tính KE thì ta tính HE trước nhẩy:
và
Thay vào thôi:
3 21
8 6
3
MS
, Như vậy thôi em nhẩy
Còn một cách nữa đó là kẻ AD song song với BC em thử xem nhé.
Câu 6: Cho các số thực x,y,z thõa mãn điều kiện x y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Bài này khó nhất, kinh nghiệm cho thấy loại này nên dùng phương pháp hàm số Vấn đề tìm
ra hàm số nào để xét thì quả là khó với em đấy Luyện tập nhiều hơn nữa khi đó em sẽ có chút kinh nghiệm
Trang 7Thầy sẽ xét hàm số sau: f t( ) 3 t t 1 trên tập D 0;
Ta có ( ) 3 ln 3 1 ,t 0;
f t t
cho nên hàm số trên đồng biến Suy ra f t( )f(0) 3t t 1 0 3t t 1
Với t x y thì 3 1
Với t y z thì 3 1
Với t z x thì 3 1
z x
z x
Bây giờ ta xét lượng x y y z z x
Ta có: x y y z z x 2
Sử dụng bất đẳng thức a b a b , dấu “=” xảy ra khi a,b cùng dấu
Ta có: x y y z z x 2
x y2 y z2 z x2 x y2 y z2 z x2
4x 4y 4z 4 xy yz zx
Nên nhớ từ giả thiết x y z 0 ta suy ra x2y2z22xy yz zx 0
cho nên
x y y z z x 2 6x26y26z2
hay
x y y z z x x y z
Kết nối các vấn đề lại với nhau ta có 3x y 3y z 3z x 6x26y26z2 3
Hay P3x y 3y z 3z x 6x26y26z2 3
Vậy P min 3khi x=y=z=0
Câu 7a: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm
của BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND Giả sử
11 1
;
2 2
M
và đường thẳng AN có phương trình 2x y 3 0 Tìm tọa độ đỉnh A
Trang 8Quan sát hình em thấy thầy muốn làm gì rồi nhá Bây giờ thầy sẽ chứng minh góc M 2 450 Quá ngạc nhiên phải không? Chứng minh này:
Dễ này:tan 1 2
AB M
MB
Khó hơn tí: tan 3 tan 1 3
AD
ND
( Tại sao? Em hỉu không?) Khó hơn tí nữa này:
1 tan tan 1 2.3
0
2 45
M
Hay chưa? Không ngờ tới phải không? Bây giờ ta tìm tọa độ đỉnh A nhá, à mà quên tìm H trước chứ nhẩy:
PT của đường MH là:
13
2
x y
Tọa độ của H là nghiệm của hệ:
5
; 2
2
x y
H
Gọi A a a ; 2 3
Do tam giác HAM vuông cân tại H nên
2
HA HM a a a a a a
Vậy tọa độ của A là A(1;-1) hoặc A(4;5)
Câu 8a: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng
:
và điểm (0;0;3)
I Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt d tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam
giác IAB vuông tại I
Trang 9Muốn viết được phương trình mc(S) thì ta cần tìm bán kính thôi nhẩy? có nghĩa là tìm IA đấy em
Với giả thiết của bài toán chắc ko quá khó để em thấy rằng IA IH 2 Vậy thì tìm được IH
là sẽ có IA thôi
Có tới 2 cách tìm IH kia đấy nhá
Cách 1: Nhanh hơn nhưng phải biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
Giải thích về công thức nhé:
Diện tích tam giác AMN được tính bằng 2 cách sau: 1 ,
2
dt AMN u MA
và
2
dt AMN AH u
nên suy ra
,
u MA AH
u
Bây giờ áp dụng để tính này:
Đường thẳng
:
đi qua điểm M 1;0;2 và có VTCP u 1; 2;1
Trang 10Ta có: MI 1;0;1 và u MI, 2;0; 2
3
1 4 1
u MI
IH
u
Xong roài nhé
2 6 3
IA
Vậy mc(S): 2 2 32 8
3
x y z
Cách 2: dài hơn vì phải tìm tọa độ điểm H rồi tính đoạn IH
Cách này em thường mắc sai lầm do em hiểu điểm H là giao điểm của đường IH với đường
AB (đường thẳng d) Như vậy là sai đấy em, quan điểm đúng : Điểm H là giao điểm của mp đi qua I vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng d.( nhìn hình cái cho dẽ hiểu)
Giải này:
Gọi
là mp đi qua I và vuông góc với đường thẳng d Khi đó
có dạng x2y z 3 0
Tọa độ của H là nghiệm của hệ
giải ntn là tùy ở em nhé
2 2 7
; ;
3 3 3
H
Suy ra
4 4 4 2 3
9 9 9 3
Tiếp theo em tự làm nhé
Câu 9a: Cho n là số nguyên dương thõa mãn 5C n n1 C n3
Tìm số hạng chứa x5 trong khai
triển
2 1
14
n
nx
x
Bài này dễ quá em ạ Có nhiều bạn nói với thầy nếu đi thi gặp phần này là sẽ bỏ luôn bởi vì theo bạn ấy phần này là phần khó Em ạ phần nào chả khó, phần nào cũng khó hết thầy còn thấy khó huống hồ chi em… Khó thì ta sẽ học những cái dễ thôi, chẳng có giáo viên nào khi dạy phần nhị thức Niuton lại không dạy cách làm dạng toán này cả.
Cách làm của dạng này như sau:
- Đầu tiên em chỉ cần nhớ công thức tổ hợp
!
k n
n C
k n k
rồi áp dụng vào giả thiết
5 n
C C
để tìm n.
- Sau đó thay n vào khai triển
2 1 14
n
nx x
để tìm số hạng chứa x5 Việc làm này thì em phải dựa vào thằng số hạng tổng quát rồi, mà em có nhớ công thức tính số hạng tổng
Trang 11quát không đấy: 1
T C a b
Thầy giải nhé:
Với n Z ta có :
6
n
Ta lấy n 7vì n Z
Khai triển lúc này có dạng
7
2 1 2
x x
nó có số hạng tổng quát
7 2
14 3 7
1
k
C x
x
Muốn số hạng tổng quát là số hạng có chứa x5 thì : 14 3 k 5 k 3
Vậy số hạng chứa x5 là
3
35
C
Còn phần nâng cao nữa thầy không làm kịp, các em tự nghiên cứu nhé