Các nhóm cấp pq, với p,q là hai số nguyên tố

MỞ ĐẦU Bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn là xác định tất cả các nhóm không đẳng cấu với nhau có cấp là n, với n là một số nguyên dương cho trước, đã được A.. Với hai nhóm P và ? cho t

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CÁC NHÓM CẤP pq, VỚI p, q LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ

Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Sinh viên thực hiện : LƯU THỊ SƯƠNG

Lớp : 16ST

Đà Nẵng- 2020

MỞ ĐẦU

Bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn là xác định tất cả các nhóm không đẳng cấu với nhau có cấp là n, với n là một số nguyên dương cho trước, đã được A Caley đặt ra vào năm 1878 và cho đến nay vẫn chưa có lời giải đầy đủ

Với hai nhóm P và 𝑄 cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng một nhóm thứ

ba, chẳng hạn bằng cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện của hai nhóm đó,… Mỗi cách như vậy đều có những ứng dụng hữu ích trong lý thuyết nhóm, đặc biệt là đối với bài toán phân loại nhóm hữu hạn

Mục đích của bài khóa luận này là vận dụng tích nửa trực tiếp của hai nhóm để phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận được chia thành 2 chương

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm, nhằm làm cơ

sở cho chương sau

Chương 2 CÁC NHÓM CÓ CẤP 𝒑𝒒 VỚI 𝒑, 𝒒 LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ

Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, phân loại đẳng cấu các

nhóm có cấp 𝑝𝑞 với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm, nhằm làm cơ

sở cho chương sau Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [2], [3]

1.1 Một số khái niệm và kết quả của cấu trúc nhóm

1.1.1 Định nghĩa [1] Một nhóm 𝐺 được gọi là nhóm cyclic nếu nó chứa một phần

tử 𝑎 sao cho mọi phần tử của 𝐺 đều bằng một lũy thừa nguyên nào đó của 𝑎 Phần

tử 𝑎 có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh của nhóm cyclic 𝐺

1.1.2 Mệnh đề [3]

(i) Mọi nhóm cyclic đều là nhóm giao hoán

(ii) Với mỗi số nguyên dương 𝑛 thì có duy nhất một nhóm cyclic cấp n

(iii) Hai nhóm cyclic có cùng bậc thì đẳng cấu với nhau

1.1.3 Mệnh đề [3] Giả sử 𝐺 là một nhóm cyclic hữu hạn và 𝑚 là một ước nguyên dương của |𝐺| Khi đó tồn tại duy nhất một nhóm con 𝐻 của 𝐺 sao cho |𝐻| = 𝑚

1.1.4 Mệnh đề [2] Cho 𝐶𝑛 và 𝐶𝑚 lần lượt là hai nhóm cyclic cấp 𝑛 và cấp 𝑚 Khi

đó

𝐶𝑛 × 𝐶𝑚 ≅ 𝐶𝑛𝑚 ⇔ (𝑛, 𝑚) = 1

1.1.5 Định lý [2] Tập hợp gồm tất cả các tự đẳng cấu nhóm của một nhóm 𝐺 cùng với phép toán hợp thành hai ánh xạ xác định một nhóm Nhóm này gọi là nhóm các

tự đẳng cấu của nhóm 𝐺 và được kí hiệu là 𝐴𝑢𝑡(𝐺)

1.1.6 Mệnh đề [5]

(i) Nếu 𝐺 là nhóm cyclic, thì nhóm 𝐴𝑢𝑡(𝐺) là nhóm aben

(ii) Nếu 𝐺 là nhóm cyclic cấp 𝑝 nguyên tố, thì 𝐴𝑢𝑡(𝐺) là nhóm cyclic cấp

𝑝 − 1

1.1.7 Định lý [1] Cho 𝐶𝑛 là nhóm cyclic cấp 𝑛 sinh bởi phần tử 𝑎 Khi đó, nhóm các

(iii) Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝 - nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn 𝐺 nếu

𝐻 là một 𝑝 - nhóm con của 𝐺 và |𝐻| = 𝑝𝑛 là lũy thừa cao nhất của 𝑝 chia hết |𝐺|

1.1.10 Định lý Sylow thứ nhất: Giả sử 𝐺 là một nhóm hữu hạn và 𝑝 là một số nguyên tố chia hết |𝐺| Khi đó tồn tại một 𝑝 − nhóm con Sylow của 𝐺

1.1.11 Định lý Sylow thứ hai: Giả sử 𝐺 là một nhóm hữu hạn Khi đó, mọi

𝑝 - nhóm con của 𝐺 đều chứa trong một 𝑝 − nhóm con Sylow của 𝐺

1.1.12 Định lý Sylow thứ ba:

(i) Mọi 𝑝 − nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn 𝐺 đều liên hợp với nhau

(ii) Gọi 𝑠𝑝 là số các 𝑝 − nhóm con Sylow phân biệt của nhóm hữu hạn 𝐺 Khi đó

𝑠𝑝 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(𝑝) hay 𝑠𝑝 = 1 + 𝑘𝑝, 𝑘 ∈ ℕ

(iii) 𝑠𝑝 chia hết cấp của 𝐺

1.1.13 Mệnh đề [3] Một 𝑝 − nhóm con Sylow 𝑃 của một nhóm 𝐺 là chuẩn tắc nếu

và chỉ nếu 𝑃 là 𝑝 − nhóm con Sylow duy nhất của 𝐺

1.1.14 Định nghĩa [1] Xét đa giác đều 𝑛 cạnh 𝑃𝑛 với 𝑛 > 2 Gọi 𝑎 là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của 𝑃𝑛 một góc (có hướng) bằng 2𝜋

𝑛, còn 𝑏 là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của 𝑃𝑛 và một đỉnh của nó Khi đó, tất cả các phép đối xứng của 𝑃𝑛 (tức là các biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến 𝑃𝑛 thành chính nó) được liệt kê như sau:

Nhóm 𝑍(𝐺) được gọi là nhóm con tâm của 𝐺

1.1.16 Định lí [1] Giả sử 𝐺 là một 𝑝 − nhóm và 𝐺 ≠ {𝑒} thì nhóm con tâm 𝑍(𝐺) ≠ {𝑒}

1.1.17 Định lí Lagrange [2] Cấp của một nhóm 𝑋 hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm con của nó

1.1.18 Hệ quả [2] Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là cyclic và được sinh ra bởi

Vậy 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) là một ước chung của 𝑛 và 𝑚

1.1.20 Định nghĩa [1] Cho 𝐺 là một nhóm và x ∈ 𝐺 Khi đó, tập hợp

𝐶𝐺(𝑥) = { 𝑔 ∈ 𝐺 | 𝑔𝑥 = 𝑥𝑔}

là một nhóm con của 𝐺, được gọi là nhóm tâm hóa của phần tử 𝑥

1.1.21 Định lí [2] Giả sử 𝑝 là một số nguyên tố, khi đó mọi nhóm có cấp 𝑝2 đều

là nhóm Abel

Chứng minh:

Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2, với 𝑝 là một số nguyên tố

Ta sẽ chứng minh 𝑍(𝐺) = 𝐺

Theo Định lí 1.1.19, ta có |𝑍(𝐺)| > 1 Do đó, theo Định lí Lagrange |𝑍(𝐺)| = 𝑝 hoặc 𝑝2

Nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝 thì tồn tại 𝑥 ∈ 𝐺 sao cho 𝑥 ∉ 𝑍(𝐺) Khi đó

𝑍(𝐺) < 𝐶𝐺(𝑥) ≤ 𝐺 và 𝑝 < |𝐶(𝑥)| ≤ 𝑝2 Do đó 𝐶𝐺(𝑥) = 𝐺, tức là 𝑥 ∈ 𝑍(𝐺), điều này mâu thuẫn với cách chọn 𝑥 Vậy |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 hay 𝐺 = 𝑍(𝐺) và 𝐺 là nhóm Abel

1.1.22 Định lí [1] Mỗi 𝑝 − nhóm abel hữu hạn đều đẳng cấu với một tích của các

𝑝 − nhóm cyclic Hai phân tích như thế chỉ có thể khác nhau ở thứ tự của các nhân

tử

1.2 Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp của hai nhóm

1.2.1 Mệnh đề [3] Cho hai nhóm 𝑄 và 𝑃 Tập hợp tích Descartes

𝑄 × 𝑃 = { ( 𝑥 , 𝑦 ) / 𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑃 }

cùng với phép nhân xác định bởi

( 𝑥, 𝑦 )( 𝑥’, 𝑦’) = ( 𝑥𝑥’, 𝑦𝑦’ ), ∀( 𝑥, 𝑦) , ( 𝑥’, 𝑦’) ∈ 𝑄 × 𝑃

là một nhóm

1.2.2 Định nghĩa [3] Nhóm 𝑄 × P xác định trong mệnh đề trên được gọi là tích

trực tiếp của hai nhóm 𝑄 và P

1.2.3 Định lí [3] Cho 𝐺 = 𝑄 × P là tích trực tiếp của hai nhóm 𝑄 và P Đặt

𝑄̂ = { ( x , 1𝑃 ) / x ∈ 𝑄 , 1𝑃 là phần tử đơn vị của 𝑃 }

𝑃̂ = { ( 1𝑄 , y ) / y ∈ P , 1𝑄 là phần tử đơn vị của 𝑄 }

Khi đó

i) 𝑃̂ và 𝑄̂ là các nhóm con của 𝐺 và 𝑃̂ ≅ 𝑃 , 𝑄̂ ≅ 𝑄

1.2.5 Hệ quả [3] Cho 𝐺 là một nhóm và P và 𝑄 là hai nhóm con chuẩn tắc của 𝐺

thỏa mãn điều kiện 𝑄𝑃 = 𝐺 và P ∩ 𝑄 = {1} Khi đó 𝐺 ≅ 𝑄 × P

1.2.6 Định lý [3] Cho 𝐺 là một nhóm hữu hạn và 𝑃, 𝑄 là hai nhóm con chuẩn tắc của 𝐺 sao cho | 𝑃 | | 𝑄 | = | 𝐺 | Nếu

i) P ∩ 𝑄 = {1}, hoặc

ii) 𝑄𝑃 = 𝐺

thì 𝐺 ≅ 𝑄 × P

1.2.7 Định nghĩa [3] Cho 𝐺 là một nhóm với hai nhóm con P và 𝑄 thỏa mãn hai

điều kiện sau:

(i) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 với mọi x ∈ 𝑄 và 𝑦 ∈ 𝑃

(ii) Mọi 𝑔 ∈ 𝐺 , g có biểu diễn duy nhất dưới dạng 𝑔 = 𝑝𝑞 , 𝑥 ∈ 𝑄 và

𝑦 ∈ 𝑃

Khi đó 𝐺 được gọi là tích trực tiếp trong của hai nhóm con 𝑄 và 𝑃, và được kí hiệu là 𝐺 ≅ 𝑄 ⊕ 𝑃

1.2.8 Định lý [3] Nếu 𝐺 là tích trực tiếp trong của hai nhóm con 𝑄 và P thì

𝐺 ≅ 𝑄 × 𝑃

1.2.9 Mệnh đề [6] Cho hai nhóm P, 𝑄 và 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄) là một đồng cấu

nhóm Khi đó, tập hợp {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑃 )} với phép toán xác định bởi:

do đó (𝜃(𝑦−1)( 𝑥−1), 𝑦−1) là phần tử nghịch đảo của phần tử (𝑥, 𝑦) Mệnh đề đã được chứng minh

1.2.10 Định nghĩa [6] Cho 𝑃 và 𝑄 là hai nhóm và 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là một đồng cấu nhóm Nhóm 𝑄 ⋊𝜃 P xác định ở mệnh đề trên được gọi là tích nửa trực tiếp của

nhóm 𝑄 với nhóm P

1.2.11 Mệnh đề [6] Cho 𝑃 và 𝑄 là hai nhóm và 𝑄 ⋊𝜃 P là một tích nửa trực tiếp

của 𝑄 với P Khi đó hai ánh xạ sau:

𝑄 → 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , 𝑃 → 𝑄 ⋊𝜃 𝑃

q ↦ ( 𝑞, 1) p ↦ ( 1, 𝑝)

là hai đơn cấu nhóm

Hai đơn cấu trên cho phép đồng nhất 𝑞 với ( 𝑞, 1) , đồng nhất 𝑝 với ( 1, 𝑝) , và xem 𝑃, 𝑄 là hai nhóm con của 𝑄 ⋊𝜃 𝑃

= (𝑥 1𝑄(𝑥), 1𝑃) = ( 𝑥2, 1𝑃) (𝑥, 1𝑃)4 = (𝑥, 1𝑃)2(𝑥, 1𝑃)2

1.2.14 Định nghĩa [ 6 ] Cho 𝐺 là một nhóm và 𝑄, 𝑃 là các nhóm con của 𝐺 Nhóm

𝐺 được gọi là tích nửa trực tiếp trong của 𝑄 và 𝑃 nếu:

(i) 𝑄 chuẩn tắc trong 𝐺

Từ Định lý 1.2.15, ta có: nếu 𝐺 là một nhóm có hai nhóm con 𝑄 và 𝑃, 𝑄 ⊲ 𝐺,

𝑄𝑃 = 𝐺 và 𝑃 ∩ 𝑄 = { 1𝐺}, thì tồn tại một đồng cấu 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) sao cho

𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 Dựa vào Định lý 1.2.15, ta có thể xác định được nhóm 𝐺 nếu biết nhóm con 𝑃 và nhóm con chuẩn tắc 𝑄 của 𝐺 thỏa mãn 𝑄𝑃 = 𝐺 và 𝑃 ∩ 𝑄 = { 1𝐺}

Chương 2 CÁC NHÓM CÓ CẤP 𝒑𝒒 VỚI 𝒑, 𝒒 LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ

Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, phân loại đẳng cấu các

nhóm có cấp pq với p, q là hai số nguyên tố

Định lí sau là một kết quả cổ điển của lý thuyết p – nhóm hữu hạn

2.1 Định lí [3] Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝2, với 𝑝 là một số nguyên tố, thì 𝐺 là nhóm giao hoán, và đẳng cấu với nhóm 𝐶𝑝2 hoặc nhóm 𝐶𝑝× 𝐶𝑝

Chứng minh :

Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2 Khi đó, theo Định lí 1.1.21 , 𝐺 là nhóm Abel

và theo Định lí 1.1.22 , ta có 𝐺 đẳng cấu với nhóm 𝐶𝑝× 𝐶𝑝 hoặc đẳng cấu với nhóm

𝐶𝑝2 Hai nhóm này không đẳng cấu vì nhóm 𝐶𝑝2 có phần tử cấp 𝑝2 còn nhóm

𝐶𝑝× 𝐶𝑝 không có phần tử có cấp 𝑝2

2.2 Mệnh đề: Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố và 𝑝 < 𝑞, thì 𝐺 = 𝐶𝑞 ⋊𝜃 𝐶𝑝 , với 𝜃: 𝐶𝑝 → 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑞) là một đồng cấu nhóm

Chứng minh

Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố và p < q

Theo Định lí Sylow thứ nhất, tồn tại một 𝑝 − nhóm con Sylow 𝑃 cấp 𝑝 của 𝐺, và tồn tại một 𝑞 − nhóm con Sylow 𝑄 cấp 𝑞 của 𝐺

Theo Định lí Sylow thứ ba, 𝑆𝑞 = 1 + 𝑘𝑞, 𝑘 ∈ ℕ và 𝑆𝑞| 𝑝

Suy ra 𝑆𝑞 = 1 vì ( 𝑝 < 𝑞 ) Theo Mệnh đề 1.1.13, 𝑠𝑞 = 1 suy ra 𝑄 ⊴ 𝐺, đồng thời 𝑝 ≠ 𝑞 nên 𝑄 ∩ 𝑃 = {𝑒𝐺} và 𝐺 = 𝑄𝑃 Theo Nhận xét 1.2.16, ta có

𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 = 𝐶𝑞 ⋊𝜃𝐶𝑝, với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là một đồng cấu nhóm nào đó Mệnh đề đã được chứng minh

2.3 Định lí [4] Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 và

𝑝 không phải là ước của 𝑞 − 1, thì 𝐺 là nhóm cyclic cấp 𝑝𝑞

𝑉ì 𝑝 < 𝑞 và 𝑝 không phải là ước của 𝑞 − 1 , nên theo Mệnh đề 1.1.19,

∀𝑥 ∈ 𝑃, 𝜃(𝑥) = 1𝑄 Do đó 𝜃 là đồng cấu tầm thường Theo Nhận xét 1.2.12 ta có:

𝐺 = 𝑄 × 𝑃 = 𝐶𝑞× 𝐶𝑝 ≅ 𝐶𝑝𝑞 (theo Mệnh đề 1.1.4) Vậy 𝐺 là nhóm cyclic cấp 𝑝𝑞

Định lí đã được chứng minh xong

2.4 Định lí: [ 3 ] Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 2𝑞, với 𝑞 là một số nguyên tố lẻ

Khi đó 𝐺 đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 2𝑞 hoặc nhóm nhị diện 𝐷𝑞

Chứng minh

Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là một đồng cấu nhóm, và 𝑄 = 𝐶𝑞 , 𝑃 = 𝐶2

Suy ra 𝑜𝑟𝑑(𝛼) = 2 Vậy 𝛼 là phần tử cấp 2 duy nhất trong 𝐴𝑢𝑡(𝑄)

Vì 𝑃 ≅ 〈𝑏〉 là nhóm cyclic cấp 2 nên theo Định lí 1.1.19 chỉ có hai đồng cấu

nhóm từ P đến 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là đồng cấu tầm thường 𝜃0 và đồng cấu 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄), với 𝜃(𝑏) = 𝛼

Với 𝜃0: 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là đồng cấu tầm thường thì theo Nhận xét 1.2.12 và Mệnh

2.5 Định lí: Mọi nhóm có cấp 21 đều đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 21, hoặc nhóm

𝐻 được biểu diễn như sau

(𝑎, 1𝑃)2 = (𝑎, 1𝑃)(𝑎, 1𝑃) = (𝑎𝜃1(1𝑃)𝑎, 1𝑃) = (𝑎 1𝐶𝑞(𝑎), 1𝑃) = (𝑎2, 1𝑃) Bằng quy nạp ta có với 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑎, 1𝑃)𝑛 = (𝑎𝑛, 1𝑃)

= (𝑎2, 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2) = (𝑎2𝜃1(𝑏)(1𝑄), 𝑏3)

= (𝑎2, 𝑏3) = (𝑎2, 1𝑃) = (𝑎, 1𝑃)2

Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃) và 𝑏 ≡ (1𝑄, 𝑏) thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 có biểu diễn là

𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎2 〉 Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃, ta có

(𝑎, 1𝑃)2 = (𝑎, 1𝑃)(𝑎, 1𝑃) = (𝑎𝜃2(1𝑃)(𝑎), 1𝑃) = (𝑎 1𝐶𝑞(𝑎), 1𝑃) = (𝑎2, 1𝑃) Bằng quy nạp ta có với 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑎, 1𝑃)𝑛 = (𝑎𝑛, 1𝑃)

Suy ra (𝑎, 1𝑃)7 = (𝑎7, 1𝑃) = (1𝑄, 1𝑃) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃) có cấp 7

(1𝑄, 𝑏)2 = (1𝑄, 𝑏)(1𝑄, 𝑏) = (1𝑄𝜃2(𝑏)( 1𝑄), 𝑏2) = (1𝑄 , 𝑏2)

= (𝑎4, 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2) = (𝑎4𝜃2(𝑏)(1𝑄), 𝑏3)

= (𝑎4, 𝑏3) = (𝑎4, 1𝑃) = (𝑎, 1𝑃)4

Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃) và 𝑏 ≡ (1𝑄, 𝑏), thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 có biểu diễn như sau

𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎4 〉 trong nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 , ta có

Nhóm H không giao hoán nên không đẳng cấu với nhóm 𝐶21

Định lí đã được chứng minh

Với 𝑞 là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 𝑞 − 1 chia hết cho 3, ta có kết quả sau:

2.6 Định lí: Mọi nhóm có cấp 3q, với q là một số nguyên tố lớn hơn 3, và 𝑞 − 1

chia hết cho 3, đều đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3q, hoặc nhóm 𝐻 có biểu diễn như

Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃, ta có

(𝑎, 𝑒𝑃)2 = (𝑎, 𝑒𝑃)(𝑎, 𝑒𝑃) = (𝑎𝜃1(𝑒𝑃)𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎 𝑖𝑑𝑄(𝑎), 𝑒𝑃) = (𝑎2, 𝑒𝑃) Bằng quy nạp theo 𝑛 ∈ ℕ∗, ta có (𝑎, 𝑒𝑃)𝑛 = (𝑎𝑛, 𝑒𝑃)

= (𝑒𝑄𝜃1(𝑏)(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2)

= (𝑒 𝛼 (𝑎), 𝑏)(𝑒 , 𝑏2)

Suy ra (𝑎, 𝑒𝑃)𝑞 = (𝑎𝑞, 𝑒𝑃) = (𝑒𝑄, 𝑒𝑃) = 𝑒𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 𝑒𝑃) có cấp q

(𝑒𝑄, 𝑏)2 = (𝑒𝑄, 𝑒𝑃)(𝑒𝑄, 𝑒𝑃) = (𝑒𝑄𝜃2(𝑏)(𝑒𝑄), 𝑏2) = (𝑒𝑄 , 𝑏2)

(𝑒𝑄, 𝑏)3 = (𝑒𝑄, 𝑏)2(𝑒𝑄, 𝑏) = (𝑒𝑄 , 𝑏2)(𝑒𝑄, 𝑏) = (𝑒𝑄𝜃2(𝑏)(𝑒𝑄), 𝑏3 )

= (𝑒𝑄 , 𝑏3) = (𝑒𝑄, 𝑒𝑃) = 𝑒𝑄⋊𝜃2𝑃 Vậy phần tử (𝑒𝑄, 𝑏) có cấp 3 (𝑒𝑄, 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃)(𝑒𝑄, 𝑏)−1 = (𝑒𝑄, 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃)(𝑒𝑄, 𝑏)2 = (𝑒𝑄𝜃2(𝑏)(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2) = (𝑒𝑄𝛼𝑖20(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2)

2.7 Định lí: Mọi nhóm có cấp 55 đều đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 55, hoặc nhóm

𝐻 được biểu diễn như sau:

Theo Hệ quả 1.1.8, các ánh xạ 𝛼𝑖: 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖(𝑎) = 𝑎𝑖, 1≤ 𝑖 ≤ 10, là các

Suy ra (𝑎, 1𝑃)11 = (𝑎11, 1𝑃) = (1𝑄, 1𝑃) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃) có cấp 11 trong nhóm 𝐺𝑗

(1𝑄, 𝑏)2 = (1𝑄, 𝑏)(1𝑄, 𝑏) = (1𝑄𝜃𝑗(𝑏)(1𝑄), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2)

Bằng quy nạp ta có : Với 𝑛 ∈ ℕ∗ , (1𝑄, 𝑏)𝑛 = (1𝑄 , 𝑏𝑛)

Suy ra (1𝑄 , 𝑏5) = (1𝑄 , 𝑏5) = (1𝑄, 1𝑃) = 1𝐺 Vậy phần tử (1𝑄, 𝑏) có cấp 5 trong nhóm 𝐺𝑗

(1𝑄, 𝑏)(𝑎, 1𝑃)(1𝑄, 𝑏)−1 = (1𝑄, 𝑏)(𝑎, 1𝑃)(1𝑄, 𝑏)4 = (1𝑄𝜃𝑗(𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏4) = (1𝑄𝛼3𝑗(𝑎), 𝑏)(1𝑄 , 𝑏4)

2.8 Định lí: Mọi nhóm có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố lẻ , 𝑝 < 𝑞 đều đẳng

cấu với nhóm cyclic cấp pq, hoặc nhóm 𝐺𝑗 được xác định như sau:

Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố lẻ và 𝑝 < 𝑞 Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là một đồng cấu nhóm

và 𝑄 = 𝐶𝑞 = { 𝑎/ 𝑎𝑞 = 𝑒 } , 𝑃 = 𝐶𝑝 = { 𝑏 / 𝑏𝑝 = 𝑒 }

* Nếu 𝑝 ∤ 𝑞 − 1

𝜃 ∶ 𝐶𝑝 = 〈 𝑏 〉 ⟶ 𝐶𝑞−1 = 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑞)

𝑏 ⟼ 𝜃(𝑏)

Vì 𝑝 ∤ 𝑞 − 1 nên theo Mệnh đề 1.1.19 , ord [𝜃(𝑏)] = 1

Suy ra 𝜃(𝑏) = 𝑒𝐴𝑢𝑡 (𝐶𝑞) , nghĩa là 𝜃 là đồng cấu tầm thường

Theo Nhận xét 1.2.12 và Mệnh đề 1.1.4, ta có : 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 = 𝐶𝑞 × 𝐶𝑝 ≅ 𝐶𝑝𝑞 Vậy nếu 𝑝 ∤ 𝑞 − 1 thì có duy nhất một nhóm cấp 𝑝𝑞 là nhóm cyclic

(𝑎, 1𝑃)𝑞 = (𝑎𝑞, 1𝑃) = (1𝑄, 1𝑃) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃) có cấp q

(1𝑄, 𝑏)2 = (1𝑄, 𝑏)(1𝑄, 𝑏) = (1𝑄𝜃𝑗(𝑏)(1𝑄), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2)

, 𝑏)(1𝑄 , 𝑏𝑝−1) = (𝑎𝑖0

𝑗

𝜃𝑗(𝑏)(1𝑄), 𝑏𝑝) = (𝑎𝑖0

KẾT LUẬN

Khóa luận “Các nhóm cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố” đã đạt được mục

đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể khóa luận đã thực hiện được các vấn đề sau:

1) Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞

và 𝑝 không phải là ước của 𝑞 − 1

2) Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp 2𝑞, với 𝑞 là một số nguyên tố lẻ

3) Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp 21, các nhóm có cấp 55

4) Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp 3q, với q là một số nguyên tố lớn hơn

3, và 𝑞 − 1 chia hết cho 3

5) Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố lẻ và

𝑝 < 𝑞

Hi vọng rằng các kĩ thuật sử dụng trong khóa luận còn tiếp tục được khai thác

và hoàn thiện hơn nhằm có thể phân loại được nhiều lớp nhóm hơn nữa