Giúp học sinh lớp 11 phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian

Như mọi người đều bỉết,hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng.Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông để giải quyết một vấn

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

1.5 Những điểm mới của SKKN……… ………… 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của đề tài……… 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ……… 4

2.3 Giải pháp thực hiện ……… 4

2.4.Hiệu quả của SKKN……… 14

3 Kết luận,kiến nghị 3.1 Kết luận …….……… 15

3.2 Kiến nghị …….……… 16

Tài liệu tham khảo……… 18

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò,xuất phát từ mục tiêu đào tạo“Nâng cao dân trí,đào tạo nhân lực,bồi dưỡng nhân tài”.Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông,đặc

biệt là môn toán,môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong đời sống mỗi người

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò,vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt mônToán thì những tri thức trongToán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính,phẩm chất của người lao động mới như cẩn thận,chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo,bồi dưỡng óc thẩm mĩ Một trong các phân môn cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng,đứctính,phẩm chất của con người lao động mới là môn hình học không gian.Để học môn này học sinh cần có trí tưởng tượng, kỹ năng trình bày,vẽ các hình trong không gian và giải nó

Như mọi người đều bỉết,hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng.Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình không gian thành những phần đơn giản hơn mà có thể giải nó trong các bài toán phẳng.Đó là một việc làm đúng đắn, nhờ nó làm cho quá trình nhận thức,rèn luyện năng lực lập luận,

sự sáng tạo,tính linh hoạt khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học không gian của học sinh

Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian,với cơ sở là mặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian bằng các hình vẽ, các phần được tách ra thường là thiết diện,giao tuyến nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài toán hình học phẳng để từ đó giải quyết được bài toán ban đầu

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian,đặc biệt là các em học sinh lớp 11 đã được làm quen với HHKG từ lớp 8,lớp 9.Các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng,thiếu tính thực tế khách quan.Chính vì thế có rất nhiều học sinh học yếu môn học này,về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức.Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết một số kinh nghiệm nhằm giúp các em học tập được tốt hơn, từ đó

mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên

Để giải bài tập hình học không gian một cách thành thạo thì một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học không gian và hình học phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự giữa HHP và HHKG,giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến thức hình học,vận dụng tốt các kiến thức đã học

Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài :

“ Giúp học sinh lớp 11 phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào

sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian"

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, từ đó củng cố các kiến thức đã học ở THCS,nhằm giúp học sinh thấy được mối liên quan của HHP và HHKG.Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học

- Hệ thống hóa kiến thức, kĩ năng và nhận dạng một số bài toán về HHP và HHKG

ở mức độ vận dụng,để từ đó có hướng giải quyết bài toán

- Nâng cao khả năng tự học,tự bồi dưỡng,khả năng tương tự hóa

- Việc đưa ra hướng giải cho một số bài toán đó giúp cho học sinh có cái nhìn sâu hơn, phát triển tư duy tưởng tượng cho hoc sinh THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đề tài nghiên cứu,tổng kết về vấn rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 thông qua

mối liên hệ giữa HHP và HHKG

- Học sinh khối lớp 11 mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy

-Một số bài toán HHP có liên quan đến HHKG và một số bài toán HHKG trong giải toán hình học lớp 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, điều tra,nghiên cứu chương trình, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPTQG và TNTHPT,xây dựng cơ sở lí thuyết

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11,12 phần HHKG.

- Gặp gỡ,trao đổi,đàm thoại,tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệpvà học sinh thông qua trao đổi trực tiếp làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

- Thông qua thực tế dạy học trên lớp,quan sát,giao bài tập,củng cố bài học,hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra,đánh giá,tổng hợp, sosánh,đúc rút kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đưa ra sự tương tự hóa giữa HHP và HHKG,phát triển trí tưởng tượng cho HS.

- Phát triển tư duy hình học mới mẻ

- Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy HHKG trong nhà trường THPT

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông là hình thành những cơ sở ban đầu và

trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước và con ngườichúng ta

Môn Toán ở trường THPT là một môn độc lập,chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh.MônToán có tầm quan trọng to lớn,nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống,phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.Nó có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện tư duy,suy luận

logic, đem lại niềm vui, hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động trong thời đại mới.Bài toán rèn tư duy giúp học sinh tư duy hình học tốt hơn,hình thành phẩm chất của người lao động năng động,sáng tạo,làm chủ tương lai

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong quá trình dạy học mônToán,nhất là môn Hình học thì quá trình học tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt Đặc điểm cơ bản của môn học là môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú.Cách trình bày chặt chẽ,suy luận logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình không gian

Ở trường các em học sinh được học sách hình học cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học sinh.Nhiều em không biết cách trình bày bài giải,sử dụng các kiến thức hình học đã học chưa thuần thục,lộn xộn trong bài giải của mình.Cá biệt có một vài em vẽ hình quá xấu,không đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải hình học.Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh ?

Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là :

+) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán hình không gian

+) Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với học sinh

+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn,khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụng trong hình không gian,chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian

+) Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách

+) Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập,chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn,từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh.Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh v.v

Để hiểu rõ các nguyên nhân yếu kém tôi đã tiến hành trắc nghiệm khách quan bằng 20 câu hỏi cho mỗi phiếu (gồm 02 phiếu)về khả năng học tập môn toán và môn hình học ở trường phổ thông

Từ một số nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một hướng giải quyết nhằm nâng cao chất lương dạy,học của thầy và trò ở bộ môn HHKG,tạo hứng thú cho học

sinh trong quá trình học hình ở trường phổ thông bằng cách “Giúp học sinh lớp 11 phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian"

2.3 Giải pháp thực hiện.

-Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:

-Hướng dẫn học sinh vẽ hình trong không gian,giải thích các vẽ nhằm giúp học sinh vẽ hình đẹp,dễ dàng giải quyết các bài tập

-Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình không gian như quan hệ song song của hai đưòng thẳng;hai mặt phẳng,đường thẳng và mặt phẳng vv

-Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian,các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra…

-Dạy học theo các chủ đề,mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức

mà mình đang có,vận dụng chúng một cách tốt nhất

-Trong quá trình dạy học tôi đề ra một hướng giải quyết là “Giúp học sinh lớp 11 phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào sư tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian"

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1.

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC vuông tại A,

AB = c, BC = a, AC = b, AD = ha, BD = c', CD = b'

Nêu các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã học ở lớp 9

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

a) c 2 = a.c’; b 2 = b’.a b) ha2 = c’.b’ c) 12 12 12

a

h b c

d) a2 = b2 + c2 e) b.c = a.ha

Lưu ý:

Bài toán này rất quen thuộc với học sinh từ lớp 9 cả về nội dung và cách giải,với cách nhìn mở rộng trong không gian ta có thể đặt vấn đề về kiến thức và cách chứng minh mở rộng của bài toán 1 thành bài toán 1' một cách dễ dàng, vấn đề này SGK lớp 11 đã đề cập qua các bài tập, từ đó đưa ra vấn đề và chứng minh tương tự Các hệ thức này rất haydùng trong các bài toán HHP,HHKG, giúp việc chứng minh, tính toán nhanh chóng hơn.GV yêu cầu HS ghi nhớ các hệ thức này.Chứng minh dựa vào các tam giác đồng dạng.Hãy mở rộng ý c) và d) của bài toán trong không gian

Bài 1'

Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S Đặt SA =

a; SB = b; SC = c, hạ SH (ABC); SH = h Chứng minh

rằng

a) 12 12 12 12

h  a  b  c

c

a

b ha

A

a

b

c h A

S

B H

F

b) SABC2  SSAB2  SSBC2  SSAC2

Hướng dẫn:

a)Yêu cầu HS chứng minh ý này

b)Tính theo a,b,c tỉ số

2 2 2 2 2 2

os((SCB),(ABC))= os(SFA)=

SCB

ABC

Tương tự ta được: ( SCB)2 ( SAB )2 ( SCA)2 1

ABC ABC ABC

Lưu ý:

Ta phát triển thành bài toán sau: Gọi x,y,zlần lượt là các góc giữa ba mặt

(SAB), (SBC), (SCA) với (ABC) Chứng minh rằng: cos2x  cos2y  cos2z  1

Bài 2

Trong mặt phẳng, cho ∆ABC thì diện tích tam giác

a b c

2



 

Lưu ý:

HS thừa nhận công thức này Phát triển bài toán này trong không gian

Bài 2'

Trong không gian,cho tứ diện S.ABC có SA; SB; SC đôi một vuông góc.Tính thể tích tứ diện theo AB =a; AC = b; BC = a

Hướng dẫn:

Ta có

2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2

SA SB a SC SB b SA SC c

Vậy : 1 .

6

SABC

V  SA SB SC

2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

SABC

6

SABC

V  p x p y p z  

với 2 2 2, 2 , 2 , 2

2

p   x a y b z c  

Công thức này gần giống Hê rông

Bài 3.

Trong mặt phẳng,cho ∆ABC các đường trung

tuyến của tam giác đồng qui tại G và G chia

các đoạn trung tuyến theo tỉ số 1:2

Bài 3'.

S A

B C

G

G

C

A

A

M

N

N

Ga P Ga

P

Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi Ga; Gb; GC; Gd lần lượt là trọng tâm các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Chứng minh rằng các đường thẳng AGA; BGB;

CGC; DGD đồng qui tại G và

AG BG CG DG 3

AG BG CG DG 4

Hướng dẫn:

Ta có các đoạn MN; PQ; RS đồng qui tại G.Ta chứng tỏ AGa qua G và chia theo tỷ

số như trên Nối AG cắt BM tại X Kẻ NP //AG cắt BM tại P Ta chứng minh X là Ga

Trong ∆ NMP có XG // NP qua trung điểm của MN nên XP = XM; trong ∆ ABX có

NP // AX qua trung điểm của AB nên BP = PX hay BP = PX = XM

VậyX là trọng tâm ∆BCD và 1AX

2

2

AG BG CG DG 3

AG BG CG DG 4

(đpcm)

Lưu ý:

Các khái niệm và tính chất trọng tâm của tam giác,trọng tuyến của tứ diện,chuyển dịch từ HHP sang HHKG, từ ngôn ngữ HHKG thông thường sang ngôn ngữ hình học véc tơ, để HS tiếp cận dần với hình học tọa độ trong không gian

Bài 4.

Trongmặt phẳng,cho∆ABC đường thẳng bất kỳ cắt hai cạnh AB;AC tại M; N thì

AMN

ABC







Lưu ý:

Đây là kết quả quan trọng, HS tự chứng minh.

Bài 4'.

Trong không gian,cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại M;N;P;Q thì

SA SC SB SD

Hướng dẫn:

Ta có I là giao điểm của MP và QN thì I nằm trên SO

S SM SP S SM SI S SI SP

S SA SC S SA SO S SO SC

Mà SSOA  SSOC(O là trung điểm AC)

Do đó

SMP

SAO

S SM SI SI SP SI SM SP

S SA SO SO SC SO SA SC





Do đó :

I I

O

C Q

D

S

S

A

C N

P

P

O

SI SM SP SM SP SI

(1)

Tương tự trong ∆ SBD : 2SO SB SD (2)

SI SN SQ

từ (1) và (2) ta cú đpcm

Lưu ý: Từ bài toỏn này cú rất nhiều bài toỏn liờn quan đến tỉ số thể tớch được rỳt ra.

Cú thể dựng phương phỏp vộc tơ để chứng minh hệ thức, coi đú là bài tập cho HS

Bài 5.

Trong mặt phẳng, cho đờng thẳng d và hai điểm A, B cố định không thuộc d Tìm

điểm M trên d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất

Hướng dẫn:

- NếuA;B khỏc phớa với d thỡ MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và d (vỡ MA MB AB)

- Nếu A;B cựng phớa với d thỡ gọi C là điểm đối xứng của B qua d

Đõy là bài toỏn cực trị hỡnh học cơ bản hay dựng

Bài 5'

Trong khụng gian, cho mặt phẳng ( )và hai điểm A; B.Tỡm M trờn ()

sao cho MA + MB nhỏ nhất

Hướng dẫn:

- Nếu A;B khỏc phớa đối với mặt phẳng( )thỡ điểm M xỏc định

như thế nào?

- Nếu A;B cựng phớa đối với mặt phẳng ()thỡ điểm M xỏc

định như thế nào?

+)Xỏc định điểm đối xứng của B qua mặt ( )

+) Lập mặt phẳng (ABC) cắt () giao tuyến Ex

+)Nối AC cắt Ex tại M Khi đú M là điểm cần tỡm

Bài 6

Trong mặt phẳng cho gúc xOy, trờn Ox lấy điểm A, trờn Oy lấy điểm B sao cho

1 1 1

OA OB d (d là hằng số) Chứng minh rằng AB luụn đi qua điểm cố định

Hướng dẫn:

+) Dựng phõn giỏc gúc AOB

+) Kẻ DC // OB sử dụng định lớ Ta lột tỡm cỏc tỉ số

Ta cú ∆ ODC cõn đỉnh D Theo Ta lột

1 1 1

do OD DC

OD d



Vậy C là điểm cố định cần tỡm

α

A

B

C

M E

O

D

C A

B

Lưu ý:

Ta có thể mở rộng ra không gian được không?

Vẽ hình, kẻ hình phụ để chứng minh, hướng dẫn HS chứng minh để rút ra kết quả của bài tập này

Bài 6'.

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau a; b.Trên đường thẳng a lấy hai

điểm A, B, trên đường thẳng b lấy hai điểm C; D sao cho B; D nằm cùng phía so với A; C (A; C cố định) và 1 1 1

AB CD k Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua BD và song song với AC luôn đi qua một

điểm cố định

Hướng dẫn:

+) Qua C dựng đường thẳng Cc // a

+) Trong mp (a,c) dựng BK//AC

+) Mặt phẳng (BKD) là mặt phẳng cần dựng

Theo các dựng ta có AB = CK nên

1 1 1 1 1 1

AB CD  k CI CD k và H là điểm cố định

Bài 7.

Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD có M;N;P;Q lần lượt là trung điểm các cạnh

AB; BC; CD; DA Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành

Bài 7'.

Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB,CD,BD,AD,BC.Chứng minh rằng

các đoạn thẳng MN,PQ,RS đồng qui tại một điểm

Hướng dẫn:

Ta có tứ giác MRNS;NPMQ;PRQS là hình bình hành

Vậycácđườngchéođồngquitạimột điểm,cácđoạn thẳng MN;PQ;RS

đồng qui tại một điểm

Lưu ý:

Điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện và GAGBGCGD 0

Đậy là cách xác định thứ hai ngoài G là giao điểm của các đường trọng tuyến của

tứ diện

Bài 8.

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC,trọng tâm G Lấy M là điểm nằm trong tam giác.Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC,AC,AB theo thứ tự tại A',B',C'

3

A G  B G  C G 

Hướng dẫn:

a

b

c

H A

C

B

K

D E

G

C

A

M

N

R

S P

Q

Hạ ( )





'

A G GH Gọi I;J lần lượt là chân đường cao hạ từ M xuống các cạnh AB; AC, CA.Khi đó ta có:

;

B G GH C G GH

MK MJ MI

Lại có : S ABC S MBC S AMC S ABM

1 . 1 . 1 . 1 .

2 h BC 2 MI AB 2 MK BC 2 MJ AC

3

A M B M C M

A G  B G  C G 

Lưu ý:

Tổng khoảng cách từ M xuống các cạnh BC, CA, AB không đổi khi M thay đổi trong tam giác

Bài 8'.

Trong không gian, cho tứ diện đềuABCD, trọng tâm G Một điểm M trong tứ diện, đường thẳng MG cắt các mặt phẳng(BCD),(ACD),(ABD),(ABC) lần lượt tại các

điểmA',B',C',D'.Chứngminhrằng:

4

A M B M C M D M

A G  B G  C G  D G 

Hướng dẫn:

Hạ GH MK ((BCD H BCD K)()( ((BCD BCD))))



Ta thấy A’;H;K thẳng hàng '

'

A G GH

Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống các mặt

phẳng (ABD), (ACD), (ABC).Tương tự như trên ta có:

'

'

B G GH ; '

'

C GGH ; '

'

D G GH

A M B M C M D M

ME MF MK MI

A G B G C G D G h

Ta có: V ABCD V ABCV ACDV ABDV BCD

3 S BCD h 3 S BCD MK 3 S ACD ME 3 S ABD MI 3 S ABC MF

Vì : S ABC S ABD S DBC S ADC  ME MK MI MF   h

'  '  '  ' 

C' G

A'

A

H

B' M

K

A

B

C

D

G B'

A' K H M