Summary of doctoral dissertation shrinkage estimation of covariance matrix for portfolio selection on vietnam stock market

Jorion 1986 cũng chỉ ra rằng việc lựa chọn danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng mang lại nhiều rủi ro hơn do danh mục được lựa chọn thường mang lại tính ổn định k

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING THE STATE BANK OF VIETNAM

BANKING UNIVERSITY OF HO CHI MINH CITY

NGUYEN MINH NHAT

SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION

SHRINKAGE ESTIMATION OF COVARIANCE MATRIX

FOR PORTFOLIO SELECTION ON VIETNAM STOCK MARKET

Ho Chi Minh City - 2020

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINNING THE STATE BANK OF VIETNAM

BANKING UNIVERSITY OF HO CHI MINH CITY

NGUYEN MINH NHAT

SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION

SHRINKAGE ESTIMATION OF COVARIANCE MATRIX

FOR PORTFOLIO SELECTION ON VIETNAM STOCK MARKET

Ho Chi Minh City - 2020

Table of Contents

List of Abbreviations iv

List of Figures vi

List of Tables viii

CHAPTER 1: INTRODUCTION 1

1.1 Vietnam stock market overview 1

1.2 Problem statements and research gap 6

1.3 Objectives and research questions 10

1.4 Research Methodology 11

1.5 Expected contributions 12

1.6 Disposition of the dissertation 13

CHAPTER 2: LITERATURE REVIEW 15

2.1 Modern Portfolio Theory Framework 15

2.1.1 Concept of risk and return 16

2.1.2 Assumptions of the modern portfolio theory 17

2.1.3 MPT investment process 18

2.1.4 Critism of the theory 19

2.2 Parameter estimation 20

2.2.1 Expected returns parameter 22

2.2.2 The covariance matrix parameter 24

2.3 Portfolio Selection 28

2.3.1 Mean-Variance Model 29

2.3.2 Global Minimum Variance Model (GMV) 30

CHAPTER 3: THEORETICAL FRAMEWORK 32

3.1 Basic preliminaries 32

3.1.1 Return 32

3.1.2 Variance 33

3.2 Portfolio optimization 34

3.3 The estimators of covariance matrix 35

3.3.1 The sample covariance matrix (SCM) 36

3.3.2 The single index model (SIM) 37

3.3.3 Constant correlation model (CCM) 39

3.3.4 Shrinkage towards single-index model (SSIM) 40

3.3.5 Shrinkage towards constant correlation Model (SCCM) 42

3.3.6 Shrinkage towards identity matrix (STIM) 46

CHAPTER 4: METHODOLOGY 50

4.1 Input Data 50

4.2 Portfolio performance evaluation methodology 54

4.3 Transaction costs 58

4.4 Performance metrics 58

4.4.1 Sharpe ratio (SR) 59

4.4.2 Maximum drawdown (MDD) 59

4.4.3 Portfolio weight turnover (PT) 60

4.4.4 Winning rate (WR) 61

4.4.5 Jensen’s Alpha 61

4.4.6 The statistical significance of the differences between two strategies on the performance measures 62

4.5 VN - Index and 1/N portfolios benchmarks 63

CHAPTER 5: EMPIRICAL RESULTS 64

5.1 VN – Index and 1/N portfolio performance 64

5.1.1 VN – Index performance 64

5.1.2 1/N Portfolio performance 67

5.2 Portfolio out – of –sample performance 70

5.2.1 Sample covariance matrix (SCM) 70

5.2.2 Single index model (SIM) 74

5.2.3 Constant correlation model (CCM) 77

5.2.4 Shrinkage towards Single index model (SSIM) 80

5.2.5 Shrinkage towards constant correlation model (SCCM) 88

5.2.6 Shrinkage towards identity matrix (STIM) 93

5.3 Summary performances of covariance matrix estimators on out – of – sample 97

CHAPTER 6: CONCLUSIONS AND FUTURE WORKS 103

6.1 Conclusions 103

6.2 Future works 107

REFERENCES 109

List of Abbreviations

APT: Arbitrage Pricing Theory

CAPM: Capital Asset Pricing Model

CCM: Constant Correlation Model

DIG: Development Investment Construction Joint Stock Company GDP: Gross Domestic Product

GICS: Global Industry Classification Standard

GMV: Global Minimum Variance Model

HOSE: Ho Chi Minh City Stock Exchange

HNX: Ha Noi Stock Exchange

ICF: ICF Cable Joint Stock Company

IPO: Initial Public Offering

MDD: Maximum Drawdown

MLE: Maximum Likelihood Estimator

MV: Mean - Variance

MVO: Mean-Variance Optimization

MPT: Modern Portfolio Theory

OLS: Ordinary Least Squares

PT: Portfolio Turnover

REE: Refrigeration Electrical Engineering Corporation

SAM: Sam Holdings Corporation

SCM: Sample Covariance Matrix

SIM: Single Index Market Model

SSIM: Shrinkage towards Single-index Model

SCCM: Shrinkage towards Constant Correlation Model

STIM: Shrinkage to Identity Matrix

SR: Sharpe Ratio

UPCoM: Unlisted Public Company Market

USD: United States Dollar

VIC: Vingroup Joint Stock Company

VND: Viet Nam Dong

VN - Index: Vietnam stock index

WR: Winning rate

YEG: Yeah1 Group Corporation

List of Figures

Figure 1.1: The performance of investment funds in the period of 2009 – 2019 2

Figure 1.2: The performance of investment funds in the period of 2017 – 2019 3

Figure 1.3: Determinants of portfolio performance 4

Figure 4.1: The universe of stocks on HOSE from 2013 – 2019 52

Figure 4.2: The number of listed companies into industry groups on HOSE,

Figure 4.3: The market capitalization of industry groups on HOSE, 2019 54

Figure 5.1: VN-Index’s performance in the period of 2013 – 2019 64

Figure 5.2: Back-testing results of 1/N portfolio benchmark on out – of –

Figure 5.3: Back-testing results of SCM on out – of – sample from 1/1/2013 –

Figure 5.4: Compare the cumulative return between SCM and VN-Index 73

Figure 5.5: Back-testing results of SIM on out – of – sample from 1/1/2013 –

Figure 5.6: Compare the cumulative return between SIM and VN-Index 76

Figure 5.7: Back-testing results of CCM on out – of – sample from 1/1/2013 –

Figure 5.8: Compare the cumulative return between CCM and VN-Index 79

Figure 5.9: Back-testing results of SSIM on out – of – sample from 1/1/2013 – 82

31/12/2019

Figure 5.10: Compare the cumulative return between SSIM and VN-Index 85

Figure 5.11: Back-testing results of SSIM’s shrinkage coefficient ( ) on out

Figure 5.12: Back-testing results of SCCM on out – of – sample from

Figure 5.13: Compare the cumulative return between SCCM and VN-Index 91

Figure 5.14: Back-testing results of SCCM’s shrinkage coefficient ( ) on out

Figure 5.15: Back-testing results of STIM on out – of – sample from 1/1/2013

Figure 5.16: Compare the cumulative return between STIM and VN-Index 95

Figure 5.17: Back-testing results of STIM’s shrinkage coefficient ( ) on out

List of Tables

Table 4.1: The sample dataset are collected in the period of 2011 – 2019 51

Table 5.1: The performance of VN – Index in the period of 2013 – 2019 66

Table 5.2: The performance of the 1/N portfolio benchmark from 1/1/2013 to

Table 5.3: The performance of SCM from 1/1/2013 to 31/12/2019 70

Table 5.4: The performance of SIM from 1/1/2013 to 31/12/2019 74

Table 5.5: The performance of CCM from 1/1/2013 to 31/12/2019 77

Table 5.6: The performance of SSIM from 1/1/2013 to 31/12/2019 80

Table 5.7: The performance of SCCM from 1/1/2013 to 31/12/2019 88

Table 5.8: The performance of STIM from 1/1/2013 to 31/12/2019 93

Table 5.9: Summary back-testing results of covariance matrix estimators on

Table 5.10: The movement value of shrinkage coefficient ( ) 102

GIỚI THIỆU

Thị trường chứng khoán Việt Nam đã trải qua 20 năm phát triển tính từ thời điểm trung tâm giao dịch chứng khoán TP.HCM chính thức đi vào hoạt động từ tháng 07/2000 với hai mã cổ phiếu đầu tiên là REE và SAM, đánh dấu bước ngoặt lịch sử của thị trường chứng khoán Việt Nam Đến nay thị trường chứng khoán Việt Nam đã có sự phát triển mạnh mẽ, số lượng công ty niêm yết, đăng ký giao dịch trên hai sở chứng khoán là 1605 công ty, với khối lượng chứng khoán là 150 tỷ chứng khoán Mức vốn hóa của thị trường tính đến đầu năm 2020 đạt gần 5,7 triệu tỷ đồng chiếm 102,74% GDP, qua đó, thể hiện vai trò quan trọng của thị trường chứng khoán Việt Nam đối với nền kinh tế

Thị trường chứng khoán Việt Nam hoạt động với 3 sàn giao dịch chính thức, bao gồm 2 sàn niêm yết (HOSE, HNX) và một sàn giao dịch cổ phiếu công ty đại chúng chưa niêm yết (UPCom) Trong đó, HOSE được xem là sàn có quy mô lớn nhất Tính đến cuối năm

2019, HOSE có 382 công ty niêm yết, khối lượng giao dịch đạt 8,8 tỷ cổ phiếu, giá trị giao dịch bình quân đạt hơn 4.000 tỷ đồng/phiên Quy mô vốn hóa trên sàn HOSE chiếm 88% toàn thị trường, tương đương 54,3% GDP Sự phát triển của thị trường chứng khoán Việt Nam thu hút ngày càng đông đảo các nhà đầu tư trong và ngoài nước tham gia, từ mức 3000 tài khoản năm 2000 lên mức 2,5 triệu tài khoản trong giai đoạn hiện nay Trong đó, có khoảng 33.000 tài khoản của các tổ chức và cá nhân nước ngoài với tổng giá trị chứng khoán nắm giữ tương đương gần 35 tỷ USD tính đến 30/6/2020 Trong giai đoạn này, hàng loạt công ty quản lý quỹ nước ngoài cũng đã gia nhập thị trường chứng khoán Việt Nam

Kết quả đầu tư cho thấy các quỹ đầu tư trong giai đoạn 2009 – 2019 cho kết quả đầu tư khá tốt so với mức độ tăng trưởng trung bình của thị trường chứng khoán Việt Nam Tuy nhiên, nếu nhìn vào giai đoạn 2017 – 2019, khi thị trường chứng khoán Việt Nam gặp nhiều khó khăn do những diễn biến phức tạp từ cuộc chiến tranh thương mại Mỹ - Trung

và sự suy thoái của các nền kinh tế lớn trên thế giới đã dẫn đến những kết quả đầu tư thất

vọng của các quỹ đầu tư trong và ngoài nước, thậm chí giá trị danh mục đầu tư của các quỹ đầu tư này còn giảm mạnh hơn nhiều so với sự sụt giảm chung của thị trường

Theo nghiên cứu của Brinson, Singer, Beebover (1991), hoạt động phân bổ tài sản có mức độ tác động 91.5% đến kết quả đầu tư của danh mục, trong khi đó, hoạt động lựa chọn chứng khoán, thời điểm mua bán và các yếu tố khác chỉ ảnh hưởng khoảng 9% đến kết quả của danh mục đầu tư Tuy nhiên, hoạt động phân bổ tài sản và lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu trên thị trường chứng khoán Việt Nam còn tương đối mới mẻ và gặp nhiều khó khăn do những nguyên nhân chính sau đây: Đầu tiên có thể kể đến là việc áp dụng các phương pháp định lượng trong phân bổ tài sản và lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu còn khá mới trên thị trường chứng khoán Việt Nam, đặc biệt là đối với các nhà đầu tư cá nhân Bên cạnh đó, những đặc thù của thị trường chứng khoán Việt Nam cũng gây khó khăn cho các nhà đầu tư, các quỹ đầu tư muốn áp dụng mô hình định lượng trong việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu như các vấn đề liên quan đến dữ liệu, quy định giới hạn giao dịch trong ngày trên HOSE (± 7%) và HNX ( ± 10%), UPCoM (± 15%) Hơn nữa, thời gian đợi cổ phiếu về và thời gian được thanh toán sau một vài ngày cũng là những hạn chế mà thị trường chứng khoán Việt Nam mang đến cho các nhà đầu tư trong việc xây dựng danh mục đầu tư Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng đó là yếu tố thanh khoản, quy mô thị trường và giá trị giao dịch hàng ngày của các cổ phiếu trên thị trường còn thấp dẫn đến khó khăn cho các nhà đầu tư tại những thời điểm họ muốn điều chỉnh danh mục đầu tư

Đặt vấn đề

Lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại (MPT) đã đóng một vai trò quan trọng trong việc lựa chọn và xây dựng danh mục đầu tư trong hơn 65 năm, kể từ khi nó được Harry Markowitz giới thiệu lần đầu tiên trong bài báo “Portfolio Selection” trên Tạp chí Tài chính năm 1952 Lý thuyết này cho rằng các nhà đầu tư có thể đạt được mức lợi nhuận cao nhất tương ứng với mức độ rủi ro của danh mục thông qua việc nắm giữ các cổ phiếu trong danh mục với một cấu trúc tỷ lệ tối ưu (Iyiola, 2012) Kể từ đó, MPT đã thu hút sự

chú ý của nhiều lĩnh vực như nghiên cứu, thống kê, kinh tế và đặc biệt là trong lĩnh vực tài chính Mặc dù được tiếp cận rộng rãi, MPT vẫn tồn tại những hạn chế nhất định khiến phương pháp này không được áp dụng rộng rãi trong thực tế Đó là sự không ổn định khi ước tính lợi nhuận kỳ vọng và ma trận hiệp phương sai, đây là hai biến số quan trọng trong mô hình MPT để lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Sự không ổn định của hai yếu tố đầu vào dẫn đến sự không ổn định đối với danh mục đầu tư được khuyến nghị, nó làm cho các danh mục đầu tư được tính toán từ mô hình MPT luôn chịu các chi phí giao dịch cao và không tạo ra được lợi nhuận kỳ vọng cho các nhà đầu tư

Các nhà nghiên cứu cứu cũng như các nhà quản lý danh mục đầu tư đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu để khắc phục những hạn chế của mô hình MPT Nhìn chung có hai

hướng chính để khắc phục được các hạn chế của mô hình MPT Một là xây dựng các phương pháp để ước tính lợi nhuận kỳ vọng của các tài sản trong danh mục đầu tư Hai

là, sử dụng các cách tiếp cận mới trong việc ước tính ma trận hiệp phương sai của các tài

sản trong danh mục Đây đều là hai cách tiếp cận quan trọng để điều chỉnh biến số đầu vào của mô hình MPT trong việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu

Khảo lược các nghiên cứu nước ngoài

Các mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng

Mô hình định giá tài sản (CAPM) được William Sharpe giới thiệu lần đầu tiên vào năm

1964, mô hình được xây dựng dựa trên nền tảng lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại của Markowitz và được xem là mô hình một nhân tố Mô hình này mô tả mối quan hệ giữa lợi nhuận của một tài sản và lợi nhuận thị trường Mô hình này sau đó tiếp tục được phát triển bởi John Lintner và Jack Treyno Năm 1992, Eugene Fama một giáo sư tài chính người Mỹ, cùng với Kenneth French khám phá ra rằng beta của CAPM không giải thích được suất sinh lợi kỳ vọng của chứng khoán Mỹ thời kỳ 1963-1990 Fama-French bắt đầu quan sát hai lớp cổ phiếu có khuynh hướng tốt hơn so với toàn bộ thị trường Thứ nhất là

cổ phiếu có vốn hóa nhỏ (small caps) hay còn gọi là quy mô nhỏ Thứ hai là cổ phiếu có

tỷ số giá sổ sách trên giá thị trường BE/ME (Book to Market Equity) cao Họ đưa thêm

hai nhân tố này vào CAPM để phản ánh sự nhạy cảm của danh mục đối với hai loại cổ phiếu này Sau khi được giới thiệu vào năm 1993, mô hình ba nhân tố của hai tác giả Fama-French để lượng hóa mối quan hệ giữa rủi ro và suất sinh lợi đã được kiểm định là

có hiệu quả tại các thị trường chứng khoán phát triển cũng như mới nổi Mô hình ba nhân

tố Fama-French (1993) cho rằng suất sinh lợi của một danh mục đầu tư hoặc một cổ phiếu riêng biệt phụ thuộc vào 3 yếu tố đó là: yếu tố thị trường, yếu tố quy mô công ty và yếu tố giá trị sổ sách trên giá trị thị trường BE/ME Năm 2014, Fama và French tiếp tục đưa ra mô hình 5 nhân tố để dự báo suất sinh lời của một danh mục đầu tư với hai nhân tố mới đó là biến khuynh hướng đầu tư và lợi nhuận

Bên cạnh đó, cũng có nhiều nghiên cứu khác cũng được đưa ra để ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng của danh mục đầu tư như phương pháp tính trung bình cắt (Truncated/trimmed mean) hay trung bình loại bỏ (Winsorized mean) của Martin, Clark

và Green năm 2010 Trong nghiên cứu này, thay vì sử dụng trung bình của mẫu ̅ ∑ để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng, tác giả đã sử dụng phương pháp trung bình cắt hay trung bình loại bỏ để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng Giá trị trung bình cắt được tính toán sau khi đã loại bỏ k% giá trị khác biệt nhất, trong khi đó giá trị trung bình Winsorized được tính toán sau khi thay thế những giá trị này với các giá trị khác có tính tương đồng hơn Cả hai phương pháp ước lượng lợi nhuận kỳ vọng này đều cho thấy kết quả tốt hơn so với cách ước lượng thông thường, tuy nhiên nếu lợi nhuận của các tài sản trong danh mục không mang tính dừng thì lợi nhuận kỳ vọng được ước lượng sẽ bị thiên lệch và không đảm bảo mức độ chính xác

Để khắc phục điều kiện mang tính dừng của lợi nhuận các tài sản trong danh mục, Jorion (1986) đã đề cập đến phương pháp Bayes – Stein để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng của danh mục đầu tư Trong phương pháp ước lượng này, Jorion cố gắng đưa trung bình mẫu của từng tài sản trong danh mục vể trung bình tổng quát ̅ ∑ nhằm ước lượng lợi nhuận kỳ vọng của danh mục ổn định và hợp lý hơn

Các mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng

là hướng nghiên cứu được rất nhiều nhà nghiên cứu thực hiện trong quá khứ Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu của Merton (1980) đã cho thấy không dễ để ước tính lợi nhuận kỳ vọng của các tài sản trong danh mục đầu tư Trong hầu hết các mô hình định giá tài sản đều đưa ra một giả định rằng lợi nhuận kỳ vọng của tài sản có mối tương quan mật thiết với lợi nhuận kỳ vọng của thị trường và mối tương quan này sẽ không thay đổi theo thời gian Mặc dù giả định này làm cho ước tính lợi nhuận kỳ vọng của tài sản trở nên dễ dàng hơn, nhưng vẫn cần một chuỗi thời gian rất dài để ước tính chính xác (Merton, 1980) Hơn nữa, tất cả chúng ta đều biết rằng giả định lợi nhuận kỳ vọng không thay đổi theo thời gian là bất hợp lý, nhưng Merton chứng minh rằng nếu giả định này được nới lỏng, việc ước tính lợi nhuận kỳ vọng sẽ còn khó khăn hơn Jorion (1986) cũng chỉ ra rằng việc lựa chọn danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng mang lại nhiều rủi ro hơn do danh mục được lựa chọn thường mang lại tính ổn định không cao, đây chính là sự mở đường cho hướng nghiên cứu thứ hai, lựa chọn danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số ma trận hiệp phương sai của các tài sản trong danh mục đầu tư

Các mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số ma trận hiệp phương sai

Đây là hướng nghiên cứu quan trọng được các nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm trong giai đoạn gần đây, do tiềm năng của phương pháp này trong việc cải thiện tính ổn định và giảm thiểu rủi ro trong việc lựa chọn danh mục đầu tư so với phương pháp lựa chọn danh mục đầu tư dựa trên ước lượng lợi nhuận kỳ vọng

Phương pháp truyền thống để ước lượng ma trận hiệp phương sai trước khi thực hiện tối

ưu là sử dụng ma trận hiệp phương sai mẫu (Sample covariance matrix - SCM), tuy nhiên Michaud (1989) đã chứng minh rằng phương pháp ước lượng này mang lại nhiều bất cập

và hạn chế Hạn chế lớn nhất của cách ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu là tính không ổn định trong việc đưa ra trọng số của các tài sản trong danh mục đầu tư, một sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu có thể ảnh hưởng lớn đến trọng số của các tài sản trong danh

mục, dẫn đến sự khó khăn trong việc áp dụng lý thuyết MPT trong thực tế Michaud đã

mô tả hiện tượng này là “Markowitz enigma” Nghiên cứu của Frankfurter, Phillips và Seagle (1971) cũng khẳng định rằng việc ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu trong

mô hình MPT không mang lại kết quả vượt trội so với phương pháp lựa chọn danh mục theo phương pháp danh mục đầu tư có trọng số tương đương (equally weighted portfolio)

Dựa trên mô hình một nhân tố (Single – index model - SIM) được đưa ra bởi Sharpe (1964), các nhà nghiên cứu đã ước lượng ma trận hiệp phương sai để lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Ma trận hiệp phương sai được ước lượng từ mô hình một nhân tố sẽ được tính toán ∑ ∑ Trong nghiên cứu Senneret et al., 2016 đã cho thấy rằng mặc dù việc ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình một nhân tố cho các kết quả vượt trội hơn so với phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mẫu trong việc lựa chọn danh mục, tuy nhiên cả hai phương pháp ước lượng này đều nhạy cảm với sai số đến từ việc sử dụng vector lợi nhuận trung bình của mẫu để ước lượng

ma trận hiệp phương sai

Để khắc phục nhược điểm này của việc ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình SIM, Elton and Gruber (1973) đã đề xuất ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình Constant correlation model (CCM) với giả định rằng tất cả các cổ phiếu đều có tương quan giống nhau và đều bằng tương quan trung bình mẫu Thông qua giả định này giúp cho mô hình CCM giảm yếu tố nhiễu trong quá trình ước lượng ma trận hiệp phương sai Trong nghiên cứu Elton et al (2009) một lần nữa khẳng định rằng ma trận hiệp phương sai ước lượng từ CCM cho kết quả dự báo chính xác hơn so với ma trận hiệp phương sai được ước lượng từ mô hình SIM Tuy nhiên, khi so sánh kết quả này qua nhiều thời kỳ khác nhau có thể dẫn đến các kết quả khác nhau

Ledoit và Wolf (2003) đã đưa một phương pháp tiếp cận mới để ước lượng ma trận hiệp phương sai, gọi là Shrinkage Ma trận hiệp phương sai được ước lượng thông qua phương pháp shrinkage sẽ là kết hợp từ hai ma trận đó là ma trận SCM và ma trận mục tiêu Sự

kết hợp giữa hai ma trận này thông qua trọng số được gọi là Shrinkage intensity (σ) (∑ ( ) + σ∑ ) Ma trận hiệp phương sai được ước lượng từ phương pháp Shrinkage mang đặc tính cập nhật từ ma trận SCM và tính cấu trúc ổn định từ ma trận mục tiêu Ledoit và Wolf (2003) đã áp dụng phương pháp shrinkage để ước lượng

ma trận hiệp phương sai với ma trận mục tiêu là ma trận SIM Trong năm 2004, Ledoit và Wolf tiếp tục phát triển lý thuyết shrinkage này với ma trận mục tiêu là CCM và Identity Matrix Kết quả của phương pháp ước lượng này trong việc lựa chọn danh mục đầu tư cho kết qủa tốt hơn rất nhiều so với phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai truyền thống trước đây Tuy nhiên, phương pháp mới này chưa được kiểm định nhiều trên các thị trường tài chính chưa phát triển hoặc mới nổi

Cùng với sự phát triển của thị trường tài chính, số lượng tài sản đầu tư tăng lên một cách nhanh chóng, gấp nhiều lần so với số lượng mẫu nghiên cứu, đặt ra các vấn đề lớn cho các nhà nghiên cứu trong việc giải quyết bài toán ma trận hiệp phương sai để lựa chọn các danh mục đầu tư tối ưu Để giải quyết vấn đề này, các nhà nghiên cứu đã tiếp tục phát triển phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai từ phương pháp shrinkage tuyến tính sang shrinkage phi tuyến tính (nonlinear shrinkage) Phương pháp shrinkage phi tuyến tính cho thấy sự linh hoạt trong việc ước tính giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận hiệp phương sai so với phương pháp shrinkage tuyến tính, phương pháp mà chỉ có thể ước tính giá trị riêng thông qua hàm tuyến tính Ledoit và Wolf (2012, 2015) đã đưa ra hàm QuEST để ước lượng ma trận hiệp phương sai trong phương pháp Shrinkage phi tuyến tính với giả định số lượng tài sản đầu tư và mẫu dữ liệu quan sát đều tiến đến vô cùng (infinity), phương pháp này được gọi là indirect nonlinear shrinkage Lam (2016) tiếp tục cải tiến phương pháp shrinkage phi tuyến tính bằng việc giới thiệu cách tiếp cận mới NERCOME (Nonparametric Eigenvalue-Regularized COvariance Matrix Estimator) bằng việc tách mẫu quan sát thành 2 phần riêng biệt, một phần để tính toán eigenvectors

và một phần để tính toán eigenvalues liên quan đến các eigenvectors trên Ledoit và Wolf (2017, 2018) một lần nữa phát triển tính ứng dụng của phương pháp shrinkage phi tuyến tính bằng việc kết hợp sức mạnh của 3 yếu tố đó là tốc độ xử lý nhanh của phương pháp

shrinkage tuyến tính, mức độ chính xác của hàm QuEST và mức độ minh bạch và dễ giải thích của phương pháp NERCOME, phương pháp này được gọi là Direct nonlinear shrinkage Tuy nhiên đây vẫn là những phương pháp mới và chưa được ứng dụng nhiều trong thực tế, do những tranh cãi xung quanh tính ứng dụng của các phương pháp này

Khảo lược các nghiên cứu trong nước

Các mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng:

Các nghiên cứu trong nước liên quan đến việc lựa chọn danh mục đầu tư theo lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại chủ yếu theo hướng ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng Phương Nguyen (2012) đã sử dụng mô hình một nhân tố (SIM) để đo lường rủi ro và xác định lợi nhuận kỳ vọng của các cổ phiếu trong ngành xây dựng Linh Ho (2013) cũng sử dụng mô hình SIM để đo lường rủi ro và lợi nhuận kỳ vọng của các cổ phiếu ngành bất động sản niêm yết tại sở giao dịch chứng khoán TP.HCM Trong khi đó, Quoc Ho (2010) dựa vào mô hình CAPM và mô hình Fama – French 3 nhân tố để tối ưu hóa công tác quản lý danh mục đầu tư tại tổng công ty tài chính cổ phần dầu khí Việt Nam Tram Le (2014) ứng dụng mô hình 3 nhân tố của Fama – French để đo lường rủi ro và ước lượng lợi nhuận kỳ vọng của các cổ phiếu trên thị trường chứng khoán Việt Nam Tram Nguyen

& Xuan Pham (2017) đã vận dụng mô hình APT để đo lường rủi ro và lợi nhuận kỳ vọng

của các cổ phiếu ngành xây dựng tại sở giao dịch chứng khoán TP.HCM

Các mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số ma trận hiệp phương sai: Tuan Le (2010) đã vận dụng mô hình Markowitz để xây dựng danh mục đầu

tư chứng khoán tại thị trường chứng khoán Việt Nam Huyen Nguyen (2015) với đề tài ứng dụng lý thuyết tài chính hiện đại vào đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu tại thị trường chứng khoán Việt Nam Tuy nhiên các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai của mô hình tối ưu danh mục chủ yếu dựa vào phương pháp truyền thống đó

là phương pháp ước lượng dựa trên ma trận hiệp phương sai mẫu (SCM)

Khoảng trống nghiên cứu

Dựa trên việc khảo lược các nghiên cứu trong và ngoài nước, chúng ta có thể thấy rằng ước lượng lợi nhuận kỳ vọng và ma trận hiệp phương sai là hai yếu tố đầu vào hết sức quan trọng trong lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại và ảnh hưởng rất lớn đến kết quả lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Điều đó giải thích tại sao các nhà nghiên cứu và các nhà quản lý danh mục đầu tư đã giành rất nhiều thời gian nghiên cứu để cải thiện khả năng dự báo lợi nhuận kỳ vọng và ước lượng ma trận hiệp phương sai của danh mục đầu tư Xu hướng trước đây, họ chủ yếu tập trung vào hướng nghiên cứu thứ nhất đó là xây dựng các

mô hình để dự báo lợi nhuận kỳ vọng của danh mục đầu tư, tuy nhiên theo nhiều nghiên cứu đặc biệt là các nghiên cứu nổi tiếng từ Merton và Michaud đã cho thấy rằng rất khó

để dự báo lợi nhuận kỳ vọng của các tài sản trong danh mục đầu tư, việc dự báo này thường mang lại mức độ sai số lớn ảnh hưởng đến kết quả lựa chọn danh mục đầu tư tối

ưu Trong thời gian gần đây, hướng nghiên cứu thứ hai đó là ước lượng ma trận hiệp phương sai của danh mục đầu tư được các nhà nghiên cứu và các nhà quản lý danh mục hết sức quan tâm, vì tiềm năng của phương pháp này trong việc giảm mức độ sai số của

mô hình và cải thiện kết quả của danh mục đầu tư được lựa chọn

Bên cạnh đó, các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai truyền thống đang gặp phải nhiều khó khăn và không mang lại các kết quả như kỳ vọng do sự phát triển của thị trường tài chính dẫn đến số lượng tài sản đầu tư trên thị trường tăng một cách nhanh chóng và lớn hơn rất nhiều lần so với mẫu quan sát, từ đó đòi hỏi các phương pháp ước lượng mới cần phải được nghiên cứu và ứng dụng Tuy nhiên, vẫn có rất nhiều tranh cãi xung quanh tính ứng dụng và hiệu quả của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai trên các thị trường khác nhau Thêm nữa, các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai mới chủ yếu được áp dụng và kiểm định trên các thị trường phát triển, chưa có nhiều các nghiên cứu trên các thị trường tài chính mới nổi và chưa phát triển Tại Việt Nam, theo khảo lược của tác giả hầu như không có những nghiên cứu sâu về các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai để tối ưu danh mục đầu tư, các nhà

nghiên cứu ở Việt Nam chủ yếu thực hiện lựa chọn danh mục đầu tư thông qua theo hướng ước lượng lợi nhuận kỳ vọng của các tài sản trong danh mục đầu tư Các nghiên cứu ước lượng ma trận hiệp phương sai để tối ưu danh mục đầu tư tại Việt Nam chỉ xoay xung quanh việc sử dụng các phương pháp ước lượng truyền thống và không mang lại kết quả mong đợi khi số lượng tài sản đầu tư bắt đầu tăng nhanh trên thị trường tài chính

Đó là những lý do dẫn đến việc tác giả lựa chọn đề tài: “Shrinkage estimation of covariance matrix for portfolio selection on Vietnam stock market” làm chủ đề nghiên cứu cho bài luận án này

Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là muốn xem xét sự thay đổi của yếu tố ma trận hiệp phương sai sẽ tác động đến kết quả lựa chọn danh mục đầu tư như thế nào và thông qua

đó tìm hiểu xem liệu các nhà đầu tư có thể cải thiện hiệu quả hoạt động của danh mục đầu tư bằng việc điều chỉnh ma trận hiệp phương sai trong mô hình tối ưu hóa với phương sai nhỏ nhất hay không Bên cạnh đó, dựa trên kết quả của các tiêu chí đánh giá danh mục đầu tư, bài luận án sẽ lựa chọn phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai phù hợp nhất trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Để đạt được mục tiêu trên, bài luận án cần phải trả lời ba câu hỏi như sau:

Câu hỏi 1: Các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai được nghiên cứu sẽ thể

hiện như thế nào trên các tiêu chí đánh giá danh mục đầu tư như lợi nhuận, mức độ biến động, chỉ số Sharpe, mức độ thay đổi trạng thái danh mục, mức lỗ tối đa, tỷ lệ chiến thắng và hệ số Alpha của danh mục?

Câu hỏi 2: Các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai sẽ bị tác động như thế

nào khi số lượng cổ phiếu trong danh mục đầu tư có sự thay đổi?

Câu hỏi 3: Kết quả từ việc điều chỉnh ma trận hiệp phương sai trong mô hình tối ưu có

thể đánh bại được các danh mục đầu tư tiêu chuẩn trên thị trường và phương pháp lựa chọn danh mục đầu tư theo truyền thống hay không?

Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu và trả lời được các câu hỏi trên, tác giả đã áp dụng một

số phương pháp nghiên cứu được trình bày trong bài luận án như sau:

Thứ nhất, sáu phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai sẽ được sử dụng trong bài

luận án này để kiểm tra sự thay đổi của ma trận hiệp phương sai tác động như thế nào đến việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Những phương pháp ước lượng này gồm có: ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu (SCM), ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình một nhân tố (SIM), ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình tương quan cố định (CCM), ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn trên mô hình một nhân tố (SSIM), ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn trên mô hình tương quan cố định (SCCM) và ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn trên ma trận đơn vị (STIM) Trong đó, phương pháp ước lượng SCM được xem là mô hình ước lượng mẫu theo cách truyền thống, phương pháp SIM và CCM được xem là các mô hình tiếp cận theo phương pháp nhân tố (model – based), trong khi đó phương pháp SSIM, SCCM và STIM là những mô hình ước lượng được xây dựng dựa trên kỹ thuật co gọn (shrinkage) Và những

ma trận hiệp phương sai được ước lượng bởi những phương pháp này sẽ là yếu tố đầu vào trong mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất để lựa chọn ra các danh mục đầu tư tối ưu

Thứ hai, để đánh giá tính hiệu quả và khả năng ứng dụng của các phương pháp ước lượng

ma trận hiệp phương sai được đề cập trong luận án, một tiến trình kiểm định (back – testing process) dựa trên ngôn ngữ Python được xây dựng và áp dụng trong nghiên cứu này Tiến trình kiểm định được mô phỏng và phát triển trên nền tảng nghiên cứu của Tran

et al (2020) Các tính chất thống kê của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai sẽ được kiểm định và làm rõ trong tiến trình kiểm định, từ đó cung cấp một

cái nhìn sâu sắc về việc liệu các phương pháp ước lượng trên có thể đạt được hiệu quả và tạo ra lợi nhuận trong thực tế hay không

Thứ ba, các tiêu chí đo lường danh mục đầu tư sẽ được tính toán và ước lượng thông qua

tiến trình kiểm định nhằm đánh giá tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng Bên cạnh những tiêu chí cơ bản đo lường tính hiệu quả của danh mục đầu tư như lợi nhuận và rủi ro biến động của danh mục, nhiều tiêu chí đo lường khác cũng được sử dụng trong bài nghiên cứu này như chỉ số Sharpe, mức độ thay đổi trạng thái danh mục, mức lỗ tối đa, tỷ

lệ chiến thắng và hệ số Alpha của danh mục Để tính toán các chỉ tiêu đánh giá danh mục đầu tư, bài luận án đã sử dụng kỹ thuật “rolling – horizon”, đây là một phương pháp lập lịch phản ứng để giải quyết lặp đi lặp lại vấn đề xác định bằng cách di chuyển về phía trước sau mỗi lần tối ưu, giả định rằng trạng thái của hệ thống được cập nhật mới ngay sau khi các tham số đã được tìm thấy tại mỗi thời điểm tối ưu bằng việc loại bỏ điểm dữ liệu cũ nhất và thay bằng điểm dữ liệu mới nhất Kỹ thuật “rolling – horizon” giúp cho nhà đầu tư cập nhật hoặc điều chỉnh dữ liệu đầu vào của họ để lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu dựa trên thông tin hiện có Kỹ thuật này sẽ được tác giả trình bày chi tiết trong phần sau của bản tóm tắt Bên cạnh đó, dữ liệu đầu vào cho quá trình kiểm định là chuỗi

dữ liệu giá hàng tuần của các cổ phiếu, chuỗi dữ liệu này sẽ được sử dụng để tính toán lợi nhuận hàng tuần của các cổ phiếu trong quá trình tối ưu Thêm nữa, khi các chỉ tiêu đo lường được tính toán trong hệ thống kiểm định, yếu tố chi phí giao dịch cũng sẽ được xem xét tại mỗi lần danh mục thay đổi trạng thái tối ưu

Cuối cùng, tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai sẽ

được so sánh dựa trên kết quả của các chỉ tiêu đo lường danh mục đầu tư Để chắc chắn rằng có sự khác biệt rõ ràng về kết quả các chỉ tiêu giữa hai phương pháp ước lượng, giá trị “p – values” sẽ được tính toán dựa trên phương pháp “bootstrapping” được đề cập trong phương pháp nghiên cứu của DeMiguel (2009)

Những điểm mới và kỳ vọng đóng góp của đề tài

Thứ nhất, thông qua nghiên cứu thực nghiệm trên thị trường chứng khoán Việt Nam, luận

án kỳ vọng sẽ bổ sung thêm những bằng chứng cụ thể cho thấy rằng các nhà đầu tư có thể cải thiện kết quả đầu tư danh mục của họ bằng việc sử dụng các phương pháp ước lượng nhằm điều chỉnh một trong những yếu tố quan trọng đầu vào của mô hình tối ưu danh mục đó là ma trận hiệp phương sai Kết quả nghiên cứu thực nghiệm cho thấy rằng các phương pháp điều chỉnh ma trận hiệp phương sai dựa trên phương pháp model – based (SIM, CCM) và phương pháp co gọn - shrinkage (SSIM, SCCM, STIM) đều cho kết quả vượt trội hơn nhiều so với phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai truyền thống (SCM) trên các tiêu chí về lợi nhuận, mức độ rủi ro danh mục, chỉ số sharpe, mức độ thay đổi trạng thái danh mục, mức độ lỗ tối đa, tỷ lệ chiến thắng và hệ số Alpha Đặc biệt sự vượt trội càng thể hiện rõ khi số lượng cổ phiếu xem xét trong danh mục đầu tư có xu hướng tăng lên

Thứ hai, trong số các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai được nghiên cứu

trong luận án, kết quả sẽ cho thấy rằng ước lượng ma trận hiệp phương sai theo phương pháp co gọn (shrinkage) cho kết quả lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu nhất so với các phương pháp ước lượng còn lại và so với các danh mục tiêu chuẩn của thị trường trên hầu hết các tiêu chí đánh giá, đặc biệt trong trường hợp số chiều của ma trận tăng cao, tính hiệu quả của phương pháp shrinkage càng được thể hiện rõ Bên cạnh đó, phương pháp

co gọn trên mô hình tương quan cố định (SCCM) phản ánh mức độ hiệu quả trong việc lựa chọn danh mục đầu tư hơn so với phương pháp co gọn trên mô hình một nhân tố (SSIM) và phương pháp co gọn trên ma trận đơn vị (STIM)

Thứ ba, tính mới của luận án còn được thể hiện thông qua việc luận án đã thực hiện việc

nghiên cứu và đánh giá tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai dưới sự tác động của yếu tố chi phí giao dịch và sự thay đổi của số lượng cổ phiếu trong danh mục đầu tư Cụ thể luận án đã đánh giá tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng khi số lượng cổ phiếu trong danh mục thay đổi từ N = 50 đến N = 350,

đồng thời chi phí giao dịch được tính đến tại mỗi thời điểm thay đổi trạng thái của danh mục (rebalancing point) là 0.3%, đây là mức chi phí phù hợp với mức phí giao dịch trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Thứ tư, một điểm mới nữa của luận án đó là việc sử dụng đa dạng các tiêu chí đo lường

tính hiệu quả của danh mục đầu tư Để có góc nhìn đa chiều và sự đánh giá hợp lý về tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai trong việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu, bên cạnh việc sử dụng các tiêu chí đánh giá danh mục đầu tư thông thường như lợi nhuận và rủi ro của danh mục, luận án đã bổ sung thêm nhiều tiêu chí đánh giá danh mục đầu tư khác như chỉ số Sharpe, mức độ thay đổi trạng thái danh mục, mức độ lỗ tối đa, tỷ lệ chiến thắng và hệ số Alpha Đây có thể được xem là nỗ lực của tác giả trong việc phân tích tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai so với các nghiên cứu trước đây

Cuối cùng, luận án được nghiên cứu và thực hiện trên thị trường chứng khoán Việt Nam,

đây được xem là một trong những thị trường tài chính mới nổi có đặc điểm và cấu trúc khác biệt so với những thị trường tài chính phát triển khác như thị trường Mỹ, Châu Âu…mà các nghiên cứu trước đó thường tập trung nghiên cứu

Kết cấu của luận án

Luận án gồm có 6 chương, trong đó chương 1 sẽ giới thiệu về vấn đề cần nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu, câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, những điểm mới và

kỳ vọng đóng góp của đề tài, và cấu trúc của bài luận án Trong chương 2, luận án sẽ thực hiện việc đánh giá một cách tổng thể các nghiên cứu trước đây liên quan đến việc tối ưu hóa danh mục danh mục đầu tư trước khi phát triển khung lý thuyết và phương pháp luận

cụ thể trong các chương tiếp theo Trong chương 3, luận án sẽ trình bày khung lý thuyết làm nền tảng cơ sở cho luận án bao gồm mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu, yếu tố đầu vào của mô hình và các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai trong mô hình tối ưu Trong chương 4, luận án sẽ áp dụng cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu phù hợp để trả lời các câu hỏi được đặt ra trong bài nghiên cứu nhằm đạt được mục

tiêu nghiên cứu đề ra Chương 5 của luận án sẽ trình bày về các kết quả thực nghiệm dựa trên các kết quả kiểm định được ước tính từ mô hình nghiên cứu Trong chương 6, luận

án sẽ đưa ra các kết luận về kết quả nghiên cứu và thảo luận về các hướng nghiên cứu tiếp theo trong tương lai

Trong phần nội dung tiếp theo, tác giả sẽ tập trung trình bày tóm tắt về các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai được áp dụng trong luận án, phương pháp nghiên cứu

và kết quả nghiên cứu của luận án

CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI

Ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu (SCM)

Giả sử là lợi nhuận trong quá khứ của tài sản i trong khoảng thời gian t, ̅ là lợi nhuận trung bình trong quá khứ trong khoảng thời gian [1,T] ̅ của tài sản i sẽ được xác định như sau:

̅ = ∑

Hiệp phương sai mẫu giữa hai tài sản i, j bất kỳ sẽ được xác định bởi công thức sau:

Cov( , ) =

∑ ( - ̅) ( - ̅) = ̂ Dựa trên công thức trên, ma trận hiệp phương sai mẫu với N tài sản trong danh mục đầu

tư sẽ được ước lượng như sau:

Ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình một nhân tố (SIM)

Mô hình SIM thường được gọi là mô hình đơn hoặc một nhân tố bởi vì mô hình này giả định rằng lợi nhuận của mọi tài sản trên thị trường đều bị ảnh hưởng bởi phần còn lại của thị trường Thông qua mô hình SIM, lợi nhuận của một tài sản được xác định như sau:

̂ = + ̂ +

Trong đó, ̂ là lợi nhuận ước lượng của tài sản i trong thời gian t, ̂ là lợi nhuận ước lượng của thị trường, là sai số của mô hình, α và β là các hệ số được xác định thông qua phương pháp hồi quy OLS Mô hình này giả định rằng độc lập (Cov[ , ] = 0) và không có sự tương quan với lợi nhuận của thị trường ̂ (Cov[ ̂ , ] = 0) Sai số tuân theo phân phối chuẩn Var[ ] = và E[ ] = 0

Dựa trên kết quả ước lượng lợi nhuận của tài sản i, phương sai của tài sản i được xác định như sau:

Ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mô hình tương quan cố định (CCM)

Khi nhà đầu tư sử dụng mô hình một nhân tố để ước lượng ma trận hiệp phương sai, điều

đó cho thấy họ đang dựa trên giả định rằng tỷ suất lợi nhuận của các cổ phiếu trong danh mục chịu tác động lớn bởi tỷ suất lợi nhuận của thị trường Trong khi đó, nếu họ sử dụng

mô hình tương quan cố định để ước lượng ma trận hiệp phương sai, tức là họ đang dựa trên một giả định khác đó là tất cả các cặp cổ phiếu trong danh mục đều có mức độ tương quan giống nhau và bằng mức độ tương quan trung bình mẫu Do đó, ma trận hiệp phương sai được ước lượng từ mô hình tương quan cố định sẽ được xác định bởi các công thức như sau:

Đầu tiên, mức độ tương quan giữa hai cổ phiếu i, j ( ) được xác định như sau:

=

√ Trong đó: S là ma trận hiệp phương sai mẫu và là phần tử của ma trận S

Và mức độ tương quan trung bình mẫu của các cổ phiếu trong danh mục:

̅ ( ) ∑ ∑

Ước lượng ma trận hiệp phương sai dựa trên phương pháp co gọn (shrinkage

estimators of covariance matrix – SSIM, SCCM, STIM)

Ma trận hiệp phương sai được ước lượng từ phương pháp co gọn là sự kết hợp tuyến tính giữa ma trận hiệp phương sai mẫu và ma trận co gọn mục tiêu thông qua trọng số được gọi là hệ số co gọn (shrinkage intensity – σ) Sự kết hợp này được thể hiện thông qua công thức tổng quát: ∑ ( ) + σ ∑ (0 ) Điểm nổi bật của phương pháp này là có khả năng phát huy được ưu điểm của từng phương pháp ước lượng riêng lẻ nhằm tạo ra ma trận hiệp phương sai mới mang các đặc điểm phù hợp hơn trong việc lựa chọn danh mục đầu tư Chẳng hạn như ưu điểm lớn nhất của phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu ( ) là khả năng dễ tính toán và mức độ chính xác so với ma trận hiệp phương sai kỳ vọng, tuy nhiên hạn chế lớn nhất của nó là sẽ có sai số lớn xảy ra khi số lượng cổ phiếu trong danh mục đầu tư vượt quá số lượng mẫu quan sát Trong khi đó, ma trận co gọn mục tiêu ( ∑ ) có cấu trúc ổn định cao và giải quyết được hạn chế này, tuy nhiên nó thường bị thiên lệch và không đảm bảo độ chính xác và mức độ cập nhật so với ma trận hiệp phương sai kỳ vọng (True covariance matrix) Phương pháp ước lượng co gọn giúp làm giảm các sai số phát sinh trong quá trình ước lượng nhưng vẫn đảm bảo tính chất dự báo chính xác của ma trận hiệp phương