SKKN phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập cực trị số phức

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Về nội dung môn Toán: Trong hệ thống kiến thức được đưa vào chương trìnhgiảng dạy cho học sinh THPT, ngoài những nội dung quen thuộc của môn Toánthì Số phức đã được đưa

MỤC LỤC

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 2

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2

II ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

III MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

VI ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI 3

PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

I CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

1 Tư duy 4

2 Tư duy sáng tạo 6

II CƠ SỞ KHOA HỌC 8

III THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 10

Khảo sát thực trạng dạy học chủ đề số phức ở trường phổ thông 10

1 Thực trạng nội dung dạy học chủ đề số phức lớp 12 10

2 Thực trạng dạy học chủ đề cực trị số phức ở trường phổ thông 11

IV ÁP DỤNG THỰC TẾ KHI DẠY 16

PHẦN 1 HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 16

1 Tìm phần thực, phần ảo của một số phức 16

2 Tính môđun của số phức 17

3 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện nào đó 18

4 Phương trình trong tập số phức 19

5 Tìm tập hợp điểm 25

Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 29

Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn 30

Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường Elip hoặc đoạn thẳng 31

PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỰC TRỊ SỐ PHỨC .33

1 Dạng 1 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện K nào đó cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 33

2 Dạng 2 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện K nào đó cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của w 46

3 Dạng 3 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện K nào đó cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm M biểu diễn cho số phức z đến hai điểm cố định 57

PHẦN III: KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Về nội dung môn Toán: Trong hệ thống kiến thức được đưa vào chương trìnhgiảng dạy cho học sinh THPT, ngoài những nội dung quen thuộc của môn Toánthì Số phức đã được đưa vào chương trình Giải tích 12 Mục tiêu chính của việcđưa nội dung số phức vào chương trình môn toán ở trường THPT là hoàn thiện

hệ thống số và khai thác một số ứng dụng khác của số phức trong Đại số, trongHình học và trong Lượng giác Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu pháttriển của Toán học về giải những phương trình đại số Từ khi ra đời số phức đãthúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoahọc và kỹ thuật

Bài toán về số phức là bài toán được sử dụng nhiều trong các kì thi tuyểnsinh Đại học và Cao đẳng, …Đặc biệt những bài toán về cực trị số phức là nhữngdạng toán khó của chuyên đề số phức, đứng trước một bài toán cực trị về số phức,học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải định hướng tìm lời giải bài toán

từ đâu?”

Đối với HS bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thờilượng không nhiều, HS mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức,việc khai thác các bài toán cực trị về số phức còn hạn chế, đặc biệt khi giải các bàitoán cực trị số phức phải sử dụng kiến thức hình học phẳng và lượng giác là mộtvấn đề khó, đòi hỏi HS phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học Tuy nhiên dạy cho HS khá giỏi biết vận dụng linhhoạt kiến thức hình học phẳng để giải các bài toán cực trị số phức có tác dụng lớntrong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS, đồng thời giúp HS khắc sâu, tổnghợp, hệ thống hóa được kiến thức cơ bản, dạng toán quen thuộc, giải quyết đượcmột số bài toán khó, phức tạp chưa có thuật toán Để đáp ứng được điều đó cũngđòi hỏi GV phải có hiểu biết cần thiết, có cách nhìn sâu sắc hơn về cực trị Sốphức Mặc dù vậy SGK Giải tích 12 đưa số lượng bài tập cực trị số phức vàokhông nhiều Hơn nữa, qua tìm hiểu thực tế giảng dạy thì vấn đề đưa số phức trởthành công cụ giải toán cho HS chưa được GV quan tâm và coi trọng đúngmức Vì vậy, thực tế yêu cầu cần phải trang bị cho học sinh một hệ thống cácphương pháp suy luận giải toán cực trị số phức Với ý định đó, tôi chọn đề tài:

“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập cực trị số phức”.

II ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu phần số phức và một số dạng toán cực trị về số phức thuộc phânmôn Giải Tích 12 THPT

III MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Góp phần giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán cực trị

về số phức

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu người dạy chú trọng đến việc trang bị cho học sinh hệ thống kiến thứcvững chắc về số phức, cũng như phân loại một cách tương đối các dạng bài toáncực trị số phức sẽ góp phần quan trọng cho học sinh luyện thi tuyển sinh vào Đạihọc

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu tài liệu để xây dựng hệ thống bài tập khai thác các dạng toáncực trị số phức

- Đúc rút kinh nghiệm và tham khảo ý kiến đóng góp của các thầy cô giáođồng nghiệp

VI ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Đã trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toáncực trị số phức

- Đã chú trọng triển khai hướng dẫn cho học sinh biết cách phân tích bản chấtcủa bài toán về số phức để có định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán cực trị

Thứ nhất, là năng lực đối với việc học toán đó là nắm một cách nhanh và tốtcác kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng của giáo trình toán học ở trường phổthông (năng lực học tập tái tạo)

Thứ hai, là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quảmới và có giá trị đối với loài người (năng lực sáng tạo khoa học)

Vậy tư duy, tư duy sáng tạo là gì và làm thế nào để phát triển tư duy sáng tạocho học sinh?

1 Tư duy

1.1 Khái niệm tư duy

Dưới góc độ giáo dục, có thể hiểu tư duy là hệ thống gồm nhiều ý tưởng, tức

là gồm nhiều biểu thị tri thức về một vật hay một sự kiện Nó dùng suy nghĩ hay táitạo suy nghĩ để hiểu hay giải quyết một việc nào đó Theo cách hiểu đơn giản nhất,

tư duy là một loạt những hoạt động của bộ não diễn ra khi có sự kích thích Nhữngkích thích này nhận được thông qua bất kỳ giác quan nào trong năm giác quan: xúcgiác, thị giác, thính giác, khứu giác hay vị giác

1.2 Đặc điểm của tư duy

Tư duy thuộc các mức độ nhận thức lý tính nên có các đặc điểm sau:

a) Tính có vấn đề

Vấn đề là những tình huống, hoàn cảnh chứa đựng một mục đích, một vấn đềmới mà những hiểu biết cũ, những phương pháp hành động cũ tuy còn cần thiếtnhưng không đủ sức để giải quyết

b) Tính gián tiếp của tư duy

- Tính gián tiếp của tư duy còn được thể hiện ở chỗ trong quá trình tư duy conngười sử dụng các công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy móc,…) đểnhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri thức chúng

- Tư duy còn được thể hiện qua ngôn ngữ

c) Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

- Trừu tượng là dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những mốiquan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư duy

- Khái quát là dùng trí óc để hợp nhất những đối tượng khác nhau thành mộtnhóm, một loại, một phạm trù theo những thuộc tính, liên hệ quan hệ chung nhất định

d) Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Tư duy mang tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái quát là do

nó gắn chặt với ngôn ngữ Tuy duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết vớinhau Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy của con người không thể diễn rađược Đồng thời những sản phẩm của tư duy không được chủ thể và người kháctiếp nhận

- Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt lại kết quảcủa tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và cho bảnthân chủ thể tư duy Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là nhữngchuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ làphương tiện của tư duy

e) Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

- Tư duy phải dựa vào nhận thức cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trựcquan sinh động Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhậnthức cảm tính này mà nảy sinh tình huống có vấn đề Nhận thức cảm tính là mộtkhâu của mối quan hệ trực tiếp giữa tư duy và hiện thức, là cơ sở của những kháiquát kinh nghiệm dưới dạng những khái niệm, quy luật, là chất liệu của khái quát

hiện thực theo một nhóm, một lớp, một phạm trù mang tính quy luật trong quátrình tư duy

1.3 Các giai đoạn của tư duy

Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễnbiến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác tatìm được câu hỏi cần giải đáp

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cáchgiải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếugiả thiết sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả và đưa ra sử dụng

Sơ đồ của quá trình tư duy do K.K.Platônôp xây dựng:

Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ, có nhiều thaotác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể: phân tích, tổng hợp, so sánh,trừu tượng hóa, khái quát hóa

1.4 Các thao tác tư duy

- Phân tích: Là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thànhcác bộ phận, các thành phần khác nhau; từ đó vạch ra được những thuộc tính,những đặc điểm của đối tượng nhận thức hay xác định các bộ phận của một tổngthể bằng cách so sánh, phân loại, đối chiếu, làm cho tổng thể được hiển minh

- Tổng hợp: Là quá trình dùng trí óc để hợp nhất, sắp xếp hay kết hợp những

bộ phận, những thành phần, những thuộc tính của đối tượng nhận thức đã đượctách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể để từ đó nhận thức đối tượng một

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thiết

Kiểm tra giả thiết

Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy

cách bao quát, toàn diện hơn Trong tư duy, tổng hợp là thao tác được xem là mangdấu ấn sáng tạo.

- So sánh: Là thao tác tư duy nhằm “xác định sự giống nhau và khác nhaugiữa các sự vật, hiện tượng của hiện thực” Nhờ so sánh người ta có thể tìm ra cácdấu hiệu giống nhau và khác nhau của các sự vật Ngoài ra còn tìm thấy những dấuhiệu bản chất và không bản chất thứ yếu của chúng

- Trừu tượng hóa: Là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộctính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, chỉ giữ lại những yếu tố đặc trưng, bảnchất của đối tượng nhận thức

- Khái quát hóa: Là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng khácthành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ, những quan hệchung, bản chất của sự vật, hiện tượng Kết quả của khái quát hóa là cho ta mộtđặc tính chung của hàng loạt các đối tượng cùng loại hay tạo nên nhận thức mớidưới hình thức khái niệm, định luật, quy tắc

2 Tư duy sáng tạo

2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong Từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyếtvấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo baogồm 2 ý chính: có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (có giá trị hơncái cũ) Như vậy sự sáng tạo bao giờ cũng cần thiết cho bất cứ hoạt động nào của

xã hội loài người Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duyđộc lập và tư duy sáng tạo, V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn các quan hệ đódưới dạng vòng tròn đồng tâm Đó là mỗi mức độ tư duy khác nhau mà mức độ tưduy đi trước là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau Trong tư duy sáng tạo có tư duytích cực và tư duy độc lập, nhưng không phải tư duy tích cực nào cũng là tư duyđộc lập và không phải mọi tư duy độc lập là tư duy sáng tạo

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và

sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạobiểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm bước đi mới (khả năng tìm nhiềuGiảikhácnhau cho mỗi bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của mộtbài toán, xem xét các kết quả khác nhau của một bài toán)

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó chưa biết

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo

- Tính mềm dẻo: Là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sanghoạt động trí tuệ khác

- Tính thuần thục: Là thể hiện khả năng làm chủ tư duy, làm chủ kiến thức, kỹnăng và thể hiện tính đa dạng của các cách xử lý, giải quyết vấn đề

- Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức lạ và duynhất

- Tính chi tiết: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa các ý nghĩ và hànhđộng, phát hiện ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng Nó làm cho tư duy trởthành một quá trình, từ chỗ xác định được vấn đề cần giải quyết, huy động vốnkiến thức kinh nghiệm để có thể sử dụng để giải quyết đến cách giải quyết, kiểmtra kết quả Nghĩa là những ý tưởng sáng tạo phải thoát ra biến thành sản phẩm cóthể quan sát được

2.3 Một số vấn đề về dạy tư duy và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

2.3.1 Quan niệm về “dạy tư duy”

Dạy tư duy hay dạy người học tư duy là làm cho người học biết cách để tưduy tốt, có kỹ năng để tư duy hiệu quả hơn Thể hiện ở chỗ họ biết tư duy đúng vàbiết vận dụng các thành tố tư duy vào “chiến lược” giải quyết vấn đề Dạy tư duy

là dạy cho người học vận dụng được nhiều trạng thái tư duy và vận dụng các trạngthái tư duy một cách có hiệu quả

Với dạy tư duy, giáo viên sẽ là người trung gian tạo nên xúc tác đưa học sinh

và môi trường học, sắp xếp, tổ chức lại các điều kiện nhằm cho tư duy của học sinhđược hoạt động còn tư duy của học sinh được thiết lập thông qua sự rèn luyện cóhướng dẫn của giáo viên

Tóm lại, dạy tư duy làm cho học sinh trở thành người tư duy tích cực hơn, cụthể như:

* Làm cho người học biết tư duy tốt hơn trong cả học tập lẫn cuộc sống

* Làm cho người học phát huy được hết tiềm năng, thế mạnh của bản thân màtiềm năng, thế mạnh ấy không bị thui chột đi vì không được quan tâm phát triển

* Làm cho người học khắc phục được những thiếu sót, hạn chế trong kỹ năng

tư duy của họ

2.3.2 Phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh

a) Khái niệm phát triển

Theo định nghĩa thông dụng, khái niệm “phát triển” được hiểu là “sự vậnđộng tiến triển theo chiều hướng tăng lên”, là “biến đổi hoặc làm cho biến đổi từ ítđến nhiều, là sự vận động từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp”

b) Phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo

Phát triển trí tuệ nói chung, tư duy sáng tạo nói riêng là một vấn đề phức tạpcủa cả triết học, tâm lý học và giáo dục học Ở đây phát triển tư duy sáng tạo chỉxét dưới góc độ giáo dục học Phát triển tư duy sáng tạo là làm cho tư duy của họcsinh thể hiện được các đặc trưng của tư duy sáng tạo trong quá trình học tập Như

vậy, thực chất của phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là việc phát triển nănglực sáng tạo trong quá trình học tập của học sinh.

c) Biện pháp phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh

Biện pháp phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh là tổ hợpcác tác động có định hướng của chủ thể dạy giáo viên đến chủ thể học học sinh, tậptrung vào quá trình học tập của học sinh nhằm hình thành và phát triển các phẩmchất, đặc trưng của tư duy sáng tạo ở học sinh, làm cho quá trình tư duy của họcsinh trong việc giải quyết các nhiệm vụ học tập thể hiện được những nét đặc trưngcủa tư duy sáng tạo Biện pháp chung hoặc nhóm biện pháp thường được thể hiệnbằng các biện pháp cụ thể

II CƠ SỞ KHOA HỌC

1 Khái niệm số phức

Số phức (dạng đại số) có dạng z a bi  với ,a b  , a gọi là phần thực,

b gọi là phần ảo, i là đơn vị ảo, i  2 1

z là số thực  phần ảo của số phức z bằng 0b  0

z là số thuần ảo  phần thực của số phức z bằng 0a  0

Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo

điểm M a b trong mặt phẳng Oxy Ta có quan hệ ; 

tương ứng 1 1 giữa tập các số phức với tập hợp điểm

trong mặt phẳng Oxy Do vậy mặt phẳng Oxy còn

5 Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z a bi a b   ,   là số

  với M a b là điểm biểu diễn số phức  ;  z a bi a b   ,  

gọi là môđun của số phức z a bi a b   ,   , kí hiệu  z  a2 b2

8 Căn bậc hai của số phức

w x yi  x y  là căn bậc hai của số phức ,  z a bi a b   ,   khi và chỉ khi

- Số z  có hai căn bậc hai đối nhau là w và w0 

- Hai căn bậc hai của số thực a  là 0  a

- Hai căn bậc hai của số thực a  là 0  i a

9 Giải phương trình bậc hai Az2 Bz C 0 *  A B C, , ,A0

* Tính  B2 4AC   2, là 1 căn bậc hai của .

*   : pt(*) có hai nghiệm phân biệt 0 2

B z

A



Chú ý: Nếu , ,A B C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì z cũng là

nghiệm của pt(*) Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số

thực thì ta biết được nghiệm còn lại

III THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Khảo sát thực trạng dạy học chủ đề số phức ở trường phổ thông.

1 Thực trạng nội dung dạy học chủ đề số phức lớp 12.

Nội dung dạy học kiến thức số phức chương trình lớp 12 gồm 15 tiết, trong đó

có 7 tiết lý thuyết, 2 tiết luyện tập và 6 tiết tự chọn bám sát

§1 Số phức

1 Kiến thức

- Hiểu được nhu cầu mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số phức

- Hiểu các khái niệm số phức, phần thực, phần ảo của một số phức

- Biết biểu diễn một số phức trên mặt phẳng tọa độ

- Hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm môđun và số phức liên hợp

2 Kỹ năng

- Biết cách tìm phần thực, phần ảo của một số phức

- Biết cách biểu diễn một số phức trên mặt phẳng tọa độ

- Biết cách tìm môđun và số phức liên hợp của một số phức

§3 Phép chia số phức

1 Kiến thức

- Hiểu được phép chia cho số phức khác không

2 Kỹ năng

- Biết thực hiện thành thạo phép chia hai số phức

- Biết thực hiện thành thạo các phép tính trong một biểu thức chứa các sốphức

§4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

1 Kiến thức

- Biết tìm căn bậc hai của một số thực âm và giải phương trình bậc hai với hệ

số thực trong mọi trường hợp của biệt số 

2 Kỹ năng

- Tính được căn bậc hai của một số thực âm

- Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp của biệt

số 

2 Thực trạng dạy học chủ đề cực trị số phức ở trường phổ thông.

Đối tượng khảo sát: Học sinh các lớp 12T1, 12T2, 12A1, 12A2, 12D1, 12T5của trường THPT Hà Huy Tập và các giáo viên dạy Toán ở các lớp đó

Hình thức khảo sát: Lập phiếu khảo sát dành cho học sinh và giáo viên

Mục đích khảo sát: Tìm hiểu phương pháp, cách thức tổ chức hoạt động nhằmphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học chủ đề cực trị số phức Kết quả khảo sát

2.1 Khảo sát giáo viên

- Khi dạy học chủ đề cực trị số phức Thầy (cô) có quan tâm đến việc tổ chứccác hoạt động nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh không ?

Tổng phiếu Nội dung Số giáo viên chọn Tỉ lệ

d Không quan tâm 0 0

- Thầy (cô) nhận thấy tầm quan trọng của việc tổ chức dạy học chủ đề cực trị

số phức nhằm phát triển nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh như thế nào?

Tổng phiếu Nội dung Số giáo viên chọn Tỉ lệ

Tổng phiếu Nội dung Số giáo viên chọn Tỉ lệ

Tổng phiếu Nội dung Số giáo viên chọn Tỉ lệ

b Hiệu quả 2 33

- Khi dạy các bài toán cực trị về số phức nên dạy bằng giáo án điện tử, sửdụng hình ảnh trực quan thì sẽ giúp học sinh dễ hiểu và hứng thú trong học tậphơn

Tổng phiếu Nội dung Số giáo viên chọn Tỉ lệ

Chương số phức được đưa vào cuối chương trình sách giáo khoa giải tích 12 chonên học sinh và giáo viên cũng ít quan tâm, đặc biệt các bài toán cực trị số phức

Lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về cực trị số phức trong Sách giáokhoa còn nhiều hạn chế

Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặpkhông ít những khó khăn

2.2 Khảo sát dành cho học sinh.

Tổng phiếu Nội dung Số học sinh chọn Tỉ lệ

120

- Đối với chủ đề cực trị số phức em thích học theo hình thức nào ?

Đối với học sinh tư duy nhanh thì tỏ ra thích thú khi học tập chủ đề cực trị sốphức, tuy nhiên vẫn còn một phần học sinh có thái độ học tập chưa tự giác tíchcực, các em không chịu suy nghĩ thì không hứng thú khi học chủ đề cực trị sốphức Ngoài ra học sinh còn gặp một số khó khăn trong việc tìm ra lời giải cho bàitoán, vì dạng bài tập khá phong phú và theo trình tự các bước, học sinh cần biếtcách phân tích, diễn giải, suy luận trong việc tìm ra lời giải trong từng bài toán.Qua kết quả khảo sát, trao đổi cùng giáo viên và học sinh trường THPT HàHuy Tập, tôi rút ra nhận xét rằng giáo viên nhận thấy tầm quan trọng của việc tổchức dạy học chủ đề cực trị số phức nhằm giúp cho học sinh phát triển tư duy sángtạo, việc tổ chức dạy học chủ đề cực trị số phức này cũng mang lại những hiệu quảđáng kể Một bộ phận học sinh cũng yêu thích việc học chủ đề cực trị số phức Tuy

nhiên việc tổ chức dạy học chủ đề cực trị số phức sự tham gia của các em chưanhiều Việc khảo sát chính là cơ sở để tôi đề ra một số biện pháp tích cực nhằmkhắc phục những hạn chế này.

3 Thực trạng tình hình dạy học chủ đề phức nhằm phát triển nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ởcuối lớp 12

Chương số phức được đưa vào cuối chương trình sách giáo khoa giải tích 12 chonên học sinh và giáo viên cũng ít quan tâm, đặc biệt các bài toán cực trị số phức

Lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa cònnhiều hạn chế

Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặpkhông ít những khó khăn

Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thếgiới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, vàthực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế

Bài toán về số phức là bài toán được sử dụng nhiều trong các kì thi tuyểnsinh Đại học và Cao đẳng, … đặc biệt đứng trước một bài toán cực trị về số phức,học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải định hướng tìm lời giải bài toán

từ đâu?”

Chính vì vậy để giải quyết tốt các vấn đề trên tôi thực hiện theo hai nội dung chính:

- Phân dạng một số dạng toán thường gặp về số phức ở bậc THPT

- Rèn luyện tư duy phát triển một số bài toán về cực trị số phức trong giảitoán ở bậc THPT

IV ÁP DỤNG THỰC TẾ KHI DẠY

D

3

Vậy phần ảo của số phức zlà 2. Chọn đáp án B

2 Tính môđun của số phức

4 Phương trình trong tập số phức

Trong mục này ta xét việc giải phương trình trong đó ẩn số của mỗi phương trình

là một số phức z Điểm khác biệt với phương trình trong tập số thực là phương

trình phức bậc n luôn có n nghiệm, tính cả nghiệm bội Không có trường hợpphương trình vô nghiệm Sau đây ta xét một số ví dụ cơ bản sau

4.1 Phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất.

* Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1

Nghiệm của phương trình sau trên tập số phức 3z2 3 1 2 i   i  5 4i

5 5

z  i

C

6 8

5 5

z  i

D

6 8

z  i

D

4.5

Ví dụ 1 (Đề thi TNTHPTQG 2020- Mã 101).

0

z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2 6z13 0.

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z 0 là

A. N  2;2  B M4;2  C P4; 2   D Q2; 2  

Giải

Ta có    9 13  Căn bậc hai của 4 0  là 2 i

 phương trình có hai nghiệm: z1 3 2 ;i z2  3 2 i

Vì z là nghiệm phức có phần ảo dương nên 0 z0  3 2i 1 z0  4 2 i

Suy ra: điểm biểu diễn cho số phức 1 z 0 là điểm P4; 2   Chọn đáp án C

Ví dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A- 2009).

Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z22z10 0.

Tính giá trị của biểu thức

Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z   Gọi ,2 4 0 M N lần lượt là

Điểm biểu diễn của z z trên mặt phẳng tọa độ.Tính T OM ON1, 2   với O là gốc

Trong phương trình , học sinh hay mắc sai làm khi cho rằng z2   4 0, z

Điều này trái ngược hoàn toàn với số thực vì nhớ rằng i  2 1

Ví dụ 4 Giải các phương trình bậc hai sau: z2 1 3 i z  2 1 i 0

Giải

Ta có   1 3i2 8 1 i 2i Bây giờ ta phải tìm các căn bậc hai của 2i

Giả sử z x yi x y  , ,   là một căn bậc hai của w 2i



2 2

11

10

Vậy số phức 2i có hai căn bậc hai là: 1 ; 1   i i

 Phương trình có hai nghiệm là: 1

3 1 1

22

Ví dụ 9 (Đề thi THPTQG 2017- Mã 101).

Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm?

A z2 2z 3 0 B z2  2z 3 0. C z2  2z 3 0 D z22z 3 0.

Giải

Áp dụng định lý viet cho hai nghiệm trên ta được

4.3 Phương trình quy về bậc hai

* Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B – 2009).

Giải phương trình sau trên tập số phức

x y

z   i (thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là z   và 3 i z 1 2i

Ví dụ 4 Giải phương trình với z là số phức: z2 z24z2 z 12 0

Phương trình trên là phương trình bậc 4 phải có đủ 4 nghiệm (Tính cả nghiệmbội) Trong phương trình có biểu thức z2 z chung nên ta giải như sau

2 2

1 232

2

2 0

12

i z

z

z z

z z

ax  bx cx bx a  a , ax4 bx3cx2 bx a 0a0, nên ta cócách giải như sau

Giải

Vì z  không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên chia cả hai vế của0

phương trình cho z2ta được

 

2 2

2

i t

i t

5 Tìm tập hợp điểm

* Điểm biểu diễn số phức:

Số phức z a bi a b  , ,   được biểu diễn bởi điểm  M a b ; 

*Bài toán: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện K cho

Sau đây là một số biểu thức thường gặp

Biểu thức liên hệ giữa x và y Kết luận tập hợp điểm M x y ; 

tương ứng

0

ax by c   , a2b2 0 Là đường thẳng :d ax by c o  

3.2

2 Chọn đáp án C

Ví dụ 2 (Đề thi THPTQG 2019- Mã 101).

Xét số phức zthỏa mãn z  2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất cả các

điểm biểu diễn số phức

A Đường tròn tâm I3; 4 ,  R2 C Đường tròn tâm I3; 4 ,  R4.

B Đường tròn tâm I3;4 , R2 D Đường tròn tâm I3;4 , R4

2 2

5 2 Phương pháp hình học: Sử dụng các quỹ tích hình học cơ bản

Chú ý rằng, mỗi số phức z x yi x y   ,   được biểu diễn bởi một điểm

Môđun z z o là khoảng cách giữa hai điểm tương ứng M x y và  ;  M x y0 0; 0

tương ứng biểu diễn cho hai số phức ,z z o

Sau đây ta xét một số tập hợp điểm cơ bản trong hình học

Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi

với A a b 1; 1

; B a b 2; 2

lần lượt tươngứng là điểm biểu diễn cho hai số phức

2 2

a b i và khoảng cách F1F2 = 2c ( nếu

1 2

2a F F 2c)

Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Dấu hiệu nhận biết: z a1 b i1   z a2b i2 

Khi đó quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ;  z x yi 

Gọi A là điểm biểu diễn số 2, còn B là điểm biểu diễn số phức i

 2;0 , 0;1

Nhận thấy z  2  x22 y2 MA Tương tự z i MB

Vậy giả thiết 2 z  z i  MA MB

Suy ra tập hợp tất cả các điểm M chính là đường trung trực của AB

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x2y 3 0

Ví dụ 2 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợpcác điểm M thoả mãn: z 2 4 i  z 2i

Giải

Ta có z 2 4 i  z 2i  z (2 4 ) i  z 2i

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ;  z x yi 

Gọi A là điểm biểu diễn số 2 4i , còn B là điểm biểu diễn số phức 2i

Phương trình trung trực d của đoạn AB là: x y  4 0.

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường thẳng x y  4 0.

Ví dụ 3 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp

các điểm M thoả mãn: z 2 2i  z 4i

Giải

Ta có z 2 2i  z 4i  z  ( 2 2 )i  z 4i

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ;  z x yi 

Gọi A là điểm biểu diễn số 2 2i  , còn B là điểm biểu diễn số phức 4i

Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

Dấu hiệu nhận biết: z a bi  R

Khi đó: Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a b , bán ; 

kính R, với I a b là điểm biểu diễn cho số phức  ;  a bi

* Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợpcác điểm M biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

Ví dụ 2 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp

các điểm M biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện: z 2 4 i  5

Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường Elip hoặc đoạn thẳng

Dấu hiệu nhận biết: z a1 b i1   z a2b i2  2a

Khi đó

+ Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phứcz là đường Elip có hai tiêu điểm là

Mặt khác AB  5(3) nên từ (2) và (3) suy ra M thuộc đoạn AB.

Ví dụ 4 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp

Mặt khác AB 2 5(3) nên từ (2) và (3) suy ra M thuộc đoạn AB

1.1 Tập hợp  H là đường tròn

*Bài toán tổng quát Cho số phức zthỏa mãn z a bi  R R, 0, tìm giá trị

nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z ( hoặc tìm z để z có giá trị nhỏ nhât, giá trị lớn

nhất)

  , 0

z a bi R R  Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức zlà đường

tròn tâm I a b và bán kính  ;  R.

Thông thường có ba loại câu hỏi sau:

Câu hỏi 1 Tính giá trị nhỏ nhất của z

min z , M chạy trên đường tròn sao cho OM nhỏ nhất

Khi đó z đạt giá trị nhỏ nhất bằng R OI

 Có thể dùng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất của z

max z , M chạy trên đường tròn sao cho OM lớn nhất

Khi đó: z đạt giá trị lớn nhất bằng OI R

 Có thể dùng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất của z

Câu hỏi 3 Tìm số phức z hay tìm tọa độ điểm M sao cho z có giá trị lớn nhất ,

có giá trị nhỏ nhất

Để tìm số phức z ta phải tìm tọa độ điểm M chạy trên đường tròn sao cho OM

lớn nhất, nhỏ nhất thông thường có các cách sau: