Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4.. Giải..[r]
Trang 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ
PP VẼ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1 ĐTHS y=|f (x )| : Ta có
( )
f x khi f x
f x
f x khi f x
+ Từ ĐTHS y=f (x ) suy ra ĐTHS y=|f (x )| bằng cách:
- Giữ nguyên phần ĐTHS y=f (x ) ở trên Ox
- Lấy đối xứng phần ĐTHS y=f (x ) ở phía dưới Ox qua Ox
2 ĐTHS y=f (|x|): Ta có
( )
f x khi x
f x
f x khi x
+ Từ ĐTHS y=f (x ) suy ra ĐTHS y=f (|x|) bằng cách:
- Giữ nguyên phần ĐTHS y=f (x ) ở bên phải Oy
- Lấy đối xứng phần ĐTHS y=f (x ) ở bên phải Oy qua Oy (do y=f (|x|)là hàm chẵn)
Bài 1: Cho hàm số y x 3 3x24 (C) Khảo sát và vẽ ĐTHS (C) Từ đó suy ra giá trị của m để phương
trình: x3− 3 x2+4=log2m có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2: Khảo sát và vẽ (C): y=2 x3
− 9 x2+12 x − 3
a, Tìm m để phương trình: 2|x3|− 9 x2+12|x|−+1 −m=0 có 6 nghiệm phân biệt
b, Tìm m để phương trình: |2 x3− 9 x2+12 x −3|=m có nhiều hơn 2 nghiệm
Bài 3: Khảo sát và vẽ (C): y=2 x4
− 4 x2 Tìm m để phương trình: x2|x2−2|=m có 6 nghiệm phân biệt (Đ/s: 0<m<1)
Bài 4: Cho (C): y=12x4−3 x2+5
2 Khảo sát và vẽ (C)
Tìm m để phương trình: |x4−6 x2+5|=1− 2 log3m có 8 nghiệm phân biệt
Bài 5: Khảo sát và vẽ (C): y= − x +1
x −2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |− x +1 x −2|=m
Bài 6: Khảo sát và vẽ đồ thị (C): y
2 1
x x
Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y
| | 2
| | 1
x x
BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tính đơn điệu của hàm số:
+ Hàm số y f x ( ) đồng biến trên khoảng (a;b) '0,(;).yxab
+ Hàm số y f x ( ) nghịch biến trên khoảng (a;b) y ' 0, x ( ; ) a b
Chú ý
+ Điều kiện để tam thức bậc hai f x ( ) ax2 bx c không đổi dấu trên R:
0 ( ) 0,
0
a
f x x
R
0 ( ) 0,
0
a
f x x
R + Hàm số y f x ( ) đồng biến trên khoảng (a,b) thì với a x 1 b f a( )f x( )1 f b( ).
Bài 1: Tìm m để
1
y
x
nghịch biến trên [1, ) ĐS: m - 7/3
3
đồng biến trên (0, 3) ĐS: m 12/7
m
đồng biến trên 2, ĐS: m 2/3
Trang 2Bài 4 Cho hàm số
3
Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4 ĐS: m =
6
BÀI TOÁN LIÊN QUAN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cực trị của hàm số:
+ Hàm số y f x ( ) đạt cực trị tại x0 nếu y x '( ) 00 .
+ Hàm số y f x ( ) đạt cực đại tại x0 nếu đạo hàm y ' đổi dấu từ + sang – khi đi qua x0.
+ Hàm số y f x ( ) đạt cực tiểu tại x0 nếu đạo hàm y ' đổi dấu từ – sang + khi đi qua x0.
Chú ý Cách 2 tìm cực trị hàm số: Dùng đạo hàm cấp 2:
Nếu y x ''( ) 00 thì x0 là điểm cực đại và Nếu y x ''( ) 00 thì x0 là điểm cực tiểu
Phương trình đường thẳng đi qua các điểm Cực trị của hàm số:
+ y ax 3 bx2 cx d Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và số dư là r(x) Khi đó y r x ( ) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Bài 1: Cho hàm số yx3 3x2 3m2 1x 3m2 1
(1), m là tham số Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ ( ĐS :
1 2
m
.)
Bài 2 : Cho hàm số y mx 4 m2 9x2 10
(1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba
điểm cực trị ( ĐS : m 3, 0m )3
Bài 3 : Tìm m để f x x3 mx2 7x3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y 3x 7.
( ĐS: | |m 21, m 3 10 / 2)
Bài 4: Tìm m để hàm số f x x3 3x2 m x m2 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua ():
5 1
( ĐS: 3m 3, m )0
Bài 5: Tìm m để hàm số y x 4 2m x2 2 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
( ĐS : m 0, m 1)
Bài 6 Tìm m để f x x4 2mx22m m 4 có CĐ, CT lập thành tam giác đều ( ĐS: m > 0, m 33)
Bài 7 Tìm m để ĐTHS y=2 mx4
− x2− 4 m+1 có 2 điểm cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 5.
(Đ/s: m=1/25)
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Cho hàm số y=f (x ) có đồ thị (C)
1 PTTT của (C) tại M x y là: y= y( ; )0 0 ,
(x0)(x − x0)+y0
2 Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k cho trước
Gọi Δ là tiếp tuyến cần tìm, M (x ; y ) là tiếp điểm.
Δ có hệ số góc k ⇔ f ,
(x)=k (*) giải phương trình (*)được N0 x1, x2…⇒ y1, y2…
+ Viết PTTT tại M1(x1; y1): (Δ1): y=k (x − x1)+y1
+ Viết PTTT tại M2(x2; y2): (Δ2): y=k (x − x2)+y2
Chú ý: 2 đường thẳng song song có cùng hệ số góc, 2 đường thẳng vuông góc thì tích hệ số góc ¿−1
3 Viết PTTT của (C) qua M (x0; y0)
+ Gọi Δ là tiếp tuyến cần tìm , Δ qua M (x0; y0) với hệ số góc k ⇒(Δ): y=k (x − x0)+y0 (**)
Trang 3+ Đường thẳng (Δ) là tiếp tuyến của (C) ⇔{f (x)=k (x − x0)+y0
f ,
+ Giải (*) tìm được k thay vào (**) được các tiếp tuyến cần tìm
Chú ý: Số N0 của (*) là số tiếp tuyến kẻ đựơc từ M
Bài 1: Viết pt tiếp tuyến của hàm số (C) trong các trường hợp sau:
a, (C): y=− x4
+x2+1 vuông góc với (Δ): x +2 y −3=0 Đ/s: y=2 x +3
b, (C): y= 2 x − 4 4 − x song song với (Δ): y=− x+3
c, (C): y=x3
−3 x2+2 qua A(− 1;− 2) Đ/s: y=9 x +7 và y=− 2
Bài 2: Cho hàm số
1
2 1
x y x
(C) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân ĐS: yx 1 3, yx 1 3
Bài 3: Cho hàm số (C): y =
1
x x
Viết pt tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó song song đường thẳng
x – 3y = 0 đồng thời tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1/6 ĐS: x – 3y – 1 = 0
Bài 4: Cho hàm số (C): y
1
x x
Viết pt tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 ĐS: x + y – 1 = 0, x + y – 5 = 0
Bài 5: Viết pt tiếp tuyến của (C): y
3
1
, biết tiếp tuyến cắt 0x, 0y lần lượt tại A, B sao cho
OB = 2OA ĐS: y = - 2x + 3
Bài 6: Cho hàm số (C): y
1
x x
I là giao điểm hai đường tiệm cận Tìm điểm M thuộc đồ thị (C), sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và IM có tích hệ số góc bằng – 9 ĐS: (0; -3), (- 2; 5)
Bài 7: Trên đường thẳng y=− 2 mà từ đó có thể kẻ đựơc 3 tiếp tuyến tới (C): y=x3−3 x2
+2 trong đó có
2 tiếp tuyến vuông góc (Đ/s: a=55/27)
Bài 8: Cho hàm số y=x +1 −m(x +1) (Cm)
a) Viết PTTT của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy
b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn trên 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
(Đ/s: a) y=− mx+1 −m, b) m=9± 4√5 ;m=− 7 ± 4√3)
Bài 9: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx + 2 Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc biết
1 os
26
c
ĐS: m1/ 2, m3 / 4
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2)
+ Phương trình giao điểm của (C1) và (C2) : f(x) = g(x) (1)
Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)
(1) vô nghiệm Û (C1) và (C2) không có điểm chung
(1) có n nghiệm Û (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1 Û (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)
(1) có nghiệm kép x0 Û (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0)
Bài 1: Tìm m để:
a) Đường thẳng y=− x+m cắt (C) y= x − 1 x tại 2 điểm phân biệt ĐS: m0, m4
b) Đường thẳng (d): y=mx+8
3 cắt (C): y=
2
3x
3− x2− 4 x +8
3 tại 3 điểm phân biệt (Đ/s:−
35
8 <m≠ − 4)
c) (Cm): y=mx4+2(2− m)x2−m −4 cắt Ox tại 4 điểm phân biệt (Đ/s:− 4<m<0)
Trang 4d) Đường thẳng d: y=− 1 cắt (Cm): y=x4−¿ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2 ĐS:
- 1/3 < m < 1, m 0
Bài 2: Tìm m để đt (d): y=x +m cắt (C): y= 2 x −1
x − 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho Δ OAB vuông tại O.
Bài 3: Đường thẳng (d): y=− x+m cắt (C): y= 2 x+1 x+2 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho ABmin
(Đ/s:m=0, ABmin=√24)
Bài 4: Cho (d): y=1và (Cm): y=x3
+3 x2+mx+1 Tìm m để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C, D ,E sao cho
tiếp tuyến tại 2 trong 3 điểm đó vuông góc nhau (Đ/s: m < 9/4, m 0, m= 9 ±√65
8
Bài 5: (Cm): y=x4
− 2(m+1) x2+2 m+1 cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng
(Đ/s:m=2 ;m=−4
9
Bài 6: Cho (C): y= −2 x − 4 x +1 Xét (dk) qua M(0;k) với hệ số góc -2 Chứng minh (dk) cắt (C) tại 2 điểm M, N với k tuỳ ý và xác định k để MNmin
Bài 7: Cho (Cm): y=x3+2 mx2
+(m+3) x+4 và (d): y=x +4, điểm K(1;3) Tìm m để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm
phân biệt A(0;4), B, C sao cho S Δ KBC=8√2 (Đ/s: m= 1 ±√137
Bài 8: Cho hàm số y=1
3x
3
− mx2− x +m+2
3(Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,
x2, x3 thoả mãn: x12
+x22
+x32>15 (Đ/s:|m|>1)
Câu 9: Cho hàm số
1
2 1
x y x
(C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng dm : y mx 2 m 1
tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho:
a) Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau ĐS: m
b) Thỏa mãn điều kiện 4 OA OB 5
ĐS: m = 1/2, m = - 3/4
CÁC BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM
Để tìm quỹ tích của điểm M ta thực hiện các bước sau :
B 1 : Tìm điều kiệm của tham số m.
B 2 : Tìm điểm M(x ;y) theo tham số m và khử m giữa x và y ta được hàm số y = g(x).
B 3 : Tìm điều kiện của x, y (nếu có).
B 4 : Kết luận : quỹ tích điểm M là hàm số y = g(x) với điều kiện của x, y (nếu có)
Bài 1 : Tìm m để hàm số: y=x4
+2(m+1) x2+1 có 3 điểm cực trị Tìm quỹ tích các điểm cực trị
(Đ/s: m<−1 , y=(m+1) x2
+1)
Bài 2 : Cho (C): y= −2 x − 4 x +1 Tìm để đt (dm): y=2 x +mcắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi I là trung
điểm A, B Tìm quỹ tích của điểm I
Bài 3 : Cho hàm số y = (x + 2)(x – 1)2 (C) và đt d đi qua A(- 2 ;0) có hệ số góc k
a) Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N ĐS : k > 0, k 9
b) Tìm quỹ tích các trung điểm MN ĐS : đt x = 1, y > 0, y 27
GIẢI BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN
1
y
x
nghịch biến trên [1, )
Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )
2 2
1
x
Trang 5 mx2 2mx 7 0 m x 2 2x7 x 1 2
2
1
Min
Ta có:
( 2 )
x
u(x) đồng biến trên [1, ) 1
7
3
x
3
đồng biến trên (0, 3)
Giải Hàm số tăng trên (0,3) y x22m1xm3 0 x 0, 3 (1)
Do y x liên tục tại x 0 và x 3 nên (1) y 0 x[0, 3]
m x2 1x2 2x 3 x 0, 3
2 1
x
0,3
Max
Ta có:
2 1
x
g(x) đồng biến trên [0, 3]
0,3
12
7
x
m
đồng biến trên 2,
Giải: Hàm số tăng / 2, y mx2 2m1x3m 2 0 x 2 (1)
m x 12 22x6 x 2
2
x
x
Ta có:
g x
1
2
3 6
x x
x x
; xlimg x 0
Từ BBT 2
2
3
3
Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4
Giải Xét y m1x2 2 2 m1x 3m20 Do 7m2 m 3 0 nên y 0 có 2 nghiệm x1 x2 Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4 y 0; x x x1 ; 2;x2 x1 4 m 1 0 và
x x Ta có
2
1 1
m m
4 m 1 2m 1 3m 2 m 1
6
kết hợp với m 1 0 suy ra
7 61 6
CT
Trang 6GIẢI BÀI TẬP CỰC TRỊ
Bài 3: Tìm m để f x x3 mx2 7x3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y 3x 7.
Giải: Hàm số có CĐ, CT f x 3x2 2mx7 0 có 2 nghiệm phân biệt m2 21 0 m 21
Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
13 221 2 3 7
m
Với m 21 thì phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y f (x) đạt cực trị tại x1, x2
Ta có: f x 1 f x 2 0 suy ra
Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
Ta có () y 3x 7
9 m m 2 m 2
Bài 4: Tìm m để hàm số f x x3 3x2 m x m2 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua ():
5 1
Giải: Hàm số có CĐ, CT f x 3x2 6x m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt
9 3m2 0 m 3 Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
1 1 2 2 3 2
m
Với m 3 thì phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y f (x) đạt cực trị tại x1, x2
Ta có: f x 1 f x 2 0 nên
Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d):
2 2
Các điểm cực trị A x y 1 , 1,B x y 2 , 2 đối xứng nhau qua
5 1 :
(d) () tại trung điểm I của AB (*) Ta có
2
I
suy ra
(*)
2
2 2
0
0 5
m
Bài 5: Tìm m để hàm số y x 4 2m x2 2 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải Hàm số có 3 cực trị y4x x 2 m20 có 3 nghiệm phân biệt m0, khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là A0,1 ; Bm,1 m4,C m ,1 m4 Do y là hàm chẵn nên YCBT uuur uuurAB AC. 0 m1
Bài 6 Tìm m để f x x4 2mx22m m 4 có CĐ, CT lập thành tam giác đều
Giải f x 4x3 4mx4x x 2 m Ta có: f x 0 x0 x2 m
Để hàm số có CĐ, CT f x 0 có 3 nghiệm phân biệt m > 0
3 nghiệm là: x1 m x; 2 0 ; x3 m 3 điểm CĐ, CT là:
xx10x3 f 000+f
A CT
B CĐ
C CT
Trang 7 AB BC m m 4 ; AC2 m
Để A, B, C lập thành tam giác đều
GIẢI BÀI TẬP TP TIẾP TUYẾN
Bài 2:
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là k 1 Gọi
0; 0
là tiếp điểm
2
x
x y
tiếp tuyến là: y x 1 3
tiếp tuyến là: y x 1 3
2 0 2
0
3
x
: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y x 1 3 và y x 1 3
GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
Câu 9: Cho hàm số
1
2 1
x y x
(C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng dm : y mx 2 m 1
tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho:
c) Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau ĐS: m
d) Thỏa mãn điều kiện 4 OA OB 5
ĐS: m = 1/2, m = - 3/4
Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
1
2 1
x
x
1 2
x
xx10x3 f 000+f
A CT
B CĐ
C CT
Trang 8 C
cắt dm
tại 2 điểm phân biệt A, B f x có 2 nghiệm phân biệt khác0 1
2
2
0
0
6
0
m
m
m
a Hệ số góc của tiếp tuyến tại A B lần lượt là:
A B
k k
nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán
b Gọi x x là 2 nghiệm của f(x) Giả sử 1; 2 A x mx 1; 1 2 m 1 ; B x mx 2; 2 2 m 1
Theo viet ta có:
1 2
m
x x
m m
x x
m
Có:
5
4
OA OB OA OB
Trang 9
2 2
2 2
2
5
4
5
4 5
4 3
4 3
4
Đáp số:
1 3
;
2 4
m