Giai de thi thu dai hoc lan hai cua dai hoc supham Vinh

Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 1.. Theo chương trình Chuẩn.[r]

TRƯỜNG ðẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ðỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)

Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số y= x3−3x2 +3mx+m+2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m=0

2 Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 1

sin 2 1

1 2 cos 2 3 cos tan

x x x

x x

x

+

=

−

− +

0 )

2 )(

1 (

0 1 ) (

2

2

R

∈









= +

− + +

= + +

−

y x y y

x x

y x y x

Câu III (1,0 ñiểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị các hàm số

1

+

−

= x

x

Câu IV (1,0 ñiểm) Cho hình hộp ñứng ABCD.A'B'C'D' có ñáy là hình thoi cạnh a, BAD
= với α

, 4

3

cosα = cạnh bên AA =' 2a Gọi M là ñiểm thỏa mãn DM =k.DA và N là trung ñiểm của cạnh A' B' Tính thể tích khối tứ diện C'MD'N theo a và tìm k ñể C'M ⊥D'N

Câu V (1,0 ñiểm) Cho các số thực a, b, c thuộc ñoạn [0;1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

2 1

2 1

2

2 3 2

3 2

3

+

+ + +

+ + +

+

=

a

c c

b b

a P PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần a hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 ñiểm) 1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình

, 0 7 2

0 6 4

∆ x y Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC biết rằng ñỉnh A có hoành ñộ dương

2 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2 =9 và ñường thẳng

2

2 2

2 3

6

=

−

=

−

−

∆ x y z Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua M(4;3;4), song song với ñường thẳng

∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)

1

1 ) 1 )(

1

z i

z i

−

− + + +

b Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 ñiểm) 1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng ∆:5x−2y−19=0 và ñường tròn

0 2 4 :

)

(C x2+y2− x− y= Từ một ñiểm M nằm trên ñường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ñến ñường tròn (C (A và B là hai tiếp ñiểm) Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết rằng ) AB= 10

2 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2 =9 và ñiểm A(1;0;−2) Viết phương trình ñường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc α có

10 3

1 cos =α

Câu VIIb (1,0 ñiểm) Cho số phức z thỏa mãn

2

2

−

− z

i z

là số ảo Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

|

|

| 1

- Hết -

BÀI GIẢI Câu I:

1/ Bạn ñọc tự giải

2/ Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 1

Bài giải:

y = x − x+ m (Dy’ = R)

ðể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi ñi qua hai nghiệm ñó

2

Gọi A x( A;yA) (,B xB;yB) là tọa ñộ hai ñiểm cực trị của ñồ thị

x

Ta có

1

x

1

x

( )d :y=2(m−1)x+2(m+1)

Gọi M, N lần lượt là giao ñiểm của ñường thẳng (d) với Ox, Oy

; 0 1 0

M

m y



0; 2 2 0

x



OMN

m

m

∆

+

−

2 2

2

2

1

3

m

m

 − = − + 



So sánh ñiều kiện m < 1 Ta có m= ∨0 m= − thỏa yêu cầu bài toán 3

Câu II: 1/ ðiều kiện:

1 sin

2

x x

≠





cos

x

sinx 4 cos x 3 2 cos 2x 1 3 cosx 2sinx 1 1 2 sinx

2

2

cos

2 6 1

3 cos sin 1

cos

2

π π π

 = ± +





= ±





x x

So sánh ñiều kiện ban ñầu Ta có nghiệm của pt là: 2 5 2 ( )

x= − +π k π∨ = −x π +k π k∈Z

2 2

1 0 1

,

x y x y

x y R





Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt Chia cả hai vế của pt (1),(2) cho y

Hpt

2 2

1

0

1

x

y x

y









ðặt

2

1 x a y

b x y

 = +





 = +



0

1





2

1

1

1

x x

x y







Vậy nghiệm của hệ phương trình: ( ) (0;1 , −1; 2)

Câu III: TXð: D = −( 1;1]

Pt hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường

2

1 1

x y

x

−

= + và y= − 1 x

( ) ( ) ( )

2

2 2

1

1

1

0

1

x

x

x

+

= −







Với x ∈[ ]0;1 ta có

2

1

1 1

x

x x

− ≥ − + Diện tích hp giới hạn bởi hai ñồ thị của hai hàm số trên:

1

0

ðặt

0

1 1

x

x

−

= +

2 2

ðổi cận:

1

2

π

= ⇒ =







= ⇒ =



cos cos

0

2

π π

2

⇒ =

Câu IV:

Gọi O là giao ñiểm của A1C1 và B1D1

Gọi H là hình chiếu của D1 trên A1B1

1

1 1

sin

HD

A D

Ta lại có: ( )

,

7 4

N D C

a

1 1

2

1 1 ,

NC D N D C

1 1

1 ,

C MD N M ND C ND C

• Tìm k?

Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ với O(0;0; 0)là gốc tọa ñộ

Trong ∆A B D1 1 1, áp dụng ñịnh lí hàm số cos ta có:

2

α

Trong ∆A C D1 1 1, áp dụng ñịnh lí hàm số cos, ta có:

4

a

−

14

4

a

2

; 0;0 4

a

−

2

;0; 0 4

a

14

4

a

−

14

4

a

2

;0; 2 4

a

−

2

; 0; 2 4

a



4

a



C

A

B

D

A1

B1

C1

D1

O

x

y

z

a

a 2a

Theo ñề bài:

DM =k DA

 

1





Theo ñề bài C M1 ⊥D N1 ⇒C M1 ⊥D N1 ⇒C M D N 1 1 =0

5

k = − thì C M1 ⊥D N1 Câu V: Cho các số thực a b c ∈, , [ ]0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Vì a b c ∈, , [ ]0;1





4 2 4 2 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

P

a c +c b +b a ≤a c +c b +b a

a +b +c ≤a +b + c

2 2 2 ( 2 2 2 2 2 2)

0 6≤ a b c +2 a b +b c +c a Cộng vế theo vế ta có:

a c +c b +b a +a +b +c ≤a +b +c + a b c + a b +b c +c a

( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 1

P

6 MaxP

⇒ = ⇔(0; 0;0 , 1;0; 0) ( ) và các hoán vị của nó

Câu VIa

1/ Gọi n a b( ; )



là pháp vectơ của ñường thẳng AC

ðường thẳng BC có PVT n1(2; 1− )

Theo ñề bài, ABC∆ vuông cân tại A ⇒ ñường thẳng AC và BC tạo với nhau một góc

0

2 2 1

cos 45

2

−

+

 

 

2 2a b 5 a b 3a 8ab 3b 0

Chọn

( )

2

3 3;1

;1

 = ⇒



 = − ⇒ − 







*Với n( )3;1



, ñường thẳng AC ñi qua M −( 1;1)và có PVT n( )3;1



có phương trình:

(AC) (: 3 x+ +1) (y− = ⇔1) 0 (AC): 3x+ + =y 2 0

Mặt khác A∈ ∆:x−4y+ = Suy ra tọa ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ phương trình: 6 0

14 0

;

13

x

A

y





13 13

A

3



, ñường thẳng AC ñi qua M −( 1;1) và có PVT 1;1

3



có phương

3

Mặt khác A∈ ∆:x−4y+ = Suy ra tọa ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ phương trình: 6 0

2; 2

A

− + − =  =



C

− + − =  =





Gọi I là hình chiếu của A trên BC

Gọi (d) là ñường thẳng qua A và vuông góc với BC

( ) (d : x 2) (2 y 2) 0 ( )d :x 2y 6 0

I

 + − =  =

 − − =  =



Vì ABC∆ vuông cân tại A ⇒ I là trung ñiểm cạnh BC

3; 1

B



Vậy tọa ñộ ba ñiểm A, B, C cần tìm là: A( ) (2; 2 ,B 3; 1 ,− ) ( )C 5;3

2/ Gọi n a b c( ; ; )



là PVT của mặt phẳng (P)

ðường thẳng ∆ có VTCP m −( 3; 2; 2)



, mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;3)và bán kính R = 3 Mặt phẳng (P) ñi qua M(4;3; 4)có PVT n a b c( ; ; )



có dạng:

( )

Mặt phẳng (P) song song với ∆ ⇒n m  = ⇔ −0 3a+2b+2c=0(1)

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ( ,( ))

I P

3

3

a b c

+ + (2) Thay c từ pt (1) vào pt (2), ta có:

2

2 2

3 3

2

3 2

( )

2

1





Vậy mp (P) cần tìm là: ( )

( )



Câu VIIa

Số phức z có dạng: z= +a bi a b( , ∈R)

1

i

− −

−

2 2

2 2

2 2

2

+ + =



a b

10 10

z= − ∨ = −i z − i Câu VIb 1/ ðường tròn (C) có tâm I( )2;1 , bán kính R = 5

Theo ñề bài AB= 10 =R 2 ⇒ ∆IABvuông cân tại I ⇒ tứ giác IAMB là hình vuông

10

Mặt khác M∈ ∆: 5x−2y−19 0= ⇒ Tọa ñộ M là nghiệm của hpt:

2 2



139

29

x

x

y y

 =



 =



Gọi I là tâm ñường tròn ngoại tiếp MAB1 ∆ ⇒ I1 là trung ñiểm của ñoạn MI và ñường tròn ñó có

AB =

:

 .ðường tròn ngoại tiếp MAB∆ có phương trình:

:

Vậy ñường tròn ngoại tiếp MAB∆ cần tìm là:

( ) ( )

2

3

:

:



 2/ Gọi a∆(a b c; ; )



là VTCP của ñường thẳng ∆ ðường thẳng chứa trục Ox có VTCP a1(1; 0;0)



Mặt cầu (S) có tâm I −( 1;1;0)và bán kính R= 3

Gọi ( ) β là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Ta có IA=(2; 1; 2− − ) Mp( ) β qua A nhận IA=(2; 1; 2− − )làm PVT

( ) ( β : 2 x 1) y 2(z 2) 0 ( ) β : 2x y 2z 6 0

ðường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ ∆ ∈( ) β ⇒a IA ∆ =0

1

cos

3 10

a a

∆

 

 

1

3 10

a

89a −4 a c− −c = ⇔0 85a +8ac−5c = 0



 = − ⇒ = −



Vậy phương trình ñườngthẳng ∆ cần tìm là:

 = +  = −

∆  = − ∨ ∆  = −

= − + = − +

Câu VIIb

Số phức z có dạng z= +a bi (a b, ∈R)

2 2

2

z i

2

z

−

⇒ + − − = ⇒ + = + ,(a b+ ≥0)

Ta có

2 2

8

T = − + − =z z i a− +b + a + b−

2 5

T

⇒ ≤