Ti le thuc va tinh chat day ti so bang nhau

Trong bài tiểu luận này, tôi đã hệ thống lại một cách tương đối đầy đủ và chi tiết lý thuyết về tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, phương pháp giải các bài toán liên quan gi[r]

Trang 1

-Tô Văn Giáp

TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

TIỂU LUẬN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

HÀ NỘI- 2012

Trang 2

Mục lục

1.1 Tỉ lệ thức 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất 3

1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 3

2 Các dạng toán và phương pháp giải 5 2.1 Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức 5

2.1.1 Phương pháp giải toán 5

2.1.2 Bài tập tương tự 8

2.2 Chứng minh tỉ lệ thức 9

2.2.1 Phương pháp giải toán 9

2.2.2 Bài tập tương tự 10

Kết luận 13

Tài liệu tham khảo 14

Trang 3

Mở đầu

Tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là kiến thức cơ bản trong chương trình toán THCS Việc nắm vững những kiến thức về phần này giúp các em học sinh có kiến thức nền tảng để giải một số bài toán ở cấp THCS một cách dễ dàng Tuy nhiên, trong quá trình dạy học tôi nhận thấy việc giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức - dãy tỉ số bằng nhau của các em học sinh còn gặp khá nhiều khó khăn, lúng túng do chưa định hình, hệ thống được phương pháp giải

Trong bài tiểu luận này, tôi đã hệ thống lại một cách tương đối đầy đủ và chi tiết

lý thuyết về tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, phương pháp giải các bài toán liên quan giúp các em học sinh hệ thống được phương pháp giải cũng như định hướng tìm lời giải cho các bài toán này

Bài tiểu luận gồm hai chương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày tổng hợp những kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Chương 2 Các dạng toán và phương pháp giải

Dựa trên cơ sở lý thuyết của chương 1 tôi trình bày hai dạng toán liên quan đến

tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đồng thời trình bày các phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể Ngoài ra, còn hệ thống các bài tập tương tự giúp các em vận dụng phương pháp giải đã nêu ở trên

Chắc chắn bài tiểu luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

Trang 4

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số Trong tỉ lệ thức ab = dc

(hoặc a : b = c : d) các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ

Chú ý 1.1 Khi viết tỉ lệ thức ab = cd, ta luôn giả thiết rằng b 6= 0, d 6= 0

1.1.2 Tính chất

Tính chất 1.1 Nếu ab = cd thì ad = bc

Tính chất 1.2 Nếu ad = bc và a, b, c, d 6= 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

a

b =

c

d;

a

c =

b

d;

d

b =

c

a;

b

a =

d c

Nhận xét 1.1 Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại

Tính chất 1.3 Nếu có tỉ lệ thức:

a

b =

c d

thì:

a

b =

c

d =

a + c

b + d =

a − c

b − d

Trang 5

Tính chất 1.4 Nếu có dãy tỉ số bằng nhau:

a

b =

c

d =

e f

thì:

a

b =

c

d =

e

f =

a + c + e

b + d + f =

a − c + e

b − d + f =

Tính chất 1.5 (Tính chất mở rộng) Nếu có n (n ≥ 2) tỉ số bằng nhau:

a1

b1 =

a2

b2 =

a3

b3 = =

an

bn

thì:

a1

b1 =

a2

b2 =

a3

b3 = =

an

bn =

a1+ a2+ + an

b1+ b2+ + bn =

a1− a2+ (−1)(n−1)an

b1− b2+ (−1) (n−1) bn =

Chú ý 1.2 Khi có dãy tỉ số

a

b =

c

d =

e f

ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, f

Ta cũng viết a : c : e = b : d : f

Nhận xét 1.2 Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán

Trang 6

Chương 2

Các dạng toán và phương pháp giải

2.1.1 Phương pháp giải toán

Ví dụ 2.1 Tìm hai số x và y biết

x

2 =

y 3

và x+y=20

Giải:

*Cách1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt

x

2 =

y

3 = t ⇒

x = 2t

y = 3t

Ta có

x + y = 20 ⇒ 2t + 3t = 20 ⇒ 5t = 20 ⇒ t = 4

Vậy

x = 2.4 = 8

y = 3.4 = 12

*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x

2 =

y

3 =

x + y

2 + 3 =

20

5 = 4

Vậy

x

2 = 4 ⇒ x = 8

Trang 7

y

3 = 4 ⇒ y = 12

*Cách3: (Phương pháp thế)

Ta có

x

2 =

y

3 ⇒ y = 3x

2

Theo giả thiết:

x + y = 20 ⇒ x +3x

2 = 20 ⇒ 5x = 40 ⇒ x = 8

⇒ y = 3.8

2 = 12

Ví dụ 2.2 Tìm x, y, z biết:

x

3 =

y

4;

y

3 =

z 5

và 2x - 3y + z = 6

Giải:

Ta có:

x

3 = y4 ⇒ x9 = 12y

y

3 = z5 ⇒ 12y = 20z ⇒ x

9 =

y

12 =

z

20 = t ⇒

( x = 9t

y = 12t

z = 20t

Theo giả thiết: 2x − 3y + z = 6 ⇒ 18t − 36t + 20t = 6 ⇒ 2t = 6 ⇒ t = 3

Vậy

( x = 27

y = 36

z = 60

Từ x9 = 12y = 20z

x

9 =

y

12 =

z

20 =

2x

18 =

3y

36 =

z

20 =

2x − 3y + z

18 − 36 + 20 =

6

2 = 3

Vậy

( x = 27

y = 36

z = 60

Trang 8

x

3 = y4 ⇒ x = 3y4

y

3 = z5 ⇒ z = 5y3

Theo giả thiết:

2x − 3y + z = 6 ⇒ 3y

2 − 3y + 5y

3 = 6 ⇒ y = 36

x = 3.36

4 = 27; z =

5.36

3 = 60

Ví dụ 2.3 Tìm hai số x, y biết rằng

x

2 =

y 5

và x.y = 40

Giải:

Đặt

x

2 =

y

5 = t ⇒

x = 2t

y = 5t

Ta có

x.y = 40 ⇒ 2t.5t = 40 ⇒ t2 = 4 ⇒ t = ±2

Với t = 2 ⇒

x = 4

y = 10

Với t = −2 ⇒

x = −4

y = −10

Ta có:

x

2 =

y

5 ⇒x

2

= x.y 2.5 =

40

10 = 4 ⇒ x

2 = 16k ⇒

x = 4 ⇒ y = 10

x = −4 ⇒ y = −10

*Cách3: (Phương pháp thế)

Ta có

x

2 =

y

5 ⇒ x = 2y

5

Theo giả thiết:

x.y = 40 ⇒ 2y

5 .y = 40 ⇒ y

2 = 100 ⇒

y = 10 ⇒ x = 4

y = −10 ⇒ x = −4

Trang 9

2.1.2 Bài tập tương tự

Bài tập 2.1 Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 10x = y6 = 21z và 5x + y − 2z = 28 b) x3 = y4;y5 = z7 và 2x + 3y − z = 124

c) 2x3 = 3y4 = 4z5 và x + y + z = 49 d) x2 = y3 và xy = 54

e) x5 = y3 và x2− y 2 = 4 f) y+z+1x = z+x+1y = x+y−2z = x + y + z

a) 3x = 2y, 7y = 5z và x − y + z = 32 b) x−12 = y−23 = z−34 và 2x + 3y − z = 50

c) 2x = 3y = 5z và x + y − z = 95 d) x2 = y3 = z5 và xyz = 810

e) 10x = 6y và x2− y2 = 4 f) y+z+1x = z+x+2y = x+y−3z = x+y+z1

1 + 2y

18 =

1 + 4y

24 =

1 + 6y 6x

Bài tập 2.4 Cho các số a,b,c,d sao cho: a + b + c + d 6= 0 và

a

b + c + d =

b

c + d + a =

c

d + a + b =

d

a + b + c

Tính giá trị của biểu thức A = a+bc+d +d+ab+c +c+da+b +d+ab+c

a) xy = 73 và 5x − 2y = 87 b) 19x = 21y và 2x − y = 34

c) x83 = y643 = 216z3 và x2+ y2+ z2= 14 d) 2x+15 = 3y−27 = 2x+3y−16x

Bài tập 2.6 Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30 Bài tập 2.7 Tìm hai số hữu tỉ biết rằng hiệu của chúng bằng thương của chúng

và bằng hai lần tổng của chúng

Trang 10

Bài tập 2.9 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính

số học sinh của trường đó

Bài tập 2.10 Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

ab (ab − 2cd) + c2d2 [ab(ab − 2) + 2(ab + 1)] = 0

thì chúng lập thành một tỉ lệ thức

2.2.1 Phương pháp giải toán

Để chứng minh tỉ lệ thức ab = dc ta thường dùng một số phương pháp sau:

*Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d = b.c

*Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số ab = fe và cd = fe ⇒ ab = cd

*Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

Một số kiến thức cần chú ý:

a

b =

na

nb;

a

b =

c

d ⇒ (a

b)

n = (c

d)

n

Ví dụ 2.4 Cho tỉ lệ thức ab = cd Chứng minh rằng: a+ba−b = c+dc−d

Giải:

*Cách1: (Phương pháp 1)

Ta có:

(a + b)(c − d) = ac − ad + bc − bd (a − b)(c + d) = ac + ad − bc − bd

Theo giả thiết: ab = dc ⇒ ad = bc

Vậy

(a + b)(c − d) = (a − b)(c + d) ⇒ a + b

a − b =

c + d

c − d

Đặt ab = dc = k ⇒ a = bk, c = dk

Ta có:

a + b

a − b =

bk + b

bk − b =

k + 1

k − 1

c + d

c − d =

dk + d

dk − d =

k + 1

k − 1

Trang 11

a + b

a − b =

c + d

c − d

Theo giả thiết: ab = dc ⇒ ac = db

a

c =

b

d =

a + b

c + d =

a − b

c − d ⇒ a + b

a − b =

c + d

c − d

Ví dụ 2.5 Cho tỉ lệ thức ab = cd Chứng minh rằng: abcd = ac22−d−b22

Giải:

Ta có:

(ab)(c2− d2) = abc2− abd2 = acbc − bdad (cd)(a2− b2) = cda2− cdb2 = acad − bdbc

Theo giả thiết: ab = dc ⇒ ad = bc

Vậy

(ab)(c2− d2) = (cd)(a2− b2) ⇒ ab

cd =

a2− b 2

c 2 − d 2

Đặt ab = dc = k ⇒ a = bk, c = dk

Ta có:

ab

cd =

bkb dkd =

b2

d 2

a2− b 2

c 2 − d 2 = b

2 k2− b 2

d 2 k 2 − d 2 = b

2

d 2

Vậy

ab

cd =

a2− b 2

c 2 − d 2

Theo giả thiết: ab = dc ⇒ ac = db

ab

cd =

a2

c 2 = b

2

d 2 = a

2 − b 2

c 2 − d 2 ⇒ ab

cd =

a2− b 2

c 2 − d 2

2.2.2 Bài tập tương tự

Bài tập 2.11 Cho tỉ lệ thức ab = dc Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa chứng minh rằng:

Trang 12

c) a−ba+b = c−dc+d d) abcd = (a−b)(c−d)22

e) a+ba = c+dc f) 7a7a22+5ac−5ac = 7b7b22+5bd−5bd

g) 2a+5b3a−4b = 2c+5d3c−4d h) 2005a−2006b2006c+2007d = 2005c−2006d2006a+2007b

i) 11a7a22+3ab−8b 2 = 11c7c22+3cd−8d 2 k) 2008a−2009b2009c+2010d = 2008c−2009d2009a+2010b

Bài tập 2.12 Cho tỉ lệ thức ab = bc = dc Chứng minh rằng:

(a + b + c

b + c + d)

3

= a d

Bài tập 2.13 Cho tỉ lệ thức 2003a = 2004b = 2005c Chứng minh rằng:

4(a − b)(b − c) = (c − a)2

Bài tập 2.14 Cho a1

a 2 = a2

a 3 = a3

a 4 = = a2008

a 2009 Chứng minh rằng:

a1

a 2009

=

a1+ a2+ a3+ + a2008

a 2 + a 3 + a 4 + + a 2009

2008

Bài tập 2.15 Cho a1

a 2 = a2

a 3 = = a8

a 9 = a9

a 1 và a1+ a2+ + a96= 0 Chứng minh rằng:

a1 = a2 = = a9

Bài tập 2.16 Cho a2 = bc Chứng minh rằng:

a + b

a − b =

c + a

c − a

Bài tập 2.17 Cho ac22+d+b22 = abcd Chứng minh rằng:

a

b =

c d

Bài tập 2.18 Cho u+2u−2 = v+3v−3 Chứng minh rằng:

u

2 =

v 3

Bài tập 2.19 Cho

a(y + z) = b(z + x) = c(x + y)

trong đó a, b, c khác nhau và khác 0

Chứng minh rằng:

y − z a(b − c) =

z − x b(c − a) =

x − y c(a − b)

Trang 13

Bài tập 2.20 Cho

a

b =

c d

trong đó các số x,y,z,t thỏa mãn: xa + yb 6= 0 và zc + td 6= 0

xa + yb

za + tb =

xc + yd

zc + td

Bài tập 2.21 Cho a,b,c,d là4số khác 0 thỏa mãn: b2 = ac; c2= bd vàb3+c3+d36= 0

a3+ b3+ c3

b 3 + c 3 + d 3 = a

d

Bài tập 2.22 Chứng minh rằng nếu aa

1 = bb

1 = cc

1 thì giá trị của

P = ax

2 + bx + c

a1x 2 + b1x + c1

không phụ thuộc vào x

Bài tập 2.23 Cho

a

a0 +

b0

b = 1;

b

b0 +

c0

c = 1

abc + a0b0c0= 0

Bài tập 2.24 Cho

2a + 13b 3a − 7b =

2c + 13d 3c − 7d

a

b =

c d

Bài tập 2.25 Cho

bz − cy

cx − az

ay − bx c

x

a =

y

b = z c

Trang 14

Kết luận

Như vậy, trong toàn bộ bài tiểu luận, tôi đã đưa ra một cách có hệ thống lý thuyết và phương pháp giải một số dạng bài tập về tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau Qua đó hình thành được cho học sinh phương pháp và kĩ năng giải các dạng bài tập này Do năng lực còn hạn chế nên bài tiểu luận không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong sự chỉ bảo của các thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp Xin trân trọng cảm ơn!

Trang 15

Tài liệu tham khảo

[1] Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, SGK Toán 7 - Tập một, NXB Giáo Dục Việt Nam, 2001

[2] Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Toán 7 - Tập một , NXB Giáo Dục, 2001

[3] Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển Toán 7, NXB Giáo Dục, 2003

[4] Tài liệu từ Internet

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	196,51 KB