DE THI VAO LOP 10 CHUYEN LUONG VAN TUY NAM HOC 20102011

1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶.[r]

Sở giáo dục và đào tạo

NINH BìNH

đề chính thức

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

LƯƠNG VĂN TụY NăM HọC: 2010-2011 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho

a 2 :

Hãy lập một phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a 1 là một nghiệm

Bài 2: (2,5 điểm)

a) Giải hệ phơng trình:

x 16 xy

xy









b) Tìm m để phơng trình  2 2 2

x  2x  3x 6xm0

có 4 nghiệm phân biệt

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn k24 và k216 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p a p b p c  3p

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại

C Chứng minh rằng:

a) MB.BDMD.BC

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 cạnh EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 cạnh EFGHIJKM là các số hữu

tỉ thì EF = IJ

Hết

-Họ và tên thí sinh:

Chữ ký của giám thị

Số báo danh: Phòng thi số:

Hớng dẫn chấm thi

(Bản Hớng dẫn chấm thi gồm 04 trang)

I Hớng dẫn chung

1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả Trong

bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn

II Đáp án và thang điểm

Bài 1: (1,5 điểm)

7

0,5 đ

a =

2

Đặt x a 1 x 7 1  x 1  7 x22x 1 7 0,5 đ 2

Vậy phơng trình x22x 60 nhận 7 1 làm nghiệm

0,25 đ

Bài 2: (2,5 điểm)

a)

x 16

x 16

xy

(2) xy





0,25 đ

Giải (2)  6y2 6x2 5xy (2x 3y)(3x 2y)  0 0,25 đ

* Nếu

3y

2



Thay vào (1) ta đợc

3y 3 16 y



0,25 đ



2





(phơng trình vô nghiệm)

0,25 đ

* Nếu

2y

3

Thay vào (1) ta đợc

2

y  9 y3

0,25 đ

- Với y 3 x2 (thoả mãn điều kiện)

- Với y 3 x2 (thoả mãn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

0,25 đ

x  2x 1  y x 1  y x 1 y (y0)

(*)

0,25 đ

Phơng trình đã cho trở thành: y 1   3 y 1   m0

2

Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình

(1) có 2 nghiệm dơng phân biệt

0,25 đ

     

0,25 đ

9

4

4







  



Vậy với

9

4

thì phơng trình có 4 nghiệm phân biệt

0,25 đ

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Vì k > 1 suy ra k245; k2165

- Xét k5n 1 (với n ) k2 25n210n 1  k24 5

2

  không là số nguyên tố

0,25 đ

- Xét k5n2 (với n) k2 25n2 20n 4 k2 16 5

2

k 16

- Xét k5n3 (với n) k2 25n2 30n 9 k216 5

2

k 16

- Xét k5n4 (với n) k2 25n240n 16  k24 5

2

  không là số nguyên tố

Do vậy k 5

0,25 đ

b) Ta chứng minh: Với a, b, c thì  2  2 2 2

a b c 3 a b c

(*) Thật vậy (*) a2b2c22ab2bc 2ca 3a2 3b23c2

(a b) (b c) (c a) 0

0,5 đ

áp dụng (*) ta có:

Suy ra p a p b p c  3p (đpcm)

0,5 đ

Bài 4: (3,0 điểm)

J I

C N

M

O

D

a) Xét MBC và MDB có:

BDM MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

BMC BMD

0,5 đ

Do vậy MBCvà MDB đồng dạng

Suy ra

MB.BD MD.BC

0,5 đ

b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC

hay

 BJC

MBC

2

 1800 BJC BCJ cân tại J CBJ

2



0,5 đ

Suy ra



Suy ra MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J)

0,5 đ

c) Kẻ đờng kính MN của (O)  NB  MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC

Chứng minh tơng tự I thuộc AN

Ta có ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN

Chứng minh tơng tự: CI // JN

0,5 đ

Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành  CI = NJ

Suy ra tổng bán kính của hai đờng tròn (I) và (J) là:

IC + JB = BN (không đổi)

0,5 đ

Bài 5: (1,0 điểm)

g

b

a

G F

I

H

J

M

C

D

E

K

Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với

a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dơng)

Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có

số đo là:

O

O

8 2 180

135 8

(  )



0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân

 MA = AE =

h

2 ; BF = BG =

b

2 ; CH = CI =

d

2 ; DK = DJ =

f 2

Ta có AB = CD nên:

2   2  2   2

 (e - a) 2 = h + b - f - d

0,5 đ

Nếu e - a ≠ 0 thì

h b f d 2

e a

  

  (điều này vô lý do 2 là số vô tỉ) Vậy e - a = 0  e = a hay EF = IJ (đpcm)

0,25 đ

Hết