SKKNToan 7Huong khai thac loi giai cho BT CM hinh hoc 7

Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt phải khẳng định là phân môn hình học có nhiều khái ni[r]

Phụ lục

1 Tài liệu tham khảo

-Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên cho giáo viên THCS chu kì III

(2004 – 2007) Quyển 1- 2005 ; qyuển 2 – 2007 – NXBGD

- Tài liệu về đổi mới phơng pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá - NXBGD

- Sách giáo viên toán 7, sách giáo khoa tóan 7, sách bài tập toán 7, sách nâng cao và phát triển toán7, sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 và một số loại sách tham khảo khác

2 Các từ viết tắt

- Giáo viên: “GV”

- Học sinh: “HS”

- Chứng minh: “CM”

-Trung học cơ sở: “THCS”

Chuyên đề hớng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán

chứng minh bằng phơng pháp phân tích ngợc

trong môn hình học lớp 7

I Đặt vấn đề

1 Lý do chọn chuyên đề:

Theo định hớng đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay ở trờng THCS là tích cực hoá các hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng

tự học nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh

Trong chơng trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hớng dẫn học sinh tìm cách chứng minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có đợc lời giải bài toán Thông qua việc hớng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết đợc phơng pháp chứng minh, tiến tới có đợc phơng pháp học tập bộ môn hình học

Với chơng trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở

đầu về hình học Học sinh đợc tiếp cận kiến thức bằng con đờng quy nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến thức mới Học sinh nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với

sự hỗ trợ của trực giác, của tởng tợng là chủ yếu Lên lớp 7 học sinh bớc đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau… Với yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh cha biết chứng minh nh thế nào và bắt đầu từ đâu

Nếu vấn đề này không đợc khắc phục ngay từ lớp 7 thì HS sẽ không thể tiếp thu

đợc kiến thức hình học ở các lớp trên Do vậy vai trò của giáo viên giảng dạy lúc này rất quan trọng Giáo viên là ngời hớng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách chứng minh bài toán hình học từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải Từ đó hình thành phơng pháp học toán cho HS

Với các lý do trên nên tôi chọn chuyên đề “Hớng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phơng pháp phân tích ngợc trong môn hình học lớp 7”

2 Cơ sở lí luận của chuyên đề

Trong trường THCS mụn toỏn được coi là mụn khoa học luụn được chỳ trọng nhất và cũng là mụn cú nhiều khỏi niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định là phõn mụn hỡnh học cú nhiều khỏi niệm trừu tượng nhất, kiến thức trong bài tập lại phong phỳ rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học Bờn cạnh đú yờu cầu bài tập lại cao, nhiều bài toỏn ở dạng chứng minh đũi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lụgic và cú trỡnh tự

SGK hình học 7, các kiến thức đợc trình bày theo con đờng kết hợp trực quan và suy diễn, lập luận Bằng đo dạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát …học sinh dự đoán các kết luận hình học và tiếp cận các định lý Nhờ đó giúp HS có hứng thú học tập, chịu khó tìm tòi khám phá kiến thức

Sách giáo khoa hình học 7 tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu của hình học phẳng lớp 6 làm quen với các khái niệm mới: Hai đờng thẳng vuông góc, hai

đ-ờng thẳng song song, quan hệ bằng nhau của hai tam giác, tam giác cân, tam giác

đều, định lí Pitago, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đờng đồng quy trong tam giác Chơng trình hình học 7 là bớc chuyển tiếp quan trọng về t duy để giúp HS học tốt đợc chơng trình hình học 8 và 9

Hệ thống các bài tập đa dạng phong phú đợc thể hiện dới nhiều hình thức, phần lớn là các bài tập chứng minh, từ đó đòi hỏi HS phải có phơng pháp phân tích hợp

lí để tìm đợc lời giải cho bài toán Vì vậy việc hớng dẫn học sinh cách phân tích tìm lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn

3 Cơ sở thực tiễn của chuyên đề

a)Đối với giỏo viờn:

Cơ bản là cú tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyờn, liờn tục để nõng cao trỡnh độ chuyờn mụn nghệp vụ Cú trỏch nhiệm đối với học sinh, đối với trường lớp

Phương phỏp giảng dạy đó cú sự đổi mới hơn theo hướng tớch cực húa hoạt động của người học, từng bớc áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Tuy nhiên một bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phân tích, hớng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán GV thờng phân tích xuôi chiều

từ giả thiết đến kết luận, khiến HS không hiểu tại sao và nguyên nhân nào đa đến lời giải của bài toán vì thế không vận dụng đợc vào giải các bài toán khác, do đó

HS không biết cách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một bài toán Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong môn hình học, khiến HS tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết quả học tập thấp

b)Đối với học sinh:

Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tớch cực học tập, rốn luyện Cú động cơ học tập đỳng đắn nờn đó cú kết quả học tập tốt

Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 35% cú kết quả học tập trung bỡnh, trong số này cú khoảng 15% nếu cú phương phỏp học phự hợp thỡ sẽ đạt mức khỏ

Số cũn lại (45%) học yếu, trờn lớp hầu như khụng tiếp thu được bài học Trong đú phần lớn là do cỏc em khụng cú phương phỏp học toỏn phự hợp, khụng cú kĩ năng phõn tớch, tỡm lời giải cho bài toỏn

Qua tỡm hiểu tụi thấy nguyờn nhõn do trong quỏ trỡnh dạy học thầy cụ giỏo cha hớng dẫn học sinh phơng pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức

các hoạt động dạy học trong giờ học cha phong phú nên cha kích thích đợc học sinh hứng thú học tập

II Mục tiêu, phạm vi và đối t ợng của chuyên đề:

1 Mục tiêu

Thông qua chuyên đề tôi muốn trao đổi thêm về phơng pháp giảng dạy hình học 7 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất

Giúp cho học sinh có hớng suy nghĩ tìm tòi lời giải cho một bài toán chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức, Giúp phát triển t duy và rèn khả năng tự học cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục

2 Phạm vi

Có rất nhiều con đờng, nhiều phơng pháp để tìm lời giải cho một bài toán hình học, nhng vì điều kiện thời gian chuyên đề chỉ đề cập đến một phơng

pháp quan trọng và phổ biến trong việc tìm cách chứng minh bài toán hình học: Phơng pháp phân tích ngợc trong môn hình học 7

3 Đối t ợng

HS khối 7, môn hình học 7

III.Nội dung

1 Các bài toán chứng minh trong hình học 7 th ờng gồm :

- Chứng minh bằng nhau: Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tam giác bằng nhau…ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, CM trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của góc…

- Chứng minh song song:

- Chứng minh vuông góc

- Chứng minh thẳng hàng

- Chứng minh các đờng thẳng đồng quy

- Chứng minh các yếu tố cố định,

2 Ph ơng pháp chung để tìm lời giải bài toán

a) Tìm hiểu nội dung bài toán

+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu nh thế nào?

+ Phát biểu bài toán dới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán

+ Dạng toán nào?

+ Kiến thức cơ bản cần có là gì?

b) Xây dựng chơng trình giải: Chỉ rõ các bớc giải theo một trình tự thích

hợp

c) Thực hiện chơng trình giải: Trình bày bài làm theo các bớc đã đợc chỉ

ra Chú ý các sai lầm thờng gặp trong tính toán, biến đổi

d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

+ Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không

+ Nghiên cứu bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn để,

3 Ph ơng pháp chứng minh bài toán hình học theo h ớng phân tíc h đi lên

* Ngoài việc tuân thủ heo bốn bớc chung, ta đi sâu vào hai bớc: Tìm hiểu

và xây dựng chơng trình giải

- Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? ( Kết luận A)

- Đề chứng đợc kết luận A ta phải chứng minh đợc điều gì? ( Kết Luận X)

- Để chứng minh đợc kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì? ( Kết luân Y)…

-Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng đợc giả thiết của bài toán và các kiến thức đã học trớc đó

Sơ đồ phân tích bài toán nh sau:

Để chứng minh A Phải cm X Phải cm Y Phải cm Phải cm Z (CM đợc từ GT)

Lu ý: Khi trình bày lời giải, học sinh phải tiến hành theo hớng ngợc lại

4 Kết quả đạt đ ợc sau khi thực hiện chuyên đề

Trớc khi xây dựng chuyên đề này tôi tiến hành khảo sát học sinh khối 7 về chứng minh bài toán hình học, kết quả là:

Số lợng học sinh đợc kiểm tra Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ

chuẩn KTKN)

130 70 HS chiếm 53,8%

Sau khi thực hiện chuyên đề kết quả đạt đợc nh sau:

Số lợng học sinh đợc kiểm tra Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ

chuẩn KTKN)

130 93 HS chiếm 71,5%

5 Các ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA Chứng minh rằng

a) AB = CE

b) AC // BE

Hớng dẫn tìm lời giải:

Sau khi hớng dẫn học sinh vẽ hình và ghi gt, kl

giáo viên yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau:

a) Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì? ( GV gợi ý: Dựa vào các tam giác bằng nhau có chứa hai cạnh là hai đoạn thẳng trên)

( ABM ECM)

- Từ GT ta đã CM đợc hai tam giác trên bằng nhau cha? tại sao?

(ABM ECM (c – g – c))

- Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hớng ngợc lại

b) Để chứng minh hai đờng thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào? ( Học sinh nêu các dấu hiệu – giáo viên hớng cho học sinh nên sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau)

Để chứng minh AC//BE Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( góc CAE bằng góc BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE)

- Muốn chứng minh góc ACB bằng góc CBE ta chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?( AMCEMB)

- Từ GT ta đã CM đợc hai tam giác trên bằng nhau cha ? Tại sao? (

AMC EMB

  (c – g - c))

Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hớng ngợc lại

Sơ đồ phân tích: AC // BE  c/m góc ACB bằng góc CBEc/m AMCEMB

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC

không chứa điểm B kẻ Ax vuông góc với AC và lấy M  Ax sao cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vuông góc với AB và lấy N thuộc Ay sao cho AN = AB Lấy P trên tia đối của tia KA sao cho

AK = KP CMR:

a) AC//BP

b) AMN BPA

c) AK MN

Hớng dẫn tìm lời giải.

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL

a) Hớng dẫn nh VD 1:

b) GV: Hai tam giác đã có những yếu tố nào

bằng nhau? (c-c)

Ta sẽ CM hai tam giác bằng nhau theo trờng hợp

nào? Khi đó cần CM thêm điều kiện gì? (MAN ABP)

- Góc MAN và góc BAC có quan hệ gì với nhau? (bù nhau)

Vậy để CM: MAN ABP ta phải CM đều gì?

(Góc ABP và góc BAC bù nhau)

- Ta CM đợc góc ABP và góc BAC bù nhau dựa vào yếu tố nào? (AC//BP)

- Sơ đồ phân tích:

Để CM MAN=BPA

ta cm MAP ABP ta cm MAN BAC ABP BAC

c) Giáo viên hớng dân học sinh chứng minh bằng hệ thống câu hỏi nh sau:

- Muốn chứng minh hai đờng thẳng vuông góc ta dựa vào các dấu hiệu nào

( Học sinh nhớ lại các dấu hiệu đã học )

- Giáo viên hớng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông)

-Nếu gọi H là giao điểm của AK và MN thì để chứng minh AK MN ta phải chỉ

ra điều gì?

( AHM 900 hoặc AHN 90 0)

- Hãy chỉ ra các cách chứng minh AHN 900 (HS nêu: AHM  AHN hoăc

A HNA )

– Giáo viên hớng cho học sinh chứng minh A1 HNA  900

- Tính A1 A2 ( = 900)

- Vậy để chứng tỏ  

0

A N  ta phải chỉ ra đợc góc N và góc A2 cos quan hệ

gí với nhau? ( bằng nhau) CM đợc vì: AMN BPA

- Sơ đồ phân tích:

ta cm AHN ta cm N A ta cm N A

          (CM

đợc vì AMNBPA)

- Sau đó giáo viên hớng dẫn học sinh trình bày lời giải bài toán trên theo hớng ngợc lại

Ví dụ3 Cho tam giác ABC, các điểm D, E lần lợt là

trung điểm của các cạnh AB, AC Trên đờng thẳng DE

lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF CMR:

a) BD=CF

b) DE//BC

Sơ đồ phân tích

a) Để CM BD=CF cm CF AD  cm ADE CFE (CM đợc từ GT)

b) Cách1: Để CM DE//BC cm CDF BCD   cm BDCFCD cm BDC DCF 

Cách 2: Để CM DE//BC  cm DFB FBC   cm BDF FCD cm DBF BFC

(CM đợc từ GT và phần a.)

Ví dụ4: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.

Trên các cạnh AC và BD lần lợt lấy các điểm E, F sao cho AE=BF CMR các điểm

E, O, F thẳng hàng

Sơ đồ phân tích:

CM: E, O, F thẳng hàng

ta cm O O O ta cm O O ta cm AOE BOF

(CM đợc vì GT)

Ví dụ5:

Tam giác ABC cân tại A Phân giác của góc A cắt

cạnh BC tại D M là một điểm nằm giữa A, D

CMR: BMD = CMD

Sơ đồ phân tích:

Để CM BMD=CMD  ta cmMB MC M , 1 M 2   ta cm ABM ACM

( CM từ GT)

Ví dụ6 Cho Tam giác ABC, đờng cao AH Vẽ ra phía ngoài của

tam giác các tam giác vuông cân ABD, ACE (ABD ACE  900) Qua điểm C vã

đờng thẳng vuông góc với BE, cắt đờng thẳng

HA tại K CMR các đờng thẳng AH, BE, CD đồng quy

Sơ đồ phân tích

Để CM: AH, BE, CD đồng quy taCM:

CD chứa đờng cao của BKC

0

1

             

D C B

A

Ví dụ7 Tam giác ABC có góc A bằng 900 và AB=AC

Qua A kẻ đờng thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn

Thẳng BC Kẻ BD và CE vuông góc với xy

CMR: DE=BD+CE

Sơ đồ phân tích

Để CM: DE=BD+CE Ta CM:

 1    2  1  2

DA BD AE EC    ABDCAE  A ACE  ACE A A A

(CM đợc từ GT)

Bằng cách làm tơng tự giáo viên có thể hớng dẫn học sinh chứng minh nhiều bài tập chứng minh khác bằng cách phân tích ngợc nh trên Các ví dụ cụ thể

đợc minh hoa trong tiết dạy nh sau:

Tiết 33: Luyện tập

về ba trờng hợp bằng nhau của tam giác

Nội dung bài dạy đợc thể hiện nh sau:

 Dạng1 : Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau

Bài1.Cho ABC có AB=AC Chứng minh rằng góc B bằng góc C

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT,KL và tìm hớng chứng

minh của bài toán

Theo hệ thống câu hỏi

- Góc B và Góc C trong cùng 1 tam gíac, lại cha biết số đo

Vậy muốn c/m B C  ta nên làm thế nào?

( HS Tạo ra hai tam giác chứa hai góc đó bằng cách kẻ thêm đờng phụ)

- GV: Yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo nhóm

Bài 2 Cho góc xOy khác góc bẹt Ot là tia phân giác của góc xOy, trên tia Ot

lấy điểm H Kẻ đờng thẳng vuông góc với Ot tại H,

đờng thẳng này cắt tia Ox, Oy lần lựt tại A và B

a) CMR: 0A=0B

b) Trên tia Ot lấy điểm C Chứmg minh Ot là

đờng phângiác của góc ACB

GV: cho học sinh ghi GT; KL

và chứng minh phân phần a)

b) GV: Hớng dẫn bằng hệ thống câu hỏi:

- Để C/m Ot là đờng phân giác của góc ACB ta phải chứng điều gì?

( HS : góc ACH bằng góc BCH) -Muốn chỉ ra góc ACH bằng góc BCH

2 1

t H

y

x

O

C

B A

Ta làm nh thế nào?

HS: AOCBOC hoặc AHCBHC

Hai tam giác trên bằng nhau cha? tai sao?

GV: Trình chiếu lời giải chi tiết của bài toán

Giáo viên chốt lại sơ đồ tìm hớng chứng minh phần b) nh sau:

Ot là phân giác của góc ACB - ACO BCO AOCBOC hoặc AHCBHC

 Dạng2 : Chứng minh quan hệ vuông góc, song song của hai đờng thẳng.

Bài 3 Cho hình vẽ,

Biết AB=CD, BC=AD

Chứng minh rằng AB//CD

Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm cách chứng minh

tơng tự nh ví du 1: của chuyên đề

Bài 4 Cho ABC nhọn có AB=AC, D là trung điểm của BC

a) CMR: ADBC

b) Kẻ BMAC, CNAB (MAC, NAB)

Chứng minh

b1) AN=AM

b2) MN//BC

c)BM cắt CN tại H, chứng minh ba điểm A, H, D

cùng thuộc một đờngthẳng

- GV: Đa hình vẽ lên màn hình

- HS: Ghi GT, KL trên bảng

Hớng dẫn học sinh chứng minh phần a, b

a) GV: Nếu ADBC, khi đó hãy so sánh

hai góc ADB và ADC

- HS: Hai góc ADB và ADC bằng nhau

- GV: Khi đó Hai tam giác ADB và ADC có quan hệ với nhau ntn?

- HS: hai tam giác bằng nhau (c-g-c)

- GV cho một HS trình bày trên bảng theo hớng ngợc lại

b) GV: AM=AN Khi nào

- HS: Khi BN=CM

- GV: BN=CM khi nào?

- HS: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau

- GV: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau theo trờng hợp nào?

- HS: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau (cạnh huyền- góc nhọn)

(Sử dụng kết quả bài 1)