Lenseignement du calcul dans les écoles primaires de la grèce comparaison de quelques recherches sur les opérations fondamentales de iarithmétique

Pour avoir une idée plus étendue du rendement scolaire sur les opérations métiques, nous avons cherché à obtenir les résultats des recherches analogues faitesdans d'autres régions de Grè

'!NST ITUT DES, SCIENCES DE L'ÉDUCATION ,S

-,~_ çQmparaison de quelques recherches sur _.Ies opérations fondamentales de l'arithmétique

•

THÈSE

présentée à J'Institut des Sciences de J'Education

de l'Université de Genèvepour obtenir Je grade de Docteur ès sciences de J'éducation

par

•

mme.

Constantin KITSOS, ~'Licencié ès sciences.de J'éducation,

1960

Doctorat ès Sciences de l'Education Mention «Pédagogie»

L'Institut des Sciences de l'Education, sur le préavis de Monsieur le Professeur Samuel ROLLER, autor ise l'impression de la présente thèse, sans exprimer d'opinion sur les pro- positions qui y sont énoncées.

A mes enfants et à l eur maman

A Mon sieur le P rofesseur Samuel Roller , C odirecteur d e l'Institut d es Sci ences de l'Education , nous exprimon s tout d 'abord notre profond e r econnaissance pour avoir bien voulu pr ésenter notr e thès e à cet In stitut d e l'Uni versité d e G enève So n enseig nement

r elatif à la P édagogie exp érimentale, ses d irectives c ompétentes , la p eine qu 'il a p rise

d e sui vre l e pr ésent tra vail au fur e t à m esure d e sa ré daction son t autan t d e motif s qu i

s uscitent n otre r espectueuse g ratitude Q u'il veu ille t rouver i ci l' expression l a plu s sinc ère

d e notr e admiration pour son d évouement i nlassable au x scie nces d e l' éducation.

Nous d ésirons é galement e xprimer notre reconnaissance à Monsieur l e Profess eur Laur ent Pauli , pour t oute l' aide qu 'il nous a apport ée par s es pr écieux con seils r elatifs

à l'appli cation d e la P sychologie gé nétique d e M J ean P iaget à la M éthodologie scolair e

et pour l a f aveur qu 'il n ous a té moignée e n n ous p ermettant d e m ettre à profit l es ré sultats

d e ses recher ches p sych opédagogiques s ur l es Ma thématique s.

Notr e g ratitude s'a dresse a ussi à Mo nsieur l e P rof esseur R obert Dottr en s pour les cons eils judici eux qu 'il nou s a prod igués au cour s de c tra vail.1

1 Il reste encore à l 'a uteur Je de vo ir agréable de reme rcier tou s c eu x Qui l 'ont a idé à réalise r ce travail : J' In s pecteu r

g énéra l p ri mai re de J'Epire ( Gréce) et l es I nspecteurs prim aires de la ci rcon scription de J a nni na Qui l 'ont f av orisé dans ses r ec he rc hes ; l es institu teurs et In stit utrices des éc o les prim aires de l a vill e de Jann ina Q ui l ui o n t réservé le

m eilleu r accueil d an s leurs classes; et l es jeunes I nstit ute urs ses ancie ns étudi ants , Qu i ont part icipé ac tivement à ses xpérie nces

L'homme s'est trouvé dès l'origine en présence de grandeurs concrètes de diversesnatures En utilisant des objets pour ses besoins vitaux, il a constaté qu'il pouvait lesséparer, les isoler,les diviser et les comparer Etant obligé, par ailleurs, de par sa nature,

de vivre en société et ayant besoin de choses dont il était dépourvu, il pratiqua le système

de l'échange avec les autres hommes de son milieu social (troc) et en vint à effectuerdes actions de vente et d'achat à caractère commercial

Cetté action de l'homme sur les grandeurs concrètes mesurables ou calculableslui a donné «ce pouvoir mystérieux d'opérations mathématiques qui semblent êtrenées d'actions portant sur l'expérience la plus proche mais qui, en se coordonnant lesunes aux autres, s'éloignent de la réalité empirique d'un mouvement sans cesse accéléré,jusqu'à pouvoir la dominer, la devancer et même se désintéresser superbement desconfirmations qu'elle leur offre sur les terrains limités de l'actuel et du fini ».1 L'homme

a ainsi créé les sciences des nombres 2

L'arithmétique, l'une des sciences des nombres, a été depuis longtemps le moyenadopté par les hommes pour communiquer entre eux sur le plan économique et cettearithmétique devint en même temps la base de toute formation mathématique ultérieure.Son enseignement à l'école a une valeur éducative et vitale pour l'enfant Il contribue

à la culture du raisonnement, à l'acquisition d'une méthode d'apprentissage, à la ture de qualités morales et à la maîtrise d'une technique efficace dans le secteur de lavie pratique

cul-Cette valeur, éducative et vitale, du calcul a stimulé l'intérêt des pédagogues et,depuis longtemps, ils ont étudié le problème méthodologique de l'enseignement del'arithmétique, afin que les élèves puissent tirer le meilleur profit possible de cette disci-pline.3

L'évolution historique des notions arithmétiques nous montre l'effort de l'hommeélaborant une science à la fois rigoureusement déductive et s'adaptant à l'expérience,science qui possède une valeur considérable pour le monde moderne D'autre part,les mathématiques ont une réelle valeur éducative pour l'enfant On peut alors se deman-der si l'école primaire, par ses méthodes didactiques, a obtenu dans ce domaine des

1 J Piaget: « Introduction à I'Epist émologie génétique », tome l, p 270.

1a) L'arithmétique,b) l'analyse numérique,c)l' analyse algébrique,d)l'analyse combinatoire , e) l'analyse infini tësimate (Encyclopédie franç a ise, tome 23, pp 391-399)•

• Vo ir :

a) E Natalis: « De l'empirisme au raisonnement logique " , Liège, 1953.

b) « L'initiation mathématique à J'école pr imaire », B I.E.

e) H Aebli : c La didactique psychologique », 1951, Delachaux et Niestlé.

d) L Pauli: « Recherches et expériences sur l'enseignement des mathématiques" (polycopié),

e) «Didactique de l'initiation mathématique à l'école primaire », B.I.E.• 1956.

résultats suffisants L'école élémentaire a-t-elle, \d'une part, contribué à établir unebase solide pour l'évolution future de la science mathématique et, d'autre part, a-t-elleprocuré aux enfants les bienfaits d'ordre éducatif que peut leur apporter l'enseignement

du calcul?

Les propos ci-dessous de R.-E Lighton nous obligent à nous pencher sérieusementsur l'œuvre de l'école primaire en ce qui concerne la discipline mathématique.R.-E Lighton, en introduisant le livre de Behr «Arithmetic is fun» l nous dit: «Lesécoles techniques et les universités se lamentent sur l'incompétence de leurs étudiants

en arithmétique, les écoles secondaires sont constamment déçues des produits de l'écoleprimaire, les écoles primaires déplorent le manque de préparation suffisante et adéquatedes instituteurs» A son avis, les résultats ne correspondent pas aux efforts des maỵtres

et des élèves On pourrait formuler les mêmes conclusions en Grèce et, sans doute,dans presque tous les pays

Le problème se pose donc dès le niveau de l'école primaire, ó l'enseignement desmathématiques consiste surtout, pour le moment du moins, dans l'enseignement desopérations fondamentales considérées comme la base des études mathématiques ulté-rieures

La science pédagogique a désormais pour objet de rechercher les difficultés desélèves dans l'apprentissage des opérations arithmétiques Essayer de comprendre desdifficultés provoquées par les tables de calcul et par les opérations sur les nombres etles problèmes concrets de la vie; découvrir une solution au problème créé par ces diffi-cultés en considérant certains facteurs du rendement scolaire (plans d'études, manuels,maỵtres d'école, parents); éclairer enfin cette situation par les données de la psychologiegénétique, tel est l'objet de notre travail Nous souhaitons qu'il soit une contributionpositive de la solution scientifique du problème de l'enseignement mathématique.L'approche d'une telle solution peut être atteinte grâce aux méthodes de la pédagogieexpérimentale, cette dernière étant, d'après M S Roller, une étude scientifique del'action pédagogique pour en accroitre le rendement La pédagogie expérimentale poseses problèmes et formule ses conclusions en termes à la fois scientifiques et pédagogiques

La pédagogie expérimentale se doit ainsi d'interroger les spécialistes des disciplinesconnexes t

Dans notre étude, nous aurons recours, d'une part, aux techniques de la pédagogieexpérimentale et, d'autre part, aux données des spécialistes de la psychologie de l'enfant.Ainsi, au moyen de tests et de questionnaires, nous avons cherchéà établir le rende-ment de l'enseignement des quatre opérations fondamentales dans les écoles primaires

de la ville de Jannina en Grèce:

1 Pour avoir des faits sur l'acquisition des tables d'addition et de multiplication,nous avons utilisé les tests AJ et ML du Laboratoire de Pédagogie expérimentale

1 A • L Behr : A rithmetic i s fun » Dagreek Book Sto re Johannesburg 1954 p 7 (texte mentionné dans le

livre polycopié de L P auli : « Recherches et expériences sur l'enseignement math ématique " l

1 Voir « Etudes de Pédagogie expèrimentale » ; « Cahiers de Pédagngie Expérimentale et de PsycholoiPe de l'enfant"

différence, soustraction-complément, multiplication, division-partage, contenance) et nous les avons proposés aux enfants.

division-4 Pour mieux élucider le problème des difficultés rencontrées par les enfants, nousavons interrogé oralement des groupes de sujets représentatifs de la populationscolaire, en enregistrant au magnétophone leur «réflexion parlée» à propos desopérations de toutes formes et des problèmes concrets relatifs aux sept opérationsfondamentales

5 Pour éclairer notre étude par d'autres facteurs influant sur le rendement scolaire,nous avons analysé les données d'une recherche faite sur le contenu du plan d'études

de notre pays, sur les manuels scolaires d'arithmétique utilisés par les élèves, surles opinions des maîtres d'école enseignant le calcul et, enfin, sur les opinions desparents à propos de l'arithmétique

6 Nos tests et questionnaires ont été adressés à une population scolaire jugée parnous suffisante, de 800 élèves des 3e , 4e, 5eet 6e classes primaires de différentes écoles

de Jannina (écoles modèles, écoles à six classes, à quatre classes, à classe unique).Nous avons aussi interrogé des adultes de 20 ans qui n'avaient qu'une instructionprimaire, et des étudiants de notre Académie Pédagogique de Jannina (Ecole Nor-male) qui faisaient leur dernière année d'étude (futurs instituteurs)

7 Pour avoir une idée plus étendue du rendement scolaire sur les opérations métiques, nous avons cherché à obtenir les résultats des recherches analogues faitesdans d'autres régions de Grèce et dans d'autres pays (Suisse, Belgique, France,Angleterre, U.S.A.), et nous avons confronté les données de ces recherches aveccelles que nous avions obtenues

arith-Ainsi, nous nous sommes trouvés en présence de faits recueillis méthodiquement,classés et comparés

Mais, nous avons déjà dit que la pédagogie expérimentale doit aussi savoir interrogerles spécialistes des disciplines annexes C'est ainsi que nous aussi, nous avons essayéd'approfondir notre étude:

1 par les données de la psychologie génétique de M Jean Piaget sur le mécanismedes opérations logiques;

2 par les résultats de quelques essais d'application à la didactique du calcul faitspar M H Aebli (Zurich) et M L Pauli (Neuchâtel);

3 par les données d'une expérience didactique en calcul, faite par le groupe despsychologues scolaires de Paris;

4 par les conclusions des recherches psychopédagogiques relatives au même sujet,

faites en Belgique et en Amérique

Nous nous sommes efforcés ainsi d'analyser les causes du rendement scolaire du point

de vue psychologique

En s'appuyant sur les faits d'une part et sur les données psychologiques d'autre part,nous sommes arrivés à formuler quelques propositions concernant l'organisation dutravail scolaire de l'écolier aux prises avec les opérations arithmétiques Ces proposi-tions se rapportent au plan d'études, aux manuels scolaires, au matériel didactique,

à la méthodologie du calcul et à la formation des instituteurs

Cependant, nous nous rendons compte que, scientifiquement parlant, nos sitions ne sauraient avoir la prétention de résoudre définitivement les problèmes quenous avons soulevés Seule une expérimentation rigoureusement conduite dira ce qu'ellesont de valable et autorisera leur généralisation dans le cadre de la pédagogie pratique

propo-CHAPITRE 1

Difficultés rencontrées par les élèves pendant l'apprentissage de la table d'addition

1 DONNÉES DE NOTRE RECHERCHE

1 Le b ut d e l a r echerche - 2 L 'instrument de mesure - 3 L'appli cation du test - 4 Dat e de l 'épreuve et popul at ions examiné es - 5 R ésultat s g énér aux (Ind ice quant itatif) - 6 R ésulta ts p ar cl asse (Indice qu anti-

tati f) - 7 R ésultat s gén ér aux c a lcu lés p ar J'Ind ice d 'e xac titude - 8 An aly se des faut es commi ses par les

él èves - 9 Cl assificat ion de s dif ficulté s ren contrées p ar les élè ves - 10 Résultats g én éraux e xprimés a u moyen

m CONFRONTATION DES RÉSULTATS - CONSTATATIONS

1 Points de confrontation - 2 Données expérimentales hors de confrontation - 3 Constatations générales.

1 DONNÉES DE NOTRE RECHERCHE

1 Le but de la recherche

Pour recueillir des faits sur l'acquisition de la Table d'addition, nous avons utilisé

le test AJ du Laboratoire de Pédagogie Expérimentale de Genève (S, Roller) 1 Grâceaux résultats obtenus à ce test, nous avons pu établir une liste des difficultés rencontréespar les élèves pour résoudre des additions et soustractions simples de la forme suivante:

1) a + b = ó a < 10 et b <10,2) a - b = ó a <20 et b <10

La recherche était faite à Jannina (Grèce)

Ces 100 questions étaient posées sous deux formes: 1) Additions: Première manière:

6 + 9 = Deuxième manière: 6 et 9 = Ces deux manières donnent lieu à 200questions 2) Soustractions: Première manière: 15 - 9 = Deuxième manière:

De 9 à 15 = , Ces deux manières donnent aussi lieu à 200 Douvelles questions

1 S Roller: « L'enseignement de la Table d'addition et son rendement" (texte polycopié) , Institut des Scienca

do l'Education, Genève, 1958, pp 2-4.

C'est ainsi que, des 100 questions fondamentales de la Table, on a pu tirer 400questions.

Les 400 questions on t été mêlées et distribuées en quatre groupes de 100 questions.Ces 100 questions étaient destinées à occuper une feuille du test (AB l, AB2, AB3,AB4), à cinq colonnes de vingt questions chacune

Les vingt questions ont été rép art ies de telle sorte que la somme des vingt réponsessoit toujours la même Cette somme est de 135 On la retrouve 20 fois dans le test entier.Cette égalité des sommes permet de penser que les calculs de chaque colonne sont àpeu près d'égaledifficulté.Voici lesvingt questions de la première colonne de la premièrefeuille:

3 Les tests ont été présentés quatre matins consécutifs, à huit heures, dans l'ordre

suivant: Premier matin: test ABI ; deuxième matin: test AB2; troisième matin:

test AJ33; quatrième matin: test AB4

4 L'inst ituteur expliquait aux élèves les quatre man ières de présenter l'addition ou

5 Pour l'exécution de ce test, les élèves ne gardaient sur leur pupitre que deux choses:

un sous-main, un crayon Pas de gomme

6 Premier jour: On distribuait les feuilles du test AB l, verso dessus (pour que lesélèves ne voient pas les calculs qu'ils avaient à faire) On faisait remplir l'en-têtesuivant:

Ire ligne: nom, prénom G (garçon) ou F (fille) né(e) le

7 On informait les élèves : « Au dos de votre feuille se trouvent des additions et dessoustractions sembla bles à celles dont on vient de vous parler Elles sont mêlées

Au signal vous ferez le plus vite possible , le plus grand nombre de calculs Il y a:nq colonnes: vous commencerez par la colonne de gauche, puis vo us ferez ladeuxième colonne, la troisième, etc si vous en avez le temps! »

8.Pour pouvoir connaỵtre le rendement des élèves, de 30 en 30 secondes,on demandait

à ces derniers le travail suivant:

«De temps en temps, je vous dirai: «Un trait!» A ce moment, vous soulignerez

le dernier résultat que vous venez d'écrireet vous continuerez vos calculs »Exemple:

3 + 0 = 3 Ce trait signifie qu'un élève venait d'écrire le résultat «3» au

moment ó il a entendu l'ordre «Un trait! » Cet ordre était

8 et 7 = 15 donné toutes les 30 secondes; les élèves faisaient donc un trait

2 - 1= 1 après la 30e et après la 60e seconde

9.On répondait aux questions raisonnables que les élèves posaient

10 Départ: «Prenez votre crayon, saisissez le coin supérieur droit de votre feuille;quand je vous dirai: «Partez !» vous retournerez votre feuille et vous vous mettreztout de suite au travail Quand je vous dirai: «Halte! », vous poserez immédiate-ment votre crayon Attention «Partez! » Toutes les 30 secondes: «Un trait!»

Il A la 90eseconde(lY2 minute) très exactement, on disait:«Halte! Posez vos crayons »

On relevait aussitơt les feuilles

12 Deuxième, troisième et quatrième jours: on procédait comme pour le premier jour.Les élèves notaient, au verso de la feuille, le nom et le prénom uniquement

4 Date de l'épreuve et populations examinées

Le test a été soumis aux élèves au début du mois de mars 1959 L'année scolairecommence le 20 septembre et s'achève le 25 juin de l'année suivante - Vingt-huitclasses primaires mixtes (garçons et filles) ont été sollicitées (742 élèves dont 367 garçons

et 375 filles) Ont été aussi sollicités: 1) 61 adultes de 20 ans ayant une instruction maire seulement, 2) 54 étudiants de l'Académie Pédagogique de Jannina (futurs insti-teurs): 27 hommes, 27 jeunes filles

pri-La distribution des élèves par classe de chaque école est faite selon tableau I

4 classes

E cole modèle à classe unique 1

Ecole modèle à classe unique II

5 Résultats généraux (Indice quantitatif)

C otation d es Irai 'aux : On n'a pris en considération que les travaux des élèves quiont subi l'épreuve entière (les quatre sous-tests administrés quatre jours consécutifs)

Il n 'y eut pas beaucoup d'absent s pendant les quatre matinées

Dans le présent compte rendu figurent les réponses just es fournies par les élèves

(Indice quantitatif)

Pour chaque degré scolaire et chaque sexe, on a calculé la moyenne arithmétique

et extrait les résultats obtenus par un échantillon de cinq sujets représentatifs:le Premier,

le Dernier, le Médian (sujet du milieu) et les sujets Quartile supérieur et Quartile rieur 1

infé-Dans le tableau suivant, on a fait figurer: les classes, le Nb ( = le nombre de sujets

de chaque degré et de chaque sexe), la Moyenne arithmétique,le Sigma, le Pr (le Premier),

le Qs (le sujet Quartile supérieur), le Mé (le Médian), le Qi (le sujet Quartile inférieur)

et le Der (le Dernier)

TABLEAU JI

Tests: Al31 , Al 32, AJ33, AJ34 (R éponses justes)

(Indice quantit atif)

Résult ats génér aux

R emarques sur l es r ésultats g énéraux du t est Al:

1 On constate une nette progression de la 3eà la 6eclasse primaire.Si nous considérons

les Médians, nous voyo ns un progrès de + 22 de la 3e à la 4e, de + 22 aussi de la

4e à la S c , de + 13 de la s e à la 6e, pour les garçons; et un progrès de + 17 de la

3eà la 4e,de + 2S de la 4eà la S (', et de+ 7 de la s eà la 6e pour les filles

2 La comparaison garçons-filles, vue aux Médians, fait apparaître une différence danstoutes les classes en faveur des garçons: en 3e, la différence est de + 4, en 4e elleest de + 9, en se elle est de + 6 et en 6e de + 12 Il convient de noter ici que lesfilles sont peut-être influencées par l'opinion très courante chez nous (à Jannina)d'après laquelle le travail mathématique, abstrait, ne conviendrait pas aux femmes:

«Les femmes ne comprennent pas les mathématiques ! »

3 A titre de comparaison, signalons qu'un groupe d'adultes de 20 ans (recrues), ayantune instruction primaire seulement, a fourni au test le même Médian que les garçons

de 6e primaire (MéG: 100,Mé adultes : 1(0), tandisqu'un groupe d'étudiants-futurs

1 Les l er , Q s Mé , Qi Der s ont de s va leurs repré sentatives d 'un en semble de va leu rs : 1) le Médi an: N valeurs

ét ant o rdo nnées de la plus f o rte à la p lus fa ible , leM éd ianest l a va le ur c entrale, telle qu'il y a it autant de valeurs qu i

lui soien t sup éri eures et au ta nt Qui lui s oi ent i nfé rieures 2) Le Quartil e s upé rieurest un e va le ur telle que le nombre

de s v a leu r s qui lui so n t s upé r ie ures é q i v a l e a u t ier s d e va leurs Qu i lui s ont i n fé rie ures 3) Le Quartil e i nférieurest

un e v aleur t elle q ue l e n ombre de s v a le ur s Qu i lu i so n t s u pé rie ures so it tr oi s f o is p lu s gr and que le nombre de s va leurs

q ui lu i so n t i nf é r ie ur es L e Q u a rti les s upé rie ur et inf érieur s e rven t â fixer le s l im ites d 'une zone m o yenn e s' étenda nt

d e p a rt e t d ' autre du M é Le Sigma o é a r t t ype est un i n dice qu i indi que en tre qu ell es lim it es a u- dessus et a u-d esso us

de l a m o yenne , se gr oupent l es d eux tie rs de s s ujets P a r un c alc ul s pécial , on pe ut tr ouver ces va le urs représent atives ( Voir S R oller: Elements t echniques de P édagogie Expérimentale, Gen ève (L a boratoire de Pédagogie Expérimen- tale ), 1 953 )

instituteurs (garçons-filles) a fourni un Médian double de celui des garçons et desfilles de 6e primaire (6e Mé G: 100, Mé F: 88; Etud Mé G: 207, Mé F: 175).

4 Les garçons de 3e donnent, en gros, 47 réponses justes (en moyenne arithmétique)

en 6 minutes (1Y2 min X 4 tests = 6 min.), soit presque 8 réponses en l minute

et une réponse juste toutes les 7,5 secondes Les garçons de 6e donnent 100 réponsesjustes en 6minutes, soit 17 réponses par minute et une réponse toutes les3,6secondes

A titre de comparaison, signalons que le groupe d'étudiants-futurs instituteurs afourni 200 réponses justes en 6 minutes, soit environ 33 réponses par minute et uneréponse chaque 1,8 seconde

5 Grande dispersion des résultats dans chaque degré: considérant les points obtenuspar les Premiers sujets et les Derniers sujets dans chaque classe, nous pouvons direqu'il y existe une grande hétérogénéité qui doit rendre difficile le travail scolaire

Le Dernier sujet, aussi, de6e filles, a le même résultat(28 points) que le sujet Quartileinférieur de 3e

Cette -dispersion montre que l'entraînement des élèves en vue de la maîtrise de laTable d'addition devrait pouvoir être individualisé En effet, et pour prendre unexemple, la fillette Quartile supérieur de 5 e (152 points) a besoin de recevoir unentraînement différent de la dernière élève du groupe (13 points)

Les sigmas sont grands Ils attestent eux aussi une forte dispertion des sujets depart et d'autre de la moyenne

Conclusions:

1 Sachant que, d'après le plan d'études de Grèce, la Table d'addition doit êtreenseignée en pe et en 2e années d'études primaires, pouvons-nous être satisfaits de cerendement?

2 Les résultats des adultes (20 ans) en ce qui concerne leur Mé: 100, peuvent-ilsnous renseigner sur le travail scolaire effectué 8 ans auparavant? Comment expliquerqu'il n 'y ait aucun progrès ? Le rendement scolaire, il y a huit ans, était-il moins bonqu'aujourd'hui? Ou les circonstances de la vie ont-elles empêché les adultes de per-fectionner leurs connaissances ?

6. Résultats par classe (Test AJ) - Réponses justes (Indice quantitatif)

Pour savoir s'il existe une différence dans les résultats généraux entre les différentesécoles, nous avons extrait les sujets Médians par degré scolaire et nous avons obtenu

le tableau suivant (III) concernant l'indice quantitatif

TABLEAU III Résultats par classe

Les sujets Médians de chaque classe calculés par l'Indice quantitatif

Classes Ecole Ecole Ecole Ecole Ire école 2c école 6e école

modèle modèle modèle modèle de Jannina de Jannina de Jannina

à 6 classes à 4 classes classe classe à 6 classes à 6 classes à 6 classes

R emarques :

1 En comparant les Médians des classes des écoles modèles avec ceux des classesdes autres écoles ordinaires, nous voyons une nette différence en faveur des écolesmodèles Il convient de noter ici:

a) l'effectif dans les classes des écoles modèles est réduit (voir tableau I): b) lesmaîtres titulaires des classes modèles sont appelés à la suite d'une sélection faitesur la base de leur instruction préalable et de leurs qualités de travail caractérisées

par les inspecteurs primaireset c) l'ambiance fam iliale des élèves des écoles modèlesest plus favor able que celle des élèves des écoles ordinaires (du point de vue de

J' intérêt et des soins des par ents à propos des devoirs à domicile des élèves) Cettedernière remar que concern e aussi la 2eEcole ordina ire de Jannina (à 6 classes)dont

les Médian s n'ont pas, en moyenne, de différence avec ceux des écoles modèles

2 Da ns les écoles modèles, il n'y a presque pas de différence entre les Médians desécoles à 4 classes et à classe unique, et ceux de l'école à 6 classes, exception faitepour les Médians des Jeet 4eclasses de la 1r e école modèle à classe unique dont lemaître-t itulaire, placé dans cette école depuis 4 ans, se trouve contraint, pour des

raisons économiques, de se livrer à des besognes extra-scolaires Or, le facteur maître

jo ue ici un rôle décisif; cela est vérifié d'ailleurs par les Médians des classes de la

2eécolemodèleà classe unique ,dont le titulairea reçu une instruction supplémentaire

à l'Université d'Athènes et n'a pas à résoudre, sur le plan familial, des problèmesfinanciers et sociaux

7 Résultats généraux (Test AJ) calculés par l'Ind1œ d'exactitude

Cot ation d es travaux: Pour mieux valoriserles réponses justes fournies par les élèves,nous avons chiffré les résult at s de chaque élève au moyen d'un rapport dont le numé-

rateur indiq uait le nombre des réponses just es et dont le dénominateur indiquait lenombre total des réponses fournies (justes et fausses) pour quatre sous-tests Ainsi,nous avons établi l'Indic e d 'ex act itude des résult ats pour chaque élève

Au paragra phe 5, nous avons opéré sur les réponses justes sans tenir compte deserreurs commises par les élèves (Indice quantitat if 1) Il nous a cependant paru néces-saire d'exam iner les résultats des écoliers en tenant compte de l' exactitude de leurs

r éponses.

Nous avons alors calculé, parmi tou s nos sujets, ce que nous avon s appelé l'Indiced'exactitu de, qui est le rapport, examiné en pourcents, entre le nombre de réponses

justes et le nombre total des réponses fournies

On trou vera ci-dessous les indices d'e xact itud e (indice E)de cinq sujets représentatifs.Néanmoins,cet indice Ene nous satisfait pas plus que l'ind iceJ et nous nous sommesdemandé s'il ne convenai t pas de trou ver un troisième indice qui tînt compte et de la

qua nti té de travailjuste (1) etde la qualité de cetravail(E ). Nousavons trouvé ce nouvel

in ice appelé par nous indice A en multiplian t J par E (E n'étant plus que le quotient

J T 1 non multiplié par 1 00 ). L'in dice A fut calculé pour tou s les sujets Ceux-cifurentclassés el les cinq sujets représentat fs furent extraits C'est pour ces sujets-là que nousessayerons de faire une analyse des erreurs

1 T = n o m br e t otal C ~ r é po n ses f o urnies

TABLEAU W Test Al

• Les résultats généraux par l ' Indice d'exactitude

(Moyenne arithmétique des réponses justes sur 100 réponses fournies justes et fausses

par les élèves)

du rendement de la population totale

Fréquence defautes en %du total

desréponsesForme d'opérations

1 G Mia la ret: « N ouv elle P éda gogie sci entifiq ue ", P U.F , 19 54 pp 40-4 1.

• Ces r ésult a ts s on t ceux qu e n ous a vo n s ob ten us av ec un é ch an tillonnage d e cin q s ujets ( no s ci nq s ujets r

epré-s en tat ifs : P, Q s, M é, Qi e t D )

d) de 9 à 15

-d) de à

8 L'analyse des fautes commises par les élèves

Pour connaître le genre de fautes commises aux questi ons du test,nous avonsanalysé

individuellement les réponses fausses des sujets représent atifs de chaque degré de notrepopulation scolaire La fréquence d'apparition des erreurs a été exprimée en pourcentspar rapport au nombre total des réponses fournies Les sujets représentatifs de chaqueclasse (l e r , Qs, Mé, Qi, Der) étaient extraits d'une classification des sujets faite d'après

l 'Indic e A (voir paragraphe 7 ).

Ainsi, nous avons pu établir le tablea u N° V dans lequel nous trouvons l'analysedes difficultésrencontrées par les élèvesdans la table d'addition Dans cette table d'addi-tion, les opérations sont présentées sous quatre formes:

2 Dans la plupart des cas, nette différence en fa veur des garçons

3 Les adultes donnent des résultats meilleurs que les gar çons de la 6e. C'est la vie,peut-être, qui les a obligés à être attenti fs au travail exact

4 A titre de compar aison , signa lons que le grou pe d'étudiants a fourni des résultats

très sup érieurs à ceux des élèves de la 6e.

5 Ayant ado pté comme critère de maitrise d'une notion mathématique le pourcentage

de 90 ~~ (de réussite), nous pouvon s dire que la connaissance des add itions simples,des formes: a) - , b) et - , est acq uise par les élèves de toutesles classes,sauf par les filles de la 3e. Maisil n'enest pasde même en ce quiconcerne

la connaissance des soustractions simples sous les formes: a) -

b ) de à

-9 Classification des difficultés rencontrées par les élèves

Ayant la fréq uence des fautes en %, commises par les élèves, pour chaque forme

d'opér at ion de la Table d'addition, nous avons pu éta blir une classification des cultés croissantes rencontrées par les élèves

4 La classification de ces opérationsparordre de difficultéscroissantes nous donne ceci:

5 Chez les étudia nts, le classement ci-dessus apparaît dans l'ordre l, 2, 4, 3

6 C onclusion : La forme d'après laquelle se pose une opération de la table d'addition

joue un rôle considérable sur le rendement de l'élève

10 Résultats généraux exprimés au moyen de l'Indice A (Test AJ)

Différences: J-A (m) Exact itude = AIJ Diff érences entre G et F (m)

Lenteur et inexact itud e caractérisent le trava il des élèves

2 Les différencesentre garçons et filles d'aprèsl'indice A sont,comme d'aprèsl'indiceJ,

en faveur des garçons et à tous les degrés

n. DONNÉES DES RECHERCHES FAITES DANS D'AUTRES RÉGIONS

DE GRÈCE ET DANS D'AUTRES PAYS

1. Résultats d'one recherche faite à Larissa - Grèce1

TABLEA U V lIJ Ecoles primaires à Lari ssa ( Grèce) : r éponses justes:

Date : 1958 - Chercheur : M Elie Xirotiris, inspecteur primaire

R ésultats g énéraux ( Test AJ)

a) Nette progression des élèves par classe

b ) La compa raison des résultats entre garçons et filles montre une grande différence

en faveur des garçons dans les classes de s eet 61'

Cau ses de d ifficult és d 'après le ch e rch eur :

1 ) La population scolaire (SO-60 élèves par classe);

2) L'insuffisance d moyens didactiques ;

3) La méthode utilisée pour l'initiation au calcul

En 1930,M N Carachristos, Directeur de l'Ecole Normale d'Athènes (Maraslion),

a organisé une recherche sur lesélèves de l'école primaire annexe de son Ecole Normale,sur les difficultés rencontrées par les élèves aux tables d'addition et de soustraction

Dans cebut,il a proposé aux élèves de six classes primaires (30 élèves par classe) 10rations d'addition du type: a + b = , a> 0, b> 0, a< 10 , b < 10, et 10 opérations

opé-de soustraction du type: a - b = , a> 0, a <20, b> 0, b < 10.

B

Les r ésultats aux additions

1) Le temps utilisé (en moyenne) par les élèves pour la solution des 10 opérations:

1re année 8 ,S' (minutes) 4e année 2,8'

1 V o ir l a r evue : " E d uca t io n Nou velle ", L ari ssa , N o 1.2 1 958 ( G rèce).

1 :" " o l3s C ar ch r isto s : " Di dactiq ue de Fa ri thm è r i q ue " At h ènes , 195 1, pp 5 7, 58

2

2) Les difficultés rencontrées: a) L'addition avec les addendes 7, 8, 9 est difficile aussibien pour les grands que pour les petits enfants b) L'addition des nombres impairsprovoque plus de fautes (176 fautes) que l'addition des nombres pairs (110 fautes).

C

38

606059

65140198

Les résultats aux soustractions

1) Le temps utilisé (en moyenne) par les élèves pour la solution des ID opérations:

Comme petit terme de la soustraction

c) Les opérations sur les nombres impairs donnent lieu à plus de fautes que cellessur les nombres pairs (484 fautes contre 262) d) Les nombres 7, 8, 9, comme petitstermes de la soustr action,constituent de grandes difficultéspour les élèves.e )En com-parant les temps utilisés pour la solution des 10 additionsd'une part, et des 10 sous-tractions d'autre part, nous trouvons que les soustractions exigent davantage de temps

D

L'étiologie des fautes d'après l'expérimentateur

Les fautes sont dues:

a) à la faiblesse des associations mnémoniques chez les élèves;

b) à la forte résistance des mauvaises impressions;

c) à l'insuffisance du raisonnement;

d) à la manière quelque peu globale, voire mécanique, adoptée par les enfants pourrépondre aux questions;

e) à des causes encore inexplicables

3 Résultats d'une recherche faite en Belgique1

des combinaisons de la table d'addition-soustraction Il s'est efforcé de résoudre ceproblème dans deux cas précis: Présentation des opérations: a) sous forme auditive

et b) sous forme visuelle et en utilisant la méthode dite «des erreurs », d'après laquelle

la difficulté d'une combinaison est estimée d'après le nombre des «fautes» commisespar les élèves (classes: 2e, 3e, 4e, 5e, 6e, des 8 écoles) Le rang de difficulté de chacundes neuf premiers chiffres en valeur absolue est le suivant (difficulté ascendante):

Addition: 1 2 4 6 3 5 8 7 9

Soustraction: 2 1 4 6 5 8 7 3 9

f'IlI''"lI'lI'!Mf '!tlJ 'l!l!s'"'!r "tle" '"'''ll'ePooilel''' ", anistes sur le calcul élémentaire », R Buyse i n R Dottrens:

ff rm~ NV'pp 188-18 9, et R Buyse, « L'expérimentation en Pédagogie ".

L'analyse des données faite par Faes suggère les conclusions suivantes:

2 L'épreuve auditive est plus difficile que l'épreuve visuelle

4 Les opér ations présentent des niveaux différents de difficulté

est difficile

NOTE: Il faut noter icique John Murray, par sa recherche faite, en 1941, en Angleterre l , est arrivé presque aux mêmes résultats quant à la classification des difficultés

selon un ordre décroissant de difficulté comme suit:

(Scottish Council for Research in EducationArithmetic)

Liste des additions établies suivant un ordre décroissant de dif ficultés

(l'ordre de difficulté est donné par la fréquence des fautes)

Opé r a ti o n Rang Range Opération Rang Range Opéra tio n Rang Range

Rang· DC co mp rend pas les opérationsaveczér o

• Vo ir : « The Scottish Council for Resear h ' E<I ' • •

Press Lld 1941 c ut ucauon », S \Udi~ ut Arith metk, V.ol l, Univenity of Londoa

LES SOUSTRACTIONS FONDAMENTALES Liste des soustractions établies suivant un ordre décroissant de difficultés

(l'ordre de difficulté est donné par la fréquence des fautes)

34

12

13 14

15

16 17

18

19

20

21 22 23 24

252627

28 29

30

31 32

3334

Rang"

1234

5

6 7

8 9

10 11

12

13 14

Opération

5 - 5

5 - 0 13-6

Il - 8

6 - 612- 5

11-4

3 - 3

12- 7 11-9 11-7

9 - 3 10-7 10-4

14 - 7

9 - 4

9 - 2

9 - 6 10-3

7 - 3

7 - 5 10- 8

9 - 7 10-6

8 - 5

8 - 2

Rang Rang"

35 36

5 - 3

7 - 4

8 - 3 7-1

8-14-3

4-1 10-2

6 - 3

9 - 8

4 - 2 3-1

6 - 5

8 - 7 9-1

4 Résultats des recherches faites à Genève

I Recherche faite sur les opérations orales1:

En septembre 1954, le Laboratoire de Pédagogie Expérimentale de l'Institut desSciences de l'Education à Genève, sous la direction de M S Roller, en collaborationavec le Département de l'instruction publique du canton de Genève, a organisé unevaste recherche dans les écoles primaires de Genève sur le rendement scolaire.Des remarques générales, nous extrayons celle qui concerne la table d'addition et

plus précisément les opérations orales qui étaient présentées sous forme de séries de

nombres :

Remarque: Question 7 3e année d'études: LES SÉRIES: Rendement assez faible.

Plusieurs élèves ne donnent que 3 nombres sur 4 de ceux qui étaient demandés Lafatigue est-elle intervenue à ce moment (fin de l'épreuve) ? Les enfants ont-ils éprouvéquelque difficulté à lire la question au tableau noir? Cette notion qui est d'ailleurs

un excellent moyen de préparer l'acquisition de la table de multiplication avait-elleété suffisamment exercée ?

l R Dottrens: « L'amélioration des programmes scolaires", Neuchâtel , 1957, p 224.

II R ésultats g énéraux obtenus par l'application du test

AnI , AJ32, AJ33, AJ34 1

En sept emb re 1957, le même Laboratoire de Pédagogie expérimentale de Genève

a appliqu éle test A l (de son invention) pour la table d'additiondans les écoles primaires

de Genève Voici les résultats généraux obtenus consignés dans le tableau IX

R emarqu es e t co nclusion d e M S R oller:

l, Nette progression de la 3e à la 7e Si on con sidère les Médians, on voit un progrès

de - 20 de la 3eà la 4e,de la 4eà la 5e;de -i- l ade la 5eà la 6e;et,de la 6eà laT ",

un nou veau progrès de -i-20pou rlesgarç on s et même un gain de + 30 pour les filles

2 La comparaison garç on s-filles, vue du point de vue des Médi an s, ne fait apparaître

aucune différence, saufen 7e. Il convient de not er ici que les garçons de 7e ont été

privés du contingent parti pour le Collège à la fin de la 6e.

3 C onclusion gé nérale:

Les résult at s que nous avons exposés dans cette étude donnent une estimation du

rendement de l'enseignement de la table d'addition dans les écoles primaires de

Genè ve en automne 1957,

Ces résulta ts sont un simple con stat Ils ne permettent pas de dire si le rendement

de l'enseignement est bon ou mauvais, Il faudra it,pour pouvoir s'exprimer là-dessus,

disp oserdecomparaisons (quels rendementsil y a dix ans; quels rendement ailleurs ?).Les garç ons de 3edonnent, en gros,42 réponses justes en 6 minutes, soit 7 réponses

en 1 minute et une réponse toutes les 8,5 secondes Ce rendement n'est-il pas le

signe d'une certaine lenteur ?

Les filles de 7edonnent 120 réponsesjustes en 6 minutes, soit 20 réponses par minute

et une réponse toutes les 3 secondes Ce rendement peut-il être considéré commesatisfaisant pour des élèves de 12 à 13 ans qui ont déjà accompli six années pleines

de scolari té obligat o ire ? A titre de comparaison , signalons qu'un groupe

d'élèves-maitresses a fourniau test 232 rép on sesjustes en 6 minutes ,soit environ 39 réponses

par minut e et une réponse chaque 1,5 seconde

Aucun jugement négat if ou pos it if n'est pour le mom ent de mise La mesure que

nou s avons faite doit cependan t nous engage r à étudier divers moyens pour essayer

d'ob ten ir u rendement meilleur car, la maitrise de la tabl e d'addition - comme

aussi celle de la table de multiplicat ion - n'est-elle pas un élément impo rta nt de la

réussite de nos élèves en arithmé tique?

1 S R o Uer : ~ L 'enseignement de la table d 'add ition et so n rendement » (texte pol yco pié) Gen ève, 19 58 pp 6, Il

COMPARAISON DES RÉSULTATS Comparaison des ré sultats: Jannina ( Grèce) , Genève ( Suisse), Caen ( France)l

Réponses justes en6minutes

Explication :Nb = Nombre de sujets examinés; m Moyenne arithmétique; Mé = médian

CEl = Cours Elémentaire 1; CP = Cours Elémentaire 2 ; CM = Cours Moyen (l , 2) ;

C. su.= Courssupérieur; FE= Fin d'étudesprimaires (1, 2) ; J = différence en faveur de

Jannina;G = différen ce enfaveurde Genève ;C = différence enfaveur deCaen

Remarque: Dates des recherches:

à Jannina: Mars 1959 (2 e semestre)

à Genève: Septembre 1957 (début de l'année scolaire)

à Caen: Octobre 1958 (début de l'année scolaire)

ffi CONFRONTATION DES RÉSULTATS - CONSTATATIONS

Pour pouvoir prononcer un jugement sur les résultats obtenus dans des recherchespédagogiques, il faut établir des comparaisons (quels résultats obtenait-on il y a cinq

ou dix ans? quels résultats obtient-on dans d'autres pays ?) Nous avons aussi désiré

faire de telles comparaisons afin d'arriver à des constatat ions général es quant aux cultés rencontrées par les élèves dans l'apprent issage de la table d'addition

diffi-Entre les données de notre recherche et celles faites ailleurs, il y a des points qui

permettent une confrontation, mais on trouve aussi dans ces mêmes recherches des

données que nous-mêmes n'avons pas pu étudier Elles apportent à notre étude unprécieux complément d'informat ion

a) Partout ó nous avons appliqué le test AJ (Jannina , Larissa, Genève et Caen, nousconstatons une nette progression de la 3e à la 6e (ta bleaux II, VII, VIII, IX)

b) Le rendement d'après les résultats généraux (Indice quantitatif) apparaỵt presque

le même dans les écoles de Jannina (no tre recherche) et dans les écoles de Genève(recherche du Laborat de Péd Exp.) ; la différence n'est que légère et en faveurdes élèves des écoles de Jannin a (voir tableau x II et IX) Il faut noter ici que

la recherche de Genève était faite au début de l'année scolaire (septembre) tandis

que chez nous, elle fut faite en mars (fin du 1er semestre) Le rendement dans les

élèves) Le rendement des écoles de Caen est plus faible dans la plupart des cas que

scolarité obligatoire? »

2, Données expérimentales sans confrontation possible

a) Données propres à notr e recherche:

4 Résultats obtenus par des adultes huit ans après qu'ils ont quitté l'école primaire

b) Donn ées propres à la rech erche faite à Athènes , il y a 28 ans :

1 Résultats quant au temps utilisé par les élèves pour la solution des additions

grandeur et le genre des ad den des et du petit terme (en soustraction)

c) Donn ées propr es à la r echerche faite e n B elgique :

d) Donn ées pr opres aux r echerch es faites à G en ève :

Constatations générales

d'addition apparaît clairement

individu al isé en calcul

CHAPITRE II

Difficultés rencontrées par les élèves pendant l'apprentissage de la table de multiplication

I DONNÉES DE NOTRE RECHERCHE

1 Le but de la re cherche - 2 L'instrument de mesure - 3 L 'application du test - 4 Date de l 'épreuve et populations e xaminées 5 Résultats généraux (Indice quantit at if) - 6 R ésultats par cla sse (Indice quantitatif)

- 7 Résultat s c alculés avec l 'Indice d 'exactitude - L' influence du facteur « tem ps » - 8 An alyse de s f autes

commise s par les élèves - 9 Résultats généraux exprimé s au moyen de l'Indice A - 10 Clas sification mentale des opér ations - Il Compar aisons avec les ré sultats obtenus au test consacré à la Table d 'addition.

expéri-n DONNÉES DES RECHERCHES FAITES DANS D'AUTRES RÉGIONS DE GRÈCE ET DANS D 'AUTRES

PAYS

J Résultats d'une recherche faite à Athènes - 2 Résultats d 'une recherche faite en Belgique - 3 Résultats d'une recherche faite à Genève.

m CONFRONTATION DES RÉSULTATS CONSTATATIONS

J Points de confrontation - 2 Données expérimentales hors de confrontation - 3 Constatations générales.

Le test ML contient 400 questions qui proviennent de 100 questions fondamentales

de la table de multiplication Nous savons que ces 100 questions vont de 0 x 0 à 9 x 9:

dedivisions de deux manières aussi:1re manière: 56 : 8 = 2e manière: en 56 combien

de fois 7 ? C'est ainsi que M Dominique Lang a présenté ce test d'instruction quicontient 400 questions Celles-ci comprennent les questions fondamentales auxquelles

M S Roller a ajouté toutes les questions comportant le diviseur zéro mais présentées

sous forme de multiplication Ex 7 : 0 = , a été remplacé par 7 x 0 = Il enrésulte que les multiplications avec zéro au multiplicateur ont été présentées deux foisdans le test Exceptionnellement on a cependant maintenu deux questions avec diviseurzéro: «0 : 0 = » et «en 0, fois 0» Comme à ces questions n 'importe quel

1s.Roller: « L'enseignement de la table de multiplication et son rendement » Institut des Sciences de cation, Genève, 1959 (texte polycopié)

l'Edu-nombre peut être donné en réponse, les élèves se sont toujours vu attribuer, ici, le pointqui sanctionnait les réponses correctes 1

Les 400 quest ionsont été réparties sur quatre feuilles contenant chacune 100 questions

et, sur chaque feuille, on a formé cinq colonnes de 20 questions Voici les questions

de la première colonne de la première feuille:

a) Le test a été ap pliq ué par des ins ti tuteurs non encore titularisés (nos étudiants) qui

furent guidés par moi-même en vue de son applica tion On a utilisé une montremarquant les secondes

b ï Les tests furent présentés quatr e matins consécutifs, à huit heures, dans l'ordresuivant :

tableau noir et il effaça it ensuite)

les multiplications de cette man ière:

ou encore ceci:

En 42, fois 6 En 27, fois 9

En 8, fo is 2

li) Pour l'exécution du test, les élèves ne gardaient sur leur pupitre que deux choses:

un sous-main, un crayon Pas de gomme !

e) Premier jour : On distribuait les feuilles du test ML 1 verso dessus (pour que lesélèves ne vo ient par les calculs qu'ils avaient à faire) La feuille était placée sur latable des enfants

1re ligne: nom, prénom G (garçon) ou F (fille) n éïe) le

f) On disait aux élèves: «A u dos de vot re feui lle se trouvent des multiplications et

des divisions semblables à celles que je vien s d'écrire au tableau Elles sont mêlées

Au signal , vou s fer ez,de votre mieux et sans trainer,le plus grand nombre possible

de calculs 11 y a cinq colonnes: vous commencerez par la colonne de gauche, puis

1 D ' ap rès ~f S Ro ller d an "ense ignement p rimaire (&-12 ans ), il faudra éliminer toutes les questions ob le zér o fi gure au di viseur ( ex 7 : 0 ; en 0 combien de fo i 0 ); voir L 'enseignement d e la table de multiplication et IO n rendement -, Gen ève, 1 959, p 3

vous ferez la deuxième colonne, la troisième colonne, et ainsi de suitejusqu'à la fin

Efforcez-vous de ne sauter aucun calcul »

g) Pour que nous puissions connaỵtre le rendement des élèves, de 30 secondes en

30 secondes, on demandait à ces derniers le travail suivant :

«De temps en temps je vous dirai: «Un tra it! » A ce moment vous soulignerez

le dernier résultat que vous venez d'écrire et vous continuerez vos calculs Exemple:

9 fois 3 = 27

En 42, 7 fois 6

24 : 8 = 3 Ce trait signifie qu'un élève vena it d'écrire le résul tat

7 fois 2 = 14 «3» au moment ó il a entendu l'ordre: «Un trait ! »

Le maỵtre donnait cet ordre six fois , aux 30e, 6Oe, 9Oe, 120e, 150e, et l80e secondes(3 minutes) Après cela les enfants continuaient à travailler jusqu'à J'ach èvement

de tous les calculs de la f euil/e.

h) On répondait aux questions raisonnables des élèves On effaçait lesexemplesinscrits

au tableau noir

1) D épart : «Prenez votre crayon, saisissez le coin supérieur droit de votre feu ille

Quand je vous dirai: «partez! » vous retournerez votre feuille et vo us vous mettreztout de suite au travail Quand vous aurez terminé, vou s poserez immédia tementvotre crayon et vous retournerez votre feuille sans relire vos calculs

Attention «PARTEZ! »

j) On ne prolongeait pas l'opération au-delà d e 2 0 minu tes, même si à ce moment-làcertains élèves n'avaient pas terminé Puis on relevait aussitơt les feuilles On notait

le temps mispar l e pr emier e t par l e d ernier élève delaclassepourachever leurtravail

On notait ce temps en minutes entières à cơté du nom de l'élève

k) Jours su ivants : On procédait comme pour le premier jour On n'oubliait pas de

faire noter chaque fois, au verso de la feuille, le nom et le prénom de l'enfant uniqu

e-ment.

4 Date de l'épreuve et populations examinées

Le test a été soumis aux élèves au début du mois de mars 1959

Le travail a été exécuté 1) dans quat re degrés scolaires : 3e,4e, se,6e(élèves, gfilles, de 8 à 9 ans, de 9 à 10 ans, 10 à Il ans, Il à 12 ans) , 2)dansladernière année del'Ecole Normale de Jannina (étudia nts), et 3) par un groupe de recru es (20 ans), ayantreçu une instruction primaire seul ement

arçons-La population exam inée provient de différents quartiers de la ville de Jannina et

se distribue par écoles et par classes comme suit (tableau n? 1 ) :

T ABLEA U 1 (Jannina - Grèce) Distribution de la popu lation exam inée ( test ML)

S Résultats généraux (d'après l'Indice quantitatif)

C otation de s t ravaux : On a pris en considératio n les tra vaux des élèves qui avaientrempli les quatr e feuilles du test comp let penda n t les quat re matins consécutifs oupendan t la semaine suiva nte pour ceux d 'entre eux qui n"avaient pas travaillé avecleurs camarades aux jours plévus pour l'exercice co llect if

Les'résultats que nous produisons dans le tableau suivant (N° In concernent lesrépon ses justes fournies par les élèves pendant quatre fo is trois minutes (premier jour

3 minutes deuxième jour 3 minutes etc.), so it pendant J 2 minutes en tout

Pour chaque groupe de la population exam inée, on a extrait les valeurs représen

ta-tives suivantes: 1) La moyenne arithmét ique , 2) Les points obtenus par le premier

et le dernier sujet du groupe, par le sujet du milieu (suje t Médian), par les sujets médiaires: sujet Quart ile supérieur 1 entre le Premier et le Médian, et le sujet Quartileinférieur entre le Médian et le Dernier On a noté aussi le nombre des sujets examinés

inter-( = Nb) et le Sigma

T ABLEA U Il

Ré sul ta ts gén é raux ( Lann i na » Gr èce )

Test ML(1. 2,3,4) (Rép nses justes : Indicequantitatif)(Indice:J)

3 Grande dispersion des résultats dans chaque degré Considérant les points obtenus

par les Premiers et le Derniers sujets de chaq ue classe, nous concluons qu'il existe

parmi les élèves une grande hétérogénéité qui rend difficile le travail scolaire Le

premier garço n de 3 E' (21 point s) se situerai t,en S E' ,entre le Premier sujet et le sujet

Quart ile supérieur et, en 6 E' , entre le sujet Quart ile supérieur et le sujet Médian,

Le derniersujet de6 E'fillesa presqu ele même résultat (38 points)que lesujet Quartile

inférieur de 3E' Cette dispersion montre que l'entr aîn ement des élèves en vue de la

mémorisaton de la table de multiplication devrait pouvoir être individualisé Les

sigrnas sont grands Ils at e tent eux aussi une forte dispersion des sujet s de part

et d'autre de la mo enne

1 V o i r la s ignificatio n des termes : Q uartile supéri eur Q ua rtile inféri eur , daru le p remier ch apitre Il s'a si l des

s ujets rep rèse n ta tifs du quart supé rie ur et d u q uart i nf érie ur d 'une population

4 Les adultes ayant reçu une instruction primaire peuvent, d'après leurs résultats

au test, se situer à la place des élèves de 4e Est-ce que leur connaissance de la table

de multiplication quand ils étaient en 6e, huit ans auparavant, était particulièrementfaible? La vie, le métier, ne leur ont-ils pas procuré des occasions de stabiliser cesnotions?

S Les élèves ont travaillé pendant 12 minutes (720 secondes); on peut ainsi calculer

le temps mis par l'élève moyen de chaque classe pour écrire une réponse juste:

et en 6e de 0,10 sec Il montre à nouveau une certaine supériorité des garçons

A titre de comparaison, nous voyons que l'étudiant moyen (futur instituteur) met,pour écrire une réponse juste:

G 720 sec.: 346 = 2 sec. et F 720 sec.: 350 = 2 sec.

Comme les élèves grecs apprennent, d'après le Plan d'études, la table de cation en 2e année d'études primaires, peut-on être satisfait du rendement de nos élèves?

multipli-6 Résultats par classe: Test ML (Indice quantitatif)

Pour savoir s'il existe une différence dans les résultats généraux entre les différentesécoles, nous avons extrait les sujets Médians par degré scolaire et par école et nousavons obtenu le tableau suivant (Ill) concernant l'indice quantitatif

TABLEAU Ill Test ML Résultats par classe: Les sujets Médians de chaque classe calculés par l'Indice quantitatif

2 Le rendement des élèves des écoles modèles apparaît meilleur que celui des autresécoles Il faut noter ici que la différence quant au nombre des élèves est importante:Les écoles modèles comptent environ 30 élèves par classe, tandis que les écolesordinaires en comptent environ 50 (voir tableau 1)

3 Le type de l'école, en ce qui concerne les écoles modèles, n'influence pas ment le rendement Dans quelques cas (école modèle à 4 classes et 2e école à classeunique), on trouve même un rendement supérieur à celui de l'école modèle à six

notable-classes Dans une telle école, les enfants de chaque classe sont confiés à un seulmaître Cela est peut-être dû au fait que les élèves des classes à plusieurs degrés font

davantage d'exercices écrits que leurs condisciples qui fréquentent les écoles à sixclasses

7, Résulta ts généraux (Tes t MI.) calculés par l'Indice d'exacti tude

Au paragraphe 5, nOU8 avons opéré sur les réponses justes sans tenir compte des

erreurscommises par les élèves (Indicequa nt ita t if1). Il nousa cependant paru nécessaire

d'exa miner les résultats des écoliers en tenant com pte de l' exactitude de leurs réponses

Nous avons alors calculé, pour tous nos sujets, ce que nous avons appelé l'indi ce

d'exactitude CE) qui est le rapport, examiné en pour-cent, entre le nombre des réponsesjustes et le nombre total des réponses fournies

On trouvera, ci-dessous, les indices d'exactitude (Indice E) de cinq sujets représen

-tatifs

Néanmoins, cet indice E ne nous satisfait pas plus que l'IndiceJet nous nous sommesdemandé s'il ne convenait pas de trouver un troisième indice qui tint compte de la

quantité des réponses justes (1) et de la qualité de ces réponses (E) Nous avons trouvé

ce nouvel indice ap pelé par nous indice A, en multipliant J par E (E n'étant plus que lequotient JIT 1 non multiplié par 1(0) L'indice A fut calculé pour tous les sujets

Ceux-ci furent classés et les cinq sujets représentatifs furent extraits C'est pour cessujets-là que nous donnons maintenant les Indices E Ce sera aussi avec ces mêmessujets que nous essayerons de faire une analyse des erreurs

Ce travail a été effectué pour les résultats fournis dans la première partie du test ML

(temps limité 3 min x 4 : 12 minutes), puis pour les résultats fournis dans la seconde

partie du test (travail des élèves sans limite de temps)

Le ta bleau suivant (IV) donne le nombre moyen des réponses justes sur 100 réponsesfournies par les élèves de chaque classe

T ABLEA U IV

Test ML: Deux parties : avec limite de temps

sans limite de temps

M oyenne arit hm étique cal culée a vec l es ci nq sujets échantillons (sujets représentatifs)

84

87739794

Sans limite de tempt

65 57

63 63

74

838767497

93

R emarques :

1 Aucu ne différence no table n'apparaît entre les résultats fournis dans chacune des

deux parti es du test La limite du temps n'exercepresque aucune influence sur

l'exac-t tude au trava il, sauf en 4e.

: T = nomb r e t otal des r é po nses f o u rn i es

2 Progression de la 3e à la 6e (sauf pour les filles de 5e en 6e).

3 La comparaison garçons-filles révèle un meilleur rendement chez les garçons, sauf

en 5e (supériorité des filles)

4 Sur 100 réponses fournies par les élèves, 64 sont justes en 3e (G) et 81 en 6e (G)

Si on admet le critère de M G Mialaret, selon lequel la maîtrise d'une connaissancemathématique exige un indice de 90 %1, nous pouvons dire que les élèves desécoles primaires de Jannina n'ont pas encore atteint la maîtrise des tables

5 Les adultes se situent au niveau de la 5e (G), tandis que les étudiants franchissent

le seuil du 90 %et présentent des résultats satisfaisants

6 Tout cela ne pose-t-il pas l'un des problèmes bien scolaires de J'application des élèves

à leur travail ?

8 Analyse des fautes commises par les élèves

Afin de déceler le genre de fautes commises à la Table de multiplication, nous avonsanalysé les réponses fausses des sujets représentatifs de chaque classe

Nous avons alors pu établir le tableau na V qui montre le degré de difficulté dechacun de nos quatre types d'opérations

Test ML Analyse de s fautes commises selon le gen re d'opérati ons

Moyenne des fautes, en %, des cinq sujets représentatifs (Jannina-Grèce)

Ex 6 x S ~ Ex 6 fois S~ Ex 30 : 6 = Ex En 30, fois 6

3 Les adultes se situent entre les garçons de 5e et ceux de 6e

4 Le groupe des étudiants a fourni des résultats très supérieursà ceux des élèves de 6e

5 En admettant le critère de 90 %pour la maîtrise d'une notion mathématique, nouspouvons dire que la connaissance de nos quatre types d'opérations n'est acquisepar les élèves d'aucune classe primaire, sauf pour les filles de 5e (opérations:

a) a X b = c et b) a fois b = c)

1 Cc critère est valable pour des résult ats ca lculés selon l'Indice d 'e xa ctitude ,

(ex 6 x 5)(ex 6 fois 5)(ex en 30, _ fois 6)

convient to ut efo is de noter que la différence est très faible

De to utesfaçons,il faut adme tt re que la forme so us laquelle est posée une opération

de la Tabl e de multiplicat ion jou e un rôle cons idér able dans le rendement de l'élève

Nb m S 1er Qs Me Q Der m 5 1er Qs Me Q Der

Diff érences : J -A ( m ) Exact itude =A /J Diff érences entre G et F ( m )

10 Classification expérimentale des opérations

de difficulté et trouver ainsi leur ran g nous avons calculé la fréq uence des réponses

fausses danschaque type d 'o pérat ion sur 50élèves représe nta ti fs (25 garçons et 25 filles)

par degré Ces SOsujets sont extraitsde tous les élèves dechaque degré classésment à l'indice A; pour cela nous avons appliqué la méthode de l'échantillonnage

conformé-dirigé,1

L'analyse a été faite d'abord pour chaque degré On a repéré, pour chacune des

400 questions du test, le nombre d'élèves (sur 50) qui avaient commis une faute Lesrésultats, une fois établis par degrés scolaires, ont été bloqués On avait ainsi, pourchaque question , le nombre d'élèves qui, de la 3e à la 6e, avaient commis des erreurs,

Il fut dès lors possible de classer les 400 questions selon un ordre décroissant dedifficulté Cette ordonnance apparaît dans les deux tableaux suivants : (Explication :

colonne«f»: nombre des élèves,en pourcents,quiont commisdeserreu rsà la question

a b c d e f a b c d e t

Ran g Opé 0 Prod 0 Rang Table ~b d eleves Rang Opéra tions Prod its Rạïg Table Nb d"~

9 8 7 2 4 4

2

56 8

4

5 6 7 6 9 3 72

2 9

2

3 9 6 8

9

6

7 8 5 7

4 2

2222

22 20 20 20 20 20 17

IS

12 12 12 10 10 10

4

54

3

6595

8

6 7 3 7 753

2 Utilisant les éléments des colonnes «e» et «f » (tableau VII) et des colonnes «c »

et «d » (tableau VIII) nous avons trouvé les indices «moyens» pour chaque table(tables: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9). Ainsi nous avons pu classer ces tables (présentées

a)sous forme de multiplication etb)sous forme de division) selon un ordre décroissant

de difficulté:

I Sous for me de multiplication : II Sous form e de di vision:

Classification d es tabl es par di viseur :

divisions avec diviseur 5 sont les plus faciles (les questions qui ont comme diviseur 0

d) On retiendra, comme particulièrement fréquentes, les fautes qui sont appa

d) On ret iendra, comme particulièrement fréquentes, les fautes qui sont appa

aux deux tests

T ABLEA U I X

Add i tion Multiplication 1 T em ps u til isé p our f ournir un e r éponse jus t e

A dditio n Multip lica tion

R emarque: Il existe une petite différen ce entre les résult a ts obtenus aux deux tables

en faveur de la Table d'add ition Ains i, la Table de multiplication apparaît un peuplus difficile que la Table d'addition

a organisé une recherc heavec les élèves derécole primaire annexe de son Ecole Normale,

et portant sur les difficult és rencontrées par ces élèves à la Table de multiplication

1 La m o y en ne po ur chaq ue classe es t ti r ée du tablea u n ' 11 ma is c ' es t u e moyenn e ca lc ulée po ur un temps de

1 2 minutes , tan d is que la m o y enne a u test d 'a d di tio n es t cal culée pour u n temps d e 6 minutes (1 IZmin x 4 - 6)

Il f allut alors diviser p ar de ux la mo yen ne a u tes t d e m ulti plica tio n po ur é ta bl ir ce ta b lea u

II a proposé aux écoliers de six classes primaires (30 élèves par classe) 10 opérations

de multiplication du type a x b = ,ó a> 0, b> 0, a < 10, b < 10, et 10 opérations

de division du type: a : b = , ó a>3, a <30, bo-O, b <10

A

Les résultats en multiplication

1 Le temps utilisé (en moyenne) par les élèves pour la solution de 10 opérations passe

de.10 à 2 minutes

du nombre de fautes Voici les résultats:

C

Etiologie des fautes d'après l'expérimentateur

Les fautes sont dues:

a) à la faiblesse des associations mnémoniques chez les élèves;

b) à la résistance tenace des mauvaises impressions;

c) à l'insuffisance du raisonnement;

d) à des causes encore inexplicables

Note: II faut noter ici que John Murray, par sa recherche faite, en 1941, en Angleterre, 1est arrivé approximativement aux mêmes résultats quant à la classification des difficultésrencontrées par les élèves

Malheureusement, nous ne pouvons pas exposer ici le détail des résultats obtenus.Nous donnerons seulement des listes de multiplications et de divisions présentées selon

un ordre décroissant de difficultés:

1 Voir : «The Scottish Council for Research in Education » , Studies in Arithmctic, Vol 1 University of London

Press Ltd., 1941.

LES MULTIPUCATIO NS FO NDAMENTALES

( Scottish Council for Research in Education XXVIO

List e des multiplications é tablie sui vant un ordre décroissant de d ifficultés

( l' ordr e d e d ifficulté e st do nné par l a fr équence des fautes)

Rang • ne co mprend p as les opérations avec zéro

List e de s d ivisions ét ablie s uivant un ordr e dé croissant d e difficultés

(l' ordre de difficult é est donné par la f réquence des fautes)

Opërauon Rang Opëratlon Rang Opération Rang

2 Résultats d'une recherche faite en Belgique1

des combinaisons de la table de multiplication-division

Feas s'est efforcé de résoudre ce problème dans deux cas précis: Présentation desopérations: a) sous forme auditive et b) sous forme visuelle et en utilisant la méthodedite «des erreurs », d'après laquelle la difficulté d'une combinaison est estimée d'après

le nombre des «fautes» commises par les élèves

Il a obtenu 544 700 réponses des deux formes de présentation (4 tests successivement:+ - x: Classes: 2e, 3e, 4e, 5e, 6e, des 8 écoles Rang de difficulté de chacun des neufpremiers chiffres en valeur absolue:

L'analyse des données suggère les conclusions suivantes:

1 Les garçons sont supérieurs aux filles dans les deux modes de présentation

2 L'épreuve auditive est plus difficile que l'épreuve visuelle

3 Les combinaisons comportant le zéro sont très difficiles

4 Les opérations présentent des niveaux différents de difficulté

5 Plus la valeur absolue des chiffres de la combinaison est élevée, et plus l'opérationest difficile

6 Le renversement des termes change la difficulté de l'opération

7 Le caractère «pair» ou «impair» des termes de la combinaison influe sur sa culté: les combinaisons présentant des termes de même type sont plus faciles

d'addi-tion (p 22) Nous croyons que la forme d'opération joue un certain rôle quant auxdifficultés rencontrées par les élèves lors de sa solution

3 Résultats généraux d'une recherche faite à Genève1

En septembre 1958, le Laboratoire de Pédagogie Expérimentale de l'Institut desSciences de l'Education à Genève, sous la direction de M.S Roller, a appliqué le mêmetest ML pour mesurer l'acquis des écoliers genevois en ce qui concerne la table de multi-plication Le Plan d'études de l'enseignement primaire (1957) du Canton de Genèveprévoit l'étude de la Table de multiplication (le «livret ») en 3e année (enfants de 8à 9ans)

1 « Vingt-<:inq ans d 'études et de recherches Louvan istes sur le calcul è l émentair e » R Buyse in R Daurens :

p.389.

• S Roller: « L'enseignement de la table de multiplication et son rendement , Institut des Sciences de tion, Gen ève, 1959 (texte polycopi~).