Một số dạng bài toán đếm ở phổ thông và phương pháp giải

Lí do chọn đề tài Lí thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của Toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp, nó được hình thành như một nghành toán học mới v

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi xin cam đoan

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Mọi tài liệu dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu

hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Lê Thị Hường

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

3 Mục đích nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Giả thiết khoa học 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn đề tài 3

8 Cấu trúc luận văn …… 3

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4

1.1 TẬP HỢP 4

1.1.1.Các khái niệm cơ bản 4

1.1.2 Các phép toán tập hợp 5

1.1.3 Tích Đề-các 6

1.2 QUAN HỆ 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Quan hệ tương đương và phân hoạch 7

1.2.3 Quan hệ thứ tự 8

1.3 ÁNH XẠ 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Các phép toán ánh xạ 12

1.4 HỆ SỐ NHỊ THỨC 15

1.5 HAI NGUYÊN LÍ ĐẾM CƠ BẢN 15

1.5.1 Nguyên lý cộng 15

1.5.2 Nguyên lý nhân 17

2.1.1 Quy tắc cộng 19

2.1.2 Quy tắc nhân 19

2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG HÀM SINH 20

2.2.1 Giới thiệu về hàm sinh và các phép toán trên hàm sinh 20

2.2.2 Đếm bằng hàm sinh thường và đếm bằng hàm sinh mũ 24

2.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 33

2.4 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG TRUY HỒI 34

CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG 36

3.1 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ 36

3.1.1 Bài toán xếp chỗ trên hàng ngang có điều kiện 36

3.1.2 Bài toán xếp chỗ trên vòng tròn có điều kiện 45

3.1.3.Bài toán đếm cách phân phối 50

3.1.4.Bài toán đếm hoán vị bất hoà (tính số mất thứ tự) 54

3.2 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 57

3.2.1.Bài toán tô màu 57

3.2.2 Bài toán đếm số đường đi trên mặt phẳng 61

3.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC 63

3.3.1 Bài toán đếm số 63

3.3.2 Bài toán chia kẹo của Euler 71

3.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC 76

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

VMO – Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

IMO – Olympic Toán học Quốc tế

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của Toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp, nó được hình thành như một nghành toán học mới vào khoảng thế kỉ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc của các nhà Toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài Toán cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp Với các cấu hình tổ hợp thường có các dạng bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu Để trả lời cho những câu hỏi: Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét? Chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của một cấu hình tổ hợp nào đó

Bài toán đếm là một trong những bài toán lý thú của tổ hợp, đồng thời nó cũng là một minh chứng rõ ràng cho việc ứng dụng của môn Toán đối với thực tiễn cuộc sống (như các bài về số cách sắp xếp đối tượng trên hàng ngang hay vòng tròn, đếm số đường đi ) Song chúng lại không đòi hỏi người giải nhiều về vốn kiến thức và kỹ năng tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi

sự chặt chẽ trong việc xét các khả năng, sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô hình cụ thể, sự linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp và sự khéo léo trong việc gỡ rối các tình huống, vấn đề bởi không phải trong trường hợp nào áp dụng trực tiếp các quy tắc đếm cơ bản và các đối tượng tổ hợp cũng đem lại kết quả mong muốn Với những bài toán như vậy cần những phương pháp nâng cao hơn như phương pháp sử dụng ánh xạ, nguyên lý bù trừ, phương pháp phân hoạch tập hợp, phương pháp quỹ đạo, đa thức quân xe, phương pháp thiết lập hệ truy hồi, phương pháp thêm bớt, phương pháp quan

hệ đệ quy, sử dụng số phức, phương pháp hàm sinh

Với mong muốn tìm hiểu và hệ thống hóa một số dạng toán xoay quanh bài toán đếm mà không đi sâu vào lí thuyết của vấn đề này, nhằm cung cấp một tài liệu nhỏ về bài toán tổ hợp cho học sinh phổ thông Qua đó, phục vụ

công tác giảng dạy sau này Chính vì lí do trên tôi chọn đề tài “Một số dạng bài toán đếm ở phổ thông và phương pháp giải”

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Một số nguyên lý: Nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ, công thức truy hồi

Phương pháp đếm: sử dụng ánh xạ, sử dụng hàm sinh, truy hồi, nguyên

lý bù trừ, đa thức quân xe

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Một số cấu hình tổ hợp thuộc chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp

và đặc biệt ứng dụng trong chương trình toán phổ thông và toán học dành cho học sinh giỏi các đội tuyển Olympic

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán đếm trong lí thuyết tổ hợp dựa trên phương pháp xây dựng ánh xạ, sử dụng hàm sinh, công thức truy hồi, nguyên lý bù trừ, đa thức quân xe

- Thực hành trên một số bài toán cụ thể trong chương trình toán phổ thông, các đề thi đại học, thi học sinh giỏi toàn quốc, olympic

5 Giả thiết khoa học

Việc khai thác các dạng bài toán đếm theo từng phương pháp giải sẽ tạo cho học sinh biết nhận thức vấn đề, lựa chọn phương pháp phù hợp với từng dạng bài toán cụ thể Từ bài toán đếm đơn giản đến bài toán trong các kỳ thi Olympic

6 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài này sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tư liệu: Tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu có liên quan

- Tiếp cận lịch sử: sưu tầm, phân tích và tổng hợp tư liệu

- Tiếp cận hệ thống

- Thực nghiệm sư phạm ở trường phổ thông

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn đề tài

- Hệ thống và phân loại một số dạng của bài toán đếm và phương pháp giải quyết một số dạng bài toán khó ở phổ thông, góp phần cho học sinh và giáo viên tiếp cận nhận dạng bài toán nhanh chóng cùng phương pháp giải hợp lí

- Đề tài trình bày logic, khoa học, rõ ràng và dễ hiểu

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm

có các chương như sau :

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, …Các phần tử của tập hợp kí hiệu bằng các chữ cái thường a, b, c,…

Phần tử a thuộc tập hợp A, ta kí hiệu a  A

Phần tử a không thuộc tập hợp A, ta kí hiệu a  A

Một tập hợp có thể có một phần tử, hai phần tử,…, có vô số phần tử cũng có thể không có phần tử nào Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, và kí hiệu Ø

Số phần tử của A, kí hiệu là |A| hoặc card(A), gọi là lực lượng của tập A

- Nếu |A| <  thì A là tập hữu hạn

- Nếu |A| >  thì A là tập vô hạn

• Quan hệ bao hàm

Cho hai tập A, B

Nếu mỗi phần tử thuộc A cũng thuộc B ta nói A là tập con của B ( hoặc

A bao hàm trong B) và kí hiệu A B

A không phải là tập con của B, kí hiệu: A  B

Nếu A B và B A ,ta nói A bằng B, và kí hiệu: A = B

Tập tất cả tập con của A, kí hiệu D(A)

Một quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y là tập con của tích Đề

các R  X  Y Chúng ta sẽ viết x R y thay cho (x, y)  R

Quan hệ từ X đến chính nó được gọi là quan hệ trên X

- Quan hệ R trên X được gọi là phản xạ nếu:

x  X : (x,x) R

- Quan hệ R trên X được gọi là đối xứng nếu:

(x,y)  R  (y,x)  R

- Quan hệ R trên X được gọi là phản đối xứng nếu:

(x,y)  R & (y,x)  R  x = y

- Quan hệ R trên X được gọi là bắc cầu (truyền ứng) nếu:

(x,y)  R & (y,z)  R  (x,z)  R

Ví dụ

Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ:

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} không phản xạ vì (3,3)  R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} phản xạ vì (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)  R2

Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Z + là phản xạ vì mọi số nguyên a là ước của chính nó

1.2.2 Quan hệ tương đương và phân hoạch

Quan hệ R trên X gọi là tương đương nếu nó là phản xạ, đối xứng, bắc

cầu

Ví dụ

Trên tập hợp các số nguyên xác định quan hệ R như sau : a, bR, aRb

(a-b) 5 Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên R

Giải

a) a R, a – a = 0 chia hết cho 5 nên aRa, hay R có tính phản xạ (1)

a, bR, nếu aRb(a-b) 5 thì (b-a) 5 nên bRa hay R có tính chất đối xứng (2)

Định lí 1

Cho phân hoạch S = { X1, X2, X3,…, Xn} của tập X Ta định nghĩa quan

hệ R trên X như sau: x R y  i : x  Xi & y  Xi

Khi đó R là quan hệ tương đương

Quan hệ hai ngôi R xác định trên X gọi là quan hệ thứ tự nếu có đồng

thời cả ba tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu

Quan hệ thứ tự có thêm tính chất

 x, y  X: x R y hoặc y R x

gọi là quan hệ thứ tự toàn phần

Nếu quan hệ không có tính chất trên thì gọi là quan hệ thứ tự bộ phận Tập hợp trên đó có xác định một quan hệ thứ tự gọi là tập hợp sắp thứ

tự Ta dùng kí hiệu ≤ để chỉ quan hệ thứ tự, khi đó kí hiệu x ≤ y đọc là “x bé

hơn hoặc bằng y”

Định nghĩa Cho A là tập con của tập sắp thứ tự < X,≤ >

Phần tử a  A gọi là phần tử cực tiểu (cực đại) của tập A nếu

Kí hiệu

Inf(A) = { c X c là cận dưới của tập A}

Sup(A) = { c X c là cận trên của tập A}

Phần tử lớn nhất (bé nhất) của Inf(A) (Sup(A)), nếu tồn tại gọi là cận dưới ( cận trên) đúng của tập A và kí hiệu là A (A) Một tập có thể có nhiều cực tiểu (cực đại ), tuy nhiên không phải lúc nào nó cũng có phần tử bé nhất (lớn nhất)

• Kí hiệu f : X Y và y = f (x) nếu (x,y) f

Tập X gọi là tập nguồn (miền xác định), tập Y là tập đích (miền giá trị) của ánh xạ f Phần tử y gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f

Hai ánh xạ f : X Y và g : X Y gọi là bằng nhau, kí hiệu f = g, nếu  x  X, f(x) = g(x)

Ví dụ 1 Quan hệ “đồng nhất” I = { (x,x) x X} xác định trên tập X không rỗng bất kì là ánh xạ Idx : X X, Idx = x  xX

Ví dụ 2 Cho X = {1; 2; 3; 4} và Y= {a, b, c, d, e}

Quan hệ f = {(1,a), (2,a), (3,c), (4,d)} là ánh xạ f : X Y,

f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c, f(4) = d

Quan hệ g = {(1,a), (2,a), (3,c), (4,d)} là ánh xạ g : X Y,

g(1) = a, g(2) = a, g(3) = c, g(4) = d

• Cho ánh xạ f : X Y và các tập con AX, B Y

Tập f (A) = { f(x) x A} gọi là ảnh của tập A

Tập f -1(B) = { xX f(x) B} gọi là tạo ảnh toàn phần của tập B

Đặc biệt Im(f) = f(X) và Dom(f) = f -1(Y)

Ví dụ 3 Trong ví dụ ở trên chọn A = {2; 3} và B = {a, c}

Ta có f(A) = {a, c}, f -1(B) = {1; 2; 3}, f -1(e) = Ø, Im(f) = {a, c, d}

Định lý 1 Cho ánh xạ f : X Y A và B là tập con của X C và D là tập con của Y Khi đó

y: y  f ( AB)  y  f ( A)f (B)

Thật vậy

y  f ( AB)   x  AB sao cho y = f (x)

 ( x  A : y = f (x)) hoặc ( x  B: y = f (x))  y  f (A) hoặc y  f ( B)

 y  f (A)f (B)

Các tính chất còn lại chứng minh tương tự

• Dãy các phần tử của tập X là ánh xạ f từ tập {1; 2; 3;…} vào X

• Ánh xạ f: X Y gọi là toàn ánh nếu

 y Y  x X: y = f (x)

• Ánh xạ f: X Y gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

• Mệnh đề: Nếu tồn tại song ánh f: X Y, thì X = Y

1 Nếu f và g là đơn ánh (toàn ánh) thì h là đơn ánh (toàn ánh)

2 Nếu h là đơn ánh (toàn ánh) thì f là đơn ánh (toàn ánh)

3 Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh

4 Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh

Định nghĩa Ánh xạ f : X Y gọi là ánh xạ khả nghịch nếu có ánh xạ g: Y X , sao cho g ○ f = Idx và f ○ g = Idy Trong trường hợp đó ta gọi g

là ánh xạ ngược của ánh xạ f và kí hiệu g = f -1 Do tính đối xứng nên g là ánh

xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ ngược của g

Ngược lại, giả sử f : X Y là song ánh

Khi đó với mọi y Y, tập hợp f -1(y) có đúng một phần tử

Lập ánh xạ

g : Y X, y f -1(y)

Ánh xạ g xác định như trên thỏa mãn điều kiện (i) và (ii)

Như vậy, ánh xạ f khả nghịch và g là ánh xạ ngược của f

Định lí 5 Ánh xạ ngược nếu tồn tại là duy nhất

Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo một trong hai phương

án A hoặc B Phương án A có thể được thực hiện theo n cách, phương án B

có thể thực hiện theo m cách Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n

cách

Nguyên lý cộng tổng quát Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo

một trong k phương án A1, A2, …, Ak

Phương án A1 có thể thực hiện theo n 1 cách

Phương án A2 có thể thực hiện theo n 2 cách

…

Phương án Ak có thể thực hiện theo n k cách

Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n 1 + n 2 + …+ n k cách

Nguyên lý cộng theo ngôn ngữ tập hợp Giả sử { X1, X2,…, Xn } là một

phân hoạch của tập S

Vậy theo nguyên lý cộng có: 504 + 1792 = 2296 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau

Ví dụ 2 Một đoàn vận động viên hai môn bắn súng và bơi được cử đi thi đấu

ở nước ngoài Số vận động viên nam là 10 người Số vận động viên thi bắn súng kể cả nam và nữ là 14 người Số nữ vận động viên thi bơi bằng số nam vận động viên thi bắn súng Hỏi đoàn có bao nhiêu người, biết mỗi người chỉ thi một môn?

Giải

Chia đoàn vận động viên thành các tập rời nhau Tập vận động viên nữ thi bơi A1 Tập vận động viên nữ thi bắn súng A2 Tập vận động viên nam thi bơi là A3 Tập vận động viên nam thi bắn súng là A4

Giả sử một công việc nào đó gồm có hai công đoạn A và B Công đoạn

A có thể thực hiện theo n cách, công đoạn B có thể thực hiện theo m cách

Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n.m cách

Nguyên lý nhân tổng quát Giả sử một công việc nào đó gồm k bước A1, A2,

…, Ak

Bước A1 có thể thực hiện theo n 1 cách

Bước A2 có thể thực hiện theo n 2 cách

…

Bước Ak có thể thực hiện theo n k cách

Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n 1 n 2 ….n k cách

Ví dụ 1 Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số đôi một khác nhau, biết n

không chia hết cho 5?

Theo quy tắc nhân có: 8  8  8  7 = 3584 số thỏa yêu cầu bài

Ví dụ 2 Giả sử người ta ghi nhãn cho những chiếc ghế của một giảng đường

bằng một chữ cái sau đó là một số nguyên nhỏ hơn 100 Bằng cách như vậy

hỏi có tối đa bao nhiêu chiếc ghế có thể ghi nhãn khác nhau?

Giải

Việc ghi nhãn có thể chia làm 2 bước Bước thứ nhất chọn chữ cái để ghi

lên ghế có 26 cách Bước thứ hai chọn số nguyên nhỏ hơn 100 có 100 cách

Vậy có nhiều nhất 26 100 = 2600 cách để ghi nhãn khác nhau cho những

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO

Khi đó tồn tại các song ánh f: A {1,2, … ,m}, g : B {1,2, … ,n}

Ta xây dựng ánh xạ h: AB {1,2, … ,m + n} như sau

) (

x f

m x

Giả sử A = m, B = k và A = {a1, a2, …, an}, B = {b1, b2, …, bk}

Tích Đề-các AB gồm các cặp (ai,bj), 1 i  m, 1 j  k, có thể viết thành một bảng chữ nhật có m dòng và k cột như sau

2.2.1 Giới thiệu về hàm sinh và các phép toán trên hàm sinh

Cho dãy số thực (ar)r = <a0, a1, a2,…> và biến x

x + a2

! 2

2

x + a3

! 3

Số hạng thứ i của dãy số (đánh số từ 0) là hệ số của xi trong hàm sinh

Các phép toán trên hàm sinh

● Quy tắc 1 (Quy tắc nhân với hằng số)

Khi nhân hàm sinh với một hằng số thì trong dãy số tương ứng, các số hạng sẽ được nhân với hằng số đó

<g0, g1, g2, …>  G(x) thì < f0+g0, f1+g1, f2+g2, …>  F(x) + G(x)

Chứng minh

Ta có < f0+g0, f1+g1, f2+g2, …>  f0+g0+ (f1+g1)x + (f2+g2)x2 + … = (f0 + f1x + f2x2 + …) + ( g0 + g1x + g2x2 + …)

< 1, -1, 1, -1, …> 

x

 1 1

< 2, 0, 2, 0, …> 

x

 1

x

 1 1

Bây giờ ta thu được hai biểu thức khác nhau cùng sinh ra dãy

) 1 )(

1 (

) 1 ( ) 1 (

x x

x x

Ví dụ

< 1, 1, 1, 1, …> 

x

 1 1

Bây giờ ta dịch chuyển dãy số sang phải bằng cách thêm k số 0 vào đầu

< 0, 0, …, 0, 1, 1, 1, …>  xk + xk+1 + xk+2 + …

= xk(1+x+x2 + …) =

x

x k

 1

Như vậy, thêm k số 0 vào đầu dãy số tương ứng với việc nhân hàm sinh với xk Điều này cũng đúng trong trường hợp tổng quát

● Quy tắc 4 (Quy tắc đạo hàm)

2

4 3 2

) 1 (

1 ,

4 , 3 , 2 , 1

) 1 (

1

4 3 2 1

) 1

1 ( ) 1

(

x

x x

x x

x dx

d x

x x x dx d

< 1, 1, 1, 1, …> 

x

 1

) 1 (

x

x x



● Quy tắc 5 (Quy tắc xoắn) Gọi A(x) là hàm sinh cho cách chọn các phần

tử từ tập hợp A và B(x) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp B Nếu A và B là rời nhau thì hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ A  B là A(x).B(x)

0

)

( ).

( ) ( , )

( , )

(

n

n n n

n n n

2.2.2 Đếm bằng hàm sinh thường và đếm bằng hàm sinh mũ

a Đếm bằng hàm sinh thường

a1 Số Fibonacci

Ta định nghĩa F0  0, F1  1 Với n 2, F n là số tập con của tập

1 , 2 , 3 , ,  2

X thỏa điều kiện các tập con đó không chứa hai số liên tiếp của X Các số F0,F1,F2, gọi là các số Fibonacci Ta sẽ lập công thức tính số Fibonacci bằng hàm sinh thường

2 1

3 1

2 0

x

Suy ra

x x

F F F x

F F F x F F F x g x x

xg

x

n n

1 0 2

kéo theo 2

1 ) (

x x

x x

a x

x

x x

1 ) (

r

r r

) 1 (

5 1 5

5 1 5

Số tự nhiên F n được biểu diễn bằng một biểu thức vô tỉ

a2 Hợp thành và phân hoạch của số nguyên dương

• Hợp thành k phần của số nguyên dương n (k  n) là danh sách có thứ tự k

số nguyên dương có tổng bằng n Hợp thành của số nguyên dương n là một hợp thành k phần nào đó

p n là số các phân hoạch của r, trong đó mỗi thành phần không lớn hơn

n, như vậy p n (r) chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình

1 x1 2 x2 n.x n r

)

(r

q n là số các phân hoạch của r, trong đó số thành phần không lớn hơn n

Như vậy q n (r) chính là số cách chia r đối tượng giống nhau vào n ô giống nhau (có thể có ô không có đối tượng nào)

Đếm bằng hàm sinh mũ Giả sử với mỗi tập hữu hạn X ta có tập S (X)các phần tử muốn đếm thỏa mãn tính chất sau :

(i) X  Y  S(X) S(Y)  

(ii) X  Y  S X  S Y

Kí hiệu  k 1 , 2 , ,k Hàm sinh mũ cho dãy các tập S   0 ,S   1 ,S   2 , được định nghĩa là hàm sinh mũ của dãy số S   0 ,S   1 ,S   2 ,

Giả sử T   0 ,T   1 ,T   2 , là dãy các tập thỏa mãn các tính chất như trên

Ta định nghĩa ST   k là tập bao gồm tất cả các cặp (  ,  ) với  là phần tử của tập S J , J  k , còn  là phần tử của tập T  k \J

c Chọn các phần tử trong bài toán đếm

Ý tưởng sử dụng hàm sinh trong các bài toán đếm nói chung, các bài toán

chính là số cách chọn n phần tử

● Chọn các phần tử khác nhau

Ta có < C(k,0),C(k,1),C(k,2),…,C(k,k),0,0,…> C(k,0) +C(k,1)x +…

Đây chính là công thức hàm sinh mà ta đã nhận được bằng cách sử dụng định

lý nhị thức

● Chọn các phần tử có lặp

Giả sử ta chọn n phần tử (có lặp) từ tập hợp chỉ có duy nhất một phần tử Khi đó có 1 cách chọn 0 phần tử, 1 cách chọn 1 phần tử, 1 cách chọn 2 phần

tử … Như thế, hàm sinh của cách chọn có lặp từ tập hợp có 1 phần tử bằng

< 1, 1, 1, 1, …>  1 + x + x2 + x3 + … =

x

 1

Áp dụng quy tắc xoắn ta được

n

x x

x

1 1

1

1

1 1

! 3

) 0 ( '' '

! 2

) 0 ( ''

! 1

) 0 ( ' ) 0 ( )

(

) ( 3

f x

f x

f f

1

 = (1-x) -n

Ta có

g’(x) = n(1-x)-n-1g’’(x) = n(n+1)(1-x)-n-2g’’’(x) = n(n+1)(n+2)(1-x)-n-3

…

g(k)(x) = n(n+1)…(n+k-1)(1-x)-n-k

Từ đó, hệ số của xk trong hàm sinh bằng

) , 1 (

)!

1 (

)!

1 (

!

) 1 ) (

1 (

!

) 0 (

) (

k k n C n

k

k n k

k n n

n k

 Số chuối phải chia hết cho 5

 Chỉ có thể có nhiều nhất 4 quả cam

 Chỉ có thể có nhiều nhất 1 quả đào

Theo quy tắc xoắn, hàm sinh cho cách chọn từ cả 4 loại trái cây bằng

4 3 2 1 ) 1 (

1 1

1 1

1 1

1 1

1 ) ( ).

x x

x x

x x

D x

X

1

1

),()1(trong đó

i i

i k

k

X X

X k

X

0 2

1 | ( 1) ( , )

|

i i

i k

k

X X

X k

là công thức truy hồi ( điều kiện ban đầu là s(0) = 1)

2.4.2 Giải công thức truy hồi

Đặc trưng của phương pháp này là phải thiết lập được hệ thức truy hồi giữa phép đếm cần tính s(n) với s(n-1), s(n-2),… Qua việc giải hệ thức truy hồi ta sẽ xác định được s(n) Để xác định công thức tường minh của s(n) qua

hệ thức truy hồi ta có thể dùng một số phương pháp như phương pháp lặp, sai phân, hàm sinh…Trong bài này chỉ đề cặp đến giải công thức truy hồi bằng

phương pháp lặp Ý tưởng của phương pháp này là: Thay thế liên tiếp công

thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n giảm ít nhất 1 đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu

Ví dụ

Bài toán tháp Hà Nội “Có 3 cọc 1,2,3 Ở cọc 1 có n đĩa, kích thước khác nhau, xếp chồng lên nhau sao cho đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên Hãy chuyển tất cả các đĩa từ cọc 1 sang cọc 3 với điều kiện mỗi lần chỉ được chuyển 1 đĩa từ cọc này sang cọc khác và luôn đảm bảo đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên.”

Phương pháp di chuyển các đĩa như sau:

Chuyển n-1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2, chuyển đĩa lớn nhất từ cọc 1 sang cọc 3,

và cuối cùng chuyển n-1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3

Gọi s(n) là số lần di chuyển đĩa, ta có công thức truy hồi của dãy số s(0), s(1), s(2),… là