Dinh li Pi ta go

Bài 11: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC ở F, Chứng minh rằnga. Chứng minh tam gi[r]

Toán 7

Chương 2 Tam giác

Bài giải về chuyên đề : Định lý Py-ta-go và các trường hợp bằng nhau của tam giác

Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết AD DC; DC  BC; AHBC; AB = 13cm , AC = 15cm;

DC = 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BC

12

H

D A

Giải:

Vì AH  BC (H BC) , DC  BC (gt)  AH // DC

Do đó: HAC = DCA (so le trong )

Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC

Xét tam giác AHC và tam giác CDA có

HAC = DCA( cmt)

AC cạnh chung;

ACH = DAC( cmt)

Do đó: AHCCDA (g.c.g)  AH = DC ( hai cạnh tương ứng )

Mà DC = 12cm (gt)

Do đó: AH = 12cm (1)

Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có:

AH2 +BH2 = AB2

 BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25

 BH = 5 (cm) (2)

Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có:

AH2 + HC2 = AC2

 HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92

 HC = 9 (cm)

Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)

Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc AMC = 1350

Tính

độ dài đoạn thẳng MC

A

B

C M

D

Giải:

Trên nửa mặt phẳng bởi AM không chứa điểm B

Dựng tam giác ADM vuông cân taị đỉnh A

Ta có: AD = MA = 2 cm , AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 Xét tam giác ADC và AMB có:

DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với góc CAM);

AC = AB (gt)

Do đó: ADCAMB (c.g.c)  DC = MB ( hai cạnh tương ứng )

nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago)

Do đó: MD2

= 22 + 22 = 8 Tam giác MDC vuông ở M nên

DC2 = MD2 + MC2 (Pitago)

Do đó: 32

= 8 + MC2

MC2 = 9 - 8 = 1

MC = 1

Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với

c 4; 6 và 7 d 4 ; 4 2 và 4

Giải:

a





































2 2

2 2

2 2

225 15

144 12

81 9

15 12 9

k BC

k BC

k AC

k AC

k AB

k AB k

BC AC AB

AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2

Vậy tam giác ABC vuông ở A

b





































2 2

2 2

2 2

49 7

36 6

16 4

7 6 4

k BC

k BC

k AC

k AC

k AB

k AB k

BC AC

AB

 AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2  49k2 = BC2

Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông

c Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 900

)

d Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900

)

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH  BC

Chứng minh: AB2

+ CH2 = AC2 + BH2

Giải:

H A

C B

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông

Tam giác ABH có H = 900

 AB2 = AH2 + HB2

AB2 - HB2 = AH2

AHC

 có H = 900

AC2 = AH2 + HC2

 AC2 - HC2 = AH2

 AB2 - HB2 = AC2 - HC2

 AB2 + CH2 = AC2 + BH2

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh đáy BC Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ

C kẻ đường vuông góc với AC Hai đường này cắt nhau tại M Chứng minh rằng

a  AMB   AMC

b AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

1 2

I

B

C

A

M

a Xét tam giác ABM vuông tại B và ACM vuông tại C

Cạnh huyền AM chung

AB = AC (gt)

Suy ra AMBAMC( cạnh huyền – cgv)

b Do AMBAMC A1 = A2( hai góc tương ứng )

Gọi I là giao điểm của AM và BC

AI chung

A1 = A2 (c/m trên);

AB = AC (Vì tam giác ABC cân ở A);

Nên  AIB   AIC (c.g.c)

Suy ra IB = IC ( hai cạnh tương ứng ) ;

Và AIB = AIC ( hai góc tương ứng )

Mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau)

Suy ra  AIB =  AIC = 900

Suy ra AM  BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC

Do đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Bài 6:

a Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A

b Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Gọi K là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A

Giải:

D

A

a Xét ADB vuông tại D và ADC vuông tại D có

Canh AD là cạnh chung;

AB = AC (Vì tam giác ABc cân ở A);

ADBADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

 BAD = CAD (cặp góc tương ứng)

Do đó: AD là tia phân giác của góc A

1 2

K

E D

B C

A

D

b Xét ADB vuông tại D và AEC vuông tại E có

AB là cạnh huyền chung

CÂB là góc chung

Nên ADBAEC (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra AD = AE (cặp cạnh tương ứng)

Xét ADK vuông tại D và AEK vuông tại E có

AK là cạnh huyền chung

AD = AE (cmt)

Nên ADK  AEK (cạnh huyền - cgv)

Suy ra A1 = A2 ( hai góc tương ứng )

Do đó AK là tia phân giác của góc Â

Bài 7: Cho tam giác ABC biết C =

3 2

A B

 a.Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A

và tính số đo góc B, góc C

b Kẻ đường cao AH Chứng minh B = HAC; C = BAH

H

B

C A

Giải:

a Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

0 0

30 6

180 3

2 1 3

2













 B C A B C

C

3

A

A

   nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A

b Vì AH BC nên H = 1v suy ra B + BAH = 1v

Vì BAH + HAC = 1v suy ra B = HAC (2 góc phụ nhau)

Tương tự ta cũng chứng minh được C = BAH

Bài 8: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có

4

3



AC

AB

và BC = 15cm

Tìm các độ dài AB; AC

B

C

A

Giải:

Theo đề ra ta có:

16 9

4 3

2 2

AC AB

AC AB





 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau và định lý Pitago ta có:

9 25

15 25 16

9 16

9

2 2 2

2 2

2













 AC AB AC BC

AB

Suy ra: AB2 = 9.9 = 92  AB = 9 cm

AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122  AC = 12 cm

Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm

Bài 9: Cho tam giác vuông ABC (A = 900) Chứng minh rằng

a Nếu AB =

2

1

b Nếu C = 300 thì AB =

2

1

Giải:

Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB

Nối CD ta xét hai tam giác vuôngBACvà  DAC vuông tại A có:

AC cạnh huyền chung

AB=AD ( cmt )

DAC

BAC  

 CB = CD (1)

A

D

C B

a Nếu AB =

2

1

BC và AB = AD =

2

1

BD

Thì BC = BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra CB = BD

Vậy tam giác BCD đều

Suy ra BCA = ACD =

2

1

30 60 2

1



b CB = CD  Tam giác CBD cân

Nếu BCA = 300; BCD = 60

Suy ra tam giácBCD đều BD = BC

2AB = BC AB =

2 1

BC

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của

BC tại I Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC

Chứng minh rằng BH = CK

1 2

M

I

K

H

C B

A

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: BM = CM

Xét BMI vuông tại M ( MI BC )và CMI vuông tại M có

BM = CM ( cmt )

IM chung;

Suy ra BMI = CMI ( cgv-cgv)

IB = IC (cặp cạnh tương ứng)

Tương tự ta lại có :

Cạnh huyền AI chung

1 2

A A ( AI là tia phân giác )

Suy ra AHIAKI (cạnh huyền - góc nhọn)

IH = IK ( hai cạnh tương ứng )

Tương tự ta lại có :

IB=IC ( cmt)

IH = IK( cmt)

Do đó IHBIKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra BH = CK.( hai cạnh tương ứng )

Bài 11: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với

BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC ở F, Chứng minh rằng

a AD = EF

b ADEEFC

c AE = EC

F

A

D

E

Giải:

a.Nối D với F do DE // BF

EF // BD nên DEFFBD (g.c.g)

Suy ra EF = DB

Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF

b.Ta có: AB // EF  A = E (đồng vị)

AD // EF;

DE = FC nên D1 = F1 (cùng bằng B)

Suy ra ADEEFC (g.c.g)

c.ADEEFC (theo câu b)

suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng)

Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE  AC và CF AB Biết BE = CF = 8cm

Độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5

a Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân

b Tính độ dài cạnh đáy BC

c BE và CF cắt nhau tại O Nối OA và EF

Chứng minh đường thẳng AO là trung trực của đoạn thẳng EF

O I A

Giải:

a Xét BFC vuông tại E và  CEB vuông tại F

BE = CF ( = 8cm )

BC cạnh chung

CEB

 ( cạnh huyền – cạnh góc vuông ) Suy ra FBC = ECB

Do đó tam giác ABC cân tại A

b Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5

16

8 16 9

25 25

9 5

3

2 2 2

2 2

2

















 BC BF BC BC BF FC

BF

25

2 2











BC

cm

c Gọi I là giao điểm của EF và AO

Tam giác ABC cân AB = AC

mà BF = EC (BFCCEB)

AF = AE ( hai cạnh tương ứng )

Suy ra AFOAEO(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

 FAO = EAO ( hai góc tương ứng )

Và ta có AF = AE ( cmt)

 FAI =  EAI ( cmt)

Do đó FAIEAI  IF = IE ( hai cạnh tương ứng )(1)

Và FIA = EIA ( hai góc tương ứng )

Mà FIA + EIA = 1800

nên FIA = EIA = 900 AI  EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF

Bài 13: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB Trên tia BN lấy điểm B/

sao cho N là trung điểm của BB/

Trên tia CM lấy điểm C/

sao cho M là trung điểm của CC/ Chứng minh:

a B/C/ // BC

b A là trung điểm của B/

C/

N M

C B

A

Giải:

a Xét hai tam giác AB/N và CBN

ta có: AN = NC ( N là trung điểm )

ANB/ = BNC (đối đỉnh)

NB = NB/( N là trung điểm ) ;

Vậy AB/N  CBN

(c.g.c) Suy ra AB/ = BC ( hai cạnh tương ứng )

và NBC = AB/ N ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB/

// BC Chứng minh tương tự ta có: AC/

= BC và AC/ // BC

Từ một điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC

Vậy AB/

và AC/ trùng nhau nên B/C/ // BC

b Theo chứng minh trên AB/

= BC, AC/ = BC Suy ra AB/ = AC/

Hai điểm C/

và B/nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC

Vậy A nằm giữa B/

và C/nên A là trung điểm của B/

C/

Bài 14: Cho tam giác ABC , D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC vẽ F sao cho

E là trung điểm của DF Chứng minh:

a DB = CF

b BDCFCD

c DE // BC và DE =

2

1

F E

D

C B

A

Giải:

a AEDCEF

AD = CF

Do đó: DB = CF (= AD)

b AEDCEF (câu a)

suy ra ADE = F  AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le)

AB // CF  BDC = FCD (so le trong)

Do đó: BDCECD (c.g.c)

c BDCECD (câu b)

Suy ra C1 = D1 DE // BC (so le trong)

FCD

BDC

Do đó: DE =

2

1

DF nên DE =

2 1

BC

Bài 15: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA sao

cho AD = BE = CF Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều

F

E

D

C B

A

Giải:

Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF

Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF

Hay BD = CE = AF

Tam giác ABC đều A = B = C = 600

BED

ADF

 (c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng)

FCE

EBD

 (c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng)

Do đó: DF = DE = EF

Vậy tam giác DEF là tam giác đều

Hẹn gặp các em ở các chuyên đề sau Chúc vui học nhé

Phan Chí Thắng – trithucsangtao.vn