Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.[r]
Trang 1Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ
Bài 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ax = Vói x là các số thực dương
Bài 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx= với x thuộc tập hợp số thực.
Bài 5
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F x,y = với x, y là các số thực.
Trang 2Bài 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x = với x > 0.
Bài 7
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dương
Bài 8
Với giá trị nào của x thì biểu thức
P x = đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 9
Trang 4Bài 10
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
H x = (8 + x 2 + x )(20 – x 2 –x) với x là các số thực tuỳ ý
Bài 11
nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 12
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 13
trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trang 5Tỡm cỏc giỏ trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giỏ trị nhỏ nhất
P = x 2 + y 2 +z 2 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú biết : x+y+z = 1995.
Bài 15
Cho biểu thức Q = Trong đú x,y,z là cỏc đại lượng thoả món điều kiện
x 2 + y 2 + z 2 = 169.Tỡm GTLN của Q.
Bài 16 (1 điểm): Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x y = 50
Đ
ỏp ỏn: Đk: x; y ẻ Z, x; y ≥0
Ta có x y 5 2
=> x, y là các căn đồng dạng với 5 2
đặt x = a 2; y = b 2 ( a; b là các số nguyên không âm)
Ta đợc: a + b = 5
=> (a; b) = (0;5); (1;4); (2;3); (3;2) (4;1); (5;0)
=> (x;y) = (0;50); ( 2; 32); (8; 18); ( 18;8); (32;2); (50;0) (thoả mãn điều kiện)
Bài 17Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x, y) thoả món phương trỡnh: 3 x7 y 3200
Cõu IV: 3 x7 y 3200 3 x 7 y 10 32
Đặt x = a √2 và y= b √2 với a, b là cỏc số nguyờn dương => 3a + 7b = 40
=> b< 6 Thử cỏc giỏ trị b = 1,2, 3,4,5 => b = 4 và a = 4 => x = y = 32
b = 1 và a = 11 => x = 242 và y = 2
-Bài 18Cho 2 số dương a, b cú tổng bằng 2 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Cõu IV: Sử dụng hằng đẳng thức x2 – y2 = ( x – y)( x + y)
Biến đổi biểu thức thành A = (
ab ≤
2
(a b) 4
= 4/ 4 = 1 => A ≥ 9 , dấu bằng khi a = b = 1 Vậy AMin = 9 , khi a = b = 1
Trang 6
-Bài 19Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá 7 4 3 7
Câu IV: Đặt x = 7 + 4 3 , y = 7 - 4 3
x + y = 14, x.y = 1 => x, y là nghiệm của phương trình X2 - 14X + 1 = 0
Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 14Sn+1 + S = 0 ( *)
=> Sn+2 = 14Sn+1 - S
S1 = x + y = 14 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 194 S3 = 14S2 – S1 = 2702………
Tương tự ta tính được S7 = 14S6 – S5 = 96970054
Ta có 0 < y < 1 => 0 < yn < 1
=> xn + yn - 1 < xn < xn + yn
=> Sn - 1 < xn < Sn => Phần nguyên của xn là Sn - 1
Vậy số nguyên cần tìm là S7 -1 = 96970053
Chú ý: Biểu thức ( *) được chứng minh nhờ điều kiện X 2 -14X +1 = 0
.( Xem Toán phát triển của thầy Vũ Hữu Bình)
-Bài 20: Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12
Câu IV: Nhẩm nghiệm => f(x) = x3 -10x – 12 có nghiệm x = -2 nên x3 -10x – 12 = ( x + 2)( x2 – 2x – 6)
Đồng nhất với đa thức ở dầu bài ta được m =2, n = -2 và p = -6
-Bài 21: Chứng minh rằng (m 1)(m 2)(m 3)(m 4) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m
Câu V : Giả sử số đã cho là số hữu tỉ => (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) = k2 , k là số nguyên dương
(m25m 6)(m 25m 4) k 2 (a 1)(a 1) k 2, với a = m2 + 5m + 5 nên a > 5 (1)
<=> a2 – k2 = 1 <=> ( a-k)(a+k) = 1 <=> (a-k) và (a +k) đồng thời bằng 1 hoặc -1 => a =1 (2) (1) và (2) => không có giá trị nào của m thoả mãn điều giả sử => đpcm
Bài 22: Tìm số nguyên dương m để m2m 23 là số hữu tỉ
Câu V: Đặt m 2 + m + 23 = k 2 ( k ÎN) 4m24m 92 4k 2 4k2 (2m 1) 2 91.
(2k 2m 1)(2k 2m 1) 91.
Vì 2k + 2m + 1 > 2k – 2m -1 > 0 nên xảy ra hai trường hợp sau
TH 1: 2k + 2m + 1 = 91 và 2k – 2m – 1 =1 => m = 22
TH 2: 2k + 2m + 1 = 13 và 2k – 2m – 1 = 7 => m = 1
Nhận xét: nếu đầu bài chỉ yêu cầu m là số nguyên thì 2k + 2m + 1 chưa chắc đã dương.
Khi đó phải xét thêm 2 trường hợp nữa.
Bài 23: Tính giá trị của biểu thức:
A =
x x 14
Câu IV:
2 2
Thực hiện phép chia đa thức ta có :
A =
Bài 24: Gọi x1, x2, x3, x4 là tất cả các nghiệm của phươ ng trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1 Tính: x1x2x3x4 CâuV: (x+2)(x+4)(x+6)(x + 8) = 1
Trang 7Câu V: Theo đầu bài 2
2x m
2 với mọi x và m
Ta có 2
3
; 0 2
3 ,
, 0 2
3 ) 2
1 ( 2 2
2 2
Biểu thức đạt lớn nhất bằng 2 khi m = 2
1 , 2
3
x
Bài 26: Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phương trình y = x2 Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất
Câu V: M có toạ độ (a; a2) => MA2 = ( a + 3)2 + a4 = (a2 – 1)2 + 3( a + 1)2 + 6 6
MAmin = 6 khi a + 1 = a2 – 1 = 0 => a = -1
Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0) Tìm m sao cho chu vi tam giác
ABC nhỏ nhất
Câu V: C nằm trên Ox Gọi H là điểm đói xứng của B qua Ox => H (2; -3) Tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi C trùng với giao điểm của AH và Ox => m = 5
1
Bài 27: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3) Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất
Câu V: Điểm cố định của đường thẳng D là B( 2; 1) Khoảng c¸ch AH AB=> AH mãx khi H B
Đường thẳng đã cho vuông góc với đường thẳng (AB) =
1 2
2x
=> m =
1
2.
Bài 28: Cho biểu thức B = ( 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008
Tính giá trị của B khi x =
Câu V: gt => x =
2
2 1
=> 4x5 + 4x4 = x3
=> 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2 = -1 => B = 2009
Bài 29: ( 1 điểm) Cho x,y thảo mãn: ( x + x22008)(y y22008) 2008. Tính x+ y
Câu V: Xét điều kiện : ( x + x22008)(y y22008) 2008. (1)
Nhân 2 vế của (1) với x x22008 => y y22008 x22008 x ( 2)
Nhân 2 vế của (1) với y y22008 x x22008 y22008 y ( 3)
Cộng hai vế của (2) và (3) => x + y = 0
Trang 8-Bài 30: Cho x, y thoả mãn: x 2 y3 y 2 x3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x2 + 2xy – 2y2 +2y +10
Câu V: ĐK: x2;y2 Từ x 2 y3 y 2 x3 x 3 - y 3 + x 2- y 2 =0
x y
1
Khi đó B = x 2 + 2x + 10 = (x+1) 2 + 9 9 Vậy Min B = 9 x = y = -1
Chú ý : Đa thức x 2 + xy + y 2 +
1
Bài 31: Chứng minh a3 + b3 ab a b( )với mọi a,b0 áp dụng kết quả trên , chứng minh bất đẳng thức
1
a b b c c a với a, b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1
Câu 5) a3 + b 3 – ab(a + b) = ( a + b)( a – b ) 2 0 với mọi a.b 0 => a 3 + b 3ab a b( )với mọi a,b0.
áp dụng ta có: a 3 + b 3 +1 ab a b( ) 1 a b 1 a b c
Cm tương tự ta có:
1
a b b c c a a b c a b c a b c Dấu bằng khi a = b = c = 1.
Bài 32: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng
1
Câu V-
Ta có (3x + yz) = (( x + y + z)x + yz )= ( x + y)(x + z ) ( x y x z )2 x ( y z)2
Dấu bằng khi x = y = z = 1
Chứng minh tương tự ta => §pcm
Bài 33: Cho x, y, z thỏa mãn 0 < x,y,z 1 Và x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A =
) 1 ( 2 4
) 1
x
z z
x z
z
x
Dấu bằng khi 4 2 2 2 .
) 1
y x x z y x x z
z z
x
1 1
) (
3 2
1
Dấu bằng khi x = y = z = 3
2
-Bài 34: Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:
1
Từ x yz2 0 x2yz 2x yz
(*) Dấu “=” khi x2 = yz
Trang 9Từ (1), (2), (3) ta có
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1