BàI GIảNG Lý thuyết XáC SUấT THốNG THốNG KÊ

Khi thực hiện nhiều lần lặp lại độc lập một phép thử ta có thể tính được tần suất xuất hiện số lần xuất hiện của một biến cố nào đó.. Xác xuất của của một biến cố Ta chỉ xét những phép

BµI GI¶NG

Lý thuyÕt Lý thuyÕt X¸C SUÊT THè X¸C SUÊT THè X¸C SUÊT THèNG K£ NG K£ NG K£

Hµ Néi - 2014

MỞ ĐẦU

Lý thuyết Xác suất Thống kê là một bộ phân của Toán học nghiên cứu các hiện tượng

ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tương

không thể nói trước được nó có thể xảy ra hay không khi thực hiện một lần quan sát Tuy nhiên,

nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiệ tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta

có thể rút ra những kết luận khoa học về hiện tượng này

Lý thuyết Xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu các

phương pháp thu thập thông tin, chọn mẫu, xử lý thông tin nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết

định cần thiết

Lý thuyết Xác suất Thống kê ngày phát triển theo tiến trình phát triển của xã hội, nó đóng

vai trò rất quan trọng trong hầu hết mọi lĩnh vực của thế giới hiện đại, từ khoa học, công nghệ,

đến kinh tế, chính trị, đến sức khỏe, môi trường,…

Ngày nay, máy tính đã giúp cho việc tính toán các vấn đề xác suất thống kê ngày càng trở

nên dễ dàng, một khi đã có số liệu đúng đắn và mô hình hợp lý Thế nhưng, bản thân máy tính

không biết mô hình nào là hợp lý Đấy là vấn đề của người sử dụng: cần phải hiểu được bản chất

của các khái niệm và mô hình xác suất thống kê, thì mới có thể dùng chúng được Chính vì vậy,

mặc dù đã được giới thiệu ở bậc học Phổ thông, Lý thuyết Xác suất Thống kê được giảng dạy cho

hầu hết các nhóm ngành ở bậc Đại học.

Chương trình học Môn Lý thuyết Xác suất Thống kế

(tại Trường Đại học Thủy Lợi)

Giáo trình chính:

Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê, Bản dịch (đã chỉnh lý lần thứ nhất) - Tài liệu lưu hành nội

bộ của Trường Đại học Thủy Lợi – (Bản dich từ "Probability and statisics for Engineers and

Scientists" của Walpole H Myers, L Myers)

Bài số 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

I NHẮC LẠI VÀ BỔ XUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Những kiến thức phần này liên quan tới việc đếm các điểm mẫu

1.Quy tắc cộng Giải sử một công việc nào có k trường hợp để thực hiện:

Trường hợp 1 có n1 cách thực hiện

Trường hợp 2 có n2 cách thực hiện …

Trường hợp k có nk cách thực hiện

Khi đó ta có: n =n1 +n2 + + nkcách thực hiện công việc đã cho

2.Quy tắc nhân.Giải sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn:

Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất

Có n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai…

Có nk cách thực hiện giai đoạn thứ k

Khi đó ta có: n =n n1 .2 nkcách thực hiện công việc đã cho

Ví dụ 1 Có bao nhiêu cách lựa chọn bữa ăn gồm có xúp, sandwich, món tráng miệng, và một đồ

uống từ 4 món xúp, 3 kiểu sandwich, 5 món tráng miệng, và 4 đồ uống?

Giải: Do n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 và n4 = 4, có n1×n2×n3×n4 = 4 × 3 × 5 × 4 = 240 cách khác nhau để

chọn bữa ăn

3 Hoán vị

phần tử đã cho hoặc gồm đúng n phần tử đã cho

!

k n

nA

=

− (còn gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử)

Ví dụ 2 Một đề tài nhánh của Hội Hóa học Mỹ có bao nhiêu cách bố trí 3 báo cáo viên cho 3 cuộc

họp khác nhau nếu họ đều có thể thu xếp được bất kỳ một trong 5 ngày?

Những hoán vị xuất hiện khi sắp xếp các phần tử theo một vòng tròn được gọi là những hoán

nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, , nk phần tử thuộc kiểu thứ k là:

Ta thường quan tâm đến số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r tập con được

gọi là các ngăn Một phân hoạch được hoàn thành khi giao của mọi cặp trong r tập con là tập rỗng

∅ và hợp của tất cả những tập con là tập ban đầu Thứ tự của các phần tử bên trong một ngăn là

không quan trọng

có n1 phần tử trong ngăn thứ nhất,

có n phần tử trong ngăn thứ hai, 2

có nk phân tử trong ngăn thứ k

Khi đó số cách phân hoạch là:

!, , , r ! ! k!

hoạch có hai ngăn, một ngăn chứa r đối tượng được chọn còn ngăn kia chứa (n− đối tượng còn r)

=

II BIẾN CỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

1.Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Ví dụ mở đầu: Khi cho cuộn dây quay đều trong từ trường của một thanh nam châm, kết quả là chắc

chắn xuất hiện dòng điện trong cuộn dây

Đây là một phép thử không ngẫu nhiên

Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta không đoán chắc chắn được kết quả Chỉ biết được

kết quả là xuất hiện số chấm trong {1,2, 3, 4,5,6}

Đây là một phép thử ngẫu nhiên

Như vậy: Một phép thử ngẫu nhiên luôn thỏa hai đặc tính:

1 Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra

2 Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra

Việc dựa trên một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là

một phép thử ngẫu nhiên, ở đây các kết quả của nó không dự đoán trước được Do bài giảng này chỉ

xét các phép thử ngẫu nhiên, nên ta gọi tắt chúng là phép thử

a Định nghĩa Tập hợp tất cả những kết quả có thể của một phép thử thống kê được gọi là không

gian mẫu và được ký hiệu bởi S( hoặc Ω)

Mỗi kết quả trong không gian mẫu được gọi là một phần tử của không gian mẫu, hoặc đơn giản là

một điểm mẫu

b Cách mô tả không gian mẫu:

+ Khi không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta có thể liệt kê những phần tử

+ Khi không gian mẫu có vô hạn phần tử, hoặc các phần tử có thuộc tính chung: ta có thể mô

tả bằng mệnh đề hoặc quy tắc

+ Ta cũng có thể dùng sơ đồ hình cây

Ví dụ 6. Khi tung một đồng xu không gian mẫu Ω có thể viết là: Ω ={ , }H T , trong đó H và T

tương ứng với “heads” và “tails”, nghĩa là "ngửa" và "sấp"

Ví dụ 7 Khi gieo một con xúc sắc:

+ Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện trên mỗi mặt thi không gian mẫu là:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ω =

+ Nếu ta quan tâm đến mặt chẵn hay lẻ (số chấm xuất hiện trên mặt là chẵn hay lẻ) thì không

gian mẫu là: Ω ={chan le, }

Ví dụ 8 Khi tung hai đồng xu, với ký hiệu S: sấp còn N: ngửa khi đó không gian mẫu là:

{SS SN NN NS, , , }

Ω =

Ví dụ 9 Lấy ngẫu nhiên một điểm nằm trong miền hình chữ nhật trên mặt phẳng tọa độ Oxy với

kích thước [0; 3] [0;2]× , khi đó không gian mẫu là:

S = Ω = x y ≤ ≤x ≤ ≤y

Ví dụ 10 Xét phép thử là tung một đồng xu

+ Nếu xuất hiện mặt sấp xuất thì ta tung đồng xu đó lần thứ hai

+ Nếu xuất hiện mặt ngửa thì ta tiếp tục tung một con xúc xắc được tung một lần

Trong trường hợp này ta đi xây dựng sơ đồ cây như hình vẽ để xác định không gian mẫu Bây giờ,

những con đường khác nhau dọc theo các cành cây đi tới những điểm mẫu khác biệt

Từ đó ta xác định được không gian mẫu là :

{SS NN N N; ; 1; 2; 3; 4; 5; 6N N N N }

c Cách xây dựng không gian mẫu :

+ Đặt tên cho các phần tử có mặt hoặc các bước hình thành phép thử

+Mô tả điểm mẫu theo các kết quả xảy ra trong phép thử

2 Biến cố

a Định nghĩa Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố Như vậy biến cố của một

phép thử chính là mỗi tập con của không gian mẫu

Ký hiệu biến cố : Dùng các chữ in hoa như , , , A B C

Chú ý

• Mỗi điểm mẫu là một biến cố và được gọ là biến cố sơ cấp

chính không gian mẫu Ω nên ký hiệu là Ω

b Quan hệ giữa các biến cố Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu Ω

Khi đó :

• Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A⊂ , nếu B A xảy ra thì B cũng xảy ra

• Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B, ký hiệu A=B, nếu A xảy ra thì B xảy ra

và ngược lại

• Biến cố đối của biến cố A, ký hiệu A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

• Hợp (tổng) của hai biến cố A và B, ký hiệu là A∪B(hoặc A+ ) là biến cố xảy ra nếu có ít B

nhất một biến cố nào đó trong các biến cố A hoặc B xảy ra Nói cách khác : A∪B là biến cố gồm

các điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B

Định nghĩa hợp của n biến cố cũng được định nghĩa tương tự : A1 ∪A2 ∪ ∪ An

• Giao (tích) của hai biến cố A và B, kí hiệu A B∩ (hoặc AB) là biến cố xảy ra nếu cả A và

B cùng xảy ra Nói cách khác A B∩ là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B

Nếu A1, A2, …, An là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của chúng,

ký hiệu là A1 ∩A2 ∩ ∩ An

• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A B∩ = ∅

Ví dụ 11 A là biến cố “ra số chấm chẵn” khi gieo một con xúc xắc , thì A = “ra số chấm lẻ”

Ví dụ 12 Xét biến cố A={2, 4, 6}, biến cố B={4, 5, 6} và biến cố C ={1, 2, 4, 6} là những tập

con của cùng không gian mẫu Ω ={1,2, 3, 4, 5, 6}

+ Các biến cố : A A1, 2, ,A6 đôi một xung khắc

Ví dụ 14 Có ba xạ thủ A, B, C cùng bắn vào một mực tiêu Gọi :

A là biến cố "xạ thủ A bắn trúng"

B là biến cố "xạ thủ B bắn trúng"

C là biến cố "xạ thủ C bắn trúng"

Khi đó: M =ABClà biến cố "cả ba xạ thủ bắn trúng"

N =ABC là biến cố "cả ba xạ thủ bắn trượt"

Bài số 2 XÁC SUẤT QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

I XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

1 Mở đầu về xác suất

Việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không trong kết quả của một phép thử là điều không thể

biết hoặc đoán trước được Tuy nhiên bằng những cách khác nhau ta có thể định lượng khả năng xuất

hiện của biến cố, đó là xác suất xuất hiện của biến cố Xác suất của biến cố là con số đặc trưng khả

năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử

Dựa vào bản chất của phép thử (đồng khả năng) ta có thể suy luận về khả năng xuất hiện của

biến cố, với cách tieps cận này ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển

Khi thực hiện nhiều lần lặp lại độc lập một phép thử ta có thể tính được tần suất xuất hiện (số

lần xuất hiện) của một biến cố nào đó Tần suất thể hiện khả năng xuất hiện của biến cố, với cách

tiếp cận này ta có định nghĩa xác suất theo thống kê

Trường hợp ta biểu diễn không gian mẫu và các biến cố bởi các miền hình học có độ đo ta sẽ

có định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

2 Xác xuất của của một biến cố

Ta chỉ xét những phép thử mà không gian mẫu có hữu hạn phần tử: chằng hạn xét phép thử

với không gian mẫu

∑ , số thực pi được gọi là xác suất của điểm mẫu (biến cố sơ cấp) si Nếu ta có lý do để

tin rằng một điểm mẫu nào đó rất có khả năng xảy ra khi phép thử được tiến hành, xác suất được

gán sẽ gần 1 Mặt khác, một xác suất gần 0 được gán cho một điểm mẫu mà dường như không xuất

hiện Trong nhiều phép thử, như tung một đồng xu hay một xúc xắc, tất cả những điểm mẫu có cùng

khả năng xuất hiện cũng được gán các xác suất bằng nhau Đối với những điểm bên ngoài không

gian mẫu, tức là đối với các biến cố mà không thể xuất hiện, ta gán cho xác suất bằng 0

Ta chú ý rằng, mỗi biến cố là tập con của không gian mẫu Ω, nên một biến cố A của phép

thử là một tập gồm các điểm mẫu (biến cố sơ cấp), mỗi biến số sơ cấp trong A còn gọi là một khả

năng thuận lợi cho A

a Định nghĩa Xét phép thử với không gian mẫu Ω và A biến cố trong phép thử đó Khi đó xác

{SS SN NS NN, , , }

+ Nếu đồng xu cân đối, mỗi kết cục như vậy có thể đồng khả năng xuất hiện Do đó, ta gán một

xác suất w cho mỗi điểm mẫu Khi ấy 4 1 1

4

w = →w = + Nếu A biểu thị biến cố ít nhất một mặt ngửa xuất hiện, thì A={SN NS NN, , }

+ Và ( ) 1 1 1 3

Ví dụ 2 Một con súc sắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn gấp 2 lần khả năng

xuất hiện một chấm lẻ Gọi E là biến cố số chấm nhỏ hơn 4 xuất hiện trong một lần tung xúc xắc,

hãy tìm ( )P E = ?

Giải:

+ Không gian mẫu là Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

+ Ta gán một xác suất w cho mỗi số chấm lẻ và một xác suất 2w cho mỗi số chấm chẵn

+ Do tổng của các xác suất phải bằng 1 nên ta có 9 1 1

9

w = →w = + Từ đó, các xác suất 1/9 và 2/9 được gán cho mỗi số chấm chẵn và lẻ tương ứng

Ví dụ 3 Trong Ví dụ 16 gọi A là biến cố xuất hiện số chấm chẵn và cho B là biến cố xuất hiện số

chấm chia hết cho 3 Hãy tìm (P A∪B) và (P A∩B)

Trường hợp không gian mẫu có hữu hạn phần tử và các biến cố sơ cấp đồng khả năng

b Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

Giải sử phép thử có Nbiến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó biến cố Acó chứa n biến cố sơ cấp

đồng khả năng Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bởi: ( )P A n

N

=

1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu: N

2 Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong biến cố A: n

3 Từ đó ( )P A n

N

=

Ví dụ 4 Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4 chiếc kẹo bơ và 3 chiếc chocolate Nếu một người

chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc kẹo này, hãy tìm xác suất để được

a Một chiếc bạc hà;

b Một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate

Giải: Gọi M T, và C là các biến cố mà người chọn được, tương ứngmột chiếc bạc hà, kẹo bơ,

hoặc chocolate Tổng số kẹo bằng 13 và tất cả đều đồng khả năng để chọn

a Do 6 trong 13 chiếc là bạc hà, xác suất của biến cố M chọn được ngẫu nhiên một bạc hà là

6( )

Giải: Gọi C là biến cố “Trong 5 cây có 2 cây Át và 3 cây J ”

+ Số cách chia riêng 2 cây từ 4 cây Át bằng: 4 4 ! 6

+ Theo quy tắc nhân ta có n =6.4=24 trường hợp rút ra có 2 Át và 3 cây J

+ Mà tổng số trường hợp lấy ngẫu nhiên 5 cây bài (tất cả đều đồng khả năng) là

2598960

Hạn chế của định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

1.Nó chỉ xét cho trường hợp không gian mẫu có hữu hạn các biến cố

2 Các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu “đồng khả năng”

Tuy nhiên không phải lúc nào không gian mẫu cũng thỏa mãn điều đó

Trong thực tế, chúng ta thường phải tìm xác suất của những biến cố phức tạp, khi đó ta sẽ cố gắng

biểu diễn biến cố đó theo những biến cố đơn giản và xác suất của một biến cố ban đầu sẽ dễ dàng

hơn nếu ta dựa vào xác suất đã biết của các biến cố đơn giản hơn

II CÔNG THỨC CỘNG

Mục đích: Trong một phép thử, đã biết xác xuất của một số biến cố nào đó ta có thể tính xác xuất

của biến cố hợp của chúng

1.Trường hợp các biến cố xung khắc

Ví dụ 6 Có một lô hành gồm 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại

từ lô hàng ra 6 sản phẩm Tìm xác suất để không có quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra

Giải: Gọi

A là biến cố “không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”

B là biến cố “có đúng 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”

C là biến cố “không có quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”

+ Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc

+ Xác suất của biến cố A là:

6 8 6 10

2( )

Nếu A và B là hai biến cố tùy ý trong một phép thử thì ta có

Tương tự ta có thể nhận được công thức cộng xác suất trong trường hợp số biến cố tùy ý

Ví dụ 7 Xác suất để Hồng thi đỗ môn toán là 2/3 và xác suất để cô ta thi đỗ môn tiếng Anh là 4/9

Giả thiết rằng xác xuất để thi đỗ cả 2 môn là 1/4 Tìm xác suất để

a) Hồng thi đỗ ít nhất một môn

b) Hồng không đỗ môn nào

c) Hồng thi trượt ít nhật một môn

d) Hồng thi đỗ đúng một môn

Giải: Gọi:

M là biến cố “thi đỗ môn Toán”,

E là biến cố “thi đỗ môn Tiếng Anh” , khi đó ME là biến cố “thi đỗ cả hai môn”

A là biến cố “thi đỗ ít nhất một môn”, khi đó A=M ∪E

B là biến cố “không đỗ môn nào”, khi đó B =M E =A

C là biến cố “trượt ít nhất một môn”, khi đó C =M ∪ E

D là biến cố “đỗ đúng một môn”, khi đó D =M E ∪M E

Theo giả thiết ta có: ( ) 2, ( ) 4, ( ) 1

III XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

1 Xác suất có điều kiện

xác suất có điều kiện và được ký hiệu là ( | )P B A Ký hiệu ( | )P B A thường được đọc là “ xác

suất để Bxảy ra với điều kiện A đã xảy ra” hoặc đơn giản là “xác suất của B với điều kiện A”

Ví dụ 8 Một con xúc xắc được chế tạo sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn gấp hai lần khả

năng xuất hiện một chấm lẻ Xét biến cố B nhận được số chính phương khi gieo một con xúc xắc

đó

Từ không gian mẫu Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, với xác suất xuất hiện mỗi số chấm chẵn và lẻ tương ứng

là 1

9 và 2

9, do đó xác suất để B xảy ra là 1

3 Bây giờ ta chỉ xét biến cố B trong phép tung con xúc sắc với số chấm xuất hiện lớn hơn 3

Lúc này ta xét không gian mẫu thu gọn A={4, 5, 6} là tập con của Ω Ta cần tính xác suất của

biến cố B liên quan đến không gian mẫu A

+ Trước hết ta phải tính xác suất mới cho các phần tử của A Khi gán xác suất w cho chấm lẻ

trong A và xác suất 2w cho hai chấm chẵn, ta có 5 1 1

5

w = →w = + Trong không gian A, ta thấy B chỉ chứa phần tử 4 Ký hiệu biến cố này bởi B A| , khi đó

Ví dụ 9 (xét lại Ví dụ 8) Một con xúc xắc được chế tạo sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn

gấp hai lần khả năng xuất hiện một chấm lẻ Với biến cố A={4, 5, 6}, xét biến cố B nhận được số

chính phương khi gieo một con xúc sắc

Ta có không gian mẫu Ω ={1,2,3,4, 5, 6}, với xác suất xuất hiện mỗi số chấm chẵn và lẻ

tương ứng là 1

9 và 2.9

Ví dụ 10 Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là ( )P D =0, 83, xác suất để nó đến

đúng giờ là ( )P A =0, 82, xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là (P D∩A)=0, 78 Tính

xác suất để một chiếc máy bay:

a) Đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ;

b) Khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến đúng giờ

c) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không đúng giờ

Giải:

a) Xác suất để một máy bay đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ là:

c Sự độc lập và phụ thuộc của các biến cố Hai biến cố Avà B được gọi là độc lập với nhau nếu

sự xuất hiện của B không có tác động gì đến khả năng xuất hiện của A Ở đây sự xuất hiện của A

là độc lập với sự xuất hiện của B

Định nghĩa: Hai biến cố A và B trong một phép thử được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi

P B A =P B hoặc ( | )P A B =P A( ) Trong trường hợp ngược lại ta nói A và B phụ thuộc nhau

Điều kiện ( | )P B A =P B( ) kéo theo ( | )P A B =P A( )và ngược lại

Đối với phép thử là rút con bài ở trên , chúng ta đã chỉ ra rằng ( | )P A B =P A( )=1 / 4

Chúng ta cũng có thể thấy rằng ( | )P A B =P A( )=1 / 13

2.Công thức nhân xác suất

Từ công thức xác suất có điều kiện ta nhận được quy tắc nhân quan trọng sau, nó cho phép ta tính

xác suất để hai biến cố cùng xảy ra

Nếu trong một phép thử, các biến cố Avà B có thể cùng xảy ra thì

P A∩B =P A P B A =P B P A BHai biến cố Avà B là độc lập với nhau khi và chỉ khi

Ví dụ 11 Giả sử ta có một hộp chứa 20 chiếc cầu chì, trong đó có 5 chiếc bị hỏng Nếu lấy ngẫu

nhiên lần lượt 2 chiếc theo phương thức không hoàn lại, thì xác suất để cả hai chiếc đều bị hỏng bằng

bao nhiêu?

Giải: Gọi

A là biến cố “chiếc cầu chì thứ nhất bị hỏng”

Khi đó A B∩ là biến cố A xảy ra và sau đó B cũng xảy ra, B A| là biến cố chiếc cầu chì thứ hai

lấy ra là hỏng khi đã lấy được chiếc thứ nhất là hỏng

Xác suất để lần lấy thứ nhất được chiếc cầu chì hỏng là ( ) 1

4

P A = Tiếp theo, xác suất để lấy được một cầu chì hỏng thứ hai từ bốn chiếc còn lại là:

4( | )

Ví dụ 12 Một thị trấn nhỏ có một chiếc xe cứu hỏa và một chiếc xe cấp cứu sẵn sàng dùng cho

những trường hợp khẩn cấp Xác suất để chiếc xe cứu hỏa sẵn có để dùng cho những trường hợp

khẩn cấp là 0,98 và xác suất để chiếc xe cấp cứu khi được gọi là 0,92 Có một người bị thương do

một tòa nhà đang cháy, tìm xác suất để cả chiếc xe cấp cứu và cứu hỏa đều sẵn sàng có thể dùng

Giải: Gọi A và B lần lượt là biến cố chiếc máy cứu hỏa và chiếc xe cấp cứu sẵn có để dùng,

khi đó A B∩ la biến cố cả hai xe đều sẵn sàng làm nhiệm vụ

Nhận thấy: A và B là hai biến cố độc lập do đó ta có:

( ) ( ) ( ) 0, 98.0, 92 0, 9016

Ví dụ 13 Lấy liên tiếp 3 con bài từ một bộ bài theo phương thức không hoàn lại Tìm xác suất để

biến cố A1 ∩A2 ∩A3 xảy ra , trong đó A1 là biến cố con bài thứ nhất là Át đỏ, A2 là biến cố con bài

thứ hai là 10 hoặc J , còn A3là biến cố con bài thứ ba có số lớn hơn 3 nhưng bé hơn 7

Ví dụ 14 Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 10 bi đen Hộp thứ hai có 8 bi trắng và 4 bi đen Từ mỗi hộp

lấy ra một viên bi Tìm xác suất để:

a) Cả 2 viên bi lấy ra đều trắng

b) Một viên lấy ra là trắng, còn một viên là đen

A là biến cố một viên bi lấy ra là trắng còn một viên là đen

Khi đó: T T1, 2,D D1, 2 là các biến cố đôi một độc lập; T D T D1 2, 2 1 cũng là hai biến cố độc lập

IV.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES

1 Công thức xác suất đầy đủ

Nếu các biến cố B B1, 2, ,Bk là một phân hoạch của không gian mẫu Ω (tức B B1, 2, ,Bk là

nhóm các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó ( )P Bi ≠ với mọi 0 i=1, 2, ,k thì với

Phân hoạch không gian mẫu Ω

Ví dụ 15 Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B 1 , B 2 , và B 3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm

tương ứng Theo phép thử trước đây biết tỷ lệ phế phẩm được tạo bởi mỗi máy tương ứng là 2%, 3%

và 2% Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để nó là phế phẩm

Giải: Xét các biến cố sau:

A: sản phẩm được chọn là phế phẩm

B1: sản phẩm được làm bởi máy B 1 : P B( )1 =0, 3

B2: sản phẩm được làm bởi máy B 2 : P B( 2)=0, 45

B : sản phẩm được làm bởi máy B3 3 : P B( 3)= 0,25

+ Khi đó: B B B1, 2, 3 là họ các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc

+ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

2 Công thức Bayes

Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà Toán học người Anh Thomas Bayes (1702

– 1761), là công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện ( | )P B A khi biết xác suất có điều

kiện ( | )P A B và một số thông tin khác

a) Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Với A và B là hai biến cố bất kỳ với xác suất khác

không, khi đó ta luôn có:

người mắc phải là lẫn lộn giữa ( | )P A B và ( | )P B A , coi hai con số đó như là bằng nhau Nhưng

Công thức Bayes cho thấy hai con số đó có thể chênh lệch nhau rất nhiều nếu như ( )P A và ( )P B

chênh nhau rất nhiều

Kết hợp công thức trên với công thức xác suất đầy đủ cho ( )P A ta nhận được:

Định lý (Công thức Bayes tổng quát)

Nếu các biến cố B B1, 2, ,Bk là một phân hoạch của không gian mẫu trong đó

Ví dụ 16 Quay về Ví dụ 15, nếu chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy nó bị lỗi, thì xác suất để

sản phẩm đó thuộc máy B 3 bằng bao nhiêu?

Giải: + Sử dụng Công thức Bayes ta có

3

( ) ( | )( | )

Đọc trước các Mục 3.1 đến 3.3 chuẩn bị cho Bài số 3 :

Biến ngẫu nhiên một chiều và phân phối xác suất

Bài số 3 BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

I BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

Ví dụ 1: Xét quá trình kiểm tra ba bộ phận điện tử, N chỉ “ bộ phận không có lỗi ”, D chỉ “

bộ phận có lỗi ” Khi đó không gian mẫu của phép thử đó là:

{NNN NND NDN DNN NDD DND DDN DDD, , , , , , , }

Ω =

Nếu ta quan tâm tới số bộ phận có lỗi trong ba bộ phận được kiểm tra, thì mỗi điểm mẫu trong

không gian mẫu sẽ xác định một giá trị (duy nhất) trong các số: 0, 1, 2, 3

Như vậy, trong mỗi phép thử ngẫu nhiên, việc số hóa các điểm mẫu (quy tắc cho tương ứng mỗi

điểm mẫu với một số thực) sẽ cho ta gặp nhiều thuận lợi trong việc mô tả, thống kê và đánh giá

chúng Và từ đó khái niệm biến ngẫu nhiên ra đời

1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu

với duy nhất một số thực

Ký hiệu: Dùng chữ in hoa, ví dụ X , để kí hiệu một biến ngẫu nhiên và chữ thường tương ứng x

để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên X

Số thực x mà tồn tại điểm mẫu s sao cho ( )X s = được gọi là một giá trị mà X có thể x

nhận Tập tất cả các giá trị mà Xcó thể nhận được gọi là tập giá trị của X

Trong ví dụ kiểm tra các bộ phận điện tử ở trên, ta chú ý rằng biến ngẫu nhiên X có giá trị 2 đối với

tất cả các phần tử trong tập con:

E = { DDN, DND, NDD } của không gian mẫu S, tức là mỗi giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X chỉ một biến cố, nó là tập

con của không gian mẫu đối với phép thử đã cho

Ví dụ 2 Các đại lượng sau là biến ngẫu nhiên

+ Số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc

+ Tuổi thọ của một thiết bị đang hoạt động

+ Số khách hàng có mặt tại một siêu thị trong một đơn vị thời gian

Ví dụ 3 Hai quả bóng được lấy lần lượt theo phương thức không hoàn lại từ một bình chứa 4 quả

bóng đỏ ( R ) và 3 quả bóng đen (B) Gọi Y là số bóng màu đỏ, khi đó các giá trị y của biến ngẫu

2 Phân loại biến ngẫu nhiên

Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai

loại:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là tập đếm

được

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp

đầy một hay một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn trên trục số

Ví dụ 4

+ Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc; sô học sinh vắng mặt trong buổi học : là các biến

ngẫu nhiên rời rạc

+ Nhiệt độ không khí tại mỗi thời điểm nào đó; quãng đường mà một chiếc ô tô đi được với 5

lít xăng: là các biến ngẫu nhiên liên tục

II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

Xét phép thử gieo một đồng xu ba lần và phép thử gieo một con xúc sắc ba lần

Gọi X: = số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng xu 3 lần,

Y : = số lần ra 1 chấm khi gieo một con xúc sắc 3 lần

Nhận xét: + Tập giá trị có thể của ,X Y trùng nhau và bằng: {0,1,2, 3}

+ Tuy nhiên {P X =i}≠P Y{ =i}

Như vậy chỉ biết tập các giá trị có thể của một biến ngẫu nhiên là chưa đủ để xác định nó Vì vậy, đối

với một biến ngẫu nhiên ta cần biết xác suất để nó nhận giá trị bất kỳ, hay nhận giá trị trong một

khoảng bất kỳ Một hình thức cho phép làm điều đó được gọi là quy luật phân phối xác suất của

biến ngẫu nhiên Từ đó, khi ta biết quy luật phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên thì ta sẽ nắm

được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên này

Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên Xnhận giá x là X =x và xác suất để Xnhận giá trị x là (P X =x)

1 Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận mỗi giá trị của nó với một xác suất nhất định Trong trường

hợp tung đồng xu 3 lần, biến ngẫu nhiên X chỉ số lần xuất hiện mặt ngửa nhận giá trị 2 với xác suất

3/8 vì 3 trong 8 điểm mẫu đồng khả năng có kết quả là 2 ngửa, 1 sấp

Đặt: ( )f x =P X( =x), khi đó ( )f x chính là hàm của các giá trị của X

a.Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {x x x1, , , 2 3 } Hàm số thực ( )f x xác định trên ℝ

được gọi là hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) của X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1 ( ) 0f x ≥ với mọi x trong tập giá trị của X

i

i x

∑

3 ( )f xi =P X( =xi)

Khi xét biến ngẫu nhiên rời rạc và có tập giá trị hữu hạn thì hàm phân phối xác suất hoàn

toàn xác định bởi bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác xuất gồm hai hàng:

+ Hàng thứ nhất liệt kê các giá trị có thể x x1, , ,2 xn của biến ngẫu nhiên X

+ Hàng thứ hai liệt kê các xác xuất tương ứng p p1, , ,2 p n

1

nx1

np

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạcXcó tập giá trị hữu hạn {x x1, , ,2 xn} thì các biến cố

{X =x1} {, X =x2} {, , X =xn} sẽ lập thành một nhóm biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi một

p

=

=

∑

Ví dụ 5 Một kiện hàng gồm 8 chiếc máy vi tính giống nhau trong đó có 3 chiếc bị lỗi Một trường

học mua ngẫu nhiên 2 trong những chiếc máy vi tính này, tìm phân phối xác suất của số chiếc bị lỗi

Giải:

+ Gọi X là biến ngẫu nhiên mà các giá trị X của nó là số máy vi tính bị lỗi trường học đó mua

+ Khi đó tập giá trị của X là {0,1,2 }

0 2

3 5 2 8

328

b Hàm phân phối tích lũy

Hàm phân phối tích lũy ( )F x của biến ngẫu nhiên rời rạc X với phân phối xác suất ( )f x là hàm

Ví dụ 6 Một đại lý ô tô bán một loại xe nhập ngoại trong đó có 50% được trang bị túi khí Gọi Xlà

số xe được trang bị túi khí trong 4 xe sẽ được bán ra

a Tìm công thức của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

b Từ đó hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên X

Giải: + Ta có tập giá trị của X là {0,1, 2, 3, 4 }

+ Vì xác suất để bán được một chiếc ô tô có trang bị túi khí là 0,5 nên số kết quả đồng khả

năng trong không gian mẫu là 24 = 16

+ Do đó tất cả các xác suất đều có mẫu số là 16

+ Số cách bán được x chiếc xe có trang bị túi khí và (4−x) chiếc xe không được trang bị túi

khí là C4x, trong đó x ∈{0,1,2, 3, 4}

a Do đó hàm phân phối xác suất ( )f x =P X( =x) là:

4

( )16

165 khi 1 x 216

( )

11

1615

16

1 khi 4

xx

F x

xxx

Chú ý: Ngoài ra ta cũng mô tả hàm phân phối xác suất dưới dạng biểu đồ bằng cách:

+ Vẽ các điểm (x, f(x)), sau đó nối các điểm này đến trục Ox bởi một đường nét đứt hoặc một

đường liền nét ta được một biểu đồ hình cây

+ Thay vì vẽ các điểm (x, f(x)), bằng vẽ các hình chữ nhật sao cho đáy của chúng có bề rộng

bằng nhau và mỗi giá trị x được đặt chính giữa đáy, còn chiều cao của chúng bằng xác suất tương

ứng được cho bởi f(x), các đáy được vẽ sao cho không có khoảng trống giữa các hình chữ nhật Hình

đó được gọi là một biểu đồ xác suất

Hàm phân phối tích lũy rời rạc

2 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục ta không thể trình bày phân phối xác suất của nó dưới dạng

bảng vì tập giá trị của nó không thể viết được dưới dạng liệt kê Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục

nhận một giá trị cụ thể trong tập giá trị của nó thì bằng 0 Chẳng hạn xét biến ngẫu nhiên mà các giá

trị của nó là chiều cao của tất cả những người trên 21 tuổi Giữa hai giá trị bất kì, chẳng hạn 163,5 và

164,5 cm hay 163,99 và 164,01 cm có vô số các giá trị, một trong chúng là 164 cm Vì vậy có thể

coi xác suất để chọn ngẫu nhiên một người mà người đó cao đúng 164 cm là 0 Nhưng xác suất để

chiều cao của người đó nằm trong khoảng (163 cm, 165 cm) lại khác 0 Do đó đối với biến ngẫu

nhiên liên tục ta quan tâm tới xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một khoảng hơn là nhận

một giá trị xác định

Chúng ta sẽ tập trung tính các xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong các

khoảng khác nhau như P(a < X < b), P(W > c), … Chú ý rằng khi X là biến ngẫu nhiên liên tục thì:

P a <X ≤b =P a <X <b +P X =b =P a <X <b

Do đó việc có tính đến điểm cuối của đoạn hay không là không quan trọng Tuy nhiên khi X

là biến ngẫu nhiên rời rạc thì điều này không còn đúng nữa

Mặc dù không thể trình bày phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục dưới dạng bảng

nhưng chúng ta có thể mô tả nó bằng một công thức, đó là một hàm của các giá trị của biến ngẫu

nhiên liên tục X mà ta kí hiệu là ( )f x được gọi là hàm mật độ xác suất hay đơn giản là hàm mật độ

của X Do ta có thể sử dụng diện tích để mô tả xác suất và xác suất là một số dương nên hàm mật độ

phải nằm trên toàn bộ trục x

Dưới đây là một số hàm mật độ điển hình:

a)

0

1 3/4 1/2 1/4

F(x)

P a <X <b

Một hàm mật độ xác suất được xây dựng sao cho phần hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị

của nó, trục x và khoảng giá trị của X mà tại đó f(x) xác định có diện tích bằng 1 Tập giá trị của X là

một khoảng hữu hạn, nhưng ta có thể mở rộng nó thành một tập số thực bằng cách cho f(x) = 0 tại tất

cả các điểm trong những phần mở rộng của khoảng Ở Hình trên, xác suất để X nhận giá trị trong

khoảng (a, b) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm mật độ, trục x và các đường thẳng x

= a, x = b, nó được tính bởi tích phân sau:

Hàm mật độ xác suất ( )f x của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm số thực xác định trên tập số thực

ℝvà thỏa mãn xác điều kiện sau:

a) Chứng minh ( )f x thỏa mãn điều kiện 2 của Định nghĩa

b Hàm phân phối tích lũy

Hàm phân phối tích lũy ( )F x của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ ( )f x là hàm thực

Từ định nghĩa ta có ngay: P( a < X < b ) = F(b) – F(a)

3 Tính chất của hàm của hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất ( )F x của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:

i 0≤F x( )≤1, ∀ x

ii Hàm ( )F x là hàm không giảm, tức là x1 ≤x2 ⇒F x( )1 ≤F x( )2

iv Nếu ( )f x liên tục thì ta có: '( )F x = f x( ), ∀ x

x a

+

suất về bên trái của điểm x

Về nhà:

Tự đọc: Mục 3.4

Bài tập: Tr 75

Đọc trước các Mục 4.1, 4.2, 4.3, 5.3, 54 chuẩn bị cho Bài số 4 :

Đặc trưng của biến ngẫu nhiên Phân phối nhị thức và siêu bội

F(x)

-1

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

Bài số 4 ĐẶC TRƯNG CỦA BIÊN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÀ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

I KỲ VỌNG

Nếu tung hai đồng xu 16 lần và X là số mặt ngửa xuất hiện trong mỗi lần tung, thì các giá trị

của X có thể là 0, 1 và 2 Giả sử rằng khi thực hiện xong phép thử ta thu được:

+ Số lần mặt ngửa không xuất hiện là 4

+ Số lần chỉ có đúng một mặt ngửa xuất hiện là 7

+ Số lần cả hai mặt ngửa đều xuất hiện là 5

Khi đó số mặt ngửa xuất hiện trung bình trong mỗi lần tung là

bình một tháng của người bán hàng nào đó không hẳn bằng thu nhập ở một tháng cụ thể của người

ấy

Khi quan tâm tới biến ngẫu nhiên X nào đó, có những trường hợp ta muốn biết giá trị trung

bình của biến ngẫu nhiên X là bao nhiêu? Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên ấy còn gọi là kỳ

vọng của của nó

1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

a Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm phân phối xác suất là ( )f x Khi đó kỳ

vọng (giá trị trung bình) của Xlà một số thực ký hiệu là ( )E X ( hoặc µ) được xác định bởi

x

b Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) Khi đó kỳ vọng

(giá trị trung bình) của X là một số thực ký hiệu là E(X) được xác định bởi:

a Trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu tập giá trị {x x1, , ,2 xn, }của biến ngẫu nhiên là đếm

được nhưng có vô hạn phần tử thì kỳ vọng sẽ tồn tại nếu chuỗi

1

( )

i i i

Ví dụ 1 Một vị thanh tra chất lượng kiểm tra một lô hàng gồm 7 sản phẩm trong đó có chứa 4 chính

phẩm và 3 phế phẩm Ông ta lấy ra một mẫu gồm 3 sản phẩm Hãy tìm giá trị trung bình của số

chính phẩm trong mẫu

Giải: + Đặt X là số sản phẩm tốt trong mẫu, khi đó phân phối xác suất của X là:

3

4 3 3 7

Ví dụ 2 Tung ngẫu nhiên ba đồng xu Người chơi sẽ nhận được 5 USD nếu tất cả các đồng xu đều

sấp hoặc đều ngửa, và người chơi sẽ mất 3 USD nếu trong ba đồng xu có cả đồng xu xuất hiện mặt

sấp và đồng xu xuất hiện mặt ngửa Người chơi hi vọng sẽ kiếm được bao nhiêu tiền?

Giải: + Không gian biến cố sơ cấp cho phép thử tung ba đồng xu một cách đồng thời (hay tương

+ Gọi Y là số tiền mà người chơi sẽ đạt được Khi đó các giá trị mà biến ngẫu nhiên Y là:

5 USD nếu biến cố E1 = {NNN, SSS} xuất hiện: ( 1) 1

Hãy tính tuổi thọ trung bình của thiết bị điện tử loại này

Giải: + Tuổi thọ trung bình của thiết bị chính bằng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X và bằng:

2.Kỳ vọng của hàm các biến ngẫu nhiên

Như ta đã biết, khi X là một biến ngẫu nhiên và g =g t( )là một hàm nào đó thì ( )g X cũng là

một biến ngẫu nhiên Khi đó ( )g X có kỳ vọng là bao nhiêu?

Định lí 1. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là ( )f x và g =g t( ) là hàm số xác định

trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên X Khi đó kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ( )g X được xác định

= = ∫ , nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 4 Giả sử số lượng xe ôtô X đến cửa hàng rửa xe vào khoảng thời gian từ 4 giờ chiều đến 5

giờ chiều của một ngày thứ sáu khô ráo, là một biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất như

sau:

Đặt g(X) = 2X - 1 là số tiền (tính theo USD), mà người chủ cửa hàng phải trả cho nhân công rửa xe

Người công nhân rửa xe hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu tiền trong khoảng thời gian nói trên?

Giải: Số tiến người công nhân rửa xe có thể hy vọng nhận được(trung bình) là:

3 Một số tính chất

i) Với C là hằng: ( )E C = C

ii) Tính chất tuyến tính:

+ (E X +Y)=E X( )+E Y( )+ Với số thực k ta có: (E kX)=k E X ( )

iii) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì ta có: (E XY)=E X( ∩Y)=E X E Y( ) ( )

iv) Tính đơn điệu: Nếu X ≥ thì ( )Y E X ≥E Y( )

v) Nếu f là một hàm lồi và X là một biến ngẫu nhiên thì ta có:

( ( )) ( ( ))

E f X ≥f E X

Áp dụng trong Ví dụ 3: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là

khikhi

II PHƯƠNG SAI.

Giá trị trung bình hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một giá trị đặc biệt quan trọng trong

thống kê, nó chính là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến ngẫu nhiên, nó phản ánh giá trị trung

tâm của phân phối xác suất Tuy nhiên, với chỉ với con số đó ta chưa thể biết được đầy đủ thông tin

về phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Nhiều khi ta quan tâm tới mức độ phân tán các giá trị của

biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình

Để đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên X nào đó xung quanh giá trị trung bình

của bình phương sai số, và đại lượng đó được gọi là phương sai: đó là số thực để đo sự phân tán

của biến ngẫu nhiên X và kí hiệu là Var( )X hoặc là 2

X

σ , hoặc là 2

σ khi biến ngẫu nhiên đã rõ ràng

Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất ( )f x và kỳ vọng là µ Phương sai

của X là một số thực được xác định bởi:

Ví dụ 6 Gọi X là biến ngẫu nhiên biểu thị số xe ôtô được sử dụng cho mục đích kinh doanh chính

thức trong một ngày làm việc nào đó Phân phối xác suất của X tại công ty A là:

Hãy chỉ ra rằng phương sai của phân phối xác suất tại công ty B là lớn hơn so với tại công ty A

Giải: + Tại công ty A, ta tính được

Ví dụ 7 Gọi X là biến ngẫu nhiên biểu thị số thiết bị hỏng trong một hệ thống gồm 3 thiết bị được

kiểm tra của một chiếc máy Phân phối xác suất của X như sau:

Ví dụ 8 Nhu cầu hàng tuần đối với Pepsi, theo đơn vị 1000 lít, tại một chuỗi các cửa hàng ở một địa

phương nào đó, là một biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất như sau

2( 1), (0;2)( )

Hãy tìm kỳ vọng và phương sai của X

Giải: + Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên cần tìm là:

Chú ý Phương sai hay độ lệch chuẩn chỉ có ý nghĩa khi ta so sánh hai hay nhiều phân phối có cùng

đơn vị đo Do đó, ta chỉ có thể so sánh phương sai của các biến ngẫu nhiên cùng loại, cùng có đơn vị

đo

2 Phương sai của hàm các biến ngẫu nhiên

Ta sẽ mở rộng khái niệm phương sai của một biến ngẫu nhiên cho hàm của biến ngẫu nhiên

X Giả sử g =g t( ) là hàm số xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên X, khi đó ( )g X cũng

là một biến ngẫu nhiên và phương sai của nó sẽ được kí hiệu là 2

Ví dụ 9 Tính phương sai của biến ngẫu nhiên g(X) = 2X + 3, trong đó X là biến ngẫu nhiên với phân

phối xác suất như sau

Thông thường, các quan sát thu được từ những thí nghiệm mang tính thống kê khác nhau đều

có cùng kiểu đặc tính chung Do đó các biến ngẫu nhiên liên kết với các phép thử, về bản chất, có thể

được mô tả bởi cùng một phân phối xác suất vì thế có thể được biểu thị bởi chỉ một công thức Như

vậy, trong tính toán, ta chỉ cần một số phân phối xác suất quan trọng để mô tả nhiều biến ngẫu nhiên

III Phân phối nhị thức và phân phối đa thức

1.Phân phối nhị thức

a Phép thử Bernoulli

Một thí nghiệm thường bao gồm nhiều phép thử được lặp đi lặp lại, mỗi phép thử với hai

biến cố, ta có thể đặt tên cho chúng là biến cố thành công và biến cố thất bại Chẳng hạn, khi rút

(theo phương thức hoàn lại) các quân bài liên tiếp từ một bộ bài tú lơ khơ và mỗi lần rút được coi là

thành công hay thất bại tuỳ thuộc vào việc quân bài rút được có phải là quân cơ hay không Khi mỗi

quân bài được hoàn lại và xáo cỗ bài trước khi rút quân tiếp theo, cả hai lần rút quân bài đều có các

tính chất tương tự nhau, đó là các phép thử độc lập và xác suất thành công trong mỗi phép thử đều

bằng nhau Quá trình vừa được đề cập đến được gọi là quá trình Bernoulli và mỗi phép thử trong

quá trình đó được gọi là phép thử Bernoulli

Định nghĩa Phép thử Bernoulli là một quá trình thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:

1 Một thí nghiệm gồm n phép thử cùng loại được lặp đi lặp lại

2 Mỗi biến cố của một phép thử được phân loại theo biến cố thành công hoặc biến cố thất bại

3 Xác suất thành công trong mỗi phép thử đều bằng nhau và được kí hiệu là p

4 Các phép thử là độc lập

b Phân phối nhị thức

Định nghĩa Số lần thành công X trong n phép thử Bernoulli được gọi là biến ngẫu nhiên nhị

thức Phân phối xác suất của BNN rời rạc này được gọi là phân phối nhị thức Xác suất được kí

hiệu là b(x; n; p) - bởi vì nó phụ thuộc vào số phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép thử

Công thức tính: Cho phép thử Bernoulli với xác suất thành công là p và thất bại là q = − 1 p

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức X (số lần thành công trong n phép thử độc lập), là

+ Đây là một phép thử Bernoulli với 4; 3

Ví dụ 11 Xác suất để một bệnh nhân sống sót sau khi mắc một loại bệnh hiếm thấy về máu là 0,4

Nếu biết rằng đã có 15 người mắc loại bệnh này, tìm xác suất để:

2 Phân phối đa thức

Ví dụ: + Sự phân loại sản phẩm của một dây chuyền sản xuất dựa vào việc sản phẩm nặng, nhẹ

+ Việc rút lần lượt từng quân bài từ một bộ bài tú lơ khơ theo phương thức có hoàn lại và ta quan

tâm đến việc rút được chất nào (rô, cơ, bích, nhép) Đó là các phép thử đa thức

Nếu một phép thử có k kết cục E1, E2, …,Ek với xác suất tương ứng là p1, p2,…, pk, thì phân phối đa

thức sẽ cho ta xác suất để E1 xuất hiện x1 lần, E2 xuất hiện x2 lần,…,Ek xuất hiện x k lần trong n

phép thử độc lập, trong đó : x1 +x2 +⋯+xk =n

Ta kí hiệu phân phối xác suất đồng thời này là : f x x( , , , ; , , ,1 2 x p pk 1 2 p nk, )

Dễ thấy, p1 +p2 +⋯+pk =1, vì các kết quả của phép thử phải là một trong k kết cục có thể

thì phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X X1, 2, ,Xk biểu thị số lần xuất hiện của E1, E2,

…,Ek tương ứng, trong dãy n phép thử độc lập là

Ví dụ 12 Tung một cặp xúc xắc 6 lần, tính xác suất để: tổng số chấm xuất hiện là 7 hoặc 11 xuất

hiện hai lần, số chấm trên hai con là như nhau xuất hiện một lần, và các trường hợp còn lại xuất hiện

+ Các giá trị này là như nhau ở cả 6 lần tung

+ Dùng phân phối đa thức với x1 = 2, x2 = 1, và x3 = 3, ta được xác suất cần tìm

2,1,3 6

IV PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Các kiểu ứng dụng phân phối siêu bội tương tự như phân phối nhị thức: quan tâm đến việc

tính các xác suất của số lượng các kết cục rơi vào một kiểu đặc biệt

Trong trường hợp phân phối nhị thức: các phép thử là độc lập Như vậy, chỉ dùng được phân

phối nhị thức khi mẫu được lấy từ tổng thể có số lượng đông đảo (bộ bài, các sản phẩm từ một dây

chuyền sản xuất), việc lấy mẫu phải được tiến hành theo phương thức có hoàn lại

Trong khi đó, phân phối siêu bội không đòi hỏi tính độc lập của các phép thử và do đó việc

lấy mẫu là theo phương thức không hoàn lại

Phân phối siêu bội được áp dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt được sử dụng rộng rãi trong

việc lấy mẫu chấp nhận, thí nghiệm điện tử, lấy mẫu kiểm tra để đảm bảo chất lượng Rõ ràng, với

nhiều lĩnh vực việc kiểm định đánh giá chất lượng rất tốn kém và phung phí khi ta phải phá bỏ đối

tượng được kiểm tra và do đó không thể hoàn trả lại tổng thể Vì thế, việc lấy mẫu không hoàn lại là

cần thiết

Ví dụ: Rút quân bài từ bộ bài tú lơ khơ Ta muốn tính xác suất để rút được 3 quân đỏ trong 5 quân

bài được rút ngẫu nhiên từ bộ bài gồm 52 quân, phân phối nhị thức không thể áp dụng được, trừ khi

mỗi quân bài được hoàn lại sau khi rút và quan sát sau đó xáo lại bài trước khi rút quân tiếp theo

1 Định nghĩa. Khi chọn ngẫu nhiên một mẫu cỡ n từ N phần tử, ta quan tâm đến xác suất để chọn

được x phần tử thành công Phép thử kiểu này được gọi là phép thử siêu bội, nếu nó thỏa mãn hai

tính chất sau:

1 Một mẫu cỡ n được chọn ngẫu nhiên theo phương thức không hoàn lại từ Nphần tử

2 Trong N phần tử đã định rõ k phần tử là thành công và N – k phần tử còn lại là thất bại

Số phần tử thành công X trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội được gọi là phân phối siêu bội và các giá trị của nó

được kí hiệu là (P X =x)=h x N n k( ; , , )

Ví dụ 13 Một uỷ ban gồm 5 người được chọn ngẫu nhiên từ 3 nhà hóa học và 5 nhà vật lí Tìm phân

phối xác suất của số lượng nhà hoá học được chọn

+ Do đó:

5

3 5 5 8

mẫu cỡ n được chọn ngẫu nhiên từ N phần tử) trong đó có k phần tử là thành công và N – k phần tử

được đặt thất bại, được xác định bởi công thức:

x n x

k N k n N

Ví dụ 14 Mỗi lô gồm 40 sản phẩm được coi là chấp nhận được nếu chứa không quá 3 phế phẩm

Biện pháp lấy mẫu là chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm trong lô để kiểm tra và loại lô hàng nếu có một

phế phẩm Tính xác suất để có đúng 1 phế phẩm được tìm thấy trong mẫu nếu trong lô hàng có 3 phế

phẩm?

+ Sử dụng phân phối siêu bội với n = 5, N = 40, k = 3 và x =1 ta tìm được xác suất nhận được

một phế phẩm là :

1 4

3 37 5 40

Ví dụ 15 Tìm trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 14

Giải: + Trong Ví dụ 14 ta gọi X là số phế phẩm tìm thấy: đây là BNN siêu bội

+ Khi đó áp dụng công thức với N = 40, n = 5, và k = 3 ta có: (5)(3) 3 0, 375

Chú ý: Nếu N đã được chia thành k tập đôi một không giao nhau A1, A2, …, Ak với số lượng phần tử

tương ứng là a1, a2, , ak , thì phân phối xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên X1, X2,…, Xk -

số lượng phần tử của A1, A2, ,Ak tương ứng trong mẫu cỡ n - là

Đọc trước các Mục 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 8.1, 8.2, 8.4 chuẩn bị cho Bài số 5 :

Phân phối chuẩn Một số thống kê mẫu quan trọng