BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S NGUYỄN HÒANG ANH KHOA

Vi phân cấp cao Định nghĩa vi phân cấp cao Vi phân cấp hai của hàm số fx tại một điểm nào đó nếu có là vi phân của df vi phân df bây giờ được gọi là vi phân cấp một, nếu ký hiệu vi phân

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

  

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

Th.S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 09 năm 2014

CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn của dãy số

Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n)

Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3; ; un;

Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un)

1.1.2 Giới hạn của dãy số

Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lí 3

Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ

Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ

Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ Khi đó, ta có:

i) lim(an  bn) = liman  limbn

ii) lim(anbn) = liman.limbn

iii) Nếu limbn  0 thì n n

lim

b  lim biv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn

Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn và liman = limcn = L thì limbn = L

x được gọi là biến độc lập

y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x

X được gọi là tập xác định của hàm f

Quy ước

Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x)

Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa

5) Các hàm lượng giác ngược

a) Hàm số sin :  

2

; 2

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 0

0

 

 

  i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0

ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì

ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì

f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b)

f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và

Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó

Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b]





1.3 Xét tính liên tục các của hàm số:

a)

2

1 cosx

, x 0x

f (x)

1

, x 02

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ

2.1 Đạo hàm của hàm một biến

Nhận xét: Nếu đặt x = x – x0 thì biểu thức định nghĩa trở thành

2.1.3 Đạo hàm của hàm số ngược

Định lí: Giả sử f: (a; b)(c; d) là một song ánh liên tục, g = f1: (c; d) (a; b) là hàm số ngược của nó, đặt y0 = f1(x0) Nếu f có đạo hàm tại y0(a; b) và f’(y0) 0 thì f1có đạo hàm tại x0 và

1 0

Tương tự như vậy, ta có

(b) y = arccosx có đạo hàm y’ =

1 x(d) y = arctanx có đạo hàm y’ = 1

2.1.3 Đạo hàm của các hàm cơ bản

2 2

sin x ' cos x

cos x ' sin x

1tan x ' 1 tan x

cos x

1cot x ' 1 cot x

2 2

sin u ' u '.cos ucos u ' u '.sin u

u 'tan u ' u ' 1 tan u

cos u

u 'cot u ' u ' 1 cot u

1 x1arccos x '

1 x1arc tan x '

1 x1arccot x '

1 u

u 'arccos u '

1 u

u 'arc tan u '

1 u

u 'arccot u '

Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trong khoảng (a, b), giả sử f(x) khả vi tại mọi điểm x  (a, b); khi đó, hàm đạo hàm f’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), kí hiệu f’’(x), cứ tiếp tục suy diễn như thế chúng ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp n

Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b), f(x) được gọi là khả vi n lần trong (a, b) nếu f là khả vi (n–1) lần trong (a; b) và đạo hàm cấp (n–1) của f cũng khả vi Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức:

Ví dụ 3: Chứng minh

a)  x (n ) x

n 1 (n )

Vậy df (x)=f’(x)x

Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx=(1).x, nghĩa là dx=x Do vậy công thức

vi phân có thể viết dạng

df(x) =f’(x)dx 2.2.2 Vi phân cấp cao

Định nghĩa vi phân cấp cao

Vi phân cấp hai của hàm số f(x) tại một điểm nào đó (nếu có) là vi phân của df (vi phân df bây giờ được gọi là vi phân cấp một), nếu ký hiệu vi phân cấp hai là d2f, thì theo định nghĩa

d2f(x) = d(df(x)) Tổng quát, vi phân cấp n của y=f(x), kí hiệu là dny hay dnf(x) là vi phân của vi phân cấp (n –1): dny = d(d dn–1y)

công thức trên gọi là công thức Mac Laurin

Hơn nữa, nếu M sao cho |f(n+1)(x)| < M, x(a,b) Khi x  0, ta có

lim u(x) e 



2 1

lim 1

h)

x x

2

2lim

x x

x x

lim

12.2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x0 = 0 (nếu có)

a)

x x x

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

3.1 Nguyên hàm, tích phân bất định

3.1.1 Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), hàm số F(x) xác định trong (a, b) gọi

là một nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x(a, b)

3

x

x4

3

x

10 x4

với A, B là hai hằng số tùy ý

b Phương pháp đổi biến số

Trong nhiều trường hợp, khi tính  f x dx( ) ; nếu để biến tích phân là x thì không

thấy được tích phân cần tính đó gần với dạng tích phân cơ bản nào (để có thể áp dụng được tích phân cơ bản), khi đó ta tìm cách đổi sang biến mới, để hy vọng với biến mới thì tích phân cần tính gần với tích phân cơ bản hơn Không có một quy tắc cụ thể nào giúp ta thực hiện phép đổi biến thích hợp được, tuy nhiên cũng có thể phát biểu một cách tổng quát về quy tắc của phép đổi biến, đó là mệnh đề: Mệnh đề

Nếu biết rằng g(t)dt = G(t) + C thì g(w(x))w (x)dx' = G(w(x)) + C

(trong đó các hàm số g(t), w(x), w’(x) đều được giả thiết là những hàm số liên tục) Trong nhiều trường hợp, để tiện lợi, ta thường thực hiện phép đổi biến t: = w(x), và khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành

f(x)dx = g(w(x))w’(x)dx Khi đó tìm được nguyên hàm G(t), chỉ cần thay t bởi w(x) và ta có:

Đặt u = x, dv = cosxdx; ta có: du = dx; v = sinx và được:

I = xsinx – sin xdx= xsinx + cosx + C

iv) Tính I = (3x 1)e dx x

Đặt u = 3x +1, dv = exdx; ta có: du = 3dx; v = ex

I = (3x+1)ex – 3e dxx = (3x+1)ex – 3ex + C = (3x – 2)ex + C

3.1.5 Tích phân của một số hàm thường gặp

a Tích phân của hàm hữu tỷ

- Tích phân của các phân thức đơn giản



  Khi đó tích phân dạng III sẽ là

(a) Phân tích

2

2 6 ( 1)( 2)( 4)

1 ( 1) ( 3)

b Tích phân các biểu thức lượng giác

Giả sử cần tính tích phân I = R(sin , cos )x x dx trong đó R(u, v) là một biểu thức hữu

tỷ đối với u và v, nghĩa là khi tính giá trị của R(u, v) chỉ cần thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân và chia đối với các biến:

1 1

Định lí 1 Nếu f(x) liên tục trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]

Định lí 2 Nếu f(x) bị chặn trong [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]

Định lí 3 Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a, b] thì khả tích trong [a, b]

g x dx



f x dx

 + ( )

b c

f x g x dx

b a

f x g x dx

b a

g x dx

 , a  c  b

 , với f(x) liên tục trong [a, b]

Giả sử thực hiện phép đổi biến x = (t) thỏa:

(1) (t) có đạo hàm liên tục trong   , 

4 x dx

 (Hd: Đặt x:= 2sint) Định lí (Đổi biến t:= (x))

Xét tích phân

b

a

f (x)dx

 , với f(x) liên tục trong [a, b]

Nếu phép đổi biến t:=(x) thỏa:

(1) (x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b]

(2) f(x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng đóng [(a), (b)] thì:

( )

b a

cos

1 sin

x dx x

0 1

dt t

d uv

 =

b a

udv

 +

b a

vdu



lim f (x)dx

 thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số

f(x) trong khoảng [a, +) và ký hiệu

3.3.2 Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn

 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

ii) Nếu k=0 thì tồn tại c(a;b] sao cho f(x) k.g(x),x(a;c] (kết luận như định lí) iii) Nếu k=+ thì tồn tại c(a;b] sao cho f(x)≥ k.g(x),x(a;c] (ngược với định lí)

21

CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 4.1 Ma trận

Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không

Ma trận không ký hiệu là O m n hay O khi cấp của ma trận đã được chỉ rõ

D =

1 2

n

d 0 0

0 d 0

iv) Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi cấp n đã được chỉ rõ), là

ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 Vậy

I =

1 0 0

0 1 0

7 5

7 3 5 2

10 7

Tính chất

2 7 2

4 2 3 2

b b

2 1

và có thể nói tắt: cij bằng hàng i của A nhân với cột j của B

  là ma trận cấp m  n trên R Ta gọi là chuyển vị của A, kí hiệu

At, một ma trận cấp n  m trên R có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng của At:

Ta chú ý đến các phần tử a ij, bỏ đi hàng i và cột j ta thu được ma trận chỉ còn n – 1 hàng và n – 1 cột, tức là ma trận cấp n – 1 Ta kí hiệu nó là M ij và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử a ij

6 5

 – 2

9 7

6 4



+ 3

8 7

5 4

Tính chất 3 Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Tính chất 4 Khi ta cộng bội k của một hàng vào một hàng khác (hay bội k của một cột vào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thức cũ

Tính chất 5 (Về các định thức có dạng tam giác) Các định thức có dạng tam giác bằng tích các phần tử chéo:

4.2.3 Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

Bước 1 Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng tìm cách đưa dần định thức đã cho về dạng tam giác

Bước 2 Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu được

(i) Tồn tại ít nhất một định thức con khác không cấp r của A

(ii) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) đều bằng không Nói cách khác, hạng của ma trận A  O chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của nó

Tính chất

Từ định nghĩa hạng của ma trận, dễ dàng suy ra 0rank(A)min{m, n}, với mọi

ma trận A cấp m  n

Định lí

Cho A là một ma trận cấp m  n trên K và B là ma trận nhận được từ A bằng một

số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp Khi đó: rank(A) = rank(B) Nói cách khác, hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp

Ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu có là duy nhất

Định lí

Nếu A khả đảo tức là có nghịch đảo A1 thì det(A)  0

được gọi là ma trận hệ số của hệ (1) Hạng của ma

trận hệ số A cũng được gọi là hạng của hệ (1)

gọi là ma trận các hệ số tự do, hay vắn tắt là cột tự do của hệ (1) Ma trận

A có được bằng cách ghép thêm cột tự do B vào bên phải ma trận hệ số A

n

x x X x

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình của n ẩn số được gọi là

hệ Cramer, nếu ma trận hệ số của nó không suy biến

2 2

3 3

Tính chất: Các phép biến đổi sơ cấp đối với Abs = [A|B] không là thay đổi nghiệm của hệ phương trình

Phương pháp Gauss

B1: Dùng biến đổi sơ cấp đưa Abs về dạng bậc thang

B2: Dùng phương pháp thế giải nghiệm

b) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)

4.3 Giải các hệ phương trình tuyến tính

x

3

1 z 2

y

x

1 t 2 z y

2

x

2

5 t z

y

x

CHƯƠNG 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

5.1 Các khái niệm

5.1.1 Định nghĩa hàm hai biến

Xét không gian R2 Một phần tử uR2 là một bộ 2 số thực (x;y) D là một tập hợp trong R2 Ánh xạ f: D  R gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D

D được gọi là miền xác định của hàm số

x; y được gọi là các biến số độc lập

5.1.2 Miền xác định

Ta quy ước rằng nếu hàm số f được cho bởi biểu thức z = f(x;y) mà không nói gì thêm về miền xác định của nó thì miền xác định của u được hiểu là tập hợp tất cả các điểm M(x;y) sao cho biểu thức f(x;y) có nghĩa

o 0

Giới hạn này không tồn tại, bởi vì các dãy

12

 , f( x’n, y’n) = 3

1n

5.3.2 Vi phân

Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x;y) xác định trên D mở, M0(x0;y0), M(x0+x;y0+y)  D

Nếu có thể biểu diễn số gia toàn phần z = f(x0+x;y0+y) – f(x0;y0) dưới dạng

         , trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc x0;y0, còn ,

  dần tới 0 khi M  M0 thì ta nói rằng hàm số z là khả vi tại M0, còn biểu thức

A x B y được gọi là vi phân toàn phần của z = f(x, y) tại M0 và được ký hiệu

do đó dz(x0;y0)=fx’(x0;y0)dx + fx’(x0;y0)dx

5.3.3 Đạo hàm cấp cao Định lí Schwarz

Cho hàm số hai biến số z = f(x, y) Các đạo hàm riêng ' '

,

x y

f f là những đạo hàm riêng cấp một Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:

Xét hàm số z = f(x, y) Vi phân toàn phần của nó ' '

5.4 Cực trị

5.4.1 Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong một miền D nào đó, M0 là một điểm trong D

Ta nói rằng f(x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong một lân cận nào đó của M0, nhưng khác M0, hiệu số f(M) – f(M0) có dấu không đổi

5.5 Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm hai biến

Bài toán: Tìm GTLN, NN của hàm z = f(x;y) trên miền D đóng, bị chặn

Phương pháp:

Bước 1: Tìm các điểm dừng ở phần trong của D, tính giá trị của f tại các điểm dừng đó

Bước 2: Tìm giá trị LN, NN trên biên của D

Bước 3: So sánh bước 1, 2  kết luận

Ví dụ: Tìm GTLN, NN của hàm f(x;y) = x2 + y2 – 2y trên miền D giới hạn bởi hai đường y = x2 và y = x + 2

Bài tập chương 5

5.1 Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số

a) f(x;y) = x4 + y4 – 4xy + 1 b) f(x;y) = 3x2y – 3x2 – 3y2+ 2 c) f(x;y) = x2 + y2 – 2lnx – 18y, x>0,y>0 d) f(x;y) = x3 + y3 – 9xy

5.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x, y) = x – 2y + 5 trên miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = 1

5.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x, y) = 1 + xy – x – y trên miền đóng D giới hạn bởi các đường y = x2, y = 4

CHƯƠNG 6 TÍCH PHÂN HAI LỚP

6.1 Định nghĩa

6.1.1 Bài toán thể tích của vật thể hình trụ

Giả sử z = f(x, y) là một hàm số xác định, liên tục, không âm trong một miền D đóng, bị chặn, có biên L trong mặt phẳng Oxy Hãy tính thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên L

Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ Gọi tên và cả diện tích của các mảnh đó là S1, S2, , S n Lấy mỗi mảnh nhỏ ấy làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với Oz và về phía trên giới hạn bởi mặt z

= f(x, y) Như vậy vật thể hình trụ đang xét được chia thành n vật thể hình trụ nhỏ Trong mỗi mãnh nhỏ S i, lấy một điểm tùy ý M x y i( ,i i) Tích f x y( ,i i) S i bằng thể tích của hình trụ thẳng có đáy S i và chiều cao f x y( ,i i), nó khác rất ít thể tích V i

của vật thể hình trụ nhỏ thứ i nếu mảnh S i có đường kính khá nhỏ, vì hàm số f(x, y) liên tục Vậy có thể xem thể tích V của vật thể hình trụ xấp xỉ bằng

Cho hàm số f(x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ Gọi các mảnh đó và cả diện tích của chúng là







được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x, y) trong miền D

Nếu khi n  sao cho max d  i 0 mà In dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm M i trong mỗi mảnh S i, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân hai lớp của hàm số f(x, y) trong miền D và được ký hiệu là

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm số f(x, y) liên tục trong miền bị chặn, đóng D thì nó khả tích trong miền ấy

Nếu f(x, y) liên tục, không âm  ( , )x y D thì tích phân hai lớp (1) bằng thể tích vật thể hình trụ Vậy:

S là diện tích của miền D

6)Nếu f(x, y) liên tục trong miền D đóng, bị chặn thì trong D có ít nhất một điểm

song song với Oz, ở phía trên giới hạn bởi mặt z = f(x, y) ở phần giải tích một biến

số, ta lại biết rằng thể tích ấy bằng

d c

2

2 1

1 2

x x

S x dx

 , trong đó S(x) là diện tích của hình thang cong mà đáy là

đoạn [y1(x), y2(x)], cạnh cong có phương trình là z = f(x, y), do đó

S(x) =

2

1

( ) ( )

( , )

y x b

a y x

 

+ Nếu miền D được xác định bởi c  y d, x1(y)  x  x2(y), trong đó x1(y), x2(y)

là những hàm số liên tục trên đoạn c d,  thì ta có

( , )

x y d

 x  b, c  y d Gọi M, N, P, Q là giao điểm của L với biên của hình chữ nhật Các điểm M, P chia L thành hai cung MNP, MQP có phương trình theo thứ tự là y

= y1(x), y = y2(x) Các điểm N, Q chia L thành hai cung NMQ, NPQ có phương trình theo thứ tự là x = x1(y), x = x2(y) Trong trường hợp này có thể tính

( , )

x y d