ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƢƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC GIẢI TOÁN SƠ CẤP TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Khi gặp một bài toán mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khăn thì ta nên xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp tương tự hay tổng quát của nó vì có thể xét bài toán theo các khía cạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐOÀN VĂN AN

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ,

TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1: TS Lê Hải Trung

Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải toán sơ cấp ở bậc học phổ thông là một hoạt động quan trọng Chúng ta biết rằng không phải bài toán nào cũng có thể giải được một cách dễ dàng Khi gặp một bài toán mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khăn thì ta nên xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp tương tự hay tổng quát của nó vì có thể xét bài toán theo các khía cạnh đó lại dễ hơn và từ các trường hợp đó ta suy ra cách giải bài toán ban đầu

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa, đó là những thao tác tư duy có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa hiện nay chưa được rèn luyện đúng mức trong dạy học ở trường phổ thông

Việc áp dụng trong lượng giác; trong hình học; chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức; vào việc giải toán sơ cấp ngày càng phát triển, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học toán, vận dụng toán vào cuộc sống, tạo hứng thú đối với những học sinh yêu thích toán học, đam

mê sự sáng tạo, tìm tòi cho môn toán

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương

tự trong dạy học toán và dạy học trong lượng giác, trong hình học chứng minh bất đẳng thức

- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc

biệt hoá và tương tự cho học sinh vào giải toán trong lượng giác; trong hình học; chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức; một số dạng toán khác hay gặp trong bậc phổ phổ thông

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá để giải bài toán sơ cấp ở phổ thông

- Một số bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức.(Đại số)

- Một số bài toán về lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tổng hợp từ sách, báo, tài liệu có đề cập đến khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hóa, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chí giáo dục,

5 Đóng góp của đề tài

ây dựng, hệ thống đề xuất một số biện pháp nhằm áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa cho học sinh phổ thông chứng minh về một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức, lượng giác và hình học, một số dạng toán thường gặp ở bậc phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, hai chương và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá

Chương 2 Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá trong việc giải toán sơ cấp vào chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, lượng giác, hình học và các dạng thường gặp khác bậc phổ thông

CHƯƠNG 1 KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ

1.1 CÁC KHÁI NIỆM

1.1.1 Khái quát hóa

Theo G Pôlya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” 3, tr.21 

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn

Bá Kim, Vũ Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” 7, tr.31

Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa, khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang về nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu

hệ thức lượng trong tam giác thường Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng cho n số tùy ý,

1.1.2 Đặc biệt hóa

1.1.3 Tương tự hóa

1.2 VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SƠ CẤP 1.2.1 Vai trò khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự hóa trong việc giải toán sơ cấp

Trong toán học, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trở thành một phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa có thể vận dụng để mò mẫm dự đoán kết quả bài toán, tìm phương hướng giải bài toán, để

mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

Khi giải một bài toán, phương pháp chung là đưa nó về một bài toán đơn giản hơn sao cho khi giải bài toán này thì có thể giải được bài toán đã cho Khi đó các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa có nhiều tác dụng

Trong lịch sử toán học, có những bài toán mà suốt hàng chục năm, thậm chí hàng trăm năm biết bao thế hệ các nhà toán học trên thế giới với bao công sức chỉ mới giải được một số trường hợp đặc biệt

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được

1.2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Trong tam giác, tính chất của của ba đường cao; đường trung

tuyến; đường phân giác trong một tam giác Một đặc điểm mà ai cũng biết là ba đường cùng loại xuất phát từ ba đỉnh của tam giác, đồng quy tại một điểm lần lượt được gọi là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác Suy ra chúng có điều gì đó chung! Sau đây ta xét các trường hợp đặc biệt đó

a ét giao điểm ba đường trung tuyến:

B1

A1

C1

C B

c Xét giao điểm ba đường cao

Xét các cặp tam giác đồng dạng sau:

B1

A1

C 1

C B

A

Vậy (1.1) cũng đúng với trường hợp ba đường cao

d Bài toán tổng quát

Từ 3 trường hợp trên ta có bài toán tổng quát hơn như sau :

- Bài toán tổng quát : Nếu A1, B1, C1 là ba điểm lần lượt thuộc

ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho AA1, BB1, CC1 đồng quy thì:

Việc tổng quát hóa này giúp cho ta rất nhiều trong một số bài

toán chứng minh đồng quy

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được

Ví dụ 3:

+ Xét bài toán sau:

Cho , a b  0 Chứng minh rằng: a +b3 3a b+b a.2 2 (1.11) Chúng ta có thể giải bài toán này theo 2 cách sau:

Cách 1

Ta có

a Bài toán tương tự hóa, ta có bài toán

Theo hướng khai thác đó ta có thể khái quát hóa bài toán tổng

quát như sau:

Cho n số dương a a1, , ., 2 a3 a , n m k,  , mk Chứng minh rằng:

-1m 2m m 1k 2m k 2k 3m k m 1m k

a a  a a a a a  a a (1.11.9) Bằng những cách làm đó ta có thể hướng học sinh độc lập suy nghĩ để không ngừng rèn luyện trí thông minh và sự sáng tạo

Ta có thể sáng tạo được bất đẳng thức (1.11.1), (1.11.2), (1.11.3), (1.11.4), (1.11.5), (1.11.6), (1.11.7) từ bài toán ban đầu bất đẳng thức (1.11) Đối chiếu sự tương ứng giữa các bất đẳng thức tìm

ra dấu hiệu bản chất của chúng để xây dựng được bài toán tổng quát

Từ đó bằng khái quát hóa để được bất đẳng thức (1.11.4), (1.11.5) và (1.11.9) ta thấy mức độ khái quát hóa ở đây tăng dần

Tính sáng tạo sẽ phát triển cao hơn nếu ta biết đề xuất và giải quyết các bài toán mới từ những bài toán đã biết

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ

HOÁ TRONG VIỆC GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1 MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

2.1.1 Giới thiệu tóm tắt lý thuyết về bất đẳng thức

2.1.2 Một số vận dụng trong đẳng thức và bất đẳng thức Bài toán 1:

Xét bài toán ban đầu:

Cho a, b dương thỏa mãn a b 1, chứng minh rằng:

+ Phát trển bài toán ban đầu (2.1):

Giả thiết của bài toán là tổng của hai số dương bằng 1 Với

cách nhìn đó ta thử tăng thêm số lượng biến trong bài toán sao cho

các biến vẫn ràng buộc với nhau bởi điều kiện có tổng bằng 1 Ta

sáng tác được các bài toán sau:

+ Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b c 1, khi đó ta có:

Từ đó có thể khái quát hóa bài toán với n ( n *) số dương tùy ý

+ Cho n số dương tùy ý a a1, , ., 2 a3 a thỏa mãn n

1 1

n i i

a k





 thì ta có bất đẳng thức tổng quát hơn

a

Ta có thể xây dựng được bất đẳng thức trên bằng cách thay

số 2 ở trong bất đẳng thức bởi một tham số α bất kì với α 1 Khi

đó ta có bài toán:

+ Cho n số dương tùy ý a a1, , ., 2 a3 a thỏa mãn n

1

n i i

Thông qua bài toán này ta thấy việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau sẽ giúp ta khai thác và mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau

+ Hướng dẫn giải (2.6.1) ta xét bài toán đơn giản hơn:

“Cho x,y là hai góc không âm, không vượt qua 180 0

Áp dụng kết quả này cho các góc (A,B);(C,D); ,

Vì bài toán ban đầu là trường hợp đặc biệt của bài toán này nên

ta cũng có ngay kết quả của bài toán ban đầu hoặc cũng có thể chỉ ra lời giải bài toán ban đầu như cách giải của bài toán khái quát Như vậy, để tìm lời giải cho bài toán ban đầu ta đã sử dụng linh hoạt các bài toán phụ đặc biệt hóa khái quát hóa

Bài toán 9:

Bài toán ban đầu: Chứng minh rằng trong mọi ABC ta có:

cosA +cosB + cosC  3

Biểu thức cuối cùng luôn đúng

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Biến đổi vế trái (2.9)

cosAcosB.1 cos( A B )cosAcosB.1 sin sin A Bcos cosA B

Và còn nhiều cách giải nữa

Khi A, B, C là ba góc của tam giác thì

2

AB

, 2

BC

, 2

CA

cũng là ba góc của một tam giác nào đó Suy ra:

cos2

B

+ sin 2

C  3

2 (2.9.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

CA

=3

cos cos cos

1cos cos cos

3

18

cos A cos B cos C

cos A cos B cos C

Với mọi ABC nhọn, m, n  N *

Vẫn từ bài toán ban đầu (2.9), sử dụng định lý hàm cosin, tacó:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3278

a b c

m m m  R (2.9.22)

Từ (2.9.18) kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có:

2 2 23

Từ (2.9.24) áp dụng bất đẳng thức Cauchy, tacó:

3 3sin sin sin

“Chứng minh rằng tổng số các khoảng cách từ bất kỳ một điểm

nào trong tam giác đều tới các cạch của nó là không đổi”

Giải quyết bài toán không phải đơn giản, ta không biết được tổng các khoảng cách đó là gì? Để tính được tổng đó ta lấy một trường hợp riêng: chọn điểm đó trùng với đỉnh của tam giác Dễ dàng

nhận thấy tổng đó bằng đường cao của tam giác đều

Vấn đề bây giờ là chứng minh tổng số các khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến các cạnh của tam giác đều bằng đường cao

Khó khăn tiếp theo là làm sao liên hệ được tổng ba khoảng cách ấy với đường cao Để giải quyết ta tiếp tục xét trường hợp riêng

sau: Điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác:

Lúc này ta chỉ cần tính MIMJ vì d M AC  , 0. Từ M vẽ

MN // BC, NBC Gọi O = MN AH Rõ ràng AMN đều  MJ

= AO

Mặt khác MI = OH, nên MI + MJ = OH + AO = AH

Từ những trường hợp đặt biệt đó ta bước vào trường hợp tổng

Vậy có thể chứng minh được bài toán: “Tổng khoảng cách từ

một điểm bất kỳ bên trong tứ diện đều tới các mặt bằng đường cao của tứ diện”

2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

+Từ bài toán ban đầu (2.13) cho ta bài toán tương tự

Bài 13.1 Cho a, b , b > 0 So sánh hai số hữu tỉ

a

b và

20152015

a b



Đến đây ta nghĩ đến bài toán tổng quát sau :

Bài 13.2 Cho a b,  ,b0,nN* So sánh hai số hữu tỉ

+ Từ bài (2.13.3) ta đề xuất các bài toán sau:

Bài 13.5 So Sánh hai phân số

n n

n A n



11

n n

n B

x a A

x a B

KẾT LUẬN

Luận văn đã được tiến hành nghiên cứu nghiêm túc, khoa học dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Phan Đức Tuấn và trình bày cơ bản các vấn đề:

Các khái niệm về khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa trong việc giải toán sơ cấp ở bậc học phổ thông

Nghiên cứu áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa vào giải toán trong lượng giác; trong hình học; chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức; một số áp dụng khác trong toán học ở phổ thông

Từ bài toán xuất phát ban đầu đơn giản ta có nhiều cách giải, mỗi cách giải ta có thể vận dụng các trường hợp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa để sáng tác ra nhiều bài toán mới hay và có hệ thống

Kết quả của luận văn có ý nghĩa khoa học mang tính thực tiễn

và phù hợp với chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp Nội dung của luận văn sẽ là tài liệu tham khảo tốt, đáp ứng nhu cầu của việc bồi dưỡng giáo viên ở bậc học phổ thông

Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy giáo Tiến sĩ Phan Đức Tuấn, chủ nhiệm khoa Toán, trường Đại học sư phạm Đà Nẵng Các Thầy cô giáo trong Khoa Toán đã giành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tận tình va cho ý kiến đóng góp giá trị tới luận văn Trong thời gian ngắn, trình độ và năng lực bản thân chưa đáp ứng được kỳ vọng của quý thầy cô Mong quý thầy cô góp ý để luận văn tiếp tục bổ sung, mở rộng thêm để phục vụ cho việc bồi dưỡng giáo viên phổ thông nhiều bổ ích