Với các góc α , β bằng bao nhiêu thì hình thang ABCD có diện tích nhỏ nhất và tính S nhỏ nhất theo r.. ( S là diện tích của hình thang ABCD ).[r]
Trang 1UBND HUYỆN PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Năm học: 2011- 2012 - Môn: Toán
Ngày thi: 06/10/2011
ĐỀ CHÍNH THỨC: Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: ( 3,0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng :
1
Câu 3: ( 3,0 điểm)
a Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x - 2 xy3y 2 x 2008,5
b Cho a; b; c > 0 và:
1 a1 b1 c = 2 Tìm giá trị lớn nhất abc.
Câu 4: (3,0 điểm) :
2
Câu 5 : (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC, CA và
AB tương ứng là x , y và z
Tính a b h c
z h
y h
x
Câu 6: (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O,r) Xét hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn nói trên
trong đó BC //AD ; BAD = α ; ADC = β với α 900 , β 900 .
a Chứng tỏ: 1
OA2+
1
OB2=
1
OC2+
1
OD2
b Tính S ABCD theo r , α , β Với các góc α , β bằng bao nhiêu thì hình thang ABCD có diện tích nhỏ nhất và tính S nhỏ nhất theo r ( S là diện tích của hình thang ABCD )
Trang 2UBND HUYỆN PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2011– 2012 - Môn : Toán
Câu
1
3,0 đ
= (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Câu
2
3,0 đ
Từ giả thiết suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1)
2
2
2
1
a
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
1
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận được :
1
Đẳng thức xảy ra
3 3
a b c
0,5 0,5
1,0 0,5
0,5
Trang 33
3,0 đ
a
2
Đặt x a; y b với a, b 0, ta có:
P = a 2ab 3b 2a 2008,5 = a 2a b 1 3b 2008,5
= a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5 = a - b -1 2 b b 2007,5
a - b -1 2 b b 2007,5 a - b -1 2 b 2007
2 2
2007
3
Vì a - b -1 0 và b 0 a, b.Nên P = 2007 1
b 2
2
Vậy P đạt GTNN là 2007
0,5
0,5
0,5
b
1
2
(1) + Tượng tự ta cú:
1 2
ac
(2)
1 2
ab
(3) + Chỉ ra được cỏc vế của cỏc BĐT (1); (2); (3) đều dương nờn nhõn từng vế cỏc
BĐT (1); (2); (3) suy ra được: abc
1 8
+ Kết luận max abc =
1
8 khi a = b = c =
1 2
0,5
0,25
0,5 0,25
Cõu
4
3,0 đ
2
2
2
2 2
2
x 42 16
x x
8
x
Vậy phương trỡnh cú một nghiệm : x = -8
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
Trang 45
4,0 đ Xét hai tam giác ABC và OBC ta có :
SABC = 2BC. h a
1
(1)
SOBC = 2BC x
1
(2)
OBC
a S
S h
x
AOB c
ABC
COA b
S
S h z S
S h y
ABC ABC
AOB COA
BOC
S
S S
S S S
=1
0,5
1,0
0,5 0,5 1,0
câu 6
4,0 đ
a -Từ O hạ OI , OM, OT,.ON lần lượt vuông góc với AB ,BC,CD,DA
-Chứng minh
1
OA2+
1
OB2=
1
OI2 1
OC2+ 1
OD2= 1
OT2
Mà OI = OT
OC2+
1
OD2=¿
1
OA2+
1
OB2
0,5
0,5
= r tan
α
2+r cot
α
2 2
2r
= r 2 ( tanα
2+cot
α
2 )
2+cot
β
2 ) Suy ra: S ABCD = r 2 ( tanα
2+cot
α
2 + tan β
2+cot
β
2 )
0,25 0,25
0,5
0,5
Trang 5Ta có : tanα
2+cot
α
2 2 √tanα
2 cot
α
tan β
2+cot
β
2 2 √tanβ
2 cot
β
Suy ra: SABCD 4r2
0,5
0,5 0,5
* Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và lập luận chặt chẽ đạt điểm tối đa.