- Qua đề tài khắc phụ các yếu điểm của HS khi chứng minh bất đẳng thức - Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ năng và một số kiến thức về phươngpháp làm trội, làm giảm, cách nhận biết dạng
Trang 1STT MỤC LỤC TRANG
Trang 21.1.Lí do chọn đề tài.
Trong nhiều đề thi HSG môn Toán khối 6, 7 những năm gần đây, thường
có các bài toán về chứng minh các bất đẳng thức, các bài này được cho ở nhiềumức độ khác nhau, nhưng không phải bài nào HS cũng dễ dàng tìm ra đượcphương pháp, cách thức để chứng minh các bất đẳng thức đó Từ thực tế giảng dạytôi nhận thấy hầu hết các em lớp 6,7 khi gặp các dạng bài nay trong đề thi thườnggặp khó khăn, lúng túng, không biết cách làm, đặc biệt là với các bài ở các câucuối các em thường bỏ không làm hoặc nếu làm được thì thường là các bài đã đượclàm hoặc các bài đơn giản đã biết cách làm Tuy nhiên với những bài làm được các
em cũng không hiểu và nắm được phương pháp giải chung, không biết cách thứcquy một bài toán từ lạ về quen để giải Với mong muốn các học sinh của mình sẽđạt giải cao trong các kỳ thi chon HSG, Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: Một sốkinh nghiệm “sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh các bấtđẳng thức” trong BDHSG môn toán 6,7 Thông qua đó nâng cao được chấtlương trong công tác giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trongnhà trường
Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về thời lượngnên trong biện pháp mà tôi đưa ra chắc chắn còn có những phần chưa hoàn chỉnh.Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô Tôi xin chân thành cảm ơn!
1.2.Mục đích nghiên cứu.
Tôi viết SKKN này với mục đích:
- Nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân thông qua nghiêncứu khoa học, từ đó có thêm cơ hội trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp
- Qua đề tài khắc phụ các yếu điểm của HS khi chứng minh bất đẳng thức
- Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ năng và một số kiến thức về phươngpháp làm trội, làm giảm, cách nhận biết dạng toán và lựa chọn cách trình bàybài phù hợp nhằm nâng cao năng lực học toán, giúp học sinh tiếp thu bài chủđộng sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan
- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặp khigiải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức số
- Giúp GV phát hiện bồi dưỡng HS khá, giỏi, có khả năng học toán
- Phổ biến đến các thành viên trong tổ chuyên môn nơi tôi công tác, giúpcác em học sinh đạt điểm cao trong các kỳ thi chọn HSG Nếu các đồng nghiệp
ở trường khác thấy có ích thì tôi sẵn sàng chia sẻ
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Trang 3Đề tài này nghiên cứu, tổng hợp về “sử dụng phương pháp làm trội, làmgiảm để chứng minh các bất đẳng thức” trong BDHSG môn toán 6,7.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất thường dùng khi sử dụngphương pháp làm trội làm giảm
- Nêu lên một số dạng toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải các dạng này
- Một số bài tập vận dụng và nâng cao
- Kết hợp sử dụng thêm các phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xâydựng cơ sở lý thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế; Phương pháp phântích tổng kết kinh nghiệm; Phương pháp vấn đáp; Phương pháp phân loại và hệthống hoá lý thuyết; Phương pháp suy luận, tìm tòi; Phương pháp thống kê và xử lí
đó, tức khi đó ta đã làm giảm giá trị của mỗi phân số trong tổng, suy ra tổng giảm,
từ đó ta chứng minh được bài toán
+ Nếu bài toán yêu cầu chứng minh A < m hoặc A≤m, khi đó ta sử dụngphương pháp làm trội bằng cách thay mỗi phân số trong tổng A bằng phân số cómẫu nhỏ nhất trong tổng đó, tức khi đó ta đã làm tăng giá trị của mỗi phân số trongtổng, suy ra tổng tăng, từ đó ta chứng minh được bài toán
Lưu ý: Trong nhiều bài toán ta thường phải tách tổng A thành nhiều nhóm
rồi căn cứ vào yêu cầu của đề bài mà sử dụng phương pháp cho phù hợp
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua những năm trực tiếp giảng dạy, theo dõi và BDHSG môn toán các khốilớp 6 và lớp7, tôi thấy rằng các bài toán về chứng minh các bất đẳng thức thường
có trong các đề thi HSG cấp huyện, đôi khi cũng thường có trong các đề thi cuốihọc kỳ ở dạng câu vận dụng cao Để làm tốt các bài toán về chứng minh các bấtđẳng thức, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức liên quannhư: Các cách so sánh phân số có cùng tử, cùng mẫu, các phép toán về phân số,kiến thức về lũy thừa, quy tắc thực hiện các phép tính, tính tổng, hiệu, tích của dãy
Trang 4các phân số có quy luật…, đặc biệt HS cần biết hệ thống hoá các kiến thức đượchọc một cách có logic, biết quan sát để định hướng phương pháp làm
Tuy nhiên đối với HS lớp 6,7 là các lớp đầu cấp mới bắt đầu làm quen với cácphương pháp giải đại số, lượng kiến thức được học còn ít, khả năng tư duy làmquen với toán nâng cao còn chậm mà trong chương trình học chính khóa thì hầunhư không có, các loại tài liệu tham khảo cũng không giới thiệu tường minh vềdạng toán và phương pháp giải cụ thể mà chỉ có ở dạng đơn lẻ có hướng dẫn chomỗi bài, do đó khi gặp dạng toán này trong các đề thi nếu là bài tương tự với bài
đã được chữa, được làm thì các em còn làm được, với những bài thay đổi dữliệu hoặc khác với các ví dụ đã làm thì các em còn rất mơ hồ , lúng túng khôngxác định được phương pháp giải một cách rỏ ràng hoặc không hình dung đượchướng đi như thế nào, nên kết quả đạt được thường không cao
Trước khi áp dụng đề tài này, tôi đã khảo sát một nhóm gồm 16 học sinh độituyển toán lớp 6, lớp 7 trong 2 năm học liên tiếp: 2019-2020 và 2020 - 2021 củatrường THCS A
Thời gian khảo sát: Tháng 2 hằng năm
Nội dung kháo sát: Cho học sinh làm các bài tập sau:
Kết quả nhận được như sau: (đánh giá với thang điểm 10)
Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 – 10
SL % SL % SL % SL %
10 62,5 5 31,25 1 6,25 0 0
Từ thực trạng trên, để nâng cao chất lượng công tác giảng dạy, đặc biệt làchất lượng HSG tôi đã tìm hiểu, nghiên cứu, phân dạng và hệ thống hóa các bàitoán từ đó rút ra được một số kinh nghiệm để chứng minh các bất đẳng thứcbằng cách sử dụng phương pháp làm trội làm giảm, áp dụng cho HS lớp 6, 7,thông qua các bài toán đó xây dựng cho các em tư duy phương pháp và kỹ nănggiải toán, giúp cho các em có kỹ năng quan sát, nhận xét, biết quy lạ về quen khi
Trang 5giải các dạng toán về chứng minh các bất đẳng thức, tiền đề cho giải các dạngtoán ở các lớp tiếp theo
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để giúp cho học sinh nắm được cách sử dụng phương pháp làm trội, làmgiảm trong chứng minh các bất đẳng thức, tôi đã tham khảo các tài liêu bồidưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6,7, các đề thi học sinh giỏi cấp huyện các lớp6,7 ở nhiều năm của các huyện, các chuyên đề BDHSG và qua mạng internet đểnghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, qua đó đúc rút thành kinh nghiệm chung khi sửdụng phương pháp này để chứng minh các BĐT, từ đó tôi đã tổng hợp, xâydựng được hệ thống bài tập phong phú Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đếnkhó theo dạng, thông qua các dạng toán này giúp học sinh tự rút kinh nghiệm vàhình thành phương pháp, rèn luyện kỹ năng giải, giúp các em dễ dàng nghi nhớ,
dễ dạng phân biệt, biết quy lạ về quen và áp dụng vào giải quyết các bài toándạng này đạt kết quả cao hơn, cụ thể tôi đã thực hiện dạy như sau:
1/Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản để sử dụng phương pháp.
a Ôn tập lại cho HS các kiến thức về cộng, trừ, nhân, chia các phân số,
quy tắc thực hiện các phép tính
b Ôn tập lại các phương pháp so sánh phân số
c Bổ xung cho HS một số kiến thức về các tính chất của bất đẳng thức
1 Tính chất bắc cầu của thứ tự: a > b; b > c => a >c
(tính chất cũng đúng với các bất đẳng thức là các dấu ≥; ≤)
2 Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b =>a+c> b+c
3 Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b =>a.c > b.c (với c > 0)
4 Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
+ Nếu a b>1= ¿a
b>
a+c b+c
c d
Trang 62/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? Yêu cầu bài toán là gì? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suynghĩ nào?
H? đề bài cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này
và ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?
* Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?
H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?
3/ Các dạng toán điển hình
Dạng 1: Các bất đẳng thức mà biểu thức đã cho là tổng của các phân số
có mẫu là các số tự nhiên
Khi hướng dẫn HS chứng minh dạng này tôi thường định hướng cách biến đổi
như sau: Biến đổi biểu thức thành các phân số có cùng mẫu hoặc cùng tử ( Thường
có tử là 1), rồi dùng phương pháp làm trội hoặc làm giảm
Bài toán 1 : (Trích Đề thi HSG lớp 7 huyện Tĩnh Gia năm 2016-2017)
12
Hướng dẫn HS khai thác bài toán:
Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về các phân số trong tổng A Tổng
A có tất cả bao nhiêu phân số
+/ Câu trả lời mong muốn: A có 100 phân số, là các phân số có tử bằng 1 + Phân số 127 có thể tách thành tổng của những phân số nào có tử là 1, hãy táchbằng các cách có thể?
+/ Câu trả lời mong muốn: 127 = 1
Trang 78 (Một ý trong tuyển tập các bài toán hay và khó toán 7 )
Tương tự câu a giáo viên yêu cầu HS nêu phương pháp làm câu b
Học sinh dễ dàng nhận ra câu b vẫn dùng phương pháp làm giảm
Vậy để sử dụng được phương pháp làm giảm, ta có cần tách biểu thức Akhông, nêucó hãy đề xuất cách tách như thế nào cho hơp lý
+/ Câu trả lời mong muốn: Chia tổng A thành 4 nhóm sau đó thay mỗi phân
số trong các nhóm bằng 1 phân số mẫu lớn nhất trong nhóm đó
Đến đây có thể học sinh sẽ nghĩ ra ngay cách làm( Nếu học sinh không nghĩ
ra, giáo viên có thể gợi ý)
Lời giải Ta chia tổng A thành 4 nhóm sau đó thay mỗi phân số trong các
nhóm bằng 1 phân số có mẫu lớn nhất trong nhóm đó, ta có:
Cách 2: Vì tổng A có 100 phân số, do đó ta ghép thành các cặp phân số lấy
từ 2 đầu lại được 50 cặp như sau:
1
1 150.151)(1)
Lưu ý: trong một dãy số liên tiếp mà số sau lớn hơn số trước, nếu ghép
thành các tích 2 thừa số thì tích của 2 số thuộc cặp ngoài cùng bao giờ cũng nhỏhơn tích của 2 số thuộc cặp bên cạnh hay tích của 2 số thuộc cặp ngoài cùng nhỏ
Trang 8nhất, tích của 2 số thuộc cặp trong cùng lớn nhất (đã chứng minh bài 15/trang 27/sách nâng cao và phát triển lớp 6)
Từ kết quả trên ta suy ta, biểu thức ở trong ngoặc gồm 50 phân số trong đóphân số 101.2001 có mẫu nhỏ nhất, phân số 150.1511 có mẫu lớn nhất, nên suy ra:phân số 101.2001 lớn nhất, 150.1511 nhỏ nhất Vì vậy để chứng minh A>5
8 ta thaymỗi phân số trong tổng (1) bằng phân số nhỏ nhất trong tổng đó, khi đó ta có:
* Từ kết quả chứng minh cách 2 câu b giáo viên có thể ra thêm yêu cầu thứ
ba cho bài toán này như sau
c Chứng minh A<3
4 (Một ý tuyển tập các bài toán hay và khó toán 7)
Để chứng minh A<3
4 ta sử dụng phương pháp nào?
+/ Câu trả lời mong muốn: Sử dụng phương pháp làm trội
Giáo viên hướng dẫn: Tận dụng kết quả biến đổi ở cách 2 câu b, bằng cáchhãy thay mỗi phân số trong tổng (1) bằng phân số lớn nhất trong tổng đó, tức là ta
sử dụng phương pháp làm trội để làm tăng giá trị mỗi phân số của tổng A lên, đếnđây học sinh dễ dàng làm được
Lời bình: Qua các câu của bài toán 1 giúp cho HS phần nào hiểu được cách
sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm, tuy nhiên vấn đề HS gặp khó khăn trongcác bài toán dạng này đó là: Khi chứng minh các biểu thức số không phải bài nàocũng áp dụng ngay phương pháp làm trội, làm giảm mà trong hầu hết các bài đềuphải biến đổi các biểu thức một cách phù hợp rồi mới áp dụng được phương pháp,hoặc có những bài phải áp dụng phương pháp vài lần mới ra được kết quả Do đógiáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát đặc điểm của các biểu thức, khai tháctriệt để yêu cầu chứng minh của bài, từ yêu cầu của đề bài tách ngược để tìmhướng biến đổi biểu thức rồi mới áp dụng phương pháp
Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh tiếp tục làm bài toán sau:
Bài toán 2: (Trích đề thi HSG lớp 6, THCS cẩm Phong, năm 2017- 2018)
Trang 9+/ Câu trả lời mong muốn: Tổng B có 30 phân số, để chứng minh B<4
5 ta sửdụng phương pháp làm trội, còn chứng minh 35<B sử dụng phương pháp làm giảm Đến bài này giáo viên có thể yêu cầu học sinh suy nghĩ đối chiếu với các bàivừa làm để nêu phương án biến đổi Nhiều học sinh sẽ dễ dàng phát hiện ra cáchlàm tương tự câu a và câu b cách 1 hoặc câu b cách 2 và câu c,
Hướng dẫn: Để chứng minh B<4
5 ta sử dụng phương pháp làm trội, bằngcách hãy chia tổng B thành các nhóm, mỗi nhóm có 10 phân số, sau đó thay mỗiphân số trong mỗi nhóm bằng phân số lớn nhất trong các nhóm, rồi thực hiện tínhtoán, thu gọn, cụ thể cách giải như sau:
Còn chứng minh B > 35 sử dụng phương pháp làm giảm bằng cách thực hiện tương
tự ý trên nhưng thay mỗi phân số trong mỗi nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong cácnhóm đó, cụ thể như sau
lý để đưa về thành các phân số có tử bằng 1, còn mẫu là lũy thừa của 12
Ta tiếp tục xét thêm một số bài toán sau:
Bài toán 3: (Nâng cao và phát triển toán 6)
Trang 10phương pháp làm trội cho cả tổng A mà phải chia tổng A thành các nhóm, rồi mớilàm trội cho từng nhóm một.
Giáo viên gợi ý học sinh cách tách nhóm: Vì cần chứng minh A< 100 nên hãychia A thành 100 nhóm, sao cho sau khi làm trội ở mỗi nhóm có kết quả là 1, khi
đó ta có điều cần phải chứng minh
Với gợi ý như trên, GV để HS tự tìm tòi cách chia thành các nhóm và sử dụng pp
để có được kết quả cần chứng minh Cụ thể cách làm như sau:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này
+/ Câu trả lời mong muốn: (Nếu HS không nêu được giáo viên có thể gợi ýthêm) Bài này tương tự bài 3, nhưng sau khi tách thì dùng phương pháp làmgiảm, bằng cách thay mỗi phân số trong các nhóm bằng phân số nhỏ nhất trongnhóm và nhóm các nhóm sao cho sau khi làm giảm mỗi nhóm đều có mẫu làlũy thừa của 2 Nên có thể giải tương tự bài 3 như sau:
Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
Trang 11Vậy M >1000
Lời bình : Qua các bài toán vừa xét trong dạng 1 Tôi nhận thấy đây là
dạng toán không hề đơn giản vì đều là các bài yêu cầu chứng minh các bất đẳngthức và các biểu thức đã cho đều có dạng là tổng các phân số có mẫu là các số
tự nhiên nên cách làm chung đều sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm, tuynhiên mỗi một bài lại có 1 cách biến đổi khác nhau Do đó khi dạy tôi thườnglưu ý chốt rỏ cho học sinh cách thức quan sát và phương pháp khai thác cụ thểcủa từng bài, yêu cầu học sinh ghi nhớ từng đặc điểm để vận dụng, đặc biệt việc
sử dụng hợp lý các tính chất của các phép toán, vì vậy cần yêu cầu các em phảinắm vững các tính chất này để nhận xét, đánh giá những khía cạnh trong bài sátvới ý tưởng của lời giải, khi đó các em dễ nhập cuộc với bài giải Phương pháplàm trội, làm giảm lúc này sẽ phát huy tác dụng một cách tích cực hơn
Dạng 2: Các bất đẳng thức mà biểu thức có dạng tổng các lũy thừa
Khi sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh các bất đẳngthức dạng này tôi thường hướng dẫn học sinh cách làm trội hoặc làm giảm ở mẫunhư sau: Vì lũy thừa là phép nhân các thừa số bằng nhau, do đó ta thường giữnguyên một thừa số của tích ở mẫu thay thừa số còn lại bằng thừa số lớn hơn (nếulàm giảm) hoặc thay bằng thừa số nhỏ hơn (nếu làm trội) Cụ thể ta tiếp tục xét một
số bài toán dạng này như sau:
Bài toán 1 ( Bài 9.7/trang 24/Sách bài tập toán 6, tập 2)
* Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này
+/ Câu trả lời mong muốn: Biểu thức A có mẫu là các lũy thừa của 2, do đó
để chứng minh bài này cần sử dụng phương pháp làm trội, bằng cách tăng mẫu
Đến đây giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách làm trội cụ thể
1 3.3+
1 4.4+…+
1 100.100
Với việc hướng dẫn HS làm trội mỗi phân số như trên kết quả nhận được làbiểu thức 1.21 + 1
2.3+…+
1
mà học sinh đã giải thành thạo khi học về chuyên để dãy các phân số có quy luật,
do đó đến đây giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện tính tiếp được kết quả như sau:
Trang 12Bài toán 2: (Trích Đề giao lưu HSG lớp 7, Cẩm Thủy năm học 2019-2020)
GV: Vì mẫu là bình phương của các số tự nhiên nên ta có thể làm trội, làmgiảm bằng cách nào? Hãy đề xuất phương án làm trội, làm giảm trong mỗi ý
+Nếu làm trội ta có thể giữ nguyên 1 thừa số ở mẫu của mỗi phân số, thaythừa số còn lại bằng 1 thừa số nhỏ hơn, khi đó giá trị của mỗi phân số trong tổng B
sẽ tăng lên Cụ thể ta làm như sau:
1
1 199.199
Trang 13Từ (1) và (2 ) Suy ra: 2001 < B < 991
Trong nhiều đề thi học sinh giỏi có nhiều biểu thức khi nhìn vào khá phứctạp, không giống với các dạng thường gặp (các dạng gây nhiễu ), vì vậy khi gặpcác bài dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạ về quen, bằng cáchquan sát kỹ biểu thức và yêu cầu chứng minh của bài toán, tìm các cách như: tínhthử, tách, nhóm để biến đổi biểu thức về các dạng cơ bản thường gặp Cụ thể ta tìmhiểu tiếp trong một số bài toán sau:
Bài toán 3: (Trích Đề thi HSG toán 6,Bắc Giang năm 2018- 2019)
Yêu cầu học sinh nêu lên nhận xét về mẫu của các phân số
+/ Câu trả lời mong muốn: Mẫu là tổng các số lẻ liên tiếp và tăng dân
Giáo viên gợi ý học sinh cách làm: Hãy quy về dạng giống các biểu thức ởbài toán 1 và 2, nếu học sinh không phát hiện ra, giáo viên gợi ý học sinh công cácmẫu lại và nhận xét về biểu thức thu được
Hướng dẫn cụ thể như sau:
Đến đây bài toán đã được quy về bài toán quen thuộc của bài toán 1 và 2 do
đó giáo viên yêu cầu học sinh tự tiếp tục làm và tự kiểm tra chéo cách làm, kết quảcủa nhau, sau đó giáo viên đưa bài giải mẫu để học sinh đối chiếu