Rèn luyện kỹ năng giải một số phương trình đưa về dạng phương trình tích nhắm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán lớp 8 ở trường THCS luận thành

Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS Luận Thành, được phân công trực tiếp giảng dạy môn Toán 8 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, qua nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 8 Ở

TRƯỜNG THCS LUẬN THÀNH

Người thực hiện: Trịnh Thị Ngân Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Luận Thành SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

1 Mở đầu 1

1.2 Mục đích nghiên cứu

2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nhiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 2 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.2 Dạy học phương trình đưa về phương trình tích 6

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 12

Xuất phát từ mục tiêu của giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao

Để đào tạo ra lớp người như vậy thì phải bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề, từ đó tác động đến tình cảm

và đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh

Đối với học sinh bậc trung học cơ sở (THCS), các em là những đối tượng người học nhạy cảm, việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo

Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS Luận Thành, được phân công trực tiếp giảng dạy môn Toán 8 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, qua nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa (SGK), sách bài tập (SBT) đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập cho học sinh nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra hướng giải và đáp số của chúng một cách nhanh chóng, ngắn gọn

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy còn nhiều học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản của môn Toán, thường bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán và chưa có nhiều phương pháp giải hay và gọn gàng, chất lượng bộ môn còn thấp, các bài kiểm tra, bài thi còn chưa đạt yêu cầu

Các dạng toán về số học ở chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Toán về chia hết, số nguyên tố, số chính phương, phương trình nghiệm

nguyên, phương trình đưa về dạng phương trình tích Trong đó “Giải phương

trình đưa về dạng phương trình tích” là một dạng toán khó trong chương

trình Toán ở bậc THCS, nhưng trong SGK mới chỉ đề cập ở dạng cơ bản, chính

vì thế học sinh thường lúng túng ở các dạng toán nâng cao, khi giải các bài toán này học sinh gặp không ít khó khăn, phức tạp Điều đó làm nảy sinh trong tôi những trăn trở: Làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn? Làm thế nào để học sinh hứng thú say mê trong khi học? Với mong muốn giải quyết những vấn đề đó đã thúc đẩy tôi đã tìm tòi và nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích dễ hiểu, dễ vận dụng và hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để giải nhanh gọn

Vì vậy tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải một số phương trình đưa về dạng phương trình tích nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán lớp 8 ở trường THCS Luận Thành”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

1.2.1 Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chuyên môn, phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

1.2.2 Đối với học sinh :

- Giúp học sinh học tập tốt môn Toán nói chung và việc giải các bài tập giải phương trình đưa về dạng phương trình tích Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo

- Ôn tập, củng cố và hệ thống nội dung kiến thức cơ bản về phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Có kĩ năng phân tích tìm lời giải và trình bày lời giải cho một bài toán giải phương trình đưa về dạng phương trình tích

- Phát huy tính tích cực, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn

- Giúp học sinh có kĩ năng nhận dạng cách giải các phương trình đưa về dạng phương trình tích để nâng cao chất lượng bộ môn Toán trong các đợt thi học kì, thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào 10,

- Nâng cao chất lượng bộ môn Toán trong nhà trường

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu kĩ năng giải các phương trình đưa về dạng phương trình tích

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua sách giáo khoa, tài liệu của học sinh ở trường

- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp

- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp thống kê, tổng hợp số liệu

- Phương pháp phân tích, tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Phương trình tích là dạng phương trình mà vế trái là tích của các đa thức còn vế phải bằng 0 Trong chương trình Toán 8 chỉ đề cập đến phương trình tích

mà ít đề cập đến các phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Giải phương trình đưa về dạng phương trình tích đề cập ít trong các bài tập của sách giáo khoa và thường được cho trong các bài tập nâng cao, các kì thi học sinh giỏi (HSG), thi vào lớp 10 THPT Do vậy việc nghiên cứu các dạng

và phương pháp giải phương trình đưa về dạng phương trình tích là cần thiết để bồi dưỡng cho các học sinh kiến thức phù hợp về phương trình tích nhằm trang

bị cho các em kiến thức và kĩ năng để không quá lúng túng khi giải các bài toán giải phương trình đưa về dạng phương trình tích trong các kì thi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi:

- Về cơ sở vật chất đã có một số đổi mới tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận kiến thức mới dễ dàng như: Bảng phụ, máy chiếu, phòng học chức năng,…

- Xã hội hiện nay tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có điều kiện thuận lợi tiếp cận nhiều nguồn thông tin từ nhiều phương tiện khác nhau một cách dễ dàng và hiệu quả

- Nhiều phương pháp dạy học tích cực được vận dụng hợp lý như: thảo luận nhóm, giải quyết vấn đề, đã góp phần khắc phục được sự nhàm chán của phương pháp dạy học truyền thống Vì vậy, gây hứng thú cho người học, kích thích học sinh tư duy tích cực

- Phương trình tích đã được các em làm quen từ lớp 6, lớp 7 đặc biệt là học kì 1 lớp 8 nên các em cũng không còn xa lạ với phương trình tích Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử đã giúp các em không ít kiến thức để biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình tích, từ đó hỗ trợ các em rất nhiều trong phần học này

2.2.2 Khó khăn:

Thực tế như chúng ta đã biết ở chương trình toán 8 có nhiều nội dung khó

ở bậc học THCS Trong nhiều năm giảng dạy ở đơn vị bản thân tôi cảm nhận được học sinh lớp 8 có phần ngại học bộ môn Toán, một phần do về kiến thức nhiều nội dung khó, hơn nữa ở độ tuổi này các em đang thay đổi tâm sinh lí Đặc biệt trong giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán, phương hướng giải và chưa có nhiều phương pháp giải hay Lý do chủ yếu của các vấn đề trên là các em chưa có hệ thống phương pháp giải dạng toán đó Nên dẫn đến kết quả ở trong các kì thi của các em chưa được cao, đặc biệt là môn Toán Học sinh thường bối rối khi gặp những phương trình lạ dạng hoặc thấy có vẻ phức tạp, những bài toán kiểu như vậy làm giảm hứng thú và tính kiên nhẫn của trò trong quá trình học toán khiến giáo viên nản lòng

Trong một lớp, lực học của các em học sinh không đồng đều Các em chưa nắm được kiến thức một cách có hệ thống, chưa nắm hết được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài tập đó, khi gặp những dạng phương trình đó các

em còn lúng túng không biết giải theo phương pháp nào Vì vậy tôi chọn chuyên

đề này để giúp các em có được sự say mê học tập, và nắm chắc cách giải phương trình đưa về dạng phương trình tích một cách có hệ thống và bổ sung thêm những phương pháp mà các em chưa được học

Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán giải phương trình đưa về dạng phương trình tích và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho các em học sinh của trường tôi công tác

Kết quả thu được như sau:

TSHS

Khá, giỏi Trung bình Yếu kém

Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh chưa có biện pháp giải phương trình đưa về phương trình tích đạt hiệu quả Lời giải thường dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận Cũng với những bài toán trên, nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải phương trình đưa về dạng phương trình tích thì chắc chắn sẽ có hiệu quả cao hơn

2.3 Các giải pháp để giải quyết vấn đề.

Giải được phương trình tích là một trong những yêu cầu cơ bản trong của chương III - Đại số 8 Để giúp học sinh học tốt phần này đầu tiên tôi mạnh dạn

áp dụng một số phương pháp dạy học tích cực, cũng như các phương tiện hiện đại vào dạy học Từ đó giúp các em dễ lĩnh hội kiến thức, khắc phục được một

số lỗi sai thường gặp, đồng thời phát triển thêm tính tự tin, tính tư duy, cũng như một số kỹ năng sống cho học sinh

2.3.1 Dạy học phương trình tích.

a Dạy học khái niệm phương trình tích.

Do đây là yêu cầu cơ bản và đầu tiên học sinh cần nắm được, vì vậy

chúng ta nên chia lớp thành nhiều nhóm nhỏ theo cách có đầy đủ các mức năng lực tư duy, từ đó tạo điều kiện cho các em có thể trao đổi lẫn nhau, giúp đỡ lẫn nhau trong quá trình học tập Bên cạnh đó tôi đã sử dụng máy chiếu đưa ra nhiều bài tập trắc nghiệm để giúp các em nhận dạng tốt định nghĩa, cũng như khắc

phục tốt các lỗi sai thường mắc phải

- Trước hết tôi giúp học sinh hiểu thế nào là phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng:

A(x).B(x)………P(x) = 0 (a)

Ví dụ: Giải phương trình: 2x(3x – 6)(x + 3) = 0

Chú ý: Khi dạy khái niệm phương trình tích phần lớn các em nắm tốt khái niệm này, cũng như cách giải của nó, song bên cạnh đó một số em chỉ chú ý đến

vế trái mà không chú ý đến vế phải nên còn có sự nhầm lẫn

Ví dụ: 3x(x+2) = 5

Học sinh có thể nhầm đây là phương trình dạng phương trình tích vì vế trái ở dạng tích mà không chú ý đến vế phải bằng 5

Để khắc phục tình trạng nhầm lẫn này tôi dùng máy chiếu, bảng phụ đưa

ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm, rồi cho nhóm thảo luận rút ra kết quả, sau đó nhấn mạnh lại để khắc phục lỗi sai cho học sinh

b Dạy học cách giải phương trình tích:

Do các em đã được làm quen với cách giải phương trình tích (tìm x dạng tích) nên việc tìm ra cách giải đối với phương trình tích là không khó, phần lớn các em nắm vững được cách giải Vì vậy tôi tiếp tục chia nhóm theo cách 1 đồng thời dùng máy chiếu đưa ra một số sai lầm thường mắc phải, cũng như một số cách trình bày giải phương trình tích, để các nhóm tự thảo luận từ đó khắc phục lỗi sai thường gặp, cũng như lựa chọn cho mình được phương pháp trình bày sao cho khoa học và đơn giản

Phương trình tích là phương trình có dạng:

A(x).B(x)………P(x) = 0 (a)

Để giải phương trình tích ta giải từng phương trình một sau đó lấy nghiệm của phương trình là tất cả nghiệm của các phương trình riêng lẻ trên Cụ thể:

Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x(3x – 6)(x + 3) = 0

Trường hợp 1: 2x = 0 x = 0

Trường hợp 2: 3x – 6 = 0  x = 2

Trường hợp 3: x + 3 = 0  x = -3

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0 ;2;-3}

Bên cạnh cách trình bày trên ta có thể dùng hệ thống kí hiệu toán học trình bày giải phương trình trên theo phép biến đổi tương đương.Tuy nhiên không phải cách trình bày theo phép biến đổi tương đương lúc nào cũng hiệu quả, thực tế tùy từng bài ta nên khéo léo vận dụng kết hợp cả hai cách trình bày trên một cách hợp lí thì tốt hơn

Ví dụ 2: (2x+1)( 1 2 1) 0

x x

Giải:

2 1 1 2 1 0

2 1 0(1)

1 2 1

0(2)

x x x

x

x x

 







Giải (1): 2x+1=0 => x= 1

2



x x x

Vậy phương trình có tập nghiệm là : S = 1; 5

2





Khi dạy ví dụ 2 tôi đưa ra yêu cầu sau đó chuyển giao nhiệm vụ cho các nhóm để các nhóm tự trình bày bài giải, cuối cùng đánh giá động viên các nhóm, lựa chọn cách trình bày tối ưu để khích lệ (nếu có) Trường hợp học sinh chỉ trình bày theo cách biến đổi tương đương thì tôi đã dùng máy chiếu đưa ra các

cách trình bày sau đó cho học sinh đánh giá từ đó rút ra cách trình bày hợp lí, và nhấn mạnh lại nội dung kiến thức cần nhớ

Ngoài ra khi dạy học cách giải phương trình tích tôi đã chú ý cho học sinh trường hợp trùng nghiệm, trường hợp vô lí

Ví dụ 3: Giải phương trình: (2x-4)(x+1)(x-2)=0

Giải: (2x-4)(x+1)(x-2)=0

 2x - 4 = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x – 2 = 0

 x = 2 hoặc x = -1 hoặc x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-1 ;2;}

2.3.2.Dạy học phương trình đưa về phương trình tích:

Ở học kì 1, các em đã khá quen với cách phân tích đa thức thành nhân tử, các phương pháp phân tích thành nhân tử nói chung, các phương pháp phân tích thành thừa số nói riêng Do đó nhiều học sinh đã biến đổi tốt các phương trình đưa về phương tích

2.3.2.1.Sử dụng các phương pháp cơ bản đưa về phương trình tích:

a Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a x2 – 6x = 0

b (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2

Giải:

a Để giải phương trình trên ta đưa phương trình đó về dạng phương trình (a)

x2 – 6x = 0

 x(x – 6) = 0

 x = 0 hoặc x – 6 = 0

 x = 0 hoặc x = 6

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {0 ;6}

b Ở phương trình này một số học sinh thường mắc sai lầm là chia cả hai

vế cho x + 2, tôi đã hướng dẫn học sinh đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó, vế phải bằng 0, rồi áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích vế trái thành tích

Ta có: (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2

 (x + 2)(x2 – 3x + 5 – x2) = 0

 (x + 2)(-3x + 5) = 0



2 5 3

x x







 



Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-2 ; }

b Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để đưa về phương trình tích:

Ví dụ 2: Giải phương trình: (x - 1)2 +2(x - 1)(x + 2) + (x + 2)2 = 0

Ở câu này học sinh có thể giải bằng cách thực hiện nhân đa thức ở vế trái sau đó phân tích thành nhân tử để đưa về dạng phương trình tích Để giải được câu này nhanh gọn hơn giáo viên cần hướng dẫn để học sinh nhận ra được vế trái là hằng đẳng thức bình phương của một tổng

(x - 1)2 +2(x - 1)(x + 2) +(x + 2)2 = 0

 (x - 1 + x + 2)2 = 0

 (2x + 1)2 = 0

 2x + 1 = 0

 x =  12

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = { 21 }

c Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa về phương trình tích:

Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 – x – 2x + 2 = 0

Giải: x2 – x – 2x + 2 = 0

 x2  x  2x 2  0 x x  1 2x 1 0

 (x - 1) (x – 2) = 0























1

2 0

1

0 2

x

x x

x

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {2;1}

d Sử dụng phương pháp tách hạng tử để đưa về phương trình tích:

Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 + 2x - 3 = 0

Giải: x2 + 2x -3 = 0

 x2 + 3x – x – 3 = 0

 (x2 + 3x) – (x+ 3) = 0

 x(x + 3) – (x+ 3) = 0

 (x + 3)(x – 1) = 0

 x + 3 = 0 hoặc x – 1 = 0

 x = -3 hoặc x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-3;1}

Do đây cũng là phần trọng tâm, theo chuẩn kiến thức kĩ năng học sinh cần nắm được, vì vậy tôi tiếp tục sử dụng phương pháp thảo luận nhóm theo cách 1 Bên cạnh đó do lượng bài tập tương tự nhiều, và kỹ năng phân tích thành nhân

tử đã có, tôi chia nhóm theo khu vực địa lí và giao thêm cho học sinh chuẩn bị bài tập trước, hoặc bài tập tự làm ở nhà

e Một số bài toán phải biến đổi mới có nhân tử chung (dành cho HS khá, giỏi)

Ví dụ 5: Giải phương trình: x4 2x35x2 4x 12 0

Giải:

x  x  x  x   x x   x x  x 

3

2

 x2;x 1(vì x2     )x 6 0 x

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-2 ;1}

2.3.2.2 Sử dụng phép đổi biến trong phân tích đưa về phương trình tích:

a Các bài toán đổi biến trực tiếp.

Ví dụ 1: Giải phương trình (x +1)4 + (x + 3)4 = 16

Giải:

Đặt: x + 2 = y

Ta có phương trình : (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 Rút gọn ta được : 2y4 + 12y2 +2 = 16  y4 + 6y2 + 1= 8

 y4 + 6y2 - 7= 0

 y2 – 1)(y2 + 7) = 0

 y2 =1( vì y2 + 7 > 0)  y =  1

Nếu y = 1  x = -1

Nếu y = -1  x = -3

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-1 ;-3}

b Các bài toán thực hiện phép tính rồi mới đổi biến:

Ví dụ 2: Giải phương trình :

(x - 1)(x – 2)(x - 5)(x - 6) = 252

Giải:

(x - 1)(x – 2)(x - 5)(x - 6) = 252

 (x 1 )(x 6 )(x 2 )(x 5 )= 252

 (x2 – 7x + 6 )(x2 - 7x + 10) = 252

Đặt x2 - 7x + 8 = y

Ta có phương trình : (y – 2)(y + 2) = 252

 y2 – 4 =252

 y2 = 256  y = 16

Với y = 16 ta có: x2 - 7x + 8 = 16

 x2 - 7x - 8 = 0

 (x - 8)(x + 1) = 0

 









 1

8

x x

Với y = -16 ta có: x2 - 7x + 8 = -16  x2 - 7x + 24 = 0

Phương trình vô nghiệm vì: