PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚCSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP NHẰM HỆ THỐNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY MÔN TOÁN 8 CHO HỌC SINH TRƯỜNG
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ GIẢI PHÁP NHẰM HỆ THỐNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY MÔN TOÁN 8 CHO HỌC SINH TRƯỜNG
THCS ĐIỀN LƯ-BÁ THƯỚC
Người thực hiện: Lê Văn Hồng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường trung học cơ sở Điền Lư-Bá Thước
SKKN thuộc môn: Toán
Trang 2
II: NỘI DUNG
3.1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử và bài tập áp dụng 4-113.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn cho các đối tượng học sinh tích
cực, chủ động để khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh:
11-16
4 Hiệu quả của sáng kiến 16-17
III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN
Trang 3I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học là xu thế chungcủa chương trình giáo dục nhiều nước trên thế giới hiện nay Với nước ta, đây làyêu cầu mang tính đột phá nhằm đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục mà Nghịquyết 29 (2013) của Đảng và nghị quyết 88 (2014) của Quốc hội đã đề ra
Trong những năm gần đây, để chuẩn bị cho chương trình giáo dục phổthông 2018, các thầy giáo cô giáo đã và đang tích cực thực hiện đổi mới phươngpháp dạy học như: chuyển từ dạy học định hướng nội dung sang dạy học địnhhướng phát triển năng lực và phẩm chất người học Môn Toán THCS cũngkhông nằm ngoài xu hướng đó
Trong chương trình Toán THCS phân tích đa thức thành nhân tử là mộttrong những nội dung quan trọng Việc phân tích đa thức thành nhân tử được ápdụng nhiều vào việc biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, rút gọn các biểuthức, giải các phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức
Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có rất nhiều phương pháp.Ngoài ba phương pháp cơ bản ở SGK (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,nhóm các hạng tử), ta còn có thể sử dụng một số phương pháp khác như: thêmbớt cùng một hạng tử, tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, đặt ẩn phụ, phươngpháp hệ số bất định, )
Theo Chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình Toán 8, chủ đề phân tích
đa thức thành nhân tử yêu cầu học sinh phân tích được đa thức thành nhân tửbằng các phương pháp cơ bản, trong trường hợp cụ thể Đó là yêu cầu cơ bản,tối thiểu về kiến thức, kỹ năng Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài yêu cầu
về kiến thức cơ bản, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác, vận dụng nhữngkiến thức nâng cao Thực tế có rất nhiều sách nâng cao, phát triển viết về chủ đềphân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, với thời gian hạn chế mà tài liệutham khảo rất nhiều, làm sao để các em học sinh lớp 8 hiểu sâu, nắm vững, vậndụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán?
Việc khai thác một bài toán nói chung và bài toán trong SGK nói riêng làviệc cần làm đối với GV toán Bởi nó giúp cho GV nguồn tư liệu phong phútrong việc soạn giảng các chủ đề tự chọn; chương trình phụ đạo HS yếu kémcũng như bồi dưỡng HS giỏi, v,v Vậy, giáo viên phải thiết kế, tổ chức, hướngdẫn học sinh thực hiện các hoạt động học tập như thế nào để có thể khai thác sâukiến thức, kỹ năng phù hợp với khả năng tiếp thu của các đối tượng học sinhnhằm nâng cao chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn?
Với những trăn trở đó, là giáo viên trực tiếp dạy học Toán 8 nhiều năm,
tôi đã chọn đề tài “Một số giải pháp nhằm hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và phát triển tư duy môn Toán 8 cho học sinh trường THCS Điền Lư-Bá Thước ” để nghiên cứu.
2.Mục đích nghiên cứu:
Nhằm mục đích bổ sung khắc sâu phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử Từ đó các em có thể làm tốt các bài phân tích đa thức thành nhân tửtrong trong chương trình Toán THCS đặc biệt là Toán 8
Trang 4Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉcác bài toán đơn thuần phân tích đa thức thành nhân tử mà cả các dạng toánkhác có liên quan tới phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài toán là một yêucầu rất quan trọng đối với học sinh Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho họcsinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán
có liên quan tới phân tích đa thức thành nhân tử, tìm phương pháp truyền đạt,hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng caokiến thức cho mình
- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết phântích đa thức thành nhân tử sao cho hợp lý
- Điều tra 34 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nângcao, mở rộng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử và có bao nhiêu họcsinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức
3 Đối tượng nghiên cứu:
- Hướng dẫn học sinh nắm được nội dung và các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng
tử, thêm bớt cùng một hạng tử, tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, đặt ẩnphụ, phương pháp hệ số …
- Hướng dẫn học sinh nắm được nội dung và cách vận các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử Tránh những sai lầm khi pháp phân tích đa thứcthành nhân tử
- Giúp học sinh nắm chắc pháp phân tích đa thức thành nhân tử và pháttriển tốt tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo thông qua các bài tập
4 Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiêncứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp phỏng vấn, điều tra
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN
dạy học môn Toán THCS là “Tích cực hoá các hoạt động học tập của học sinh,
rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo”.
Giáo viên ngoài việc cung cấp cho học sinh những tri thức phổ thông, cầnhướng dẫn học sinh cách tự học một cách hợp lý Nếu rèn luyện cho học sinh
Trang 5cách học có phương pháp, có thói quen, có kỹ năng tự học, biết vận dụng linhhoạt những kiến thức đã học vào các tình huống thực tế, biết tự lực phát hiệnvấn đề, đặt ra và giải quyết những vấn đề trong thực tiễn thì sẽ tạo cho các emlòng ham học, khơi dậy những tiềm năng vốn có của học sinh.
Trong quá trình dạy học Toán, trên cơ sở những bài toán trong SGK, từmột bài toán đơn giản, bằng cách phát hiện ra những tính chất mới của bài toán,bằng cách diễn đạt bài toán dưới những hình thức khác, đi sâu khai thác khíacạnh, biết thay đổi giả thiết, lật ngược vấn đề, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương
tự hóa, khai thác ta có thể đề xuất được nhiều bài toán mới Qua đó, học sinhthấy được sự phong phú đa dạng của toán học, rèn luyện ở các em kỹ năng phân tích giả thiết để tự mình đề ra phương án tối ưu nhất giải quyết bài toán
Giáo viên giúp các em “Khai thác, phát triển” từ bài tập đơn giản trongsách giáo khoa thành những bài tập hay hơn, khó hơn sẽ góp phần quan trọngtrong việc rèn luyện các kĩ năng, nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, đemđến cho học sinh những điều lý thú và sâu sắc
Kiến thức toán rất rộng, hệ thống bài tập nhiều, vì vậy không phải kiếnthức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra được Giáo viênchỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài tập quan trọng, cách
mở rộng cũng có nhiều hướng khác nhau Khái quát hoá để mở rộng thànhnhững bài toán tổng quát khó hơn Tương tự hoá để giới thiệu thêm những bàitoán có cùng phương pháp giải Đặc biệt hoá để đưa bài toán về dạng đặc biệthơn, dễ nhớ hơn, có khi chỉ đơn giản là phân tích thêm những kiến thức có liênquan để hướng dẫn học sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêucầu mới cho bài toán
2 Thưc trạng:
Trong chương trình Toán 8, chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử”được đưa vào chương I- Phép nhân và phép chia các đa thức Theo kế hoạchgiaosducj nhà trường hầu hết các nhà trường đều lập kế hoạch học sinh được
học 5 tiết (từ tiết 9 đến tiết 13) Trong nhiều sách nâng cao, phát triển, sách tham
khảo, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập áp dụng đượccác tác giả quan tâm đưa vào với một số lượng lớn các bài tập Tuy nhiên khôngthể có một tài liệu viết đáp ứng được đầy đủ các nhu cầu cho từng đối tượng họcsinh và cho các thầy, cô giáo
Với học sinh lớp 8, phần lớn các em vẫn còn thụ động trong quá trình họctập, chưa có thói quen chủ động tìm kiếm, bổ sung kiến thức Ngay cả đối với đa
số học sinh khá, giỏi Toán, với thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều,học sinh thường lúng túng, không có đủ thời gian để có thể tự hệ thống chomình được các phương pháp, kinh nghiệm giải toán về chủ đề phân tích đa thứcthành nhân tử
Trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là các đề thi cấp huyện,cấp tỉnh, hầu hết các bài toán đều đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thứcnâng cao một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt thì mới có thể làm được Nhiều dạngtoán khác nhau đòi hỏi học sinh không những chỉ biết dùng các phương pháp cơbản (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử) mà còn phải biết
Trang 6các phương pháp khác (đặt ẩn phụ, tách hạng tử, xét giá trị riêng, ) thì mới cóthể phân tích được các đa thức thành nhân tử và mới giải được bài toán.
Là giáo viên dạy học môn Toán 8 ở trường THCS Điền Lư và nhiều nămtham gia ôn thi học sinh giỏi tôi hiểu rằng: Học sinh hiểu bài, nắm được cácphương pháp phân tích đa thức cơ bản, làm được các bài tập trong sách giáokhoa là hoàn toàn chưa đủ, mà phải biết phát triển, hiểu sâu và vận dụng thànhthạo hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Những hạn chế,yếu kém của học sinh trong phân tích các đa thức thành nhân tử một phần là dolỗi của giáo viên trong phương pháp dạy học Những hạn chế và cũng là khókhăn của nhiều giáo viên Toán là việc quan tâm chưa nhiều đến việc phát triển
hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán cho học sinh ngay trong từng tiếtdạy học theo phân phối chương trình nhằm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, nângcao hiệu quả dạy học Toán
Hiểu được thực trang trên tôi đã tiến hành khảo sát 34 học sinh lớp 8trường THCS Điền Lư năm học 2018 – 2019 khi chưa áp dụng và thu được kếtquả như sau:
Giỏi % Khá % TB % Yếu % Kém %
2 5,9 5 14,7 12 35,3 11 32,4 4 11,7
Từ thực trạng trên cho thấy gần nửa học sinh dưới điểm trung bình, số họcsinh khá giỏi rất ít điều đó chứng tỏ nhiều học sinh chưa nắm chắc các phươngpháp đã học trong sách giáo khoa chính vì vậy vận dụng còn mắc nhiều sai lầm.Nguyên nhân chính của thực trạng trên đó là: Giáo viên chưa chú ý nhiều tớiviệc cho học sinh áp dụng phương pháp đã học vào giải toán, qua giải bài tập đểcủng cố các phương pháp và xây dựng kiến thức mới, về phía học sinh các emtiếp thu kiến thức một cách thụ động, nặng về mặt lí thuyết điều này đòi hỏi cầnphải thay đổi cách dạy và học nhằm đáp ứng với mục tiêu và phương pháp dạyhọc mới, giúp học tăng cường khả năng áp dụng lí thuyết vào giải bài tập mộtcách chính xác, tránh những sai lầm ngộ nhận khi áp dụng lí thuyết vào bài tập
cụ thể, sáng tạo trong giải toán, qua đó giúp học sinh phát triển tốt tư duy từ đógiúp các em học tốt và yêu môn toán hơn
3 Các giải pháp thực hiện:
3.1: Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và bài tập áp dụng
3.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung:
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đóbiểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác
Thông qua một số ví dụ cụ thể, GV giúp HS thực hành theo các bước:
- Bước 1: Tìm nhân tử chung
+ Lấy ƯCLN của các hệ số trong các hạng tử của đa thức đã cho
+ Lây tất cả các chữ (hoặc các biểu thức) là nhân tử chung với số mũ củamỗi chữ (hoặc mỗi biểu thức) ấy bằng số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử
Trang 7- Bước 2: Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các
đa thức để viết đa thức đó thành tích: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc,viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng:
AB + AC + + AF = A(B + C + + F)
GV lưu ý học sinh: Ta chỉ áp dụng phương pháp này khi các hạng tử của
đa thức có nhân tử chung Nhưng muốn có nhân tử chung đôi khi ta phải đổi dấucác hạng tử bằng cách đưa số hạng vào trong dấu ngoặc hoặc đặt trước ngoặcdấu trừ
Thông qua một số ví dụ cụ thể, GV giúp HS thực hành theo các bước:
- Bước 1: Phát hiện và quy về dạng một trong các hằng đẳng thức đángnhớ
Đối với HS khá, giỏi cần nhớ một số hằng đẳng thức nâng cao:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
- Bước 2: Áp dụng các hằng đẳng thức để viết đa thức thành dạng luỹthừa hoặc tích
Trang 8Bước 1: Phát hiện các hạng tử có chứa nhân tử chung, kết hợp chúngthành từng nhóm rồi đặt nhân tử chung.
Bước 2: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùnghằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới
Phát hiện tiếp các hạng tử mới đó, các hạng tử nào có chứa nhân tử chung,kết hợp thành nhóm rồi lại đặt nhân tử chung
Cứ thế, tiếp tục cho đến khi viết được thành tích
GV lưu ý học sinh:
+ Để kết hợp các hạng tử thích hợp, cần làm như sau:
Trong trường hợp đơn giản phải dùng tính nhẩm để thấy rằng sau khikết hợp thành từng nhóm, các nhóm đều có nhân tử chung
Trong trường hợp phức tạp, ta dùng các phép thử Tuy nhiên, muốn cho
số phép thử là ít nhất ta phải luôn nhận xét khả năng xuất hiện nhân tử chungcủa các nhóm
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức 2ax + y + 2x + ay thành nhân tử.
Kết hợp từng cặp hai hạng tử theo thứ tự trong đa thức đã cho ta được:(2ax + y) + (2x + ay)
Các nhóm không có nhân tử chung nên không thể thực hiện được việcphân tích Bây giờ, ta thử kết hợp 2ax + 2xx, nhóm còn lại phải là y + ay, ta có:
2ax + y + 2x + ay = (2ax + 2x) + (y + ay) = 2x(a + 1) + y(1 + a)
= (a + 1)(2x + y)
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức x3 + 3x2 – y3 + 1 + 3x thành nhân tử
Nếu kết hợp từng nhóm hai hạng tử hoặc ba hạng tử thì trong mọi trườnghợp, các nhóm đều không có nhân tử chung Để ý rằng hai hạng tử đầu và haihạng tử cuối là lập phương của một tổng, ta có thể nhóm lại, sau đó đưa về hiệuhai lập phương để phân tích:
Ví dụ Phân tích các đa thức thành nhân tử:
1) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a – b) = (a – b)(a2 – b2) = (a – b) 2 (a+ b)
2) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c+ 4)(c2 – 4c + 16).3) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Trang 9= 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[(x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2) ]
3.1.5 Phương pháp tách hạng tử
Phương pháp:
Tách một hạng tử hoặc một số hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thíchhợp nhằm làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể áp dụng các phươngpháp khác (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử) đểphân tích được
Ví dụ : Phân tích đa thức A = 4x2 – 8x + 3 thành nhân tử
Ta nhận thấy với các phương pháp thông thường thì không thể phân tích
đa thức A thành nhân tử được vì A không có nhân tử chung, đa thức A không códạng một hằng đẳng thức nào Đa thức A chỉ có 3 hạng tử nên cũng không thểdùng phương pháp nhóm hạng tử Vì vậy ta có thể tách một hạng tử thành haihạng tử để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho:
- Hoặc có thể dùng hằng đẳng thức để phân tích tiếp
- Hoặc có thể đặt nhân tử chung
phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới
Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức:mpx2 + (mp + nq)x + nq = (mx + n)(px + q)
Như vậy trong tam thức ax2 + bc + c, hệ số b được tách thành b1 + b2 saocho b1b2 = ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c = m
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách Chọn
hai thừa số mà tổng bằng b: m = b1.b2 mà b1 + b2 = b
Bước 3: Biến đổi ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c =
Cách 2: Tách c Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa
thức về dạng hiệu của hai bình phương
Cách 3: Giải phương trình ax 2 + bx + c = 0 (có thể dùng máy tính cầm tay để giải) Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1 và x2, thế thì:
Trang 10Ví dụ : 2x2 – 7xy + 5y2 = 2x2 – 2xy – 5xy + 5y2
= 2x(x – y) – 5y(x – y) = (x – y)(2x – 5y)
Đối với các đa thức bậc cao, tìm nghiệm của đa thức là một phương pháp thường dùng để định hướng cách tách các hạng tử để phân tích các đa thức thành nhân tử.
Thông qua một số ví dụ cụ thể, GV hướng dẫn HS nắm được:
Nếu x = a là nghiệm của đa thức P(x) thì khi phân tích P(x) thành nhân tử,
ta sẽ có x – a là một thừa số của tích
Khi tìm nghiệm của đa thức, ta thường xét đến các khả năng sau:
- Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do
đó đa thức chứa thừa số x – 1
- Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hế số của cáchạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x + 1
- Trong trường hợp đa thức không có nghiệm 1 và –1, ta nghĩ đến đa thức
có nghiệm nguyên a hay không Nghiệm nguyên a, nếu có của đa thức P(x) phải
là ước của hạng tử tự do
- Có trường hợp đa thức P(x) không chứa thừa số x – a mà chứa thừa số
mx – n (m khác 1; –1) Khi đó đa thức chứa nghiệm hữu tỉ n
m Nghiệm hữu tỉ n
m
, (m, n ) = 1, nếu có của đa thức phải thoả mãn n là ước của hạng tử tự do, m làước dương của hạng tử có bậc cao nhất
Việc tìm nghiệm của đa thức có thể sẽ thuận lợi hơn nhiều khi ta dùng sơ
đồ Hoocne hoặc giải các phương trình bậc hai, phương trình bậc ba bằng máytính cầm tay
Ta có thể sử dụng cách giải của phương trình hồi quy tìm nghiệm của đathức, từ đó suy ra kết quả
Ví dụ: x4 + 7x3 – 6x2 + 7x + 1
Xét phương trình: x4 + 7x3 – 6x2 + 7x + 1 = 0 (*)
Vì x = 0 không thoả mãn (*) nên chia cả hai vế cho x2, (*) trở thành:
0 6
1 7
1
2 2
x
Đặt t = 1 1 2 2
2 2
Trang 11Cộng thêm vào đa thức một hạng tử đồng thời bớt hạng tử đó đi để đathức không đổi Trong một số trường hợp ta có thể thêm bớt các hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương
- Đưa về dạng các hằng đẳng thức đã biết hoặc làm xuất hiện các nhân tửnào đó mà ta có thể biết trước
Ví dụ:
1) 4x4 + y4 = 4x4 + 4x2y2 + y4 – 4x2y
= (2x2 + y2)2 – (2xy)2 = (2x2 – 2xy + y2)(2x2 + 2xy + y2)
2) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 – (3abc + 3a2b + 3ab2)
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
GV lưu ý HS:
Các đa thức dạng x3k + 1 + x3m + 2 + 1 đều chứa nhân tử x2 + x + 1 Do đóKhi phân tích các đa thức dạng này thành nhân tử, ta dùng phương pháp thêmbớt, giảm dần số mũ của luỹ thừa
Tuy nhiên khi tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thừa, ta cần chú ý đến cácbiểu thức dạng a6 – 1, a3 – 1, là những biểu thức chia hết cho a2 + a + 1
Ví dụ: Phân tích đa thức x5 + x + 1 thành nhân tử
Cách 1: x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + 1
= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)Cách 2: x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x2(x – 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
Với các đa thức dạng x3k + 1 + x3m + 2 + 1 mà 3k + 1 và 3m + 2 đều chẵn, sau
khi đặt ẩn phụ x2 = y, đa thức lại đua về dạng y3k + 1 + y3m + 2 + 1 thì khi phân tích
đa thức thành nhân tử, kết quả phải là tích của ít nhất 3 thừa số