Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh THCS áp dụng bất đẳng thức cauchy vào giải bài toán tìm cực trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓAPHÒNG GD &ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI BÀI TOÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD &ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ

Người thực hiện: Lê Thu Hồng Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Quảng Thắng SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2021

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Dạy học giải toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một trongnhững vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông Việcgiải bài toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ

và rèn luyện học sinh về nhiều mặt Qua giải toán học sinh rèn luyện được suynghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết một vấn đề và nhiều phẩmchất đạo đức của người lao động trong xã hội này

Đối với giáo viên dạy giải toán là một tình huống điển hình trong mỗi tiếtdạy Dạy giải toán là một công việc đầy khó khăn mang tính sáng tạo, linh hoạt,đòi hỏi mỗi giáo viên phải có phương pháp khoa học, hợp lý phải có sự nỗ lực

cố gắng vươn lên Bởi vì mỗi dạng toán, bài toán, giáo viên không chỉ đơn thuầncung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm

ra con đường hợp lý để giải toán

Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy trong các kì thi khảo sát chấtlượng mỗi học kì, các kì thi vào lớp 10 THPT, các đề thi vào trường chuyênphần lớn đều có bài toán về tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mộtbiểu thức gọi chung là bài toán cực trị Đây là một loại toán đa dạng, phong phú,

có trên cả ba lĩnh vực của toán học: Số học, đại số, hình học Chính vì vậy, vấn

đề giải bài toán cực trị cần được quan tâm không chỉ riêng đối với công tác bồidưỡng học sinh giỏi mà cần được phát triển rộng hơn trong việc bồi dưỡng kiếnthức cho học sinh đại trà

Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất là một vấn đề khó Cácphương pháp giải lại rất đa dạng phong phú, việc sử dụng bất đẳng thức CauChy

là một phương pháp để giải loại toán này Tuy nhiên, nếu sử dụng phương phápnày lại giải quyết được rất nhiều bài tập về GTLN - GTNN Chính vì vậy, tôi đã

chọn và viết đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học cơ sở

áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải bài toán tìm cực trị”.

Qua đề tài sẽ giúp học sinh có hứng thú với dạng toán tìm GTLN - GTNNnâng cao năng lực tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập Đặc biệt là giảiquyết tốt các bài toán tìm GTLN - GTNN có liên quan đến bất đẳng thứcCauChy

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và việc giảicác bài tập tìm cực trị nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức mớinhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động,sáng tạo và làm công cụ giải quyết bài tập có liên quan đến bất đẳng thức CauChy

- Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm các bài tập trong sách giáokhoa, sách tham khảo

- Giải quyết các thắc mắc, sửa chữa các sai lầm hay gặp khi giải bài toán tìm giátrị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất.

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp căn bản vàvận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

- Thông qua việc giải các bài toán cực trị giúp học sinh thấy mục đích của việchọc toán và học tốt hơn các bài tập tìm cực trị, đồng thời góp phần nâng cao chấtlượng giáo dục

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong sáng kiến này tôi nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 9A, 9Btrường THCS Quảng Thắng năm học 2018 - 2019, thực hiện trong các giờ luyệntập, ôn tập cuối học kì, cuối năm và ôn thi cho học sinh thi tuyển vào lớp 10THPT

1 4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu

- Phương pháp phỏng vấn, tọa đàm

- Phương pháp quan sát sư phạm

- Phương pháp kiểm tra sư phạm

- Phương pháp luyện tập, thực hành và qua các bài kiểm tra

- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm

Qua việc nghiên cứu tài liệu và tìm hiểu trên mạng Internet; Qua các buổitập huấn chuyên môn; Qua trải nghiệm thực tế với GV dạy Toán trong trường;Qua các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán cực trị; cùng với việckết hợp các phương pháp nêu trên để thực hiện sáng kiến này

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là môn học quan trọng để phát triển năng lực trí tuệ, tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh Môn Toán phải góp phần cùng với các môn học khác thực hiện mục tiêu chung là giúp cho học sinh nắm vững tri thức toán học phổ thông cơ bản, thiết thực, có kỹ năng thực hành toán học

Dạng toán tìm GTLN – GTNN là dạng toán khó, đòi hỏi học sinh phảinắm vững kiến thức và có kỹ năng vận dụng ở mức độ cao, khả năng tư duysáng tạo nhạy bén và linh hoạt Tuy nhiên, lứa tuổi học sinh lớp 9 các em đangbước vào giai đoạn tập làm người lớn, tiếp thu bài nhanh song cũng nhanh quên,

độ bền chưa có nhiều.Vì thế giáo viên cần có định hướng đúng cho các em, cầnchỉ ra các sai lầm thường gặp, các phương pháp thường sử dụng và cho các emcác bài tập luyện tập để các em khắc sâu được phương pháp làm, từ đó vận dụngđược vào các bài toán khác Chính vì lẽ đó, tôi đã nghiên cứu và áp dụng đề tài:

“Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học cơ sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải bài toán tìm cực trị”.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.2.2.1 Thuận lợi:

Trường THCS Quảng Thắng có cơ sở vật chất tương đối đầy đủ Giáoviên được tạo mọi điều kiện về giảng dạy Máy chiếu đa năng được sử dụngthường xuyên Giáo viên được các cấp lãnh đạo, nhà trường cũng như hội phụhuynh học sinh quan tâm tạo mọi điều kiện để thực hiện tốt công tác giảng dạy Đội ngũ giáo viên bộ môn Toán trường tôi phần đông đều đạt chuẩn và trênchuẩn Bản thân tôi cũng như các giáo viên khác được tạo điều kiện giảng dạyđúng chuyên môn

Về phía học sinh, đa số các em học sinh ngoan, lễ phép, có ý thức vươn lêntrong học tâp, sĩ số một lớp ít, các em có lòng đam mê tìm tòi học hỏi, chăm chỉhọc tập

2.2.2 Khó khăn

Về giáo viên bản thân tôi và các đồng nghiệm trong trường cũng có nhiềutrăn trở nhưng do bận con nhỏ, chồng thì công tác xa nên thực sự việc bồi dưỡnghọc sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10 còn nhiều hạn chế

Về phía học sinh, trường THCS Quảng Thắng là trường vùng ven nên đầuvào thấp, số học sinh trung bình và dưới trung bình chiếm tỉ lệ lớn trong lớp, sốlượng học sinh khá giỏi chiếm tỉ lệ ít Nhiều phụ huynh chưa quan tâm đến việchọc tập của con em mình và một số phụ huynh đi làm ăn xa nên cũng không sátsao được việc học tập của con

2.2.3 Kết quả khảo sát

Qua quá trình theo dõi, đánh giá bằng phiếu học tập theo hình thức kiểm tra khảo sát đầu năm học 2018 - 2019 của học sinh khối lớp 9 trường THCS QuảngThắng, kết quả đạt được như sau:

Lớp Số học

sinh

Sốlượng

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%

Tổng 50 10 20% 21 42% 12 24% 7 14%Trong quá trình học, có nhiều học sinh tâm sự “cứ đề bài liên quan đếntìm GTLN - GTNN là em thấy khó, với bài kiểm tra thì phần lớn chúng emkhông biết làm thế nào”, “nếu gặp bài toán tìm GTLN – GTNN thì em xác định

bỏ không làm bài ấy” Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có 2 nguyên nhân chính:

Thứ nhất: Bài tập tìm GTLN - GTNN là một dạng bài tập khó

Thứ hai: Số lượng bài tập các em được tiếp cận ít, thời gian các em đượcluyện tập không nhiều

Chính vì thế các em rất sợ loại toán này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trước tiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh hiểu rõ các kiến thức sau:

* Định nghĩa GTLN - GTNN của một biểu thức.

(+) Định nghĩa:

- Ta nói m là GTNN của f(x,y…) xác định trên miền D, ký hiệu min f = m nếuhai điều kiện sau thỏa mãn:

+ ∀x, y….∈ D thì f(x, y…) ≥ m (m là hằng số) (1)

+ Tồn tại xo, yo,… ∈ D sao cho f(xo, yo,…) = m (m là hằng số) (2)

Lưu ý: Để có min f = m thì nhất thiết phải có 2 điều kiện trên cùng xảy ra, nếuchỉ một trong hai điều kiện thì chưa kết luận gì về GTNN

- Ta nói M là GTLN của f(x,y…) xác định trên miền D, ký hiệu max f = M nếuhai điều kiện sau thỏa mãn:

+ ∀x, y….∈ D thì f(x,y…) ≤ M (M là hằng số) (3)

+ Tồn tại xo, yo,… ∈ D sao cho f(xo, yo,…) = M (M là hằng số) (4)

Lưu ý: Để có max f = M thì M phải là hằng số và nhất thiết phải có hai điều kiệntrên cùng xảy ra, nếu thiếu một trong hai điều kiện này thì không thể kết luận gì

+ Nếu a + b = k không đổi thì max

4

2

k

ab= ⇔a = b

Kết quả trên được mở rộng với n số không âm

+ Nếu a1, a2 …… an = k không đổi thì min a1 + a2 + …….+ an = nn k

⇔a1 = a2 = …… = an

+ Nếu a1 + a2 + …… + an = k không đổi thì max a1 a2 …… an =

n k n

*Mục đích: Học sinh hiểu rõ và nắm chắc bất đẳng thức CauChy Biết tìm giá trị

của biến x để biểu thức đạt cực trị

*Biện pháp: Áp dụng bất đẳng thức CauChy, tổng kết kinh nghiệm.

Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức

x

x x

yz z xy

Áp dụng bất đẳng thức CauChy:

Thay xy ≥ 4 vào biểu thức (1) ta tìm được GTNN của A

Các bài tập vận dụng: (Giáo viên cho bài tập về nhà)

3

16

− +

5 Cho x > 0, y > 0 và x + y = 2a (a > 0) Tìm GTNN của A = 1x+ 1y

Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳngthức CauChy với các số trong đề bài Giáo viên cần hướng dẫn học sinh một sốbiện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức CauChy rồitìm cực trị của nó

2.3.2 Phương pháp 2: Biến đổi biểu thức cần tìm cực trị.

*Mục đích: Biến đổi biểu thức cần tìm cực trị để áp dụng bất đẳng thức CauChy.

* Phương pháp:

- Bình phương biểu thức cần tìm cực trị

- Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác không

- Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng các biểu thức sao cho tích của chúng

là một hằng số

- Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho

- Biến đổi và tìm cực trị ở biến mới.

2.3.2.1 Biện pháp 1: Bình phương biểu thức cần tìm cực trị.

Nhận xét: ở trên A có dạng tổng hai căn thức mà biểu thức lấy căn có tổng

không đổi thì để tìm cực trị của A ta bình phương biểu thức A

Bài tập vận dụng:

1 Tìm GTLN của biểu thức A= 5 −x+ 23 −x

2 Cho x + y = 15 Tìm GTLN, GTNN của B = x− 4 + y− 3

3 Tìm GTNN của A = xy z + yz x + zx y với x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1

2.3.2.2 Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với một số khác 0

*Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức, khi ta nhân hay chia cả

tử thức và mẫu thức của phân thức với cùng một số khác không thì giá trị củaphân thức không thay đổi

Ví dụ 6: Tìm GTLN của

x

x A

Nhận xét: Ở đây ta đã nhân cả tử và mẫu với 9 con số 9 có được là vì tích haithừa số x – 9 và 9 luôn có tổng bằng x khi sử dụng bất đẳng thức CauChy trên

tử xuất hiện x sẽ rút gọn được với thừa số x ở mẫu cho ta kết quả là một hằng số

Bài tập vận dụng:

1 Tìm GTLN của

y

y x

*Phương pháp: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để triệt tiêu biến trong

dấu căn của bất đẳng thức CauChy

3 = + + + ≥ = = +

=

x x x x x

x x x x x

x có tích không phải là một hằng số Muốn khử

bỏ x3 thì tử phải có x3 = x.x.x do đó biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bất đẳngthức Cô si với 4 số dương

6

.

2

4 2

16

2

16

6 2

12 3

2

12

3

= + +

x

y y

y

x x

x

y x

16

4

2 12

3 16 5 12 16

3

12 5 48 2 60

2

y

x y

y

x x

Sai lầm ở chỗ

3

16

; 5

2 Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 và xyz(x + y + z) = 1

3 Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 và xyz(x + y + z) = 1

4 Tìm GTNN của P= 3x+ 2y+ 6x+ 8y với x >0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6

5 Tìm GTNN của

x

x x A

2

5 6

x )( ) ( + +

Ví dụ 9 : Cho x ≥ 0 Tìm GTNN của Q =

) 1 ( 2

17 2

2

+

+ +

x

x x

Nhận xét : Để tìm GTNN của Q ta biến đổi tử sao cho có hạng tử chia được cho

x + 1 Vì vậy

1

8 2

1 )

1 ( 2

16 2

1 )

1 ( 2

16 2

2

+ +

+

= + +

+

= +

+ +

=

x

x x

x x

x x Q

Q sẽ trở thành tổng 2 hạng tử có tích bằng 4 Từ đó ta áp dụng được bất đẳngthức CauChy

Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

9 ).

1 ( 2 2 1

9 1

1

9 1 1

9 ) 1 )(

1 ( 1

≥

− + +

+

=

+ +

−

= +

+ +

−

= +

x

x

x x

x x

x x

Nhận xét: Trong các phép biến đổi biểu thức P ở trên, lần 1 ta tìm cách biến đổi

tử để có hạng tử chia được cho x+ 1 ta được:

1

9 1

+ +

−

=

x x

1

9 1

+

−

x và

=

x x

P và áp dụng bất đẳng thức CauChy với 2

số dương

1

9 1

+

+

x và

y xy x

y x

x 2 2

Ta có: A 2 1

2

9 2 2

−

= +

−

=

x

x x

x x x x

Áp dụng bất đẳng thức CauChy với 2 số dương

x

và x

x 2 2

9

− ta có:

7 1

9

2

2 2

9 2

2

2

9

= +

x

A

x

x x

x x

2

9 = − ⇔ =

x x

Các bài tập sau giải tương tự ví dụ 11:

1 Cho x > 0 Tìm GTNN của A =

1

25 4

−

+

x x

2 Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của

x x

2.3.2.4 Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho

*Phương pháp: Khi cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức thì

bất đẳng thức không đổi chiều

Ví dụ 12: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2.

Tìm GTNN của

y x

z x z

y z y

x P

+

+ +

+ +

Bài giải:

Với x, y, z > 0 thì biểu thức P luôn xác định

Áp dụng bất đẳng thức CauChy với 2 số dương

4

2 y z và z y

Tương tự:

z z y x y x

z y

x y x

z

y y x z x z

y x

z x z

y

x x z y z y

x z

y z y

x

=

=

+ +

≥

+ + +

=

=

+ +

≥

+ + +

=

=

+ +

≥

+ + +

2 2 4

2 4

2 2 4

2 4

2 2 4

2 4

2 2

2 2

2 2

z y x z y x y x

z x z

2

Hay P + 1 ≥ 2 => P ≥ 1

Dấu “=” xảy ra ⇔

3 2

2 4 4 4

2 2 2

+

= +

+

= +

+

= +

z y x

z y x

y x y x z

x z x z y

z y z y x

x

+

2

trong bài để vận dụng bất đẳngthức CauChy có thể khử y + z Cũng tương tự như vậy đối với hạng tử thứ 2 vàthứ 3 Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời và ta tìm được x = y = z =

3 2

Giáo viên lưu ý sẽ có nhiều học sinh đã thêm y + z vào hạng tử

z y

x

+

2

đểkhi vận dụng bất đẳng thức CauChy để khử y + z nhưng khi tìm được x, y, z đểdấu “=” xảy ra đồng thời ta lại không tìm được x, y, z Do vậy không tìm đượcGTNN của P

Bài tập vận dụng: Tìm GTNN của:

a)

b a

c a c

b c

d a c

c c b

b b

+ +

+

+

= 2 2 2 2 với a, b, c, d > 0; a + b + c + d = 1

2.3.2.5 Biện pháp 5: Đổi biến và tìm cực trị với biến mới.

* Phương pháp: Bằng cách đặt ẩn phụ ta đổi biến để áp dụng bất đẳng thức

y y

Tuy nhiên, ở bài tập này học sinh cũng có thể nhận ra cách giải tương tự ví dụ 8

2.3.3 Một số chú ý khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm GTLN - GTNN.

Chú ý 1 : Khi làm bài toán cực trị học sinh cần nắm vững các tính chất của bất

đẳng thức hay dùng Không mắc sai lầm khi sử dụng các tính chất đó Muốnvậy, giáo viên cần nhấn mạnh các tính chất thường dùng sau:

+ Cộng cùng 2 vế bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức cùng chiều vớibất đẳng thức đã cho

a ≥ b; c ≥ d => a + c ≥ b + d

Lưu ý: Không được trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.

+ Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

a ≥ b ≥ 0 và c ≥ d ≥ 0 => a.c ≥ b.d

Lưu ý: Chỉ nhân hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm.

+ Lấy nghịch đảo 2 vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu

Chú ý 2: Đôi khi để vận dụng được bất đẳng thức CauChy chúng ta phải phối

hợp nhiều biện pháp khi biến đổi biểu thức tìm cực trị, vận dụng linh hoạt bấtđẳng thức CauChy mới có thể tìm được cực trị

Ví dụ 14: Tìm GTLN của A = x2 9 −x2

Bài giải:

Nhận xét: Ở đây ta đã sử dụng lần lượt biện pháp biến đổi sau: Bình phương

biểu thức A, biến đổi A2 sao cho chúng thành các thừa số, các thừa số này cótổng không đổi Từ đó có thể áp dụng bất đẳng thức CauChy

Chú ý 3: Khi giải bài toán tìm GTLN – GTNN nhiều khi ta cần xét từng khoảng

giá trị của biến sau đó so sánh các giá trị của biểu thức trong các khoảng ấy đểtìm GTLN – GTNN

2 x x x x x

2

2 4 )