Một số biện pháp hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9 trường THCS xuân dương giải một số bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước thường gặp

Một số biện pháp hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9 trường THCS Xuân Dương giải một số bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn hệ thức cho trước thường gặp tr

6 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 5

7 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 5

8 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

6

9 2.3 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9

trường THCS Xuân Dương giải một số bài toán tìm điều

kiện của tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn hệ

thức cho trước thường gặp trong kì thi vào lớp 10 THPT

11 b Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để parabol y = ax2

và đường thẳng y = ax + b thỏa mãn điều kiện hệ thức cho

12 c Dạng 3: Lập hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào giá

trị của tham số

16

13 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18

Tuy nhiên trong nhứng năm gần đây dạng toán này không còn đơn giảnnhư những năm trước kia mà đã có phần phức tạp mà có những HS khá, giỏicũng chưa có kĩ năng biến đổi tìm ra hướng giải thích hợp cho bài toán

Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạngtoán cũng được đề cập đến tương đối nhiều Trong số đó, các bài toán về tìmđiều kiện của tham số đề phương trình bậc hai thỏa mãn hệ thức chotrước là một mảng kiến thức quan trọng Tuy nhiên ở sách giáo khoa chưa đềcập đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối với các đốitượng học sinh trung bình, yếu Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đốitượng học sinh khá, giỏi lớp 9 thi vào lớp 10 có kết quả cao, bản thân người dạyphải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các bài toán khác nhau với cách giải khác nhaucủa dạng toán này để hướng dẫn HS có kĩ năng trình bày tốt

Với Trường THCS Xuân Dương , công tác ôn thi vào lớp 10 THPT là nhiệm

vụ chuyên môn được chú trọng, đánh giá chất lượng day- học của nhà trườngtrong tất cả các năm học, đặc biệt đối với những học sinh khá giỏi lớp 9 làm thếnào để các em có kiến thức, kĩ năng tốt khi làm dạng toán này trong bài thi Từ

những yếu tố khách quan và chủ quan đó tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề tài “Một

sô biện pháp hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9 trường THCS Xuân Dương giải một số bài toán tìm điều kiện của tham

số để phương trình bậc hai thỏa mãn hệ thức cho trước thường gặp trong kì thi vào lớp 10 THPT” Nhằm tìm ra các biện

pháp hữu hiệu, để có những phương án thích hợp giúp học chủ động, sáng tạo,hứng thú trong quá trình học

Các bài toán về toán tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc haithỏa mãn hệ thức cho trước rất phong phú về dạng toán, nhưng trong nội dungsáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình thường gặp trongcác kì thi xào lớp 10 THPT của những năm gần đây và một số định hướng giảicho từng dạng toán đó

- Hệ thức Vi- et

- Các bài toán vận dụng hệ thức Vi- et

- Một số biện pháp hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9 giải một số bàitoán tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn hệ thức chotrước thường gặp trong kì thi vào lớp 10 THPT của trường THCS Xuân Dương

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấnđáp

- Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liênquan

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong giai đoạn phát triển khoa học kĩ thuật công nghệ hiện nay, trình độnhân thức của con người từng bước được phát triển rõ rệt nhằm đáp ứng nhu cầucủa mọi người dân bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng hiếu họccủa nhân dân Vì vậy trng dạy học người giáo viên cần phát triển ở học sinhnhững năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực ,sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề ởnhiều góc độ khác nhau Khai thác và phát triển cái cũ trong cái mới, cái mớitrong cái cũ để đi đến kiến thức mới Để thực hiện được điều đó không phảingày một,ngày hai mà người giáo viên phải đặt học sinh vào tình huống có vấn

đề để tạo cho các em những thách thức trước những vấ đề mới, vì vậy vai trò củngười giáo viên là hết sức quan trọng

Hiện nay ngoài công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong các nhà trườngTHCS đang được quan tâm thì công tác ôn thi vào lớp 10 cũng là một trongnhững vấn đề đánh giá chất lượng dạy và học của một nhà trường

Chính vì vậy, các nhà trường THCS cần xác định được mục tiêu đó lànhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiếtthực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vàothực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồidưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêutrên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành vàphát triển ở học sinh các tư duy cần thiết

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a.Thực trạng

Ưu điểm: Trường THCS Xuân Dương là trường chuẩn Quốc gia nên cơ

sở vật chất và các loại trang thiết bị dạy học tương đối tốt và đầy đủ Có đội ngũgiáo viên nhiệt tình và tâm huyết, có kinh nghiệm trong giảng dạy

Một số học sinh có tư chất thông minh, có thiên hướng học các môn khoahọc tự nhiên, nhiều em yêu thích môn toán.

Học sinh có kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et nên không

bỡ ngỡ nhiều với dạng toán này

Nhược điểm:

Về học sinh: Một số học sinh gặp khó khăn trong việc biến đổi các biểu thứcliên quan đến công thức nghiêm, hệ thức Vi-et theo tham số nên dẫn đến sai sót

Kĩ năng lập luận và biến đổi của các em còn hạn chế

Một số dạng toán còn mới mẻ nên học sinh chưa có kĩ năng biến đổi tốt

Nguyên nhân:

- Nguyên nhân khách quan:

+Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít + Sách giáo khoa chưa đưa ra những bài toán nâng cao về các dạng toán vềdạng toán này

- Nguyên nhân chủ quan:

+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao vềphương trình bậc hai chứa tham số

+ Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyệnnhiều

Trong quá trình dạy học và ôn thi tôi nhận thấy đề làm được thành thạocác dạng toán thì bên cạnh các kiến thức cần sáng tạo trong giải toán thì trongquá trình học cần nhìn nhận bài toán ở nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhauBên cạnh đó việc quan sát, nhận xét để tìm tòi lời giải nhanh rất quan trọng Họcsinh cần luyện tập nhiều để rèn kĩ năng và tích lũy kinh nghiệm giải toán chobản thân

b Kết quả thực trạng

Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó cóbiện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham giagiải cùng học sinh các bài toán và tiến hành khảo sát 20 em trong lớp mà tôiđảm nhận Cụ thể hai bài toán sau:

Trong năm học 2018 – 2019 tôi đã tiến hành khảo sát học sinh lớp 9 ( 20em) bằng các phiếu và kết quả như sau:

Bài toán 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x+m2 - 1 = 0 Tìm các giá trịcủa m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho :

(x1 – x2)2 = x1 – 3x2

Bài toán 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):

4

y = 2x – b + 1 và parabol (P): y =

2 1

2x Tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

có tọa độ (x y1 ; 1 ) và (x y2 ; 2 ) thỏa mãn điều kiện x x y1 2 ( 1 y2 ) 84 0  

Kết quả thu được sau khi các em làm 2 bài tập trên như sau:

Khó Chưa có định hướng làm Trình bày chưa tốt

2.3.1 Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:

- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết

- Củng cố trong những tiết luyện tập

Vậy tại sao chúng ta phải cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về giải

PT bậc hai bằng công thức nghiệm, nắm vững hệ thức Vi-ét và ứng dụng?

Vì từ đó vận dụng vào giải các bài toán một cách chính xác, gọn gàng

2.3.2 Hệ thống kiến thức cơ bản và cung cấp cho HS kiến thức mở rộng:

- Cung cấp lí thuyết và củng cố các bài tập trong những buổi ôn tập, dạy thêm ,ôn thi vào lớp 10 THPT

- Định nghĩa phương trình bậc hai và cách giải

-Tính thành thạo biệt thức delta theo tham số

-Tính nghiệm của phương trình theo tham số

- Lập hệ thức Vi-et theo tham số

Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì

{S=x1+x2=−b

a P=x2 x2=c

Với các kiến thức trên tôi xin giới thiệu và phân thành các dạng bài tập như sau

2.3.3 Hướng dẫn vận dụng các phương pháp giải các dạng bài toán về

Phương trình bậc hai chứa tham số

a

B3: Biến đổi bài toán xuất hiện tóng và tích ,vận dụng hệ thức Vi-et để

thế vào hệ thức, tùy bài toán để biến đổi được kết quả nhanh nhất)

B4: Đối chiếu điều kiện và kết luận giá trị của tham số vừa tìm được

a Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có 2 nghiệm

1

x và x2

thoả mãn hệ thức cho trước

Bài toán 1: Cho phương trình : x2m1x5m 6 0 ( m là tham số)

a

1 2

1 2

1 (1)

Nếu hệ số b là một số cụ thể thì việc lập hệ và giải hệ phương trình để tìm ra

m lại rất đơn giản Trong bài tập này giáo viên lưu ý do hệ số b chứa tham số nên giải hệ PT theo tham số để tìm ra x1, x2 sẽ chứa tham số

Bài toán cho hệ thức: 4x1  3x2  1 Học sinh phải biết kết hợp với x 1 + x 2 = m –

- Theo hệ thức Vi- et:

1 2

1 2

1 (1)

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

GV hướng dẫn HS thực hiện các bước:

* Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

* Lập được hệ thức vi-et {x1 +x2=m+2

x2 x2=−6

Gợi ý cho học sinh nhận ra x1 + x2 chính bẳng m – 2 thế vào hệ thức

x12–x1 x2 +(m – 2)x2 = 16 là nhanh nhất Khi thay vào đã xuât hiện x1 x2 và

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:∆ = (m -2)2 + 24 > 0

≥ 0 với mọi x, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Hướng dẫn :Bài toán này thấy xuất hiện tích hai nghiệm nhưng chưa xuấthiện tổng hai nghiệm , ta không đi theo hướng phân tích thành tổng và tích hainghiệm mà phải biết nhóm hạng tử làm xuất hiện đa thức x12 - 3x 1+ 2 phân tíchđược thành nhân tử

Trong bài toán này HS cần phải

* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Vậy m = 1 thì PT đã cho có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x12+ x 1 x 2 + 2 = 3x 1 +x 2

Bài toán 5: Cho phương trình: x2 – (m+1)x +m - 4 = 0 (1) (m là tham số)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn:

a

Trong bài toán này học sinh cần phải nhận thấy triển khai phương trình đã cho và biến đổi để xuất hiện x2 – mx + m ỏ vế trái, sau đó thay x1, x2 vào sẽ xuất hiện vế trái của hệ thức, bài toán được đưa về tổng và tích hai nghiệm

Giải:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là:

∆’= (m + 1)2 – 4m + 16 ¿ (m- 1)2 + 16 ¿ 0 với mọi x, nên phương trình (1) luôn

có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo hệ thức Vi-et ta có:{x1 +x2=(m+1)

x2 x2=m−4

Biến đổi phương trình (1) ta được : x2 – mx + m = x + 4

Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có :

Bài toán 6 Cho phương trình: x2 – 6x + m -3 = 0 (1) ( m là tham số)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn :

(x1 – 1)(x22 x22 - 5x2 +m – 4) =2 (*)Hướng dẫn

* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 phân biệt :

* Lập được hệ thức vi-et { x1 +x2=6

x2 x2=m−3{S=x1+x2=−b

a P=x2 x2=c

Vì x2 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có x22 – 5x2 + m – 4 = x2 – 1

Thay vào (*) ta được : (x1 -1)( x2 -1) = 2

*Bài toán 7: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

x2 - 2(m- 1)x + m2 = 0 có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn:

(x 1 – x 2)2 + 6m = x 1 – 2x 2 ( m là tham số)

Hướng dẫn : Chỉ ra ∆’ > 0 => m

10

* Lập được hệ thức vi-et {x1 +x2=2 (m−1)(1)

x2 x2=m2 (2) {S=x1+x2=−b

a P=x2 x2=c

a

Chỉ ra cho HS nhận thấy biến đổi vế phải của hệ thức là x 1 – 2x 2 theo m

Áp dụng : (x 1 – x 2)2 = ¿1 + x 2)2 - 4x2x2 thay tổng và tích hai nghiệm ở trên vàoKết hợp với (1) ta được hệ phương trình :

a

Bài toán này học sinh có thể làm theo cách triển khai vế trái của hệ thức đểtìm x1 và x12 Với cách này quá dài để đi đến kết quả Tuy nhiên nếu phân tíchphương trình đã cho để xuất hiện (x -1)2 theo m thì bài toán lại ngắn gọn nhiều

Giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt là:

∆’= (m - 1)2 – 4m + 11 ¿ (m- 3)2 + 3 ¿ 0 với mọi x, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo hệ thức Vi-et ta có:{x1 +x2=−2 (m−1)(1)

x2 x2 =4 m−11(2) Biến đổi phương trình đã cho ta được :

Vậy m = -2, m = 3 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài 3: Cho phương trình x2 – 2mx – 4m- 5 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn

12 x2 –(m-1)x1 + x2 – 2m + 332 = 762019

Bài 4: Cho phương trình: 4x2 +(m2 + 2m -15)x +(m +1)2 – 20 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn

2x Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x y1; 1) và (x y2; 2) thỏa

mãn điều kiện x x y1 2 ( 1 y2 ) 48 0  

Hướng dẫn:

12

* Lập PT hoành độ giao điểm để tìm ra hoành độ giao điểm của hai đồ thị Lưu

ý là (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên phải có ∆ > 0 hoặc ∆’> 0 nên phải tìmđiều kiện của tham số để phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt

* Lập được hệ thức vi-et { x1 +x2=4

x2 x2=2 a−2

Với dạng toán này cần giúp HS nắm chắc ngôn ngữ diễn đạt khi trình bày vì

đây là dạng toán liên quan đến sự tương giao giữa hai đồ thị Hiểu được x1, x2

chính là ngiệm của phương trình hoành độ giao điểm để biểu thị y1theo x1, y2

theo x2 thay vào hệ thức (có thể thay x1, x2 vào hàm số y =

2 1

  (thỏa mãn a  ) hoặc 3 a  (không thỏa mãn 7 a  )3

Vậy a  thỏa mãn đề bài 1

Bài toán 10: Cho parabol (P) : y = x2 vµ đường thẳng (d):

y = 2(m - 1)x + m2 + 2m (m là tham số, m  R)

Chứng minh rằng parapol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phânbiệt A, B Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm A, B, Tìm m sao cho:

x12 +x22 + 6x1x2 > 2016

Hướng dẫn HS : Thực hiên các bước giống bài toán 9

* Lập PT hoành độ giao điểm

* Tính ∆ theo m và chỉ ra được ∆ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có 2nghiệm phân biệt

* Biến đổi hệ thức để xuất hiện tổng và tích hai nghiệm , kêt hợp với hệ thức

Phương trình (*) có :  ' m121(m2 2 ) 2m  m21 > 0 với mọi m

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó parapol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B

Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm A, B thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

m m

GV hướng dẫn : Các bước giải cơ bản như bài 10

* Lập PT hoành độ giao điểm

* Tìm điều kiện của m để PT hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt:

*Lập được hệ thức vi-et { x1 +x2=2(1)

x2 x2=−m

2 (2){ x1 +x2=4

x2 x2=2 a−2

* Biểu thị y1theo x1, y2 theo x2

Thay x1, x2 vào hàm số y = 2x2 hoặc y = 2x + m để tìm y1, y2

Biến đổi hệ thức để xuất hiện tổng và tích hai nghiệm kêt hợp với hệ thức Vi-et

tìm ra m

14

(Đề Hậu Giang năm 2019- 2020)

Bài 2: Gọi (P) và (d) lần lượt là các đồ thị của hàm số y = x2 và

y = 2mx +3 Tìm tất cả các số thực m sao cho :y1 – 4y2 = x1 – 4x2 +3x1x2

(Đề trích Đột phá toán 9 + toán thi vào lớp 10 THPT

Nguyễn Đỗ Chiến - Phí Thị Khánh Vân

c Dạng 3: Lập hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào giá trị của tham số

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm :

Bước 2: Lập hệ thức Vi-ét tìm S, P theo m

Bước 3: Khử tham số m từ S , P để có hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m

Bµi toán 12 : Cho phương trình : m 1x2 2mx m  4 0  có 2 nghiệm

1; 2

x x Lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m

( m là tham số)