Rèn kĩ năng tính tổng dãy số viết theo quy luật cho học sinh trường THCS lý tự trọng

Các bài toán về tính tổng dãy số viết theo qui luật được học sinh tiếp cận từ lớp 6 đến lớp 9,nhưng trong chương trình không có tiết lý thuyết nào đề cập đến mà chỉ ra dưới dạngcác bài t

1.PHẦN MỞ ĐẦU1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tính tổng dãy số viết theo qui luật là những bài toán khó trong chương trìnhTHCS , khó bởi vì nó đòi hỏi khả năng tư duy, sáng tạo trong cách học Các bài toán

về tính tổng dãy số viết theo qui luật được học sinh tiếp cận từ lớp 6 đến lớp 9,nhưng trong chương trình không có tiết lý thuyết nào đề cập đến mà chỉ ra dưới dạngcác bài tập đơn giản.Trong khi đó các kỳ thi HSG , thi vào lớp 10 PTTH và thi vàocác trường chuyên trong tỉnh cũng như quốc gia thường có dạng bài này

Thực tế qua theo dõi các kỳ thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh , thi vào chuyên có rấtnhiều bài toán tính tổng dãy số rất khó ,học sinh không định hướng được cách giảihoặc giải một cách thiếu chặt chẽ và không chính xác Vì vậy mà việc giúp các emđịnh hướng được cách giải bài toán tính tổng dãy số viết theo qui luật và rèn khảnăng linh hoạt sáng tạo trong giải toán là việc làm thật sự quan trọng và cần thiết

Với những lí do đã nêu ở trên tôi đã viết đề tài “ Rèn kỹ năng tính tổng dãy số viết theo qui luật cho học sinh trường THCS Lý Tự trọng - TPTH ” Thông qua

đề tài này tôi muốn góp thêm một cách làm để giúp học sinh phát huy được năng lực

tư duy sáng tạo trong học toán, từ một bài toán cụ thể có thể khai thác mới từ đó giúpcác em có thể nắm được bản chất của dạng toán đó và luôn có những ý tưởng sángtạo trong giải toán, giúp các em càng thêm yêu thích bộ môn toán nhiều hơn

1.2.MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

- Đề tài giúp học sinh nắm được các dạng bài toán về tính tổng các dãy số viết theo

qui luật từ lớp 6 đến lớp 9 từ đó giúp các em có thể định hướng được cách làm các bàitoán này

- Đề tài còn giúp học sinh biết xuất phát từ một bài toán cơ bản khai thác nó để cóđược các bài toán mới

- Đề tài còn giúp bồi dưỡng năng lực phát hiện tìm tòi lời giải bài toán , phát huy khảnăng suy luận óc phán đoán của học sinh

- Nghiên cứu đề tài này tôi muốn trao kinh nghiệm dạy “ Tính tổng dãy số theo quiluật” với các đồng nghiệp giúp việc dạy học đạt kết quả tốt hơn

1.3: ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu về cách tính tổng dãy số viết theo qui luật trong chương trình toán THCS

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

+) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

+) Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

+) Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2: NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

Trong xu thế phát triển ngày càng cao của xã hội thì giáo dục cũng ngày càng phảiđổi mới nhiều để tiến kịp với sự phát triển đó Với mục tiêu đào tạo học sinh trở thànhnhững con người phát triển toàn diện về đạo đức ,trí tuệ , thẩm mỹ, các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân , tính năng động và sáng tạo Vì vậy trong dạy học cầnphát huy tính tích cực, tự giác, chủ động , sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng

bộ môn , bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học , khả năng hợp tác rèn luyện kỹnăng vận dụng kiến thức vào thực tế gây hứng thú học tập cho học sinh

Do đó để giúp cho học sinh có phương pháp tự học tốt và chủ động sáng tạo trongviệc tiếp thu kiến thức thì việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải bài tập , cách pháthiện đường lối giải khi đứng trước một bài toán cụ thể là một việc làm vô cùng quantrong và cần thiết bởi điều đó sẽ làm cho HS vững vàng và tự tin hơn khi làm toán Đối với việc dạy học sinh tính tổng dãy số theo qui luật:

- Cần giúp cho học sinh xác định được phương pháp tính tổng dãy số viết theo qui luậttrên thuộc những dãy quen thuộc nào từ đó giúp học sinh định hướng được cách giải

- Học sinh cần được hiểu bản chất của việc tính tổng dãy số viết theo qui luật thôngqua hệ thống bài tập

- Cần giúp học sinh biết tính tổng dãy số theo qui luật ở các dạng bài các nhau

- Học sinh biết đưa các dạng toán khác về bài toán tính tổng dãy số viết theo qui luật

2.2 Thực trạng việc dạy tính tổng dạy số viết theo qui luật ở trường phổ thông.

2.2.1 Về phía giáo viên :

- Đây là phần toán khó không có tiết lí thuyết nào trong chương trình mà chỉ đưa ra ởcác dạng bài tập đơn giản trong sách giáo khoa toán 6 vì vậy giáo viên hầu hết chỉ dạyqua và không chú trọng đến nhiều

- Đối với việc ôn thi học sinh giỏi thì cũng được giáo viên đề cập nhưng cũng chưa cónhiều tài liệu viết nhiều về vấn đề này và mỗi lớp chỉ đề cập đến một số bài vì vậy việcdạy ôn HSG cũng gặp nhiều khó khăn

2.2.2 Về phía học sinh :

- Chưa có phương pháp giải các bài toán dạng này nên còn sợ và lười suy nghĩ

- Chưa nắm được bản chất của việc tính tổng dãy số

- Việc tự học của các em còn nhiều hạn chế

Xuất phát từ yêu cầu thực tế trên tôi đã mạnh dạn viết những kinh nghiệm mà bản thân

đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi ở

các khối lớp dưới dạng đề tài: “ Kinh nghiệm rèn kỹ năng tính tổng dãy số viết theo qui luật cho học sinh THCS ”

2.3.NHỮNG GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Để dạy học sinh tính tổng dãy số trước tiên ta cho học sinh tiếp cận một số các phương pháp tính tổng thường dùng sau đây

1.1.Phương pháp 1: Nhóm các số hạng để tạo thành các nhóm có giá trị bằng nhau

1.2.Phương pháp 2: Phương pháp khử liên tiếp

Để tính tổng dãy số ta biến đổi mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số hạng

của một dãy khác sao cho các số liên tiếp là những số đối nhau , từ đó ta có thể rút gọn để được kết quả đơn giản

Chẳng hạn muốn tính tổng :

S = x1 + + +x2 x3 +x k

Ta biến đổi

1.4.Phương pháp 4: Phương pháp qui nạp

Đôi khi trong quá trình giải toán tính tổng bằng cách thử với những giá trị cụ thể ta

có thể dự đoán được kết quả của tổng sau đó bằng phương pháp chứng minh ta chứng minh được kết quả đó là đúng

Ví dụ 4 : Tính tổng : S = 3 3 3 3

1 + + + 2 3 100 +Nhận xét

Vậy mệnh đề (*) đúng với mọi số nguyên dương n

Áp dụng kết quả vừa chứng minh ở trên thì S =

2

2

100(100 1)

5050 2

2

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ:

2.1.Tống của dãy số nguyên:

2.1.1.Tổng của đãy cách đều :

Dãy cách đều là dãysố mà hai số hạng liên tiếp hơn kém nhau cùng một hằng số không đổi thường gọi là khoảng cách

Phần này cần trang bị cho học sinh các công thức cần nhớ sau đây:

Số số hạng dãy = (số cuối – số đầu ): khoảng cách +1

Tổng của dãy cách đều = (số đầu + số cuối ) Số số hạng : 2

Ở bài toán trên các số hạng đều là các số tự nhiên , nếu thay các số hạng này bằng các

số nguyên viết theo một qui luật nào đó về dấu thì việc tính tổng sẽ được tính như thế nào?

Ví dụ 2: Tính tổng S = 1- 2 +3 - 4 +5 – 6 +7 - +999 - 1000

Phân tích tìm lời giải:

Rõ ràng tổng trên không thể thực hiện theo công thức tính tổng của dãy số cách đều vì vậy cần hướng cho học sinh cách kết hợp các số hạng sao cho các nhóm phải có cùng một giá trị bằng , đó là kết hợp theo qui luật dấu Trong ví dụ này dấu của các số hạng thay đổi theo qui luật: “ + ; -“ vì vậy có thể nhóm như sau:

S = (1- 2) +(3 - 4 )+(5 – 6) +(7 - 8)+ + (999 - 1000) và tổng có 1000 số hạng

S = (-1)+(-1)+(-1)+ +(-1) (có 1000: 2 = 500 số (-1))

Nhận xét : Đối với dãy mà các số hạng là các số cách đều nhau hoặc dấu tuân theo

một qui luật nào đó thì nên hướng cho học sinh dùng phương pháp thứ nhất “Nhóm

các số hạng để tạo thành các nhóm có giá trị bằng nhau” để tính tổng.

2.1.2.Tổng có các số hạng là tích của các số nguyên:

Ví dụ 4: a) Chứng minh rằng: với n là số tự nhiên khác 0 thì :

n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = 3n(n+1)

b) Tính tổng : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100

Phân tích tìm lời giải:

- Học sinh dễ dàng chứng minh được câu a bằng các biến đổi vế trái : dùng phương pháp đặt thừa số chung để có kết quả bằng vế phải

- Ta thấy mỗi số hạng của tổng có dạng như vế phải vì vậy để sử dụng câu a ) cần phải làm xuất hiện hệ số là 3 đứng trước mỗi số hạng , để ý rằng các thừa số của mỗi số hạng trong tổng hơn kém nhau 1 đơn vị và hệ số 3 chính là 3 lần khoảng cách giữa các thừa số đó

Phân tích tìm lời giải:

Ta nhận thấy mỗi số hạng của tổng hơn kém nhau 2 đơn vị vì vậy có thể áp dụng làm

tương tự như ví dụ 4 bằng cách nhân hai vế với 3.2 = 6

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 1) + 5.7(9 3) + + 97.99(101 95)

= 1.3.5 + 1.3.1 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99

= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + +

97.99.101 - 95.97.99

= 3 + 97.99.101

Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toỏn:

Vớ dụ6: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100

Phõn tớch tỡm lời giải:

Ở vớ dụ 4 ta thấy rằng mỗi số hạng gồm hai thừa số hơn kộm nhau 1 đơn vị thỡ ta nhõn

cả 2 vế với 3 = 2+1( bằng số số hạng cộng 1) Do đú để tớnh tổng ở vớ dụ 6 ta để ý rằngcỏc số hạng của tổng là một tớch gồm 3 thừa số , mỗi thừa số hơn kộm nhau 1 đơn

vị vỡ vậy ta sẽ nhõn với 2 vế với 4 = 3+1 (bằng số số hạng cộng 1)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4

= 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … +98.99.100(101 - 97)

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … +98.99.100.101 - 97.98.99.100

= 98.99.100.101

⇒ A = 98.99.25.101

= 24 497 550

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở vớ

dụ 6 ta được bài toỏn:

Vớ dụ 7: Tính A = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 95.97.99

Phõn tớch tỡm lời giải:

Trong Vớ dụ 6 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách) , ở vớ dụ này khoảng

cỏch là 2 do đú ta nhõn hai vế với 4.2 = 8

8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … +95.97.99(101 - 93)

4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k)

Tương tự như cỏc vớ dụ trờn trong quỏ trỡnh dạy giỏo viờn cú thể cho HS làm những bài tập cú số thừa số ở mỗi số hạng là 4; 5;6 thừa số và thay đổi khoảng cỏch giữa cỏc thừa số một cỏch tuỳ ý để được cỏc bài toỏn mới cú cỏch giải tương tự

Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong Vớ dụ 4 ta được bài toỏn mới

Vớ dụ 8 :Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100

Phõn tớch tỡm lời giải:

Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngaymột thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cáchtính hoặc dễ dàng tính đợc Làm tơng tự với các bài toán:

A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + + (98 + 1).100

= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + ….+ 98.100 + 100

= (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … +100)

= (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7+ … + 99)

= 171650 – 2500 = 169150

Vớ dụ 9: Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002

Phõn tớch tỡm lời giải:

Thực chất bài toỏn trờn chớnh là bài toỏn tớnh tổng:

A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 +….+ 100.100 do đú cú thể thực hiện theo cỏch làm của

vớ dụ 8 đú là tỏch trực tiếp mọt thừa số trong mỗi số hạng để đưa về dóy quen thuộc

A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99+ 1)

= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 +100

= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + ….+ 100)

= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99+ 97.99

= 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99)

Phân tích tìm lời giải:

Ta nhận thấy mỗi số hạng của tổng là một tích gồm 3 thừa số trong đó có 2 thừa số lẻ, một thừa số chẵn vì vậy gợi ý cho ta tách thừa số chẵn bằng hiệu của hai số lẻ để đưabài toán về dạng quen thuộc

A = 1.3.( 5 - 3) + 3.5.( 7 - 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 - 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 +….+ 5.7.9 +… + 99.101.103 ) - ( 1.3.3 +3.5.3+ … + 99.101.3 )

= ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 - 3.171650 = 13002450

Ví dụ 12: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +… + 99.1002

Phân tích tìm lời giải:

Ta có thể viết lại biểu thức A = 1.2.2 + 2.3.3 + 3.4.4 + ….+ 99.100.100

Bài toán này có thể đưa về ví dụ 8 và ví dụ 11 bằng cách tách thừa số cuối cùng của

mỗi số hạng như sau:

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1)

= 1.2.3 1.2 + 2.3.4 2.3 + 3.4.5 3.4 + + 99.100.101 99.100

= (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + +99.100)

Nhận xét: các bài toán tính tổng ở phần này thường sử dụng việc tách một thừa số

thích hợp trong các số hạng ta được các số hạng mới đối nhau để rút gọn hoặc tách

ra thành 2 tổng mà có thể sử dụng được những bài toán đã biết.

Phân tích tìm lời giải:

Đối với câu a) học sinh chỉ cần biến đổi vế phải bằng cách qui đồng mẫu số các phân

số sẽ được điều phải chứng minh

Từ kết quả câu a) GV cần chỉ ra cho học sinh thấy rằng nếu phân số có mẫu là tích của hai thừa số mà hiệu của chúng bằng tử số thì bao giờ cũng viết dưới dạng hiệu hai phân số đều có tử số là 1 và mẫu là các thừa số của tích

b) theo kết quả câu a) ta đễ dàng tính được tổng trên:

1 3 3 5 5 7 − + − + − + + 97 99 1 99 − = − = 99

Ví dụ 15: Tính tổng M = 3 3 3 3

2.4 4.6 6.8 + + + + 98.100

Phân tích tìm lời giải:

Các số hạng của M có hiệu hai thừa số dưới mẫu là 2 nhưng tử số là 3 vì vậy không

có dạng tổng quát như công thức ở ví dụ 14 vì vậy để sử dụng được nó thì cần phải

biến đổi để được các số hạng mới có tử là 2 bằng cách nhân cả tử và mẫu với 2 và đặt thừa số chung là 3

2ra ngoài

Phân tích tìm lời giải:

Mỗi số hạng của tổng trên có hiệu 2 thừa số dưới mẫu số là 3 vì vậy phải biến đổi để tử

số cũng phải bằng 3 ,do đó ta đặt 3 là thừa số chung ra ngoài sẽ xuất hiện dạng bài

1 2

) 3 2 (

5 )

2 1 (

3

+

+ +

+ +

n n n

Phân tích tìm lời giải:

Xét số hạng thứ k

Ta cã : [ ]2 2 2

; ( 1) ( 1)

3

1 2

1 ) 2

1

n

) 2 ( ) 1 (

Bài tập tương tự:

1, S =

61 59

4

9 7

4 7 5

4

+ + + 2, A =

66 61

5

26 21

5 21

1 3 2

.

1

1

+ + + + +

n n

n 4, Sn =

100 99 98

2

4 3 2

2 3 2 1

5 4 3 2

1 4 3 2

.

1

1

+ + + + + +

n n n n

2.4 Tổng có chứa các luỹ thừa của cùng cơ số

VÝ dô 20: Tính S = 1 12 13 199

2 2 + + 2 + + 2

Phân tích tìm lời giải:

Quan sát các mẫu ta thấy chúng đều là luỹ thừa của cơ số 2 và mỗi số hạng dưới mẫu

là các luỹ thừa có số mũ là những số tự nhiên liên tiếp vì vậy nếu nhân hai vế với cơ số

2 sẽ được tổng mới nhiều số hạng giống tổng đã cho từ đó có thể biến đổi và thay thế đểđược một phương trình có ẩn chính là tổng đã cho:

2

− ) ⇔ =S 1 199

2

−

Ta có thể nhân 2 vế của S với 1

2 và làm tương tự thì vẫn được kết quả như trên

Ví dụ 21: Tính S = − − − − − 1 3 3 2 3 3 3 − n với n∈N*

Phân tích tìm lời giải:

Quan sát bài toán ta thấy rằng nếu đặt dấu (-) ra ngoài thì sẽ đưa bài toán về dạng quenthuộc , sau đó nhân 2 vế với cơ số 3 là làm tương tự :

Nhận xét: Đối với tổng mà mỗi số hạng là tổng của các luỹ thừa cùng cơ số ta

thường nhân 2 vế với cơ số và biến đổi để đưa về phương trình có ẩn là tổng càn tìm.

Bài tập tương tự: Tính các tổng sau:

1) A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 6 3 2) S = 5 + 52 + 53+ + 5 99 + 5100

3) M = 0 1 2 2005

3

1

3

1 3

1 3

1

+ + + +

2.5 Tổng có chứa giai thừa:

Phân tích tìm lời giải:

Để tính tổng dãy số này ta cần trục căn thức ở mẫu với mục đích làm cho các mẫu bằngnhau để thực hiện phép cộng các tử số