Một số giải pháp khăc phục sai lầm khi áp dụng định lí vi ét vào giải một số dạng toán cho học sinh lớp 9 ở trường THCS lâm xa

Song qua việc giảng dạy Toỏn lớp 9 tại trường THCS Lõm Xa tụi nhận thấy cỏc em vận dụng hệ thức Vi ột vào giải toỏn chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thỏc và sử dụng hệ thức Vi ột vào

MỤC LỤC

Mục lục

2.2 Thực trạng về vấn đề trước khi áp dụng SKKN 3

2.3 Giải pháp sử dụng đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.2 Giải pháp 1: Khắc phục các sai lầm thường gặp khi vận dụng

định lí thuận vào các dạng toán

4

2.3.3 Giải pháp 2: Khắc phục các sai lầm thường gặp khi vận dụng

định lí đảo vào các dạng toán

10

2.3.4 Giải pháp 3: Giúp học sinh nắm chắc định lí và phát triển tốt tư

duy Toán học

11

1.MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương

trỡnh toỏn Trung học cơ sở Đõy là chủ đề thường xuyờn xuất hiện trong cỏc kỡ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10 và trong chơng trình sách giáo khoa Toán

lớp 9 THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính

nghiệm của phơng trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán Song qua việc giảng dạy Toỏn lớp 9 tại trường THCS Lõm Xa tụi nhận thấy cỏc em vận dụng hệ thức Vi ột vào giải toỏn chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thỏc và sử dụng hệ thức Vi ột vào giải nhiều loại bài Toỏn, Trong khi

đú hệ thức Vi ột cú tớnh ứng dụng rộng rói trong việc giải toỏn

Trong quỏ trỡnh học tập bài Định lớ Viột của học sinh, cỏc em thường vướng mắc những sai lầm trong việc vận dụng kiến thức đó học vào làm cỏc bài tập toỏn Khi học sinh mắc sai lầm trong giải toỏn, giỏo viờn khụng kịp thời nắm bắt nguyờn nhõn và khụng kịp thời đưa ra cỏc biện phỏp khắc phục những sai lầm

đú là điều đỏng tiếc cho cả giỏo viờn và học sinh

Nếu như trong quỏ trỡnh dạy học Toỏn giỏo viờn đưa ra được những tỡnh huống sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Phõn tớch những sai lầm và nguyờn nhõn dẫn đến những sai lầm, khụng những giỳp cỏc em trỏnh được sai sút mà cũn giỳp cỏc e hiểu sõu hơn về bài đang học

Là một giỏo viờn dạy Toỏn lớp 9, đó nhiều năm được nhà trường phõn cụng

ụn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phộp, tụi đều thực hiện ụn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Sau khi dạy về hệ thức Vi-ột ở trường THCS Lõm Xa tụi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lớ thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thỡ chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải cỏc bài tập thuộc chủ đề này và nhận thấy cỏc em vận dụng hệ thức VI-ẫT vào việc giải toỏn chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thỏc và sử dụng hệ thức Viột vào giải nhiều bài toỏn trong khi đú hệ thức Viột cú nhiều ứng dụng rộng rói trong giải toỏn Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của cỏc em sẽ khụng cú hệ thống

Như vậy kết quả bài làm của cỏc em khụng cao, bờn cạnh đú hầu hết đề thi vào trường THPT đều cú một phần kiến thức về hệ thức Vi-ột Chớnh vỡ thế, tụi

đó tiến hàn htập hợp từ cỏc sai lầm thường gặp của cỏc em kết hợp với nghiờn cứu SGK, SBT, cỏc tài liệu BDTX toỏn lớp 9 và cỏc tài liệu tham khảo để đưa ra một số giải phỏp khắc phục những lỗi khi ỏp dụng hệ thức vào giải cỏc bài tập

về hệ thức Vi-ột

Từ cỏch nghĩ và những việc làm của mỡnh, ớt nhiều đó cú kết quả nhất định để cỏc đồng chớ tham khảo cỏch làm đú tụi đó viết sỏng kiến kinh nghiệm“ Một số

giải phỏp khắc phục sai lầm khi vận dụng hệ thức Vi ột vào giải một số dạng Toỏn cho học sinh lớp 9 trường THCS Lõm Xa”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số sai lầm thường gặp của học sinh khi áp dụng hệ thức Vi-ét vào việc giải toán, hy vọng các em sẽ tránh được một số sai sót cơ bản này

Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng toán, hiểu được bài toán, nghiên cứu tìm ra cách giải trong sáng kiến Học sinh có đầy đủ SGK, SBT và nắm vững định lí Vi-ét

Tôi đã áp dụng sáng kiến này từ tháng 3 năm 2018 vào việc dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9 trường THCS Lâm Xa thi vào thi THPT năm học 2018-2019, tiếp tục áp dụng cho học sinh lớp 9 năm học 2019-2020, áp dụng cho học sinh lớp 9 năm 2020-2021

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến này là: Một số giải pháp khắc phục sai lầm khi áp dụng hệ thức Vi–ét vào giải các bài toán vận dụng hệ thức Vi ét của học sinh lớp 9 để đáp ứng mục tiêu dạy học hiện nay

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận

- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp chủ nhiệm cùng khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp

- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi

- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài Từ

đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài

- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh [2]

- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm:

Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao Để đào tạo ra lớp người như vậy thì từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác

định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng định "Phải đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''.

Định hướng này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục II

đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh"

Việc nâng cao hiệu quả ôn tập các kiến thức đã học giúp cho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, đồng thời phát triển tư duy, tìm tòi sáng tạo, phát hiện ra vấn đề mới trong chuỗi logic kiến thức Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh đức tính tự lập, sáng tạo, làm việc có kế hoạch và nảy sinh hứng thú học tập

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

2.2.1 Đối với giáo viên:

Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học

2.2.2 Đối với học sinh:

Qua khảo sát tôi thấy:

Số học sinh không thuộc lý thuyết chiếm: 27,5% số học sinh khảo sát

Số học sinh thuộc lý thuyết nhưng vận dụng khá lúng túng chiếm: 50% số học sinh khảo sát

Số học sinh nắm vững lý thuyết và biết vận dụng kiến thức chiếm: 22,5% số học sinh khảo sát

Kết quả kiểm tra:

Năm học Khố

i

Sĩ số

Điểm dưới 5 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10

Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng

đa số các học sinh thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi – ét trong các kì thi tuyển sinh vào trường THPT

Nguyên nhân:

- Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Để khắc phục những tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh

và làm cho học sinh yêu thích môn toán hơn Tôi đã tiến hành các biện pháp khắc phục dưới đây:

2.3.1 Ôn tập lí thuyết

* Định lí Vi-ét: (thuận)

Nếu x1, x2là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ) thì

1 2

b

x x

a c

x x

a



 







Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai

thì có thể suy ra nghiệm kia

*Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 =

c

a

*Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = -

c

a

* Định lí Vi-ét: (đảo)

Nếu hai số u, v thỏa mãn

u v S u.v P







 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P  0)[1]

2.3.2 Giải pháp 1: Khắc phục các sai lầm thường gặp khi vận dụng định lí thuận vào các dạng toán

Sai lầm 1: Chưa biết phương trình bậc hai có hai nghiệm hay không?

Điều kiện để áp dụng được định lí Vi-ét: Cho phương trình bậc 2

ax2 + bx + c = 0 Hệ thức Viét được áp dụng khi phương trình bậc 2 trên có 2 nghiệm, tức là a 0,  0 ' 0

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình bậc 2: 2x2 - 3x + m = 0 có hai nghiệm thoả mãn

hệ thức x12 + x22 =1 [3]

Lời giải chưa đúng: Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2= 32 và x1 x2 = m2

Ta có x12 + x22 =1 (x1+ x2)2 - 2x1 x2 = 1  (32)2 – 2.m2 = 1  m = 54

Vậy với m = 54 thì phương trình bậc 2 có hai nghiệm thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 =1

Trong lời giải trên có gì sai lầm? đây là một sai sót mà đa số học sinh gặp phải

đó là: Trong suy nghĩ các em đọc yêu cầu bài toán “Tìm m để phương trình bậc

có hai nghiệm thoả mãn hệ thức” thì cứ nghĩ người ta cho nghiệm rồi Thực ra ở đây chúng ta chưa biết phương trình đã có 2 nghiệm hay chưa, vì vậy việc đầu tiên chúng ta phải đi tìm cho phương trình có hai nghiệm, trong ví dụ này thì a =

2 ≠ 0 nên ta không xét điều kiện này nữa, cần thêm Đk ∆ ≥ 0

Lời giải đúng:

Để phương trình có 2 nghiệm thì∆ ≥ 0 hay 9-8m ≥ 0

 m ≤9

8 giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+ x2= 32 và x1 x2 = m2

Ta có x12 + x22 =1 (x1+ x2)2 - 2x1 x2 = 1  (32)2 – 2.m2 = 1  m = 54

Kết hợp với điều kiện∆ thì giá trị m = 54 không thoả mãn, vậy không có giá trị nào của m để 2x2 - 3x + m = 0 có 2 nghiệm thoả mãn x12 + x22 =1

Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

* Phương pháp: Đối với dạng này GV hướng dẫn cho HS trước khi áp dụng

định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra a 0,  0 ' 0có thỏa mãn không)

Ví dụ 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:

a) 2x2 - 17x + 1 = 0 b) 25x2 + 10x + 1 = 0 [ 5]

Giải

a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1)

Ta có:    172  4.2.1 281 0   Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,

x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 1 2

b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1)

Ta có:  ' 52  25.1 0  Phương trình có hai nghiệm x1, x2

Sai lầm 2: Hiểu sai về điều kiện có nghiệm của phương trình:

Rất đơn giản nhưng nhiều em rất hay nhầm lẫn là điều kiện có nghiệm của phương trình là Δ > 0 ( hoặc Δ’> 0 ) Các em cứ hiểu là để vận dụng được hệ thức Viét thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt tức là ∆ >0(hoặc ∆ '>0).

GV nên chỉ rõ cho các em điều kiện để áp dụng được chỉ cần phương trình có nghiệm, tức là ∆ ≥ 0(hoặc ∆ ' ≥ 0).

Sai lầm 3:Không xét điều kiện của hệ số a

Ví dụ: Tìm m để phương trình bậc 2: mx2 - 2x - 4 =0 có 2 nghiệm thỏa mãn 2(x1+x2)+x1.x2=6 (1)

Lời giải chưa đúng:

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì với Δ≥0

Với m≤1 thì phương trình có 2 nghiệm

Giả sử 2 nghiệm là x1;x2

Áp dụng hệ thức Viet ta có: x1+x2=2/m; x1.x2= -4/m

Ta có: 2(x1+x2)+ x1.x2=6⇔ m = 0 thỏa mãn với điều kiện bài toán

Phân tích sai lầm: Những sai lầm của nhiều học sinh ở phần này thường là kết

luận thiếu nghiệm Vậy với bài tập này thì cần xét điều kiện hệ số a để có đáp án chính xác nhất

Bài toán trên kết luận với m = 0< 1 thì phương trình có 2 nghiệm Các em tìm

ra giá trị khác chẳng hạn m = 0<1 thoả mãn điều kiện của Δ, và kết luận m =0 thoả mãn, vậy giá trị m = 0 liệu có thoả mãn, thay giá trị m = 0 vào phương trình thì thấy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất x = - 2 không đúng với yêu cầu đề bài Như vậy sao ta có thể áp dụng hệ thức Viét với phương trình chỉ có 1 nghiệm Đây là sai lầm thường gặp mà nhiều em mắc phải khi áp dụng hệ thức Vi-ét vào giải bài tập dạng này

Lời giải đúng:

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì với Δ≥0 và a≠0⇔1−m≥0 và m≠0⇔m≤1và m≠0

Với m≤1 và m≠0 thì phương trình có 2 nghiệm

Giả sử 2 nghiệm là x1;x2

Áp dụng hệ thức Viet ta có: x1+x2=2/m; x1.x2= -4/m

Ta có: 2(x1+x2)+ x1.x2= 6⇔m =0 không thỏa mãn với điều kiện bài toán Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn

2(x1+x2)+x1.x2=6

Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Sai lầm 4: Học sinh nhớ nhầm nghiệm khi áp dụng định lí vào bài toán nhẩm

nghiệm hoặc không tách được c thành tích của hai thừa số ( trường hợp 2)

*Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình

bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 =

c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = -

c

a [1]

Sai lầm học sinh trong việc sử dụng trường hợp 1 này là nhớ nhầm nghiệm, Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 =

-c

a hoặc nếu phương trình ax2 +

bx + c = 0 ( a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn

nghiệm kia là x2 =

c a Nên trong quá trình dạy kiến thức , GV nên có phương pháp như nhắc nhở khắc

sâu nếu a + b + c = 0 thì hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

c

a để học sinh có thể ghi nhớ ngay tại lớp tránh nhầm lẫn giữa trường hợp nghiệm suy ra khi a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 Gv yêu cầu học sinh xác định rõ hệ số a,b,c trong từng phương trình bậc 2

Trường hợp 2: Không áp dụng được các trường hợp riêng của định lí Vi -Ét

Cho phương trình x2 + bx + c = 0

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là

1 2

b

x x

a c

x x

a



 







Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính

ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2

Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

 Chú ý:Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm

- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm

* Ví dụ:Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x2 - 37x + 2 = 0 b) x2 - 49x - 50 = 0 c) x2 + 6x + 8 = 0

Giải

a) 35x2 - 37x + 2 = 0

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0 Do đó phương trình

có một nghiệm là x1 = 1, x2 =

a 35 b) x2 - 49x - 50 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

có một nghiệm là x1 = - 1, x2 =

- 50

c

50



c) x2 + 6x + 8 = 0

Ta thấy  ' 32  1.8 1 0  Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa

   

   

    



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4

Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai

một ẩn cho biết trước một nghiệm

Sai lầm 5:

rất lúng túng không biết dùng đẳng thức nào trong hệ thức Vi ét

x x =

b a



hay 1 2

c

x x

a



khi tìm nghiệm còn lại

* Ví dụ: