Giải pháp giúp học sinh lớp 9 trường THCS ban công phát triển tư duy hình học thông qua hoạt động học chủ đề góc với đường tròn

Để học tốt môn Toán thì học sinh không chỉ dừng lại ở việc nắm vữngmột nội dung kiến thức mà phải vận dụng được kiến thức đó vào để giải quyếtnhiều dạng bài tập khác nhau, biết cách lập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS BAN CÔNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÌNH

HỌC THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG HỌC CHỦ ĐỀ

MỤC LỤC

1.1 Lí do chọn đề tài Trang 11.2 Mục đích nghiên cứu Trang 11.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 21.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 2

2.1 Cơ sở lí luận Trang 32.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN Trang 32.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: Trang 4-172.4 Hiệu quả của SKNN Trang 18-19

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 20

3.1 Kết luận Trang 203.2 Kiến nghị Trang 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 1

DANH MỤC ĐỀ TÀI SKNN Trang 2

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Theo điều 28.2 Luật giáo dục (14/6/2005) đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS” [1] Vì vậy, tôi đã đặt ra cho mình mục

tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ năng cơ bản cho học sinh và

sử dụng phương pháp phù hợp để phát triển năng lực trí tuệ, khả năng tư duy,quan sát, dự đoán , Từ đó có khả năng thích ứng với những thay đổi của cuộcsống, biết diễn đạt ý tưởng của mình và nắm bắt được ý tưởng của người khác.Hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập sáng tạo, nâng cao khả năngphát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thựctiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Toán học là một môn học thuộc nhóm khoa học tự nhiên Đây là môn học

có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong sự phát triển tư duy của conngười Đặc biệt môn học này là cơ sở quan trọng để học sinh học tốt các môn

khoa học tự nhiên khác

Để học tốt môn Toán thì học sinh không chỉ dừng lại ở việc nắm vữngmột nội dung kiến thức mà phải vận dụng được kiến thức đó vào để giải quyếtnhiều dạng bài tập khác nhau, biết cách lập luận tư duy từ đó học sinh mới cóthể khắc sâu kiến thức, phát triển tư duy sáng tạo

Với đối tượng học sinh trường THCS Ban Công thì khả năng tiếp thu kiếnthức của các em còn chậm Đặc biệt khả năng tư duy, sáng tạo của các em cònnhiều hạn chế; đối với môn hình học thì các em bị thiếu hụt kiến thức rất nhiều;

kĩ năng vẽ hình hạn chế, việc nhận biết một số khái niệm chưa chính xác, khảnăng lập luận tư duy rất yếu, đứng trước một bài toán hình các em gần nhưkhông xác định được hướng giải quyết và rơi vào bế tắc Xuất phát từ vấn đề

trên tôi đã chọn đề tài: “Giải pháp giúp học sinh lớp 9 trường THCS Ban Công phát triển tư duy hình học thông qua hoạt động học chủ đề góc với đường tròn” nhằm mục đích đóng góp ý kiến nhỏ của mình trong việc tìm ra

giải pháp tốt giúp học sinh khối lớp 9 ở trường có được những kiến thức, kĩ năng

cơ bản và phát triển tư duy hình học, giúp các em tự tin hơn khi gặp các bài toánhình học trong các đề kiểm tra giữa kì, cuối kì đặc biệt là trong đề thi tuyển sinhvào lớp 10 THPT năm học 2021-2022 của Sở giáo dục và Đào tao Thanh Hóasắp tới

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của tôi khi viết sáng kiến này là giúp học sinh khối lớp 9 trườngTHCS Ban Công củng cố và học tốt chủ đề góc với đường tròn, đây là chủ đề rấtquan trọng thường gặp trong các đề thi giữa kỳ, cuối kỳ và thi tuyển sinh vàolớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa Đồng thời tự bồi dưỡng năng lực chuyên môn chobản thân trong quá trình công tác ở đơn vị

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến là sử dụng kiến thức về góc vớiđường tròn (Hình học 9 tập 2) và các kiến thức hình học có liên quan mà họcsinh đã được học ở các lớp 6, 7, 8 để giúp học sinh khối lớp 9 trường THCSBan Công có được những kĩ năng và năng lực tư duy ở mức độ cơ bản, từ đó cóthể vận dụng và giải quyết được hệ thống các bài tập từ đơn giản đến các bàitoán vận dụng tổng hợp kiến thức Từng bước tích lũy và củng cố cho học sinhcác kiến thức bị thiếu hụt, hình thành được năng lực tư duy hình học cho họcsinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Tham khảo SGKToán 9, chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán THCS; Hướng dẫn điều chỉnh nộidung dạy học môn Toán cấp THCS của Bộ giáo dục và đào tạo (Công văn số

3280, ngày 28 tháng 7 năm 2020 của Bộ GD&ĐT)

- Phương pháp quan sát sư phạm: Quan sát thái độ học tập, kết quả củacác bài khảo sát

- Phương pháp tổng kết, rút kinh nghiệm dạy và học: Tích lũy qua các giờdạy trên lớp, qua các buổi phụ đạo, bồi dưỡng học sinh; học hỏi kinh nghiệm từcác đồng nghiệp khác

- Phương pháp thực nghiệm: Chọn đối tượng học sinh và lớp học để dạythực nghiệm, kết quả đạt được rút ra từ kết quả học tập của học sinh (việc làmbài tập ở trên bảng tại lớp, kết quả làm bài khảo sát, )

- Phương pháp phân tích: So sánh chất lượng giờ dạy, lực học của họcsinh khi chưa áp dụng SKKN với khi đã áp dụng SKKN

Như vậy có thể thấy rằng việc đổi mới phương pháp dạy và học hiện nay

là phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng củangười học; trong đó đối với môn Toán nói chung và phần hình học nói riêng thìviệc giải quyết tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp sẽ hình thành chongười học năng tư duy tốt, đây là năng lực rất quan trọng đối với con người Từvốn kiến thức có được người học có thể vận dụng vào thực tiễn một cách linhhoạt, đây cũng là yêu cầu mà người học phải đạt được (Theo chương trình giáodục phổ thông mới năm 2018) Thực tế cho thấy hình học được sử dụng trongcuộc sống hằng ngày rất nhiều, chẳng hạn: Chia tỉ lệ các hình vẽ theo một tỉ sốnào đó, xác định vị trí sút phạt (có góc sút bằng nhau) cho các cầu thủ bóng đá,xác định chiều cao của một vật mà không cần đo trực tiếp chiều cao đó,

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.2.1 Thực trạng chung:

Qua tham khảo ý kiến của một số đồng nghiệp hiện đang công tác ở cáctrường vùng sâu, vùng dân tộc thiểu số miền núi trong huyện Bá Thước tôi đượcbiết thì đa số học sinh đều học yếu môn hình học, các năng lực như: Vẽ hình,chúng minh hình học rất hạn chế

2.2.2 Thực trạng đối với giáo viên:

Đối với môn hình học thì giáo viên dạy đúng, đủ nội dung theo kế hoạchgiáo dục môn học đã được cấp trên duyệt, tuy nhiên xuất phát từ thực trạngchung (như đã trình bày ở trên) nên trong khâu ôn tập, luyện tập, rèn kĩ năng chohọc sinh nhiều giáo viên chú trọng phần Đại số nhiều hơn nhằm mục đích giúphọc sinh đạt được điểm số cao hơn trong các kì thi, còn phần hình học chưađược giáo viên chú trọng nhiều

2.2.3 Thực trạng đối với học sinh:

Trong quá trình dạy toán nói chung và môn hình học nói riêng ở TrườngTHCS Ban Công do đối tượng học sinh ở đây đa số là người dân tộc thiểu số,điều kiện kinh tế của nhân dân còn nhiều khó khăn, một số bậc cha mẹ phải đilàm ăn xa nên không có điều kiện, thời gian để quan tâm đến việc học tập củacon cái họ Nhiều em sau khi tan học về còn phải làm việc phụ giúp gia đình nên

không có nhiều thời gian cho việc học tập ở nhà, một số em khác vẫn còn hamchơi, chưa ý thức được lợi ích của việc học tập, về nhà các em chưa chịu khólàm bài tập, học bài cũ dẫn đến:

- Các em bị “hổng” kiến thức nhiều: Nhiều em nhớ các khái niệm, địnhnghĩa, định lí hình học không chính xác dẫn đến việc xác định các yếu tố hìnhhọc không đúng, vẽ hình sai, thiếu kiến thức để giải quyết các bài toán hình học;

- Không định hướng được cách giải quyết khi gặp các bài tập hình ở dạngvận dụng kiến thức tổng hợp;

- Năng lực tư duy, lập luận, chứng minh hình học còn yếu;

- Năng lực trình bày bài làm chưa khoa học, lập luận thiếu chặt chẽ, nhiềukhi còn ngộ nhận kết quả mà bản thân chưa chứng minh được;

Bảng số 1 Kết quả bài khảo sát chủ đề “Góc với đường tròn” của lớp

9 sau khi học xong “Bài 6 Cung chứa góc”:

Lớp Năm học Sĩ số Điểm dưới Tb Điểm Tb Điểm khá, gỏi

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trong năm học 2021 - 2022

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

- Ở nhà phải học bài cũ, làm bài tập theo yêu cầu của giáo viên;

- Phân công cho HS kiểm tra chéo vở làm bài tập ở nhà của bạn;

- Giáo viên thường xuyên kiểm tra việc nắm bắt kiến thức của học sinhbằng nhiều hình thức khác nhau: Trả lời câu hỏi trực tiếp, vận dụng kiến thức đểgiải bài tập trên bảng, qua phiếu học tập, vở nháp, làm bài tập qua nhóm Zolo,

- Giáo viên cần quan sát lớp bao quát để tránh hiện tượng HS khôngnghiêm túc: làm việc riêng, nói chuyện riêng trong giờ học, không chú ý họctập,…

2.3.1.2 Giải pháp thứ hai: Hướng dẫn cách học và hỗ trợ học sinh khi các em tự học ở nhà:

- Giáo viên không nên giao quá nhiều bài tập về nhà, chỉ giao những bàitập ở mức độ cơ bản đối với HS trung bình, yếu; với HS khá, giỏi giáo viên giaothêm bài tập ở mức độ vận dụng cao hơn nhưng không quá khó

- Sau mỗi tiết học GV dặn dò HS chú ý học những nội dung kiến thức cơbản nhất, không học giàn trải, lan man.

- Mỗi lớp học GV lập một nhóm Zalo riêng để nếu HS nào có điều kiện

có thể vào để trao đổi bài tập với giáo viên và các bạn trong lớp

- GV hướng dẫn HS biết cách học để nhớ lâu và không quá vất vả trongviệc học bài cũ ở nhà

- GV hướng dẫn HS cách tham khảo các tài liệu liên quan đến bài học cóhiệu quả thông qua sách tham khảo, mạng Internet,…

2.3.1.3 Giải pháp thứ ba: Giáo viên tăng cường phối hợp với phụ huynh trong công tác quản lý giáo dục HS ở nhà:

- Giáo viên cần gọi điện trao đổi với phụ huynh các trường hợp HS đangcòn ham chơi chưa chú ý trong giờ học để phối hợp cùng gia đình giáo dục chohọc sinh tiến bộ hơn;

- Tận dụng tin nhắn Vnedu để trao đổi tình học tập của các em HS ở lớpvới phụ huynh học sinh;

- Tư vấn giúp phụ huynh định hướng nghề nghiệp phù hợp cho con cái của

2.3.1.5 Giải pháp thứ năm: Phát huy năng lực sáng tạo và giải quyết vấn đề của học sinh:

- Trong mỗi tiết học GV cần hết sức tôn trọng các ý kiến phát biểu của HS(có thể là phát biểu đúng hoặc sai), nếu là phát biểu sai, hoặc bài tập giải sai GVcần khơi dậy để các HS khác tìm lỗi và sửa sai; nếu cả lớp không thực hiện đượcthì GV cần phân tích lỗi sai để HS tránh được ở các lần sau;

- GV cần khuyến khích sự tìm tòi và sáng tạo của HS, tuyên dương nhữngcách giải toán hay; khuyến khích HS trong một bài toán đừng nên bằng lòng vớimột cách giải mà cần tìm thêm cách giải khác (nếu có thể);

2.3.2 Các giải pháp riêng đối với môn hình học:

2.3.2.1 Biện pháp thứ nhất: Tăng cường công tác phụ đạo cho học sinh:

- Với khả năng tiếp nhận kiến thức chậm, thực tế tại lớp tôi phụ trách dạytrong một tiết học 45 phút với học sinh trung bình, khá mới chỉ có thể tiếp nhận

và giải quyết được các bài tập ở mức độ đơn giản, các em chưa có đủ thời gian

để luyện tập nhiều Khi tự học ở nhà các em học yếu hầu như không thể làmđược bài tập, dần dần các em sinh ra lười học, chán nản, do đó nếu giáo viênkhông kịp thời phụ đạo củng cố cho các em thì các em không thể tiến bộ được

- Bổ trợ kịp thời các kiến thức mà học sinh đã quên trong quá trình làm bàitập để giúp học sinh từng bước lấp đầy phần kiến thức “hổng”; Việc bổ trợ lạikiến thức phải thực hiện từng bước, làm như vậy để HS mới có thời gian để ghinhớ

- Trong giờ học GV cần đưa ra hệ thống bài tập phong phú đa dạng giànhcho nhiều đối tượng HS: Yếu, trung bình, khá, giỏi đều có thể tham gia hoạtđộng được.

- Trong quá trình dạy học giáo viên phải thường xuyên kiểm tra học sinhviệc ghi nhớ các định lý, các khái niệm mà các em đã học ở các bài học trước

đó, việc này có thể thực hiện được ở các tiết luyện tập

- Cần sử dụng sơ đồ tư duy để thể hiện mối liên hệ giữa các loại góc vớiđường tròn để khắc sâu hơn cho HS

2.3.2.2 Biện pháp thứ hai: Tích cực ứng dụng CNTT trong dạy học:

Việc sử dụng các phần mềm vẽ hình mô phỏng như: Geometer’sSketchPad (GSP), Geogebra,… để thiết kế bài học sẽ rất trực quan và gây đượchứng thú cho học sinh trong quá trình dạy học Học sinh sẽ thấy được sự thayđổi của các đối tượng hình học liên quan nhau và dễ dàng hơn trong định hướngcách giải;

2.3.2.3 Biện pháp thứ ba: Rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo, giải quyết vấn đề cho học sinh:

*Bước 2: Vẽ hình chính xác (dựa vào giả thiết):

Việc các em có vẽ hình chính xác quyết định rất lớn đến kết quả giảiquyết bài tập sau này và khi các em vẽ hình chính xác rồi thì cần chú ý đến việc

vẽ làm sao cho đẹp, rõ ràng, dễ quan sát nhằm mục đích xác định được các mốiquan hệ hình học trong bài toán dễ dàng hơn

Tránh vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt vì các em rất dễ ngộ nhận tínhchất mà đề bài không cho Sau khi vẽ hình xong GV hướng dẫn cho các em nên

ký hiệu những đoạn thẳng bằng nhau, những góc bằng nhau hay các góc vuông

để tiện sử dụng khi chứng minh bài toán, nhưng cũng không nên lạm dụng quánhiều ký hiệu trên một hình vẽ vì dễ gây rối và khó nhìn hình

*Bước 3: Phân tích giả thiết – kết luận để tìm những mối quan hệ mới:

GV hướng dẫn HS nên tóm tắt giả thiết và kết luận một cách triệt để sau

đó các em đi phân tích kỹ giả thiết nếu làm tốt thì các em đã có chìa khóa giảiquyết được những câu đầu tiên trong bài hình rồi Giả thiết nói đến hình nào thìcác em hãy khai thác hết tính chất của hình đó (phần này nếu HS quên thì GVcần gợi nhớ thậm chí phải củng cố lại để HS nắm được) những tính chất càngliên quan đến đề bài thì việc giải quyết bài toán sẽ càng dễ dàng hơn

Tập cho HS thói quen tự đặt ra các câu hỏi (thường là xuất phát từ kếtluận) sau đó tự trả lời các câu hỏi đó (dựa trên các tính chất và GT mà đề cho)

*Bước 4: Luyên tập tư duy để lập sơ đồ suy luận lùi (Từ Kết luận

⟸ … Giả thiết)

Có rất nhiều cách để đi đến kết luận Tuy nhiên không phải cách nào cũng

dễ dàng và khả thi Việc các em phân tích kỹ đề bài để lựa chọn những phương

án tốt nhất để đi đến kết luận nhanh nhất là rất cần thiết

Để làm được điều đó các em phải ghi ra những câu hỏi như là: Để chứngminh điều này ta phải chứng minh điều gì trước đó? Giả sử như điều này đúngthì điều kia có đúng không?…Hoặc đôi khi suy ngược từ kết luận để tìm rahướng giải quyết

Một vấn đề rất hay gặp đó là các em hay bỏ sót giả thiết Nếu trong đề bàicòn một giả thiết các em chưa sử dụng thì hãy tìm cách sử dụng nó Còn trongbài toán chứng minh có nhiều ý nhỏ các em hãy cố gắng liên hệ các ý đó vớinhau để giải quyết những ý tiếp theo, rất nhiều bài toán câu trước lại là giả thiết

và là chìa khóa để làm các câu sau

*Bước 5: Trình bày bài làm:

Sau khi đã làm tốt đến bước 4 rồi thì các em hãy trình bày bài làm củamình vào vở ghi hoặc giấy thi, chú ý trình bày làm sao cho khoa học, logic,chính xác Đây có thể nói là bước quan trọng là sản phẩm cuối cùng của quátrình tư duy, nên các em phải trình bày làm sao cho người đọc dễ hiểu Muốnlàm được điều này thì các em phải luyện tập nhiều từ đó sẽ hình thành được kĩnăng làm bài

Vậy khi giải quyết bài toán nếu rơi vào thế bế tắc thì các em cần phải làm gì?

Đầu tiên các em cần bình tĩnh để tìm cách giải quyết khác Hãy tạm

quên đi những cách chứng minh trước đó và thay vào đó là cách nghĩ mới,hướng đi mới Lúc này các em nên đọc lại đề thật kĩ và xuất phát lại từ đầu.Hoặc các em có thể giải lao 10 đến 15 phút (nếu làm bài tập ở nhà) sau đó bắtđầu lại từ đầu trong vở nháp Nếu làm bài thi thì các em hãy tranh thủ thời gian

“giải lao” để làm các câu khác dễ hơn hoặc có thể kiểm tra lại bài làm của mìnhxem đã chính xác chưa? Còn nếu học ở nhà thì các em cũng có thể tham khảocác tài liệu khác, tìm kiếm thông tin trên mạng Internet hoặc nhờ giáo viên giúp

đỡ, hỗ trợ…

2.3.2.3.2 Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ

các đường kính AC, AD (của hai đường tròn) và đường thẳng d cắt (O) và (O’)lần lượt tại M và N

M M

GT (O)∩(O’)={A; B}; AC, AD lần lượt là đường kính của (O) và (O’), d

qua A lần lượt cắt (O) và (O’) tại M, N

b) (O) và (O’) bằng nhau

KL a) C, B, D thẳng hàng

b) ∆MBN là tam giác gì? Vì sao?

Phân tích: Để chứng minh cho ba điểm C, B, D thẳng hàng thông thường

Qua quan sát HS sẽ đoán nhận được∆ MBN cân tại B, nhiệm vụ tiếp theo làlập sơ đồ suy luận lùi để giải quyết bài toán;

Bước 4 GV hướng dẫn HS lập sơ đồ suy luận lùi bằng cách tự trả lời các

câu hỏi (1), (2), (3),… :

a) C, B, D thẳng hàng⇐? (1) ⇐? (2) ⇐? (3)

b¿∆ MBN cân ⇐? (1) ⇐? (2) ⇐? (3)

Kết quả cần đạt được như sau:

Từ các sơ đồ này ta có lời giải bài toán trên như sau:

a) Ta có: ^ABC=900; ^ ABD=900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (GT)

^

CBD=^ ABC+^ ABD=1800⇒ C, B, D thẳng hàng (đpcm)

b) Ta có: Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau tại A, B nên

∆ OAB=∆O ' AB(c c c)⇒ ^ AOB=^ A O ' B ⇒ AB⏜ của (O)=AB⏜ của(O ')

⇒ ^ AMB=^ ANB (tính chất của góc nội tiếp)⇒ ∆ MBN cân (đpcm)

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định nằm ngoài đường

tròn Qua M kẻ cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B) và đường thẳng d Chứngminh rằng:

a) Nếu d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D thì MA.MB=MC.MD;b) Nếu d tiếp xúc với đường tròn tại C thì MC2=MA MB[3]

Bước 1,2,3: Đọc đề, vẽ hình, tóm tắt và phân tích giả thiết, kết luận:

B

O M

Phân tích: Để chứng minh một hệ thức hình học có dạng: A.B=C.D ta

thường nghĩ đến các cách thông dụng sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng

Cách 2: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cách 3: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác

Ở bài tập này thì có thể sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để chứngminh: ∆ MAD ∽∆ MCB (câu a) hoặc chứng minh: ∆ MAC ∽∆ MCB(câu b)

Bước 4 Lập sơ đồ suy luận lùi (Thực hiện như ở ví dụ 1)

a)

MA.MB=MC.MD

⇑ MA

MC=

MD MB

MA=

MB MC

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

Bước 5: GV yêu cầu HS trình bày lời giải bài tập trên như sau:

a) Xét hai tam giác MAD và MCB có:

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó.

Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC với đường tròn (O)

1) Chứng minh ^MAB=^ MCA

2) Chứng minh MA2 = MB.MC;

3) Kẻ tiếp tuyến MD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm) Đoạn thẳng ADcắt MO tại H Chứng minh: MH.MO = MB.MC;

4) Chứng minh bốn điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn;

5) Gọi I là giao điểm của MO với (O) Chứng minh BI là phân giác củagóc CBH

6) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại B và C của (O) Chứng minh

D

A

O M

B

GT (O), M nằm ngoài (O); MA là tiếp tuyến và MBC là cát tuyến của (O)

3) MD là tiếp tuyến với (O) tại D, AD∩ MO ={H}

Câu 2) Để chứng minh MA2 = MB.MC ta có thể chứng minh cho

∆ MAB ∽∆ MCA

Câu 3) Dựa vào câu 2) ta thấyMA2 = MB.MC, như vậy để chứng minhcho MH.MO=MB.MC ta chỉ cần chứng minh cho MA2 = MH.MO, đến đây thìbài toán được giải quyết khi ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuôngMAO (vuông tại A), đường cao AH

Câu 4) Để chứng minh cho O, H, C, B cùng thuộc một đường tròn ta có

thể chứng minh cho tứ giác BCOH nội tiếp bằng một số cách thông dụng sau:

Cách 1: Chứng minh cho tổng hai góc đối nhau bằng 1800

Cách 2: Chứng minh cho ^BCO=^ BHM

Cách 3: Chứng minh cho ^BHC=^ BOC

Ở câu này chúng ta có thể sử dụng kết quả câu 3) để chứng minh cho

∆ MBH ∽∆ MOC sau đó áp dụng cách 2 thì bài toán được giải quyết

Câu 5) Ở câu này ta xem xét có thể sử dụng được kết quả của câu 4)

không? Theo câu 4) nếu tứ giác BCOH nội tiếpthì suy ra được^HBC=^ COI; màCOI^

là góc ở tâm chắn cung CI của (O); CBI^ là góc nội tiếp của (O) chắn cung CI Sosánh với nhau ta đượcCBI=^ 1

2CBH^ như vậy bài toán được giải quyết;

Câu 6) Để chứng minh ba điểm A, D, K thẳng hàng ta có thể áp dụng một

số cách thông thường sau:

Cách 1: Chứng minh cho góc ADK là góc bẹt

Cách 2: Chứng minh cho AD+DK=AK

Cách 3: Chứng minh cho AD và DK cùng song song hoặc cùng vuônggóc với một đường thẳng thứ ba

Ở câu này có thể sử dụng các kết quả ở các câu trước để giải quyết vì tathấy AD vuông góc với OM tại H do đó nếu chứng minh được KD vuông gócvới OM là thì bài toán được giả quyết Ta sẽ sử dụng kết quả câu 4) như sau:

Do bốn điểm B, C, O, H cùng thuộc một đường tròn và có thể chứng minhđược tứ giác OBKC nội tiếp đường tròn đường kính OK nên 5 điểm B, H, O, C,

K cùng nằm trên đường tròn đường kính OK nên ^KHO=900 tức là KH vuông gócvới OM tại H, do đó ba điềm A, D, K thẳng hàng;

Từ phân tích trên GV cho HS lập sơ đồ suy luận lùi, ta có lời giải bài toán trên như sau:

MAB=^ MCA (Theo chứng minh ở câu 1))

Từ trên suy ra ∆ MAB ∽∆ MCA (g.g)⇒ MA

MC=

MB

MA ⇒ MA2

=MB MC (3) (đpcm);3) Xét ∆ MAOcó^MAO=900, AH⊥MO, theo hệ thức lượng trong tam giác tacó: MA2=MH MO (4); Từ (3) và (4) suy ra: MH.MO=MB.MC (đpcm);

Suy ra: ∆ MBH ∽∆ MOC (c.g.c) ⇒ ^ MHB=^ MCO ⇒tứ giác BCOH nội tiếp⇒

bốn điểm O, H, B, C nằm trên cùng một đường tròn;

5) Do tứ giác BCOH nội tiếp⇒ ^ CBH =^ COI, mà COI^ là góc ở tâm chắn cung

CI của (O); CBI^ là góc nội tiếp chắn cung CI của (O) nên CBI^=12CBH^ Vậy BI làphân giác của góc CBH;

6) Ta có AD⊥MO (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (5)

Do BK, CK là hai tiếp tuyến cắt nhau nên tứ giác OBKC là tứ giác nộitiếp (OBK =^^ OCK=900), mặt khác tức giác OHBC cũng nội tiếp nên 5 điểm O, H,

B, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính OK ⇒ ^ KHO=¿900⇒ AK⊥MO (6)