Giải pháp để nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chủ đề quan hệ chia hết trong chuyên đề số học tại huyện bá thước

Đặc biệt chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học” thì cần phân loại ra các bài toán có liên quan với nhau để dạy một cách hệ thống cho học sinh nắm bắt được logic và cụ thể hơn

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng khôngngừng đổi mới Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáodục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò

là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốtcác bộ môn khoa học tự nhiên khác Dạy như thế nào để học sinh không nhữngnắm chắc kiến thức cơ bản một cách hệ thống mà phải được nâng cao để các em

có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt racho mình

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập củahọc sinh đặc biệt là học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Điều đó đòi hỏi tronggiảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thểđến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt

tư duy toán học Với đối tượng học sinh giỏi ôn luyện cấp huyện và cấp tỉnh, các

em có tư duy nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các

em học sinh này phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáoviên chúng ta

Với niềm đam mê toán học cùng với sự tìm tòi của bản thân Tôi đã gặpnhiều dạng toán mà giải chúng ta gặp rất nhiều khó khăn Nhiều học sinh khigặp các bài toán nằm trong chuyên đề “Số học” thì vô cùng lúng túng, khôngbiết nó nằm ở dạng nào, cách gải ra sao Trong khuôn khổ sách giáo khoa thì chỉđưa ra lượng kiến thức tương đối đơn giản Nên việc các em tiếp cận với các bàitoán về số học cấp huyện, cấp tỉnh là điều tương đối khó khăn Bên cạch đó cácthầy cô khi giảng dạy về phần số học này thì cũng không có tài liệu nào phânloại chi tiết và có hệ thống, nên khi giảng dạy cũng gặp không ít khó khăn Vìvậy qua nhiều lần ôn học sinh giỏi đội tuyển cấp huyện và cấp tỉnh, tôi thấy sựcần thiết nên chia thành nhiều dạng, cung cấp cho các em nhiều kiến thức lýthuyết quan trọng để dạy Đặc biệt chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề

“Số học” thì cần phân loại ra các bài toán có liên quan với nhau để dạy một cách

hệ thống cho học sinh nắm bắt được logic và cụ thể hơn Thực tế, qua nhữngnăm phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cấp huyện, cấp tỉnh, tôi nhậnthấy các em học sinh thực sự gặp rất nhiều khó khăn khi học về chuyên đề “Số

học” nếu không được học bài bản và có hệ thống Chủ đề “Quan hệ chia hết” là

đề tài lý thú, phong phú và đa dạng của số học THCS và không thể thiếu khi bồidưỡng học sinh giỏi môn toán THCS các cấp Từ những lý do trên, tôi mạnh dạn

triển khai sáng kiến: Giải pháp để nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng

HSG cấp Tỉnh chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học” tại huyện Bá Thước.

1.2 Mục đính của nghiên cứu.

Nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng đội tuyểnhọc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh trong chuyên đề số học Phát huy tính tích cực,chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng

thú học tập bộ môn Nêu nên một số kinh nghiệm của bản thân về: Giải pháp để

nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG cấp Tỉnh chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học” tại huyện Bá Thước.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Các dạng toán về chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học” để

ôn thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh môn Toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp đọc sách, nghiên cứu các tài liệu về môn toán có liên quanđến chủ để “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học”

- Phương pháp điều tra thực trạng

- Phương pháp phỏng vấn và trao đổi với giáo viên

- Phương pháp khảo sát chất lượng học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Cùng với sự phát triển của xã hội Nền giáo dục của nước ta cũng cónhững biến đổi về nội dung SGK và phương pháp giáo dục, dạy cho học sinhkiến thức SGK là chưa đủ, mà còn dạy các em cách tự học và sáng tạo Dạy cho

em các kĩ năng vận dụng, với các thủ thuật vận dụng

Với tốc độ yêu cầu ngày càng cao của toán học, chúng ta cần sáng tạo, tìmtòi các sáng kiến và giải pháp để phục vụ cho việc học tập có hiệu quả, bên cạch

là các em phải có một kiến thức nhất định của SGK, một đầu óc biết tư duy vàsuy luận mới có thể dụng được Cho nên nền giáo dục của nước ta đã tổ chứccác cuộc thi học sinh giỏi các cấp nhằm tìm ra nhân tài cho đất nước Theo nghịquyết TW4 khóa 7 “phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡngcho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề’’ [15].Nghị quyết TW2 khóa 8: “phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắcphục lối truyền thụ một chiều….’’ [16]

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong những năm vừa qua, huyện Bá Thước đều tổ chức và tham gia các

kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và đã đạt được những hiệu quả nhất định

và đặc biệt về môn Toán cũng đã có những chuyển biến phần nào nhưng cũngchưa thực sự rõ nét Nhiều năm liền thì đội tuyển Toán tham gia kì thi cấp tỉnhThanh Hóa đều đạt giải, song việc đạt giải chính thức, đặc biệt là giải Nhất, Nhìhoặc số lượng đạt nhiều giải thì lại rất khó khăn Bản thân tôi thì trong nhữngnăm gần đây thực hiện đề án trường trọng điểm chất lượng cao của huyện BáThước và tham gia vào việc ôn thi HSG đội tuyển tỉnh môn Toán trong nhiềunăm liền Trong những năm vừa qua thì đều đạt được những kết quả hết sứckhích lệ Qua giảng dạy thì bản thân thấy kinh nghiệm càng nhiều hơn, các dạngtoán về số học cần được phân chia cụ thể, rõ ràng từng dạng để học sinh dễ nắmbắt Đặc biệt là các bài toán về số học cần phân chia các bài toán cụ thể và cáchgiải cần rõ ràng cụ thể, Qua đó các em sẽ hiểu sâu hơn vấn đề và làm tốt cácbài tập có liên quan Bằng kinh nghiệm trong giảng dạy, bản thân thấy việc nângcao chất lượng học sinh giỏi trong chuyên đề số học có những thực trạng sau:

+ Thuận lợi:

Bản thân tôi là một giáo viên Toán nên đã nắm bắt và hiểu rõ về bộ mônToán nói chung và chuyên đề số học nói riêng Được sự giúp đỡ nhiệt tình củaBan giám hiệu, của các đồng chí cùng bộ môn, giúp tôi tổng hợp một số tài liệu

để giảng dạy

Các em khi được tham gia vào đội tuyển cấp huyện và cấp tỉnh rất đam

mê, hứng thú và có tố chất Học sinh đa số là những em trong đội tuyển học sinhgiỏi toán của huyện Bá Thước Phụ huynh rất quan tâm đến phong trào thi họcsinh giỏi, hợp tác với giáo viên, cũng như tạo điều kiện cho giáo viên sắp xếpthời gian bồi dưỡng

Qua quá trình dạy học trên lớp, sau khi học xong những dạng bài toán vàcho những bài toán tương tự hoặc liên quan tôi thấy các em rất hứng thú để suyluận để giải quyết

Các buổi học ôn sôi nổi hơn, học sinh mạnh dạn làm bài và nhận xét bàibạn nhiều hơn Phát triển được năng lực chủ động sáng tạo của học sinh, tạo chohọc sinh hình thành năng lực chủ động giải quyết vấn đề khi học Các em càngngày càng cải thiện được khả năng học, các em hứng thú hơn trong việc học,hiểu hơn về các dạng toán về quan hệ chia hết trong chuyên đề về số học Saukhi triển khai và giảng dạy chuyên đề các em làm khá tốt với các bài toán vềquan hệ chia hết trong các đề học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh trong những nămtrước Đề tài giúp đa số các em học bài tốt hơn, tự tin hơn khi giải bài toán vềchủ đề quan hệ chia hết trong chuyên đề số học Rèn được khả năng tư duy logiccho học sinh khi giải các bài toán giải

Giúp giáo viên và học sinh có thể hình thành kiến thức, tư duy công màkhông máy móc dập khuôn Tạo cơ hội cho giáo viên dạy, tạo cơ hội cho họcsinh mạnh dạn hơn trong làm bài tập và lên bảng trình bày cách làm của mìnhvới các bài toán được phức tạp hơn nữa

+ Khó khăn:

Đây là chuyên đề khó trong các chuyên đề ôn thi HSG cấp huyện, cấptỉnh Tuy nhiên lượng kiến thức trên lớp và trong SGK tương đối ít và khôngnhiều bài tập nâng cao Tài liệu tuy đa dạng nhưng phù hợp và có chất lượngkhông có nhiều Đa số giáo viên phải tự tìm tòi là chính Do đây là một bộ mônkhó, cần đòi hỏi học sinh có sự tư duy cao và cần thực sự chăm học và đam mêkhám phá Một số phụ huynh chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em.Khi tiếp cận với bộ môn, học sinh lại hoang mang vì các bài toán thuộc lĩnh vực

bộ môn được xem là khó Học sinh chưa xác định được dạng toán này giải quyếtnhư thế nào và phương pháp giải nào là phù hợp và tối ưu

Số lượng bài tập trong các bài toán cần nhiều hơn, phong phú và đa dạng,mới mẻ hơn nữa để các em tiếp cận nhiều bài toán, dạng toán

Nhiều học sinh chỉ nhận dạng ở dạng bài nào là áp dụng vào để đưa ra kếtquả mà không biết kiến thức mình áp dụng đó đã chính xác chưa hay có nhầmlẫn gì không, hoặc nó nằm ở đâu Một số học sinh khi phải tư duy logic thường

tỏ ra mệt mỏi mà chỉ thích sử dụng những bài tập gần với kiến thức

Học sinh còn lười đầu tư việc học ở nhà khi tìm hiều về những chủ đề về

số học vì đây là những chuyên đề khó, nên kiến thức có phần hạn chế Nhiều giađình các em chưa thực sự quan tâm và sâu sát để giúp đỡ các em việc học ở nhà.Nhiều em thấy việc học môn toán khó khăn nên đã học không chu đáo do đókiến thức cơ bản còn yếu

Bản thân bộ môn toán rất khô khan, khi các em muốn học bộ môn toán thìvấn đề đòi hỏi các em phải có tư duy logic, đặc biệt là chuyên đề về số học phảihọc một cách có hệ thống, không phải ngày một ngày hai mà biết được Các emhọc sinh lớp 8 - 9 là những học sinh bước vào lứa tuổi “lớn không lớn nhỏkhông nhỏ”, nếu chúng ta nói nặng lời với các em thì các em sẽ có thành kiếnvới giáo viên dẫn đến việc dạy bộ môn của chúng ta các em không muốn học thìlàm sao các em nắm được kiến thức của bài

Việc hướng dẫn học sinh hình thành kiến thức cơ bản, công thức, tư duy,suy luận khi giải bài không phải thầy cô nào cũng quan tâm, phần đa giáo viênchúng ta phân tích đề rồi lựa chọn lời giải phù hợp để làm Đề tài này tôi đã đưa

ra một số ví dụ đòi hỏi học sinh phải biết tư duy, suy luận, phân tích để đưa ra

và nắm bắt thật chặt kiến thức cơ bản, vì trong mọi tài liệu của giáo viên chúng

ta chỉ có hướng dẫn và lời giải chưa thật chi tiết

Trong công cuộc đổi mới giáo dục, việc nắm chắc kiến thức cơ bản và hệthống bài tập là cần thiết, do đó hãy có cái nhìn thiện cảm hơn đối những chuyên

đề khó Các em đã chắc kiến thức phần nào thì hãy hướng dẫn các em áp dụng

để giải quyết các bài tập phần đó, để bài tập được giải quyết nhanh hơn, khôngnhững thế còn giúp các em hiểu sâu và rộng hơn về những chuyên đề toán cóliên quan là một điều cần thiết đối với tất cả học sinh

Bảng đánh giá thực trạng khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy độituyển:

Với kinh nghiệm ôn luyện đội tuyển tỉnh những năm qua, tôi mạnh dạn

nêu lên: Giải pháp để nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG cấp Tỉnh

chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học” tại huyện Bá Thước

làm sáng kiến kinh nghiệm của mình

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Mục tiêu của giải pháp.

Học sinh cần được cũng cố chắc hệ thống kiến thức về số học như: uớcchung, bội chung; uớc chung lớn nhất; bội chung nhỏ nhất; phép chia hết, phépchia có dư; các tính chất về chia hết và chia có dư; số nguyên tố, hợp số; số

chính phương; Những dạng toán thường được vận dụng như về quan hệ chiahết, số nguyên tố, hợp số; số chính phương,

Kiến thức hay dùng đó là về ước chung, bội chung; ước chung lớn nhất;bội chung nhỏ nhất; phép chia hết, phép chia có dư; các tính chất về chia hết vàchia có dư; số nguyên tố, hợp số; số chính phương; định lý Pecmar, định lýƠle, định lý Wlison, nguyên lý Đirichlet…Rèn luyện kĩ năng tính toán chínhxác, cẩn thận và tư duy lôgíc

2.3.2 Nội dung và cách thực hiện giải pháp.

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1 Định nghĩa phép chia.

Cho hai số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và

r duy nhất sao cho a  bq r  , với 0  r b  1. Trong đó a là số bị chia, b là sốchia, q là thương, r là số dư Khi a chia cho b thì các số dư r0;1; 2; ;b  1

 Nếu r  0 thì a  bq, khi đó ta nói a chia hết cho b Ký hiệu: a b  hay b a Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho a  bq

 Nếu r  0, khi đó ta nói a chia b có số dư là r

B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

Dạng 1: Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (với n thuộc N * )

* Hướng suy nghĩ: Sử dụng các tính chất cơ bản như tích hai số nguyên liên

tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 do đó chiahết cho 6

Để chứng minh Q(x) chia hết cho p ta phân tích Q x  D x p . , còn nếu

không thể đưa ra phân tích như vậy ta có thể viết p k q

+ Nếu k q ,  1 ta chứng minh Q(x) chia hết cho k và q

+ Nếu k q,   1 ta viết Q(x) = B(x).C(x) rồi chứng minh B(x) chia hết cho k và

Do đó A là tích của 7số nguyên liên tiếp nên A chia hết cho 7 với mọi n thuộc Z

Bài toán 2 Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a, b, c trong đó có đúng một số

Do 3 số a, b, c có 2 số chẵn nên abc chia hết cho 4

Do đó 24abc chia hết cho 24.4 = 96 Vậy bài toán được chứng minh

Bài toán 3 Cho 3 số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng:

* Hướng suy nghĩ: Để chứng minh M(x) chia hết cho p ta biết đổi M(x) thành

tổng các số hạng rồi chứng minh mỗi số hạng đều chia hết cho p

Nên n4  6n3  11n2  30n 24 chia hết cho 24.

Chú ý: Tách tổng là phương pháp chứng minh chia hết mà lời giải dễ hiểu,

ngắn gọn và đẹp mắt nên thường được trình bày khi bài toán có thể giải bằngnhiều phương pháp, tuy nhiên để áp dụng các em cần linh hoạt trong việc tách

Dạng 4: Sử dụng hằng đẳng thức

* Hướng suy nghĩ: Nếu a, b là các số nguyên thì:

a n b n chia hết cho a – b với n là số tự nhiên và ab

a n b n chia hết cho a + b với n là số tự nhiên chẵn và ab

a nb n chia hết cho a + b với n là số tự nhiên lẻ và ab

a b n ka b n với k là số nguyên, n là số tự nhiên.

a 1n ac 1 a 1n ac  1 n , n là số tự nhiên.

* Ví dụ minh họa:

Chú ý: Ta có công thức tổng quát: với n là số nguyên dương và k là số tự

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng nếu:

a3 b3 c3 9 thì một trong ba số a, b, c chia hết cho 3

+ Nếu 3 số x, y, z có 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư thì (x – y), (y – z), (z – x)

sẽ có một hiệu chia hết cho 3 do đó (x – y)(y – z)(z – x) sẽ chia hết cho 3.Nhưng khi đó tổng của 3 số (x + y + z) sẽ không chia hết cho 3 điều này trái vớiđiều kiện (*) của bài toán, vì thế trường hợp này không thể xảy ra

Vậy 3 số x, y, z chia cho 3 phải cùng số dư, khi đó (x – y), (y – z), (z – x) sẽđều chia hết cho 3 nên tích (x – y)(y – z)(z – x) sẽ chia hết cho 27 Mặt kháctheo giả thiết (*) ta có (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z nên (x + y + z) chia hết

cho 27 Vậy bài toán được chứng minh

Bài toán 3 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên nếu có 2n + 1 và 3n + 1 đều là

các số chính phương thì n chia hết cho 40 [6]

 

chia hết cho 12 [7]

Lời giải

Theo đề bài ra ta có: x2 + y2 + 58 = mxy với m là số nguyên dương

Đặt k = UCLN(x, y) với k  1, k  N Khi đó ta có:

x = k.x1, y = k.x1 với *

1 ; 1

x y N Thay vào phương trình ta được: 2 2 2 2

k x y  mk x y Suy ra 58 chia hết cho k2 Suy ra k = 1 nên x, y cùng lẻ hoặc trong hai số x, y cómột số chẵn, một số lẻ Nếu có một số chẵn không mất tính tổng quát giả sử ychẵn thì từ phương trình suy ra x chẵn, vô lý

Vậy x, y cùng lẻ Suy ra x; y lẻ

Đặt x 2x2  1; y 2y2  1 với * 2 2 2 2

2 ; 2 58 4( 2 2 ) 4( 2 2 ) 60

x y N  x y   x y  x y 

chia hết cho 4 Do đó x2 + y2 + 58 chia hết cho 4 (1)

Một số chính phương khi chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Nếu x chia hết cho 3 thì y không chia hết 3 do UCLN(x, y) = 1

Khi đó x2 + y2 + 58 chia cho 3 dư 1 mà xy chia hết cho 3, vô lý Do đó cả x và yđều không chia hết cho 3 Khi đó ta có:

x2 + y2 + 58  1 + 1 + 1 = 3  0 (mod 3)

Suy ra x2 + y2 + 58 chia hết cho 3 (2)

Vì x2 + y2 + 58 chia hết cho 12 mà xy không chia hết cho 12 nên từ (1) và (2) ta

* Hướng suy nghĩ: Để chứng minh A(x) không chia hết cho n ta giả sử A(x)

chia hết cho n sau đó dùng lập luận để chỉ ra mâu thuẩn để chỉ ra điều giả sử là

Do 2

3 5

n  n và 33 chia hết cho 11 nên (n + 7)(n – 4) chia hết cho 11 (1)

Mặt khác (n + 7) và (n – 4) có hiệu bằng 11 nên chúng cùng chia hết cho 11hoặc cùng không chia hết cho 11, lại do (1) nên (n + 7) và (n – 4) cùng chia hếtcho 11 suy ra ta có (n + 3)(n – 2) chia hết hết cho 121 Tức là n 2  n 16  chiacho 121 dư 33 mâu thuẫn với giả sử, vậy bài toán được chứng minh

Bài toán 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: n3  3n2  22n 1 không chiahết cho 125

Lời giải

Giả sử n3  3n2  22n 1 chia hết cho 125

Ta có: n3  3n2  22n  1 (n 4)(n 1)(n 6) 25 

Do n3  3n2  22n 1 chia hết cho 125 nên cũng chia hết cho 5

Do n3  3n2  22n 1và 25 chia hết cho 5 nên (n 4)(n 1)(n 6) 25  chia hết cho 5 (1)Mặt khác (n + 1) – (n – 4) = 5 ; (n + 6) – (n + 1) = 5 nên chúng cùng chia hếtcho 5 hoặc cùng không chia hết cho 5, lại do (1) nên (n + 1) ; (n – 4) và (n + 6)cùng chia hết cho 5 suy ra ta có (n 4)(n 1)(n 6) chia hết hết cho 125 Tức là

Giả sử a lẻ suy ra a2 chia cho 4 dư 1 Mà b2 + c2 chia cho 4 chỉ có thể chia cho 4

dư 0, 1, hoặc 2 do đó không thỏa mãn Vậy a là số chẵn

Chứng minh tương tự ta cũng được b, c là các số chẵn

Dạng 7: Sử dụng phương pháp quy nạp

* Hướng suy nghĩ: Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên np ta làmnhư sau:

1) Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

2) Giả sử mệnh đề đúng mới n = k (Giả thiết quy nạp)

3) Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1 Chứng minh rằng 4.3 2n 2 32n 36

  chia hết cho 64 với mọi nN

Lời giải

Với n = 1 thì ta có: 4.3 2  32.0 36 0   chia hết cho 64, bài toán đúng với n = 1

Giả sử bài toán đúng đến n k với nN tức là: 4.3 2k 2 32k 36 64

Với n = 1, ta có: aaa 111 3a Vậy bài toán đúng với n = 1.

Giả sử bài toán đúng đến n = k (k 1,kN), tức là: 

Vậy bài toán được chứng minh

Chú ý: Trong việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp cần ta khai thác

triệt để giả thiết quy nạp (là mệnh đề chia hết khi n = k), tức là trong quá trình giải bài toán ở bước chứng minh n = k + 1 ta phải biến đổi làm sao xuất hiện giả

thiết quy nạp.

Dạng 8: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

* Hướng suy nghĩ: Đầu tiên ta phải nắm được nguyên lý Dirichlet: “Nhốt m =

kn + 1 con thỏ vào k (k < n) chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất n + 1 con

thỏ” Áp dụng nguyên lý Dirichlet vào bài toán chia hết như sau: “Trong m =

kn + 1 số có ít nhất n + 1 số chia hết cho k có cùng số dư”

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1 Chứng minh luôn tìm được số có dạng 20122012 2012 (gồm các số

2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2013

Lời giải

Xét 2014 số sau: 2012, 20122012, , 2012 2012 (gồm 2014 bộ số 2012).Đem 2014 số này lần lượt chia cho 2013, có 2014 số mà chỉ có 2013 số dưtrong phép chia cho 2013 (là 0, 1, 2, , 2012) nên luôn tồn tại hai số chia cho

2013 có cùng số dư, chẳng hạn đó là a = 2012 2012 (gồm i bộ 2012) và b =2012 2012 (gồm j bộ 2012) với 1  i < j  2014 Khi đó:

Theo nguyên lý Dirichlet trong 3 số nguyên tùy ý luôn tồn tại hai số nguyên tùy

ý có cùng số dư khi chia hết cho 3 suy ra A 3

+ TH 1: cả 4 số đều là số chẵn nên tồn tại 6 hiệu chia hết cho 2 suy ra A 4

+ TH 2: cả 4 số đều là số lẻ nên tồn tại 6 hiệu chia hết cho 2 suy ra A 4

+ TH 3: 2 số chẵn và hai số lẻ nên tồn tại 4 hiệu chia hết cho 2 suy ra A 4

+ TH 4: 3 số chẵn và một số lẻ, từ 3 số chẵn đó cho ta 3 hiệu chia hết cho 2 suy ra

4



A

+ TH 5: 3 số lẻ và một số lẻ, từ 3 số lẻ đó cho ta 3 hiệu chia hết cho 2 suy ra A 4

Do đó A cũng chia hết cho 4 mà (3, 4) = 1 nên A chia hết cho 12

Bài toán 3 Cho 2014 số tự nhiên bất kì x , x , x , ,x1 2 3 2014 Chứng minh rằng tồntại một số chia hết cho 2014 hoặc tổng một số số chia hết cho 2014

Lời giải

Xét 2014 số: S1  x ; S1 2  x1 x ; ; S2 2014  x1 x2 x  2014

Nếu tồn tại S i với i = 1, 2, 3, …., 2014 chia hết cho 2014 thì bài toán được

chứng minh Nếu không tồn tại S i với i = 1, 2, 3, …., 2014 chia hết cho 2014.

Đem 2014 số này chia cho 2014 nhận được 2014 số dư Giá trị của các số dưnhận được thuộc vào tập hợp 1, 2, 3, , 2013 Vì 2014 số dư mà chỉ có 2013 giátrị nên theo nguyên lý Dirichlet có 2 số dư bằng nhau Kí hiệu hai số đó là S ,Sm n

có cùng số dư khi chia cho 2014 m, n N,1 n m 2014      thì hiệu:

Sm Sn  xn 1  xn 2  x  m chia hết cho 2014

Chú ý: Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho n số tự nhiên x ; x ; ; x 1 2 n Chứng minh rằng trong n số trên có một số chia hết cho n hoặc một số số cótổng chia hết cho n

Dạng 9: Xét đồng dư

* Hướng suy nghĩ: Sử dụng định nghĩa và các tính chất của đồng dư thức để giải

bài toán chia hết

Vậy bài toán được chứng minh

Bài toán 2 a) Chứng minh rằng A = 22225555 + 55552222 chia hết cho 7

b) Chứng minh rằng B 1961 1962  1963 1964  1965 1966  2 chia hết cho 7

Lời giải

a) Xét số dư của 22225555 khi chia cho 7

Ta có: 2222  3 (mod 7) 22224  34 (mod 7) 22224  81 (mod 7) (1)

Mà 81  4 (mod 7)  22224  4 (mod 7) (2)Nhân vế với vế (1) và (2) ta được 22225  3.4 (mod 7)

 22225  5 (mod 7)  22225555  51111 (mod 7) (3)

Tương tự: 55552222  21111 (mod 7) (4)

Cộng vế với vế (3) và (4) ta có: A  21111 + 51111 (mod 7) (5)

Mặt khác: 21111 + 51111  (2 + 5) (mod 7)  0 (mod 7) (6)

Từ (5) và (6) ta được: A  0 (mod 7) Vậy A = 22225555 + 55552222 chia hết cho 7 b) Ta có: 1961  1 (mod 7) => 19611962  1 (mod 7) Tương tự: 19631964  31964mod 7  9 3 3 654mod 7  9.27654mod 7 2 mod 7  19651966   21966mod 7  2 2 3 655mod 7  2.8655mod 7 2 mod 7   B    1 2 2 2 mod 7  0 mod 7  Vậy: B 1961 1962  1963 1964  1965 1966   2 7 Bài toán 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho p + q = (p – q)3 [9]

Lời giải Ta có: p + q = (p – q)3 khác 0 nên p khác q và (p, q) = 1 Vì p q 2 (modp p q ) Nên (p q ) 3  8p3 (mod p q ) Nhưng vì p + q = (p – q)3 nên ta có: 8p3  0 (mod p q ) (1)

Vì (p, q) = 1 nên (p, p + 1) = 1 và do đó (p3, p + q) = 1 Từ (1) suy ra 8 chia hết cho (p + q) Mà p + q  2 + 3 = 5 Suy ra p + q = 8 Suy ra p – q = 2 Từ đó ta có: (p, q) = (5, 3) là cặp số cần tìm Bài toán 4 Cho hai số nguyên a và b thỏa mãn 24a2   1 b2 Chứng minh rằng chỉ có một số a hoặc b chia hết cho 5. [10]

Lời giải Ta có: 24a2   1 b2  25a2   1 a2 b2  a2 b2  1(mod5) (1)

Lại có: 2 2 0; 1; 2 (mod 5) 0;1; 4 (mod 5) 0; 1; 2 (mod 5) 0;1; 4 (mod 5) a a b b                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 0 (mod 5) 1 (mod 5) a b       hoặc 2 2 1 (mod 5) 0 (mod 5) a b       Suy ra chỉ một số a hoặc b chia hết cho 5 Dạng 10: Tìm điều kiện biến để chia hết * Hướng suy nghĩ: Sử dụng phép chia đa thức cho đa thức * Ví dụ minh họa: Bài toán 1 Tìm anguyên để 3 2 a  2a  7a 7  chia hết cho 2 a  3 Lời giải Ta có: a 3  2a 2  7a 7  a 2  3 a 2     4a 1   Để phép chia hết thì 4a 1 phải chia hết cho 2 a  3





2

2

4a 1 a 3 4a 1 4a 1 a 3 (a 4a 1 ) 16a 1 a 3

Bài toán 3 Tìm các số nguyên dương x và y lớn hơn 1 sao cho x + 3 chia hết

cho y và y + 3 chia hết cho x

Dạng 11: Các bài toán cấu tạo số liên quan đến tính chia hết của số tự nhiên

* Hướng suy nghĩ: Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho các số đặc biệt

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1 Tìm các chữ số a b, sao cho: a b  6 và 4 7 1 5a  b chia hết cho 9

Lời giải

Ta có: 4 7 1 5 9a  b   512 10  a b   9  504 8 9   a b    a b 9  a b chiacho 9 dư 1 Do a b a b    6 nên a b  10 Từ đó tìm được: a 8; b 2

Bài toán 2 Tìm các chữ số a, b sao cho 62ab427 chia hết cho 99

Lời giải

Ta có: 62ab427  62.100000 ab.1000 427    62630.99 ab.990 10.ab 57   

Suy ra 62ab427 chia hết cho 99 khi và chỉ khi 10.ab 57  chia hết cho 99

Từ đó ta được 10.ab 57   99.k với k là một số tự nhiên Dễ thấy 10.ab 57  cóchữ số tận cùng là 7, do đó 99.k phải có chữ số tận cùng là 7 nên ta được k  3

Từ đó suy ra 10.ab 57   99.3  ab 24  Vậy các chữ số thỏa mãn là: a  2; b 4 

Bài toán 3 Tìm chữ số a biết rằng 20 20 20a a a chia hết cho 7

Lời giải

Ta có: n20 20 20a a a20 20 1000 20a a  a1001.20 1000 20a  a

Theo đề bài n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết cho 7 nên 20a chia hết cho 7

Ta có 20a 196 (4  a), chia hết cho 7 nên 4  a chia hết cho 7 Vậy a 3

Dạng 12: Các bài chia hết sử dụng định lý Fermat

* Hướng suy nghĩ: Sử dụng định lý Fecmat: Với p là số nguyên tố ta có:

a6  1 mod 7   a6n  1 mod 7  và a6m  1 mod 7   a6n a6m  2 mod 7  Vô lí!Vậy a7 Ngược lại, nếu a7 thì a6n a6m 7

Bài toán 2 Chứng minh rằng 3 2 4 1n 2 3 4n 1 5 11

   với mọi n N

Lời giải

Theo định lí Fermat, ta có 3 10  1 mod11  và 2 10  1 mod11 

Ta tìm số dư trong phép chia 2 4n1và 3 4n1 cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng củachúng Ta có 2 4n 1 2.16n 2 mod10  2 4n 1 10k 2

Bài toán 2 Một số có 6n chữ số và chia hết cho 7 Chứng minh rằng nếu chuyển

chữ số tận cùng lên đầu của số đó thì được một số cũng chia hết cho 7

Vậy N 3M 7, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 3 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7 Chứng minh rằng 3p – 2p – 1  42p

 (mod p) và 2p 2

 (mod p)Vậy ta có: 3p 2p 1

  (mod p) Suy ra 3p 2p 1 0

   (mod p)Kết hợp tất cả các điều trên, ta suy ra 3p 2p 1

  chia hết cho 42p

Dạng 13: Các bài toán chia hết liên quan đến đa thức

* Hướng suy nghĩ: Định lý Bơdu: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị

thức x – a bằng giá trị của đa thức tại x = a Tức là: f(x) = (x – a).g(x) + f(a)

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1 Cho đa thức P x( ) ax2  bx c Biết P x( ) chia cho x + 1 dư 3, P x( )

chia cho x dư 1 và P x( ) chia cho x – 1 dư 5 Tìm các hệ số a, b, c [13]

Lời giải

Vì P(x) chia cho x + 1 dư 3 nên P(x) – 3  x + 1  P(x) – 3 = f(x).(x + 1)

Thay x = –1 vào đẳng thức trên ta có: P(–1) – 3 = f(–1).( –1 + 1) = 0

Suy ra: P(–1) = 3 (1)

Tương tự, P(x) chia cho x dư 1 nên P(0) = 1 (2)

P(x) chia cho x – 1 dư 5 nên P(1) = 5 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

2 2 2

Từ (1) và (2) suy ra : 8a 16   a  2 Thay vào (2) suy ra: 5b 4    9 b  1.

C SƯU TẦM CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TRÊN CẢ NƯỚC VÀ CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY

* Đối với hoạt động giáo dục: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống

các dạng bài tập về chủ đề quan hệ chia hết trong từ dễ đến khó, tôi thấy đã pháthuy được tính tích cực, tư duy sáng tạo, sự say mê môn học của học sinh, giúphọc sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với khoa học Toán học

Đặc biệt các em xác định được dạng và sử dụng phương pháp hợp lí đểgiải bài toán một cách chủ động Chất lượng bộ môn được nâng cao, thể hiện cụ

thể ở kết quả học tập của các em Trong kì thi cấp Tỉnh đã có em đạt đến giải

Nhất cấp Tỉnh Trong kì thi cấp huyện năm học 2020 – 2021 vừa qua có 3 em

tham gia dự thi môn toán đã đạt 3 giải, trong đó có giải 1 Nhất, 2 giải Nhì.Trong kì thi cấp tỉnh năm 2020 – 2021 vừa qua, bản thân có ôn luyện 3 em họcsinh tham gia môn Toán tỉnh và đã có 2 em học sinh đạt giải, trong đó 3 em đềulàm tốt câu 3b là bài toán về số học

Bảng đánh giá thực trạng sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đội tuyển:

* Đối với bản thân: Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn,

đặc biệt phù hợp với quá trình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra.Đồng thời hình thành ở bản thân phương pháp làm việc khoa học Hơn thế đãphát huy được sự tích cực chủ động của người học, hình thành ở học sinh những

kĩ năng, kĩ xảo trong giải toán

* Đối với đồng nghiệp và nhà trường: Vì đây là đề tài đã áp dụng giảng

dạy thành công cho các em học sinh tham gia đội tuyển cấp Huyện và cấp Tỉnh

đã có những thành công nhất định trong những năm gần đây, cho nên có thể ápdụng làm tài liệu tham khảo ôn luyện học sinh giỏi cấp Huyện và cấp Tỉnh mônToán

3 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận.

Khi hướng dẫn học sinh giải toán theo hệ thống bài tập như trên tôi thấyhọc sinh hiểu, vận dụng rất tốt, đặc biệt giúp các em nhớ lâu, phân biệt đượcdạng bài tập Từ đó giúp các em say xưa với bộ môn, tích cực sáng tạo khi giảiToán, là cơ sở để tôi phát hiện và bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi

Đối với giáo viên để luyện tốt cho học sinh giải toán về chuyên đề “Sốhọc” cần: Phải nắm thật chắc chương trình và đối tượng học sinh để chuẩn bị bàigiảng tốt Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập chung vào điểm mấuchốt, chọn kiến thức, kĩ năng cơ bản nào hay ứng dụng nhất để giảng tốt Phảigiảng chắc đến đâu, luyện chắc đến đấy Tránh giảng qua loa đại khái để chạytheo số lượng bài tập Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suynghĩ tại sao, làm thế nào? Tại sao chọn cách giải đó??? Thì mới đạt kết quả

Biết cách tạo hứng thú môn học cho học sinh Học sinh thấy được vai tròcủa hệ thống bài tập và các dạng để áp dụng trong suy luận toán và tính toán vớicác môn học khác Từ đó học sinh chủ động tìm hiểu và học tập có hiệu quả.Giáo viên cần nắm đựợc nội dung một cách bao quát, đầy đủ, phân loại được các

dạng bài toán theo mức độ khó dễ từ thấp đến cao, tạo điều kiện thuận lợi chohọc sinh nắm bắt kiến thức và thực hành áp dụng kiến thức Tăng cường các bàitập thực tế, rèn kĩ năng thực hành, tạo hứng thú và niềm tin vào môn học Chútrọng các bài tập kết hợp tư duy toán học và dự đoán trong toán học, các bài toánmang tính chất tư duy, suy nghĩ.

Giáo viên phải không ngừng học tập, trao đổi chuyên môn qua thực tếgiảng dạy, qua đồng nghiệp, đọc các tài liệu, cập nhật các bài toán mới có nộidung thực tế Trên đây là những việc mà tôi đã thực hiện và đúc rút được trong

quá trình thể nghiệm đề tài: Giải pháp để nâng cao hiệu quả công tác bồi

dưỡng HSG chủ đề “Quan hệ chia hết” trong chuyên đề “Số học” tại huyện

Bá Thước Tuy có nhiều cố gắng, nhưng do trình độ chuyên môn còn nhiều hạn

chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót Rất mong được sự đóng góp ýkiến của các đồng nghiệp để bản thân không ngừng tiến bộ, để hoạt động dạy vàhọc đạt hiệu quả cao nhất Tôi xin chân thành cảm ơn!

3.2 Kiến nghị.

Đề nghị PGD, Sở GD thường xuyên mở lớp tập huấn để giáo viên trongtỉnh nói chung và giáo viên công tác vùng sâu, vùng xa, vùng miền núi có điềukiện giao lưu, học hỏi kinh nghiệm dạy của đồng nghiệp nơi trung tâm

Bá Thước, ngày 16 tháng 04 năm 2021

XÁC NHẬN CỦA Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết,

HIỆU TRƯỞNG không sao chép nội dung của người khác NGƯỜI VIẾT

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các đề tham khảo trong mỗi dạng toán

[1] Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Phú Thọ 2015

[2] Trích đề thi HSG lớp 9 TP Hà Nội năm 2011 – 2012

[3] Trích đề tuyển sinh lớp 10 Chuyên toán, TP Hà Nội năm 2014 – 2015 [4] Trích đề chuyên sư phạm Hà Nội 1997 – 1998

[5] Trích đề chuyên sư phạm Hà Nội 2000 – 2001

[6] Trích đề thi HSG môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2018 – 2019

[7] Trích đề thi HSG môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021

[8] Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 toàn quốc năm 1978

[9] Trích đề thi Olympic Toán Nga, năm 2001

[10] Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Nam năm học 2016 – 2017

[11] Trích đề thi HSG huyện Bá Thước năm học 2020 – 2021

[12] Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013 – 2014

[13] Trích đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2015 – 2016

[14] Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013

[15] Trích nghị quyết TW khóa 7

[16] Trích nghị quyết TW khóa 8

II Sưu tầm các đề thi HSG Tỉnh, Thành phố và đề thi chuyên vào các trườngchuyên trên cả nước trong những năm qua

III Các sách tham khảo

1 Tài liệu chuyên toán Trung Học Cơ Sở Toán 6 – Tập 1 do Vũ Hữu Bìnhchủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016

2 Tài liệu chuyên toán Trung Học Cơ Sở Toán 7 – Tập 1 do Vũ Hữu Bìnhchủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016

3 Tài liệu chuyên toán Trung Học Cơ Sở Toán 8 – Tập 1 do Vũ Hữu Bìnhchủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016

4 Bài tập tài liệu chuyên toán Trung Học Cơ Sở Toán 6 – Tập 1 do TônThân chủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016

5 Bài tập tài liệu chuyên toán Trung Học Cơ Sở Toán 7 – Tập 1 do TônThân chủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016

6 Bài tập tài liệu chuyên toán Trung Học Cơ Sở Toán 8 – Tập 1 do TônThân chủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016

7 Tự luyện giải toán theo chuyên đề Số học và toán rời rạc của Nguyễn TấtThu – Nhà xuất bản Đại học SP TPHCM, năm 2016

8 Bứt phá kì thi vào 10 phần Số học của nguyễn Văn Hưởng – Nhà xuất bảndân trí, năm 2018

9 Đột phá đỉnh cao bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Số học của Văn PhúQuốc – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2015

10 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi trung học cơ sở môn Toán do Hoằng VănMinh và Trần Đình Thái biên soạn – Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia HàNội, năm 2015

11 Tham khảo một số tài liệu trên mạng Internet

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGHÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH

VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phạm Việt Hùng

Chức vụ: Trường THCS Thị Trấn Cành Nàng

Đơn vị công tác: Giáo viên

Cấp đánh giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại 1

Một số giải pháp sử dụng tính

tương tự trong giải toán hình

học lớp 7

Tích hợp kiến thức liên môn

trong dạy học chủ đề: Đại

lượng tỉ lệ thuận - Đại lượng tỉ

lệ nghịch

2

Tích hợp kiến thức liên môn

trong dạy học chủ đề: Đại

lượng tỉ lệ thuận - Đại lượng tỉ

lệ nghịch

3

Nâng cao hiệu quả công tác bồi

dưỡng HSG giải toán trên máy

tính cầm tay phần Hình học

4

Nâng cao hiệu quả công tác bồi

dưỡng HSG giải toán trên máy

tính cầm tay phần Hình học

PHỤ LỤC

n  28n chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên chẵn

Câu 5 Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh 3

n  n chia hết cho 24

Câu 6 Chứng minh 3

n  17n chia hết cho 6với mọi n  

Câu 7 Chứng minh rằng: Q n  3 n 1  3n 2  3 9 với mọi n *

Câu 8 a) Chứng minh rằng : 2021 2019  2019 2021chia hết cho 2020.

b) Cho A 1.2.3 29, B  30.31.32 58.

Chứng minh rằng: A + B chia hết cho 59

Câu 9 Chứng minh rằng:

a) 8 5  2 11 chia hết cho 17b) 19 19  69 19 chia hết cho 44

Câu 16 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A 7.5 2n  12.6n chia hếtcho 19

Câu 17 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: A 5 n 2  26.5 n 8 2n 1  59

Câu 19 a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng

các lập phương của chúng chia hết cho 9

Câu 26 Tìm a, bsao cho:

f(x) ax  3  bx 2  10x 4  chia hết cho đa thức g(x) x  2   x 2

Câu 27 Cho đa thức f(x) x  3  3x 2  3x 4  Với giá trị nguyên nào của x thì giátrị của đa thức f(x)chia hết cho giá trị của đa thức 2

Câu 30 Tìm đa thức f(x)biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f x chia cho x 2

dư 26, f x chia cho 2

x  4 được thương là  5x và còn dư

Câu 31 Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên.Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ

số a, b, c, d đều chia hết cho 5

Câu 32 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh p 20  1 chia hết cho 100

Câu 33 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2  3n 11 không chia hếtcho 49

Câu 34 Cho N = k4 + 2 k3 – 16 k2 – 2k +15, k là số nguyên Tìm điều kiện của k

để số N chia hết cho 16

Câu 35 Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5

dư 2 Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

Câu 36 Chứng minh rằng với mọi số nnguyên dương thì:

n n  n n n

5 5  1  6 3  2  91

Câu 37 Chứng minh rằng A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40

Câu 38 Tìm đa thức f x biết: f x  chia cho x  2dư 5; f x chia cho x  3dư 7;

 

f x chia cho x 2 x 3được thương là x  và đa thức dư bậc nhất với x2 1

Câu 39 Cho số tự nhiên n 3 Chứng minh nếu:

2n 10a b a b  , ,0 b 10thì tích ab chia hết cho 6

Câu 40 Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn p a 2 b2 là số nguyên tố

và p  5 chia hết cho 8 Giả sử các số nguyên x y, thỏa mãn ax2 by2 chia hếtcho p Chứng minh rằng cả hai số x y, đều chia hết cho p

Câu 41 Cho ba số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a3 b3 c3 chia hết cho 14.Chứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14

Câu 42.

a) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2n 1 chia hết cho 9

b) Cho n là số tự nhiên n 3 Chứng minh rằng 2n 1 không chia hết cho

2m 1

 với mọi số tự nhiên m sao cho 2 m n 

Câu 43 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, thì số:

Câu 46 Tìm tất cả các số nguyên không âm a b c, , thỏa mãn:

a b 2 b c 2 c a 2  6abc và a3 b3 c3  1 chia hết cho a b c   1.

Câu 47 Cho n là số tự nhiên chẵn Chứng minh rằng số 20 n  3 n  16 n  1 chia hếtcho số 323

Câu 48 Cho a2 b2 là bội số của 5 với a và b là các số nguyên Chứng minhrằng hai số A  2a b  và B  2b a  hoặc hai số A ' 2a b   và B' 2b a   chia hếtcho 5

Câu 49 Cho phương trình x3  2y3  4z3  9!(1) với x y z; ; là ẩn và 9! là tích các sốnguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9

a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x y z; ; thỏa mãn (1) thì x y z, , đềuchia hết cho 4

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y z, , thỏa mãn (1)

Câu 50 Cho plà số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p 2 1 chia hết cho24

Câu 51 Cho số tự nhiên n 2 và số nguyên tố pthỏa mãn p 1 chia hết cho nđồng thời n 3 1 chia hết cho p Chứng minh rằng n p là một số chính phương

Câu 52 Với n là số tự nhiên chẵn Chứng minh rằng: 20n 16n 3n 1 323

Câu 54 Cho a, b,c là các số nguyên Chứng minh nếu a2016 b2017 c2018 chia hếtcho 6 thì a2018 b2019 c2020cũng chia hết cho 6.

Câu 55 Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết M = n.4 n + 3n chia hếtcho 7

Câu 56 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n3  9n 27 không chia hếtcho 81

Câu 57 Cho m n, là các số nguyên thỏa mãn 4 m n  2 mn chia hết cho 225 Chứng minh rằng: mn cũng chia hết cho 225

Câu 59 Chứng minh rằng nếu p và p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng

của chúng chia hết cho 12

Câu 60 Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2  4 và n2  16

là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5

Câu 61 Chứng minh biểu thức S n n 3  22n 1 n3  5n 1 2n 1 chia hếtcho 120, với n là số nguyên

Câu 62 Cho A 2 1 2015  2 2015  n2015 với n là số nguyên dương Chứng minhrằng A chia hết cho n(n + 1)

Câu 63 Cho biểu thức Q a 4  2a3  16a2  2a 15. Tìm tất cả các giá trị nguyên

của a để Q chia hết cho 16.

Câu 64 Chứng minh rằng trong ba số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà

hiệu của chúng chia hết cho 4

Câu 65 Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa 1   1 1

a b c Chứng minh rằng: abcchia hết cho 4

Câu 66 Chứng minh rằng A 22n 4n16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên

dương n.

Câu 67 Chứng minh rằng A 4n17 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Câu 68 Cho n N * Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n chia hết cho 40.

Câu 69 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n chẵn thì: n 3  20n 96  chia hếtcho 48

Câu 70 Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p a  3  b 3 với a,b là hai số nguyên

dương phân biệt Chứng minh rằng nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì

nhận được một số là bình phương của một số nguyên lẻ

Câu 71 Cho đa thức 2  

f(x) x   2 a 1 x b 1    Xác định a, b để f(x) chia hết cho

(x – 1) và đa thức (x + 2)

Câu 72 a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng 2016

p – 1  chia hếtcho 60

b) Cho x y z, , là các số dương khác nhau đôi một và x3  y3 z3 chiahết cho x y z2 2 2 Tìm thương của phép chia x3  y3 z3 :x y z2 2 2

Câu 73 Cho hai số nguyên a và b thỏa 24a 2   1 b 2 Chứng minh rằng chỉ cómột số a hoặc b chia hết cho 5.

Câu 74 Cho p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn p q 2   Tìm số

dư khi chia p q  cho 12

Câu 75 Cho các nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: a3 b3  2 c 2 8d3

Chứng minh rằng a b c d    chia hết cho 3

Câu 76 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số A= 3n3 + 15n chia hết cho 18

Câu 80 Chứng minh rằng 2n3  3n2 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Câu 81 Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn a b c  3  2018c Chứng minhrằng A a 3 b3 c3chia hết cho 6

Câu 82 Chứng minh trong các số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho

2013

Câu 83 Cho a b, là hai số nguyên dương thỏa mãn a 20 và b 13 cùng chiahết cho 21 Tìm số dư của phép chia A 4a  9b  a b cho 21

Câu 84 Cho biểu thức: Aa2020 b2020 c2020  a2016 b2016 c2016 với a, b, c làcác số nguyên dương Chứng minh rằng A chia hết cho 30.

Câu 85 Cho hai số nguyên dương x y, với x 1 và thỏa mãn điều kiện:

2x 1 y Chứng minh rằng x chia hết cho 15

Câu 86 Cho các số 1; 2; 3; ; 100 Viết một cách tùy ý 100 số đó nối tiếp nhau

theo hàng ngang ta được một số tự nhiên Hỏi số tự nhiên đó có chia hếtcho 2016 hay không?

Câu 87 Tìm k để tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 k 4 với k 0;1; 2; 3

Câu 88 Cho n là số dương Chứng minh rằng n 1 n 2 2n        chia hết chon

Câu 92 Chứng minh n6  2n4 n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương

Câu 93 Tìm các số tự nhiên có dạng ab Biết rằng 2 2

Câu 96 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( )x y; sao cho (x2 - 2)M(xy+ 2)

Câu 97 Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b ab2 

Tính giá trị của biểu thức 2 2.

2

a b A

ab





Câu 98 Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho a2 b2 c2 chia hết cho 4 Chứng

minh rằng a, b, c đồng thời chia hết cho 2.

Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn x 2 x 2 chia hết cho xy 1 

Tính giá trị của biểu thức   



2

x x 2 A

Câu 102 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p a 2 b2 c2 với a, b, c là các

số nguyên dương thỏa mãn a4 b4 c4 chia hết cho p

Câu 103 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

Câu 114 Cho đa thức P a 5  5 a 4  5a 3  5a 2  6a 240  Chứng minh rằng khi a là

số nguyên thì P chia hết cho 120

Câu 115 Cho a b, là các số nguyên dương sao a 1, b 2007 cùng chia hết cho

6 Chứng minh rằng: P 4a a b chia hết cho 6

Câu 116 Cho Pa b b c c a        abc, với a b c, , là các số nguyên Chứngminh rằng nếu a b c  chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4

Câu 117 a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y z, , sao cho:

x2y2z2  560647

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a b c d, , , thoản mãn:

a3b3c3d3   a b c d660064

Câu 118 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì:

a) P a 2  3a 53  không chia hết cho 49

b) 2

5a 185

Q a   không chia hết cho 169

Câu 119 Tìm số tự nhiên n sao P  1 2 2 2  3 2  n  2 không chia hết cho 5

Câu 120 Tìm số nguyên a sao cho:

a) P a 2  a 124 chia hết cho 121

Q a  a  a chia hết cho a 2 3

Bài 121.

a) Tìm m để đa thức:

A x( ) x4  9x3  21x2  x m 7 chia hết cho đa thức B x( ) x2  x 2

b) Tìm a và b để đa thức f x( ) 2  x3  3bx2  2x a  5 chia hết cho x 1 và x 2

Bài 122 Tìm đa thức A x( ), biết A x( ) chia cho x  5 dư 7, A x( ) chia cho x 3 dư1

 và A x( ) chia cho x2  2x 15 được thương là 2x 3 1 và còn dư

Bài 123 Cho các đa thức: P n( ) n1880 n1840 n1800 , ( )Q n n20 n10  1

Chứng minh rằng với n Z thì P n( ) chia cho Q n( )

Bài 124 Cho a là số nguyên dương Chứng minh rằng:

a) P (a 4)(a 5)(a 6) (2   a 5)(2a 6) chia hết cho 2a3

b) Q (a 1)(a 2)(a 3) (3a 1)3a chia hết cho 3a

Bài 125 Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các

lập phương của chúng chia hết cho 6

Bài 126 Chứng minh rằng m3  20m chia hết cho 48 với mọi số chẵn m

Bài 127 Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ đi một chữ số thì số đó giảm

đi 71 lần

Bài 128 Tìm một số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số

0 vào giữa các chữ số rồi cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ sốhàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm

Bài 129 Chứng minh rằng  2 2

3

x  y  khi và chỉ khi x và y chia hết cho 3

Bài 130 Một số gồm 4 chữ số giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống

nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó Nếu số bị chia và sốchia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt đi 200 Tìmcác số đó

b) Cho các số a a a1 , , , , 2 3 a n mà giá trị của nó bằng 1 hoặc bằng  1 Chứng minhrằng nếu a a1 2  a a2 3 a a3 4   a a n 1  0 thì n chia hết cho 4.

c) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: n S n  S S n     60 Trong đó kí hiệu

 

S n chỉ tổng các chữ số của số n

Bài 134 Cho số M 1993 1997  1997 1993

a) Chứng minh rằng: M chia hết cho 15

b) Hỏi M tận cùng bằng chữ số nào? (có giải thích)

Bài 135 1) Cho biết x y, , z là các số nguyên sao cho:

x y y z z x         x y z

Chứng minh rằng ta có: xy z là bội số của 27

2) Chứng minh rằng với k nguyên dương và a là số nguyên tố lớn hơn

Bài 140 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 3  y 3  1995

Bài 141 Cho nÎ ¥ * Chứng minh rằng:

b) Cho các số tự nhiên a b c d e, , , , biết:a b c d e     3a 4b 5 ,c d e  13 Tìm

Bài 145 Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 2xy  1 chia hết cho x1 y1.

Bài 146 Tìm các số nguyên dương x y, sao cho 4x + 6x 3 2  chia hết cho 2xy l

Bài 147 Tìm các số nguyên dương x, y sao cho x 2 2 chia hết cho xy 2.

Bài 148 Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x2  3xy y 2 là lũy thừa của 5

Bài 149 Cho x, y là các số nguyên x, y1 sao cho 4 1 4 1

Bài 150 Xác định tất cả các số nguyên tố p, q sao cho: 2 1 1 3 1

Bài 151 Cho a b, là các số nguyên và p là số nguyên tố lẻ Chứng minh rằng

nếu p 4 là ước của a2 b2và  2

m n A

n



 là số nguyên lẻ,tìm giá trị bé nhất có thể có của A và tìm m, n thỏa mãn giá trị này Chứngminh cho câu trả lời

Bài 155 Tìm tất cả các số nguyên n 1 sao cho với bất kỳ ước số nguyên tố của

Bài 158 Tìm các chữ số a, b, c với a 1 sao cho abc a b  c

Bài 159 Tìm số có 3 chữ số abc biết abc a ! b! c!

Bài 160 Cho các số tự nhiên a, b Chứng minh:

a) a2  b2 chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3

b) a2  b2 chia hết cho 7 thì a, b đều chia hết cho 7

c) a4  b4 chia hết cho 15 thì a, b đều chia hết cho 3 và 5

Bài 161 Xét phân số

2 4 5

n A n





 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n trong khoảng từ

1 đến 2017 sao cho phân số A chưa tối giản

Bài 162 Cho a, b   sao cho a 1 b 1

   Chứng minh rằng ước chung lớnnhất của a và b không vượt quá a b

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 Để chứng minh n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau ta chứng minh

Mặt khác n 1 n n 1là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 nên

Ta thấy n n 1 n 2      chia hết cho 3 (vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

Và 3 n 1 3    C chia hết cho 3 Nên Q  3C chia hết cho 9

A 9k   9k 4  không chia hết cho 3

Nếu n  3k 2 k     thì A 9k  2  15k 8  không chia hết cho 3

Do đó A không chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Vậy A không chia hết cho 15 với mọi số nguyên n.

Suy ra: P 32n 3n      1 3 9 1 13 0 mod 13   

Vậy với n là số tự nhiên không chia hết cho 3 thì P 3 2n 3n 1 chia hết cho 13

Câu 14 Xét x là số nguyên dương, ta thấy:

x  x 5 Với x  5q 2 q     thì 5

x  x 5 Suy ra 5  

x  x 30  nên Q P 30   Mà theo bài ra P 30  nên Q 30 

Câu 15 Vì a là số tự nhiên chẵn nên a = 2k (k  N)

+ Nếu k = 3n + 1 (với n  N) thì 2k+1 3 

+ Nếu k = 3n + 2 (với n  N) thì k 1 3  

Như vậy  k  N ta có k k 1 2k 1     luôn chia hết cho 2 và cho 3

Mà (2, 3) = 1  k k+1 2k+1 6    Vậy A có giá trị nguyên

Câu 16 Với n = 0 ta có A(0) = 19  19

Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A k   7.5 2k  12.6 19 k 

Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:



Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tựnhiên n

        không có giá trị của n thỏa mãn

Câu 20 Từ giả thiết ta có:

a2 b2  2ab c 2  2ab a b 2 c2  2ab a b c a b c        2ab (*).Nếu a lẻ, b chẵn thì suy ra c lẻ dẫn tới a b c  chẵn

Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125.

Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125.

Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4.

Câu 22 Theo đề bài có: 2  2   *

– Xét phép chia của xy cho 3

Nếu xy không chia hết cho 3 thì

Vậy xy chia hết cho 3 (1)

– Xét phép chia của xy cho 4

Nếu xy không chia hết cho 4 thì

Vậy xy chia hết cho 4 (2)